基于宏观和细观缺陷耦合的节理岩体损伤本构模型-有色金属在线

细观缺陷耦合的节理岩体损伤本构模型。首先介绍仅考虑微裂纹等细观缺陷影响的岩石损伤本构模型及仅考虑节理等宏观缺陷影响的岩体损伤本构模型，其次基于Lemaitre应变等效假设，推导考虑宏观和细观缺陷耦合的复合损伤变量，从而建立基于宏观和细观缺陷耦合的节理岩体损伤本构模型，最后通过引用岩石单轴压缩试验资料对模型合理性进行验证。研究结果表明：该模型能够较好地同时反映宏观和细观缺陷对岩体应力应变曲线的影响。同时采用该模型对含不同倾角的单节理岩体和含多条平行节理的岩体在单轴压缩荷载下的应力应变曲线进行分析，所得结果与相关文献中的试验及理论结果具有很好的一致性，说明了该模型的合理性。

关键词：

节理岩体；损伤本构模型；宏观缺陷；细观缺陷；损伤耦合；

中图分类号：TU452 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2015)04-1489-08

Damage constitutive model of jointed rock mass based on coupling macroscopic and mesoscopic flaws

ZHAO Yiqing¹, LIU Hongyan^2,3,4, L Shuran⁵, ZHANG Limin^1,6

(1. School of Civil and Environmental Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China;

2. College of Engineering & Technology, China University of Geoseiences (Beijing), Beijing 100083, China;

3. School of Engineering, Tibet University, Lasha 850000, China;

4. Key Laboratory on Deep Geodrilling Technology, Ministry of Land and Resources, Beijing 100083, China;

5. School of Safety and Environment Engineering，Capital University of Economics and Business, Beijing 100026, China;

6. Hebei Chengde Iron and Steel Corporation, Chengde 067002, China)

Abstract: The jointed rock mass damage constitutive model based on coupling of macroscopic and mesoscopic flaws was proposed. Firstly, the rock damage model which only considers the effect of mesoscopic flaws such as microcracks and the jointed rock mass damage model which only considers the effect of macroscopic flaws such as joints were introduced respectively. Secondly, the compound damage variable based on coupling the macroscopic and mesoscopic flaws was deduced based on the Lemaitre strain equivalence hypothesis, and then the damage constitutive model of jointed rock mass based on coupling macroscopic and mesoscopic flaws was set up. Finally, the rock uniaxial compression test data was adopted to validate this model. The results show that this model can perfectly reflect the effect of the two kinds of flaws on the rock mass stress-strain curve at the same time. Meanwhile, the stress-strain curves of the jointed rock mass with a single different dip angle joint and many parallel joints under uniaxial compression load are analyzed. The obtained results fit very well with the experimental and theoretical results in relevant references, which indicate the rationality of this model.

Key words: jointed rock mass; damage constitutive model; macroscopic flaw; mesoscopic flaw; damage coupling

