任意复杂薄壁截面自由扭转常数的数值计算方法
康澜1, 2，张其林1，王忠全1，吴杰1
(1. 同济大学 土木工程学院，上海，200092；
2. 中交四航工程研究院有限公司，广东 广州，510230)
摘要：针对任意复杂薄壁截面自由扭转常数的计算，提出一种便于计算机实现的建模方式和计算方法。采用一系列具有宽度的线段模拟薄壁截面，根据薄壁截面剪力流计算理论，编写相应计算程序，计算得到任意复杂薄壁截面的自由扭转常数。把本文的计算理论和计算方法运用到大型斜拉桥苏通大桥的截面计算中，并与Midas计算结果进行比较。计算结果表明：本文的建模方式实现了与CAD的无缝连接，方便工程应用；本文的计算方法对于不同剪力流指定方式得到相同的计算结果，克服了Midas的计算缺陷，验证了本文计算方法的正确性和稳定性。
关键词：
中图分类号：TU 448.213 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2011)05-1437-05
Numerical method of free torsion constant for arbitrary complicated thin-walled cross section
KANG Lan1, 2, ZHANG Qi-lin1, WANG Zhong-quan1, WU Jie1
(1. College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China;
2. CCCC Fourth Harbor Engineering Institute Co. Ltd., Guangzhou 510230, China)
Abstract: An effective algorithm and model building method for free torsion constant calculation of thin-walled bars with arbitrary complicated thin-walled cross sections was presented. Series of lines with given width were used to build the model of thin-walled cross section, corresponding calculation program was developed based on theory of shear flow, and free torsion constant for arbitrary complicated thin-walled cross section was obtained. The calculation theory and method were applied to the world’s largest cable-stayed bridge i.e., Suzhou—Nantong Yangtze Road Bridge, and the results of this paper were compared with Midas. The results show that the model building method in this paper realizes the seamless connection with CAD, and is convenient to engineering application; the same results can be obtained by different given models of shear flow, this method overcomes the shortcomings of Midas, and the validity and stability of the method are verified.
Key words: bridge engineering; thin-walled cross section; free torsion constant; numerical method; shear flow
薄壁构件由于加劲肋的存在，断面形式越来越复杂，增加了截面特性的计算难度，尤其是其抗扭常数的计算。任意开闭口薄壁截面的抗扭常数可分为自由扭转常数和翘曲扭转常数。对于开口薄壁截面，它的翘曲扭转常数要远远大于自由扭转常数；而对于闭口截面，它的自由扭转常数对扭转刚度的贡献也不可忽略。因此，如何准确计算自由扭转常数对于薄壁截面特别是闭口为主的薄壁截面非常重要[1-2]。许多学者对自由扭转常数的数值计算理论和方法进行了大量研究工作[3-4]。杜柏松等[5]通过自由扭转理论推导得到复杂薄壁箱梁断面的自由扭转常数，该方法前处理需要过多的人工参与，不适合计算机语言。Lubarda[6]通过剪力流计算给出了2室和3室任意薄壁截面的自由扭转常数表达式，这种方法无法应对更复杂的多室薄壁截面。Loighlan等[7-8]将图论法的理论引入计算程序的前处理部分。这种方法编程容易实现，但计算量庞大，消耗大量计算时间。周建春等[9]通过比拟有限元方法，建立了求解截面扇性坐标等几何特性的计算机算法，但是没有给出自由扭转常数的数值解法。ANSYS采用有限元网格划分的计算方法，这种方法在出现大量的小锐角网格时便无法求解，手动划分又费时费力[5]。徐秀丽等[10]通过对薄壁箱形截面杆件扭转特性进行分析，提出利用空间有限元分析软件的分析功能来计算薄壁箱梁截面几何特性参数的新途径，这种计算方法虽然简便，但不是一种精确方法。在此，本文作者根据复杂薄壁截面剪力流计算理论，采用具有宽度的线段进行建模，根据剪力流进行列式，给出精确计算薄壁截面自由扭转常数的数值计算方法，并编写相应程序。该方法无论怎样指定互斥的剪力流方式，都能得到相同的解答。最后把计算结果与Midas软件计算结果进行对比，显示了本文计算方法的优越性。
