岩石的非定常Burgers模型
熊良宵1, 2，杨林德2，张尧2
(1. 宁波大学 建筑工程与环境学院，浙江 宁波，315211；
2. 同济大学 岩土及地下工程教育部重点实验室，上海，200092)
摘 要：
摘 要：建立一个与时间、应力状态有关的非线性黏滞体，该黏滞体可以描述岩石的非线性黏弹性流变特征；将该非线性黏滞体替换Burgers模型中的线性黏滞体，得到修正Burgers模型，该模型也称为非定常Burgers模型。对锦屏二级水电站辅助交通洞的绿片岩进行双轴压缩蠕变试验，将定常Burgers模型和非定常Burgers模型对蠕变试验曲线进行拟合对比分析。研究结果表明：采用非定常Burgers拟合时，拟合曲线与试验曲线基本吻合，残差平方和比采用定常Burgers模型时的小，且相关系数也有明显提高，因此，非定常Burgers模型更适用于描述硬岩的黏弹性蠕变特征。
关键词：
中图分类号：TU45 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2010)02-0679-06
Non-stationary Burgers model for rock
XIONG Liang-xiao1, 2, YANG Lin-de2, ZHANG Yao2
(1. Faculty of Architectural, Civil Engineering and Environment, Ningbo University, Ningbo 315211, China;
2. Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education, Tongji University,
Shanghai 200092, China)
Abstract: A nonlinear viscous component whose viscous coefficient is nonlinear function of stress and time was built. This nonlinear viscous component could describe nonlinear viscous property of rock. The viscous components of Burgers model were replaced by this nonlinear viscous component, thus, modified Burgers model was obtained. The modified Burgers model was also called as non-stationary Burgers model. The comparison between Burgers model and non-stationary Burgers model was carried out by using the biaxial compression creep tests data of green schist from auxiliary tunnel at Jinping Second Stage Hydropower Station. The research results show that non-stationary Burgers model curve and experimental curve approximately coinside with each other, and the accuracy of fitting is higher than that by using Burgers model. Therefore, non-stationary burgers model is available and reasonable.
Key words: non-stationary Burgers model; green schist; biaxial compression creep test
当岩石的蠕变试验曲线特征表现为黏弹性时，常采用Burgers模型或者广义Kelvin模型进行分析[1-6]。但研究结果表明：采用这2个模型对试验曲线进行拟合时，试验值与拟合值之间总存在误差。为此，丁志坤等[7-8]提出了非定常广义Kelvin模型，即将黏弹性模量转化为时间的非定常函数；罗润林等[9]将Burgers模型中的Maxwell黏滞系数看成为时间的非定常函数；秦玉春[10]将Burgers模型中的黏弹性模量转换为时间的非定常函数；朱明礼等[11]将Maxwell蠕变方程中的剪切模量和黏滞系数变为时间的函数，得到非定常Maxwell模型；宋飞等[12]对现今建立岩石非线性流变模型的方法进行了总结，其中，有一种是变参数的流变模型，即将弹性模量和黏滞系数转换为与应力水平或者时间相关的函数，而文献[7-11]中所建立的模型则正属于这种变参数的流变模型。虽然采用文献[7-11]中的非定常黏弹性模型对试验曲线进行拟合时，拟合精度有很大提高，但原定常模型中的黏弹性模量或者黏滞系数的单位是固定的，而转换成非定常函数后，这些参数的单位已不再是固定的。其实，若采用非线性黏弹性蠕变经验公式如幂律型蠕变方程对蠕变试验曲线进行拟合时，吻合程度比采用定常黏弹性模型时要高。若能将经验蠕变模型和元件模型组合得到半经验半元件模型，但这种新模型能否更合理描述岩石的蠕变特性还有待验证。因此，基于幂律型蠕变方程得到非线性黏滞体，对非线性黏滞体的黏滞系数表达式进行修正，引入初始黏滞系数、参考应力和参考时间，使其最终单位仍然是应力单位与时间单位之积。并将这种非线性黏滞体替换Burgers模型中的Maxwell黏滞系数，得到修正Burgers模型或者称为非定常Burgers模型。对锦屏二级水电站辅助交通洞的绿片岩进行了双轴压缩蠕变特性试验，并采用定常Burgers模型和非定常Burgers模型对蠕变试验曲线进行拟合对比，分析非定常Burgers模型的正确性与合理性。
1 非线性黏滞体
孙均[13]指出对于非线性黏弹性问题，其经验公式可写为一种幂律型蠕变方程：