通常认为岩体是由结构体(岩石)和结构面(节理、裂隙等)所组成，而宏观上相对完整的岩石则含有众多的微裂纹、微孔洞等细观缺陷。因此岩体内的损伤缺陷包含具有从宏观到细观甚至微观的各种尺度，节理、裂隙是其宏观损伤的表现，而空洞、孔隙、颗粒界面和微细观裂纹则是其细观损伤的表现。各种不同尺度的损伤缺陷分别从不同侧面以不同的作用机理对岩体物理力学性质产生影响，如很多学者^[1-3]分别采用理论、试验及数值方法证明了节理、裂隙等宏观缺陷的存在将导致岩体力学性质产生明显的各向异性，另一方面在岩体内部随机分布的微裂隙等细观缺陷的存在将导致其产生各向同性损伤，使岩体强度降低、刚度弱化^[4^-^6]。然而宏观损伤和细观损伤并不是孤立存在的，而是相互联系的。宏观损伤是由大量的细观损伤裂纹经过起裂、扩展、分叉等复杂的损伤演化过程而产生。但是目前关于岩体损伤力学的研究都是将上述两种不同尺度的缺陷割裂开来，单独研究其对岩体力学性质的影响。如Kawamoto等^[7]均只考虑节理等宏观缺陷对岩体力学性质的影响，采用二阶损伤张量反映其对岩体造成的各向异性特征，而不考虑被节理切割而成的岩块内部存在的微裂隙等细观缺陷的影响。同样Grady等^[8]则仅考虑微裂纹等细观损伤对岩石力学性质的影响，以微裂纹密度作为参量定义损伤变量，而不考虑微裂纹扩展、聚合后形成宏观裂纹进而导致岩体各向异性的情况。因此上述2种方法都没有同时反映2种不同尺度缺陷对岩体力学性质的影响。而相关试验表明^[9]岩体内同时存在的宏观和细观损伤均对岩体的力学性质产生影响，而且这2种不同尺度的缺陷之间还可能存在着复杂的相互作用。因此，如何更好地同时反映2种不同尺度缺陷对岩体力学性质的影响是目前岩体损伤力学研究中一个亟待解决的重要课题。由目前研究可知：在外载下岩体内的初始细观损伤可以发展为宏观损伤，而且从损伤的尺度问题与损伤识别的尺度问题来看，岩体的宏观损伤与细观损伤之间并无严格界限，它们通常与所研究问题的尺度有关。但是，为了工程分析方便，对岩体的宏观损伤和细观损伤进行分类研究，然后进行耦合计算分析是十分必要的^[10]。为此，本文作者首先分别阐述基于细观损伤和宏观损伤的岩体损伤本构模型，进而根据Lemaitre应变等效假设建立综合考虑宏观和细观缺陷的损伤变量(张量)，并由此建立相应的损伤本构模型。最后通过节理岩体的单轴压缩试验对该模型的合理性进行验证。

1 考虑细观缺陷的岩石损伤本构模型

由于岩石是一种经过漫长地质年代形成的地质体，因此其内部随机分布着各种各样的缺陷。而统计损伤力学正是研究这些随机缺陷的产生、扩展及汇合的过程及其对力学性质影响规律的有利工具，它将岩石内部损伤程度以微元强度加以量化，并根据岩石内部损伤服从随机分布的特点，假定岩石内部缺陷服从某种分布，建立岩石损伤统计本构模型，使岩石统计损伤本构模型研究取得了很大进展^[11-13]。目前该类模型的建立主要依据以下2方面：一是不同的岩石微元强度准则，如应变准则、Mohr-Coulomb准则、Drucker-Prager准则或Hoek-Brown准则等；二是认为岩石微元强度服从不同的分布，如幂函数分布、Weibull分布或对数正态分布等。研究表明基于Weibull分布的损伤模型要优于基于幂函数分布的损伤模型，且计算相对简单^[14]。因此，本文就采用基于应变强度准则和Weibull分布的损伤模型进行研究。

1.1 基于Weibull分布的损伤本构模型

假定岩石微元强度服从Weibull分布，其概率密度函数为^[12]

(1)

式中：P(ε)为岩石微元强度分布函数；ε为微元强度随机分布的分布变量，由于这里采用应变强度理论，因此这里指的是应变；m和ε₀为分布参数。

假设某一级荷载下已破坏的微元数目为n，定义统计损伤变量D为已破坏的微元数目与总微元数目N之比。则：

(2)

式中：D为岩石损伤变量；n为某级荷载下已破坏的微元数目；N为无损岩石材料的总微元数目。

当加载到某一水平F时，破坏的微元数目为：

(3)

则损伤变量：

(4)

假定岩石微元破坏前服从广义虎克定律，可得其本构关系为：

(5)

式中：E和ε分别为无损岩石的弹性模量和应变。

根据广义虎克定律，可得到基于Weibull分布的三维状态下的岩石损伤统计本构模型：

(6)

1.2 分布参数的确定

式(6)变形后可得到：

(7)

然后两边取自然对数，可得：

(8)

显然，式(8)为线性关系，m为直线斜率，-mln ε₀为截距，它们可通过对试验数据的拟合而获得。

2 考虑宏观缺陷的岩体损伤本构模型

节理等宏观缺陷的存在将导致岩体力学性质的弱化及各向异性，为了反映这种影响，目前常采用损伤力学的方法进行研究。假定损伤后的岩体本构关系仍服从虎克定律，则节理对岩体的损伤就体现为弹性常数的弱化，即节理岩体的弹性常数与损伤张量之间的关系，可以表示为

(9)