1 模型建立和理论推导
1.1 基本假定
任意复杂薄壁截面自由扭转常数的计算满足经典
的符拉索夫和乌曼斯基创建的基础理论。符拉索夫关于杆件断面无畸变的理论适用于开口断面，乌曼斯基的断面无畸变理论则可用于闭口断面，但后来符拉索夫又创建了断面有畸变的理论，既能用于闭口又能用于开口薄壁杆件[11-12]。闭口薄壁截面自由扭转的基本假定如下：
(1) 横断面的周边不变形，即无畸变；
(2) 剪应力沿壁宽均匀分布且平行于各薄壁周界；
(3) 材料为线弹性材料。
1.2 模型建立
任意开闭口薄壁截面的特点是壁宽相对壁长非常小，如果按照实际截面尺寸采用双线条建立模型，将截面划分的工作量较大[13-14]，因此，本文的薄壁截面采用了一系列具有宽度的线段来表示，1条线段代表1个微元，并由此开发了前处理程序和界面，可以直接读取CAD数据文件，符合工程设计人员的习惯，便于实际工程应用。图1所示为苏通大桥某断面的图形导入界面，该前处理可以完成图形的CAD导入、编辑线段、编辑回路、编辑线宽、文件保存以及计算薄壁截面特性等多项功能。
1.3 理论推导
开口和闭口薄壁截面自由扭转常数的计算方法是不同的。对于开口薄壁截面，采用公式
进行计算。式中：Jd为薄壁截面自由扭转常数；b为该线段
图1 图形导入界面
Fig.1 Graphic import interface
长度；t为开口截面线段宽度。对于闭口薄壁截面，根据自由扭转的剪力流计算理论进行列式，计算公式[15]如下：
(1)
式中：
，表示第i回路剪力流沿闭合周线的积分；
，表示第i和j回路共用边界
的积分，如果第i和j回路没有共用边界，则
；tc为闭合回路中各线段宽度；G为剪切模量；
；Ai为第i个回路所包含的面积；扭率
；MH为该截面的自由扭矩；Jd为该截面自由
扭转常数；第i个回路的剪力流
，剪力流逆时针为正。将和代入方程组(1)
前n个式子，简化成关于ci的方程组，并写成矩阵的形式，即：
(2)
式中：
；
。
中正负号的选取有以下原则：
(1) 如图2(a)所示，12边是剪力流回路1和剪力流回路2的公共边，这2个剪力流在回路中的方向是相反的，取负号。
(2) 如图2(b)所示，12边是剪力流回路1和剪力流回路2的公共边，这2个剪力流在回路中的方向是相同的，取正号。
最后，自由扭转常数计算公式为：
(3)
即：
(4)
对于复杂薄壁截面，同时存在开闭口截面的计算公式为：
(5)
式中：nc为闭合回路数；no为开口薄壁边数。
图2 剪力流示意图
Fig.2 Schematic diagrams of shear flow
2 算例
根据上述计算方法编制了计算程序，并通过与Midas软件的计算结果进行对比，以验证本文方法的准确性和稳定性。
2.1 闭口薄壁截面自由扭转常数算例1
闭口薄壁截面尺寸和壁宽见图3。对于不同剪力流指定算例的自由扭转常数计算结果见表1。
2.2 闭口薄壁截面自由扭转常数算例2
截面所有边的壁宽为1 mm，截面尺寸见图4。对于不同剪力流指定算例的自由扭转常数计算结果见 表2。
图3 算例1截面和不同剪力流指定方式
Fig.3 Cross-section of example 1 and different modes of shear flow
表1 算例1计算结果
Table 1 Results of example 1 mm4
图4 算例2截面和不同剪力流指定方式
Fig.4 Cross-section of example 2 and different modes of shear flow
表2 算例2计算结果
Table 2 Results of example 2 mm4
经过算例1和2的计算结果对比发现：本文计算结果优于Midas计算结果；对于任何剪力流指定方式，本文计算结果均相同，而Midas计算结果出现较大误差。原因是Midas没有考虑不同剪力流指定方式计算结果的一致性，导致计算结果发生偏差。
2.3 闭口薄壁截面自由扭转常数算例3
截面所有尺寸和壁宽见图5。本文和Midas的自由扭转常数计算结果见表3。
图5 算例3截面
Fig.5 Cross-section of example 3
表3 算例3计算结果
Table 3 Results of example 3 mm4
2.4 苏通大桥某截面常数计算
图6所示为苏通大桥某断面，表4所示为本文和Midas的计算结果。从表4可以看出：本文计算方法和程序真实、可信。
图6 苏通大桥某断面(底板和顶板厚度为20 mm；U肋厚度为8 mm)
Fig.6 Cross-section of Suzhou—Nantong Yangtze Road Bridge
表4 苏通大桥截面计算结果
Table 4 Results of Suzhou—Nantong Yangtze Road Bridge
3 结论
(1) 采用一系列具有宽度的线段建立基本模型，可以直接读取CAD数据文件，实现了与CAD的无缝连接，便于工程应用。
(2) 根据薄壁截面剪力流计算理论，编写相应计算程序，精确计算了任意复杂薄壁截面的自由扭转常数，并把该计算程序运用于大型桥梁结构苏通大桥的计算中，得到良好的计算效果。
(3) 本文计算程序对于不同剪力流指定方式的计算结果一致，体现了本文计算理论和方法的精确性和稳定性。
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收稿日期：2010-04-09；修回日期：2010-08-12
基金项目：国家高技术研究发展计划(“863”计划)项目(2009AA04Z420)
通信作者：张其林(1962-)，男，江苏海门人，博士，教授，博士生导师，从事钢结构研究；电话：021-65980644；E-mail: zhangqilin@tongji.edu.cn