式中：
为蠕应变率；
为等效应力；t为蠕变时间；A，n和m为拟合蠕变参数。
赵延林等[14]基于幂律型蠕变方程，对Bingham体中的线性黏滞体进行了改进，得到非线性黏滞体的黏滞系数的表达式为：
式中：
为黏滞系数；为应力；
为加速蠕变的起始应力；t2为加速蠕变开始时间；A，B，n和m为拟合蠕变参数。
并将改进的Bingham体和村山体、Hooke体组合得到了可以反映岩石加速蠕变的非线性弹黏塑性流变组合模型。
线性黏滞体的表达式为：
但由式(5)计算得到的黏滞系数的单位不再固定是应力单位与时间单位之积，而是随着参数n和m发生变化。
因此，为了使黏滞系数的单位统一，引入初始黏滞系数、参考应力和参考时间，对式(5)进行修正，得到一种表征非线性黏弹性蠕变的非线性黏滞体，其黏滞系数的表达式为：
式中：
为初始黏滞系数；
为参考应力，取为1，单位与的单位相同；
为参考时间，取为1，单位与t的单位相同。
的单位与初始黏滞系数的单位是统一的，式(6)所代表的非线性黏滞体的模型见图1。
图1 非线性黏滞体
Fig.1 Non-linear viscous body
在三维应力状态下，非线性黏滞体的黏滞系数
的表达式为：
式中：Sij为偏应力；
为参考偏应力，取为1。
2 非定常Burgers模型
2.1 Burgers模型
Burgers模型如图2所示。
Burgers模型的一维本构方程和蠕变方程为：
(8)
图2 Burgers模型
Fig.2 Burgers model
式中：E1和E2分别为瞬时弹性模量和黏性模量；
和
分别为应力对时间t的一次求导和二次求导；和
为应变对时间t的一次求导和二次求导；
和为黏滞系数。
(9)
Burgers模型在三维应力状态下的偏应变张量为：
(10)
式中：eij为偏应变；G1和G2为剪切模量。
，，
和为模型参数，由试验结果确定。
在式(10)两边同时加上球应变张量
后，可以得到岩石的蠕变应变。
三轴应力状态下岩石的轴向蠕变方程为：
(11)
式中：K为体积模量；
，
和
分别为第1、第2和第3主应力；
为第1主应变。且有：
(12)
式中：
为泊松比。
根据式(11)，需要拟合的参数为K，G1，，G2和，利用式(12)，可以转化为求取E1，E2，，和。
将
代入式(11)，便可得到双轴受压状态下Burgers模型的轴向蠕变。
2.2 非定常Burgers模型
用图1所示的非线性黏滞体件替换Burgers模型中Maxwell线性黏滞体，得到修正Burgers模型，也称为非定常Burgers模型，其模型如图3所示。
图3 非定常Burgers模型
Fig.3 Non-stationary Burgers model
将式(6)替换式(8)和式(9)中的，可得到非定常Burgers模型的一维本构方程和蠕变方程为：
(13)
(14)
将式(7)替换式(10)中的，可得非定常Burgers模型三维应力状态下的偏应变张量为：
(15)
三轴应力状态下岩石的轴向蠕变方程为：
(16)
将代入式(16)，便可得到双轴受压状态下非定常Burgers模型的轴向蠕变。
3 试验验证
为了验证所提出的非定常Burgers模型的合理性，采用该模型对锦屏二级水电站绿片岩的双轴压缩蠕变试验曲线进行分析。绿片岩取自锦屏二级水电站辅助交通洞B洞西端6号横通道，为片状构造，常有灰白色大理岩条带及透镜体，岩块也较硬，在干燥状态下平均单轴抗压强度为60~70 MPa，长期强度为40~50 MPa。试验主要分为2种加载方式：第1种是按照一定比例同时加轴压和侧压；第2种是先加侧压后加轴压，具体试验过程和内容见文献[15]。本文选取侧压加载的岩样的试验结果进行分析，岩样的尺寸为99.5 mm×97.7 mm×102.0 mm，侧向与轴向荷载的比例为1/2，其蠕变试验曲线见图4。
采用三维蠕变方程对试验曲线进行拟合时，首先需要确定泊松比，本文将泊松比取为0.25，同时，在确定每级的瞬时弹性变形时，需扣除前面分级加载累计的蠕变变形量。采用Burgers模型和非定常Burgers模型对试验曲线的拟合对比结果见图5，拟合得到的参数见表1和表2。
图4 蠕变试验曲线
Fig.4 Creep test curve
(a) 第1级；(b) 第2级；(c) 第3级；(d) 第4级
图5 Burgers与非定常Burgers模型的对比
Fig.5 Comparison between Burgers model and non-stationary Burgers model
表1 Burgers模型拟合参数值
Table 1 Rheological parameters on base of Burgers mode
表2 非定常Burgers模型拟合参数值
Table 2 Rheological parameters on base of Non-stationary Burgers model
由图5、表1和表2可知：采用非定常Burgers模型对试验曲线进行拟合时，相关系数有明显提高，说明采用非定常Burgers模型比较适合描述硬岩的黏弹性蠕变特性。
4 结论
(1) 基于幂律型蠕变方程得到非线性黏滞体，并对非线性黏滞体的黏滞系数表达式进行修正，引入初始黏滞系数、参考应力和参考时间，使其最终单位仍然是应力单位与时间单位之积。将这种非线性黏滞体替换Burgers模型中的Maxwell黏滞系数，得到了修正Burgers模型或者称为非定常Burgers模型。
(2) 采用非定常Burgers模型对锦屏二级水电站绿片岩的双轴压缩蠕变试验曲线进行拟合时，相关系数有明显提高，说明采用非定常Burgers模型比较适合描述岩硬石黏弹性蠕变特性。
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收稿日期：2009-04-30；修回日期：2009-09-15
基金项目：国家自然科学基金资助项目(50639090)
通信作者：熊良宵(1982-)，男，江西九江人，博士，讲师，从事地下工程和岩石力学的研究；电话：0574-87600316；E-mail: xiongliangxiao@163.com