其中：[E₀]和[E]分别为完整岩块和节理岩体的弹性张量；I为单位张量；Ω为节理岩体损伤张量。

因此节理岩体损伤本构模型的研究就归结为损伤张量的计算。下面就以平面二维问题为例，讨论节理岩体损伤张量的计算方法。目前常用二阶张量描述节理岩体的各向异性损伤，许多学者基于不同角度也提出了多种不同定义方法。如Kyoya等^[15]将含有一组平行节理的岩体损伤张量定义为

(10)

式中：l 为节理平均间距；V为样本体积；N₀为样本中节理数；a_k为样本中第k条节理表面积；n_k为样本中第k条节理表面上的单位法向矢量。

孙卫军等^[16]假定节理面是一个无厚度、二维延展的圆盘，应用岩体结构的概率统计模型，可以估算节理岩体的损伤张量。例如对于第i组节理，建议用下式表示其损伤变量：

(11)

式中：λ_i为第i组节理面密度，条/m²；d_i为第i组节理平均直径，一般取为平面上的迹长；n_i为第i组节理的单位法向矢量。同时还有其他一些学者也提出了类似的节理岩体损伤变量计算方法。

上述节理岩体损伤变量的计算公式是针对含单组节理的岩体，而对于含有m组节理的岩体，其总体损伤Ω通常表示为：

(12)

而Swoboda等^[17]认为应考虑裂纹组的非正交情形及其相互作用，进而基于能量原理推导了等效总体损伤张量的表达式：

(13)

3 考虑宏观和细观缺陷耦合的岩体损伤本构模型

3.1 宏观和细观缺陷耦合的损伤变量计算方法

根据损伤力学理论，损伤变量的定义是损伤模型建立的前提和基础，因此下面首先讨论同时考虑宏观和细观缺陷的节理岩体损伤变量。一般的工程岩体总是包含着节理、裂隙的宏观损伤特性和节理间岩石的细观损伤特性，这2种不同尺度损伤缺陷的耦合集中表现为损伤变量的耦合^[10]。

在计算节理岩体损伤变量的耦合时，采用如下基本假设^[10]：

1) 宏观损伤与细观损伤以人的肉眼可见与不可见划分，并认为宏观损伤为各向异性损伤，而细观损伤为各向同性损伤。

2) 在描述岩体损伤时，细观损伤和宏观损伤分别采用不同的描述方法。

3) 在考虑宏观和细观损伤耦合时应遵循损伤力学的基本假设即Lemaitre假设，将应变等效原理进行耦合，而不能将2种损伤简单地叠加。

损伤耦合的条件是在一定应力作用下，2种损伤分别引起的损伤应变之和等于耦合损伤引起的应变量，如图1所示，假设图1(a)~(d)所示分别为同时含有宏观和细观损伤的岩体、仅含宏观损伤的岩体、仅含细观损伤的岩体及完全不含损伤的岩体，其弹性模量分别为，，和E₀，其在外力σ作用下产生的应变分别为ε₁₂，ε₁，ε₂和ε₀，那么根据Lemaitre应变等效假设，则有：

(14)

图1 应变等效计算示意图

Fig. 1 Sketch map of calculation of equivalence strain

若假设宏、细观损伤在荷载作用方向上造成的损伤变量分别为D₁和D₂及其耦合损伤变量为D₁₂，则有：

(15)

所以有：

(16)

由Lemaitre假设知：

(17)

将式(17)代入式(16)，并经过整理后可得：

(18)

对于2种极端情况，即岩体仅含宏观损伤时，那么D₂=0，代入式(18)可得：D₁₂=D₁，即此时岩体的耦合损伤变量等于岩体的宏观损伤变量，所以与实际情况符合。同样当岩体仅含微观损伤时，D₁=0，代入式(18)可得：D₁₂=D₂，即此时岩体的耦合损伤变量等于岩体的细观损伤变量，也与实际情况符合。因此，这说明通过该方法建立的宏观和细观耦合损伤变量是合理的。

同样基于Lemaitre假设，杨更社等^[10]经过推导认为岩体的宏观和细观耦合损伤变量为

(19)

可以看出：对于式(19)，当D₁=0时，，即，也就是说当岩体内仅含细观损伤时，岩体的总损伤变量即耦合损伤变量并不等于细观损伤变量，显然这与实际是不符的。通过对文献[10]中的推导过程进行分析认为，它假设，是重复计算了一次完全无损伤弹性体产生的应变，即没有减去图1(d)中的试件所产生的应变，因而得出的结果也不甚合理。另外还有一些研究者也对岩体内不同尺度的损伤耦合问题进行了研究，如刘红岩等^[18]认为岩体宏观和细观耦合损伤变量应为：，但是从其建立过程来看，该方法缺乏严格的理论基础。

下面对上述3种不同宏观和细观耦合损伤变量的计算结果进行对比分析，如图2所示。

由图2可以看出：由本文方法计算出的耦合损伤变量最小，而随着宏观和细观损伤变量的增加，由文献[18]方法计算出的耦合损伤变量逐渐大于由文献[10]方法的计算结果。这说明文献[10]和[18]所提出的方法过大地估计了宏观和细观损伤的耦合影响，分析认为产生这种情况的主要原因是由于文献[10]过大地估计了由损伤产生的应变，而文献[18]则缺乏相应的理论基础，因此认为本文所提出的计算方法是较为合理的。

图2 耦合损伤变量随宏观和细观损伤变量的变化

Fig. 2 Change of coupled damage variable with macroscopic and microscopic damage variable

由于宏观损伤具有奇异性，前面所采用的D₁仅为荷载作用方向上的损伤变量值，因此必须对张量化以反映岩体宏观损伤的各向异性。张量化的方法很多，在此采用Kawamoto等^[21]的方法，引入损伤张量Ω，则：Ω=DN，式中N是一个二阶对称张量，其计算方法为：

1) 对于含单组非贯通裂隙的岩体，假定非贯通裂隙的法向与x轴夹角为β，如图3所示，设该组非贯通裂隙的单位法向矢量为n，则有：

2) 对于含2组以上非贯通裂隙的岩体，N的计算方法是：设岩体中有M组非贯通裂隙，其单位法向矢量分别为m=1，2，…，M)，而，(i，j=1，2，3)。

根据上述方法，张量化后，式(18)即变为

(20)

若假设节理等宏观缺陷引起的损伤张量为Ω、微裂纹等细观缺陷引起的损伤变量为D，那么这2种不同尺度的缺陷所引起的耦合损伤变量Ω₁₂为

(21)

3.2 岩体损伤本构方程

由前述可知：节理岩体同时存在宏观和细观两类缺陷，它们都起到了弱化岩体刚度和强度的作用，因此在节理岩体力学分析中应综合考虑2种不同缺陷的共同作用。由于岩石中微缺陷造成的损伤是各向同性的，而宏观节理、裂隙等造成的损伤却是各向异性的，如以微元强度服从Weibull分布的损伤统计本构模型为例，那么根据损伤力学理论，则由式(21)所示的宏观和细观耦合损伤变量，则可得到考虑宏观和细观缺陷耦合的节理岩体损伤本构模型为

(22)

其中：Ω为节理等宏观缺陷引起的岩体损伤张量；D为微裂隙等细观缺陷引起的损伤变量；[E₀]为无损伤岩石的弹性张量。

图3 含裂隙岩体的受力模型

Fig. 3 Mechanical model of cracked rock mass

4 算例分析

4.1 节理岩体应力应变计算

为了说明本文所建模型的合理性，引用文献[19]的试验资料对其进行验证，这里对二维问题按照平面应力问题进行计算。岩石试件直径×长度为50 mm×100 mm的红砂岩标准试件，弹性模量及泊松比分别为6 949 MPa和0.22。其单轴压缩试验曲线如图4所示。将弹性模量、泊松比及应力应变曲线试验数据代入式(8)计算可得：m=3.335 2，ε₀=0.012 8。将分布参数以及实测试验数据代入式(5)即可得到仅考虑细观损伤时岩石的压缩应力应变曲线，与试验曲线的比较如图4所示，可以发现二者吻合较好。

假设试件内存在一条宏观节理，如图5所示，那么它将对岩体产生各向异性损伤，这里采用式(11)计算其损伤张量。外裂隙的外法线方向为n=[]，λ_i=200条/m²，d_i=0.071 m。计算可得其损伤张量为：，结合岩石的弹性常数E₀=6 949 MPa和μ=0.22，则根据式(22)，即可计算得到其垂直方向上不同轴向应变所对应的应力。由此得到考虑宏观和细观损伤耦合的应力应变曲线如图5所示。由图5可以看出：1) 当岩石内部仅含有细观损伤时，基于Weibull分布的细观损伤模型能够较好地反映岩石的应力应变曲线特征，特别是在峰值强度之前，理论曲线与试验曲线吻合很好；2) 从试件峰值强度来看，当岩体内含有节理等宏观缺陷时，其力学性质明显软化，表现为在产生同样的轴向应变时，所需应力大大减小。对本算例而言，含宏观缺陷即节理的岩体，其峰值应力为34.35 MPa，仅为完整岩体峰值强度的74.8%，这说明节理存在大大削弱了岩体峰值强度，降低了其刚度，增大了其柔性；3) 从试件应力应变曲线的特征来看，同时含有宏观和细观缺陷的岩体即节理岩体的应力应变曲线在峰值应力以前与仅含细观缺陷的岩体即宏观完整岩体的应力应变曲线相差较大，而在峰值后二者差距逐渐缩小，最后二者的残余强度基本相等。这实际情况较为一致，因为即使完整岩石试件在压缩荷载作用下，经过峰值强度后也会有宏观裂纹出现，如单轴压缩荷载作用下试件的宏观裂纹通常为剪切斜裂纹或张拉竖向裂纹，也就是说此时的岩体也是同时含有宏观和细观缺陷的试件，那么峰值应力后其力学性质也会同时受到宏观和细观缺陷的共同影响，因此会表现出与初始状态下就含有宏观和细观缺陷的岩体相接近的力学性质，即有相似的残余应力特征。图6所示为其细观损伤演化曲线。由图6可以看出：当试件应变在0.003以前，其损伤基本上为零，即没有损伤演化，同时从图4所示的应力应变曲线图上可以看出该段主要是对应着初始弹性阶段。之后随着应力增加，应变逐渐增大，同时损伤也呈现较大的增加趋势，曲线斜率逐渐变大，尤其是在应变达到0.006以后，损伤增加较为迅速。而当试件达到峰值应变0.009时，其损伤仅为0.27，说明即使当试件到达峰值强度发生破坏后，仍有一定的残余强度。同时需要说明的是，由于本文在提出的损伤模型中同时考虑了宏、细观2种不同尺度的损伤，因此图6中的损伤演化指的仅是细观损伤演化，而不是试件的总体损伤演化。

图4 试验曲线与理论曲线对比

Fig. 4 Comparison between experimental and theoretical curves

图5 计算模型示意图

Fig. 5 Sketch map of calculation model

图6 细观损伤演化曲线

Fig. 6 Micro-damage evolution curve

4.2 含不同倾角节理的岩体力学特性分析

下面应用上述模型分析节理倾角β(β指节理走向与水平面的夹角，采用单节理试件)对试件应力-应变关系的影响规律，如图7所示。由图7可知：当β=90°即试件含一条贯通的垂直节理时，试件峰值强度最大为45.92 MPa，与完整试件的峰值强度基本相同。而当β=60°时，试件峰值强度最小，仅为24.0 MPa，约为含90°节理试件强度的52.3%。而β为45°和30°时试件的强度基本相等，均为27.0 MPa，约为含90°节理试件强度的56.8%。其强度变化规律与Jaeger等^[20]的试验结果十分类似，即随着节理倾角在0°~90°变化时，试件单轴峰值抗压强度呈开口向上的抛物线规律变化，即当节理倾角约为60°时，其单轴抗压峰值强度最低，而90°时峰值强度最大，因此这也从另一侧面说明了该模型的正确性。因此该计算结果表明节理倾角对岩体强度影响很大。

图7 不同节理倾角试件应力-应变曲线

Fig. 7 Stress-strain curves of samples with different joint dip angles

4.3 含多条节理的岩体力学特性分析

下面利用上述模型对含多条节理的岩体力学特性进行分析。采用的计算模型为图5所示倾角为45°的节理试件，取平行节理条数n=1~4条，计算结果如图8和图9所示。可以看出：1) 随着节理条数增加，岩体应力应变曲线斜率降低，这说明岩体的弹性模量随着节理条数的增加而降低，即节理岩体的变形增加，柔性变大；2) 随着节理条数增加，岩体峰值强度逐渐降低，当节理条数为1~4时，对应的岩体峰值强度分别为34.35，21.94，12.40和7.14 MPa，相比相应完整岩石的峰值强度45.92 MPa均有不同程度的下降。且由图9可以看出：随节理条数增加，试件峰值强度的下降趋势逐渐变缓。同时从下降幅度来看，当节理条数由1条增加到2条时，强度下降幅度最大，而当增加到3和4条时，强度下降幅度明显减小，这说明节理之间存在着相互作用，作用结果将导致岩体的总体强度更加弱化，不符合单纯的线性组合原理^[21]；3) 随着节理条数增加，试件峰值应变即峰值强度所对应的应变是逐渐增加的。这说明随着节理条数增加，试件在破坏之前的变形越来越大，这主要因为在压缩荷载作用下试件的总变形等于岩块变形与节理面变形之和，而在压缩荷载下节理面的闭合变形及剪切滑移变形量要比同等体积的岩块大得多，因此随着节理条数增加，试件在破坏前的总变形也将随之增大。因此，该计算结果也说明上述模型是合理的。

图8 1~4条平行节理试件应力-应变曲线

Fig. 8 Stress-strain curves of samples with 1-4 parallel joints

图9 试件峰值强度随节理条数的变化

Fig. 9 Change of sample’s climax strength with joint sets

5 结论

1) 基于节理岩体同时含有宏、细观2种不同尺度缺陷的这一客观事实，认为在其力学特性分析中应同时考虑上述两类损伤的共同影响。并根据已有的宏、细观损伤力学模型，建立了考虑宏观和细观缺陷耦合的节理岩体损伤本构模型。

2) 基于Lemaitre应变等效假设推导了考虑宏、细观缺陷耦合的复合损伤变量，并与相关文献中所提出的复合损伤变量进行了对比分析，说明了其合理性。

3) 通过引用相关的试验资料对本文所提出的节理岩体损伤本构模型进行了初步验证，表明本文提出的模型是合理的。同时通过算例表明，宏观节理的存在大大削弱了岩体强度，降低了其刚度，且导致岩体力学性质呈现出明显的各向异性。

4) 通过对含有不同倾角的单节理岩体试件和含多条平行节理的岩体试件的力学特性分析表明，当节理倾角在0°~90°之间时，岩体强度随节理倾角呈开口向上的抛物线规律变化。随着平行节理条数的增加，岩体强度逐渐降低，但降低幅度不同。

5) 本文所采用的算例为含贯通节理的岩体，因此未涉及在外力作用下节理扩展而导致的宏观损伤演化问题，这有待进一步的深入研究。

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(编辑杨幼平)

收稿日期：2014-04-04；修回日期：2014-06-16

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(41002113，41162009)；教育部科学技术研究重点项目(211175)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(2014ZY45)；2011年度北京市属高等学校人才强教深化计划人才创新团队项目(PHR201107143)(Projects (41002113, 41162009) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (211175) supported by the Key Project of Chinese Ministry of Education; Project (2014ZY45) supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities; Project (PHR201107143) supported by the Funding Project for Academic Human Resources Development in Institutions of Higher Learning Under the Jurisdiction of Beijing Municipality)

通信作者：刘红岩，博士，教授，从事岩石力学方面研究；E-mail：lhyan1204@126.com

摘要：提出考虑宏观和细观缺陷耦合的节理岩体损伤本构模型。首先介绍仅考虑微裂纹等细观缺陷影响的岩石损伤本构模型及仅考虑节理等宏观缺陷影响的岩体损伤本构模型，其次基于Lemaitre应变等效假设，推导考虑宏观和细观缺陷耦合的复合损伤变量，从而建立基于宏观和细观缺陷耦合的节理岩体损伤本构模型，最后通过引用岩石单轴压缩试验资料对模型合理性进行验证。研究结果表明：该模型能够较好地同时反映宏观和细观缺陷对岩体应力应变曲线的影响。同时采用该模型对含不同倾角的单节理岩体和含多条平行节理的岩体在单轴压缩荷载下的应力应变曲线进行分析，所得结果与相关文献中的试验及理论结果具有很好的一致性，说明了该模型的合理性。