融合风险敏感估计算子的无迹粒子滤波

李鹏^{1, 2}，宋申民²

(1. 湘潭大学 信息工程学院，湖南 湘潭，411105；

2. 哈尔滨工业大学 航天学院，黑龙江 哈尔滨，150001)

摘 要：

程中，由于模型的不确定性而导致滤波器鲁棒性差，甚至滤波发散的问题，将风险敏感估计算子引入无迹粒子滤波器中得到新的滤波算法，该算法能够根据风险敏感函数值自动改变状态噪声协方差，消除模型不确定导致的粒子采样枯竭现象，提高滤波器的鲁棒性。将该算法运用于潜艇方位角和频率跟踪问题，并与无迹卡尔曼滤波算法和无迹粒子滤波算法进行比较，结果表明新算法性能明显优于其他2种算法。

关键词：

无迹粒子滤波；风险敏感估计；

中图分类号：TN911.23          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2011)S1-0448-05

Unscented particle filter with risk sensitive function

LI Peng^{1, 2}, SONG Shen-min²

(1. College of Information Engineering, Xiangtan University, Xiangtan 411105, China;

2. School of Astronautic, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

Abstract: In order to overcome the poor robustness and divergence which cause by uncertain estimation model, risk sensitive estimator was inforduced into the unscented particle filter, the proposed algorithm could automatically change the state noise covariance according to the magnitude of the risk function. As a result, sample impoverishment could be mitigated, and the robustness of filter would be improved. A simulation example of submarine bearing and frequency tracking was presented, the performance of the proposed algorithm was compared with the unscented Kalman filter and the unscented particle filter. Simulation results show that the new algorithm performs better than the two others.

Key words: unscented particle filter; risk sensitive estimator

粒子滤波对复杂问题的求解上具有突出优势，比如高维的非线性、非高斯动态系统的状态递推估计或概率推理问题，被广泛应用于视觉跟踪、机器人定位、航空导航、故障检测等诸多领域。粒子滤波的基础是重要性采样算法、序贯重要性采样算法和粒子重采样算法。重采样带来的新问题是,随着迭代次数的增加，权值越大的粒子子代越多，相反则子代越少甚至无子代，这样重采样后的粒子集多样性减弱，从而不足以用来近似表征后验密度，导致样本枯竭问题。解决采样枯竭问题比较常用的是重采样-移动算法、核平滑和正则化等方法^[1-2]。重采样-移动算法则是在贯序重要性采样之后加上一步MCMC(Markov chain monte carlo)移动处理，使粒子集趋于平稳分布，减弱粒子间的相关性。与卡尔曼滤波采用最小均方误差计算状态的最优估计不同，风险敏感估计以提高二阶矩的方式惩罚估计误差的高阶项。当模型不确定性强，或者估计误差的高阶矩变化显著时，根据评价函数设计的风险敏感滤波器的鲁棒性要远远的优于最小均方误差形式的滤波器^[3-5]。风险敏感估计实际上是通过隐式的自动修改状态噪声协方差来提高滤波性能，这也是粒子滤波器解决采样枯竭问题的通常做法，运用风险敏感估计能够消除粒子采样枯竭问题是粒子滤波研究领域内公认的观点^[6]。本文作者针对概率估计过程中，由于模型的不确定性而导致滤波器鲁棒性差，甚至滤波发散的问题，将风险敏感估计引入无迹粒子滤波器中得到新的滤波算法，该算法能够根据风险敏感函数值的大小自动改变状态噪声协方差，因而可以消除模型不确定导致的粒子采样枯竭现象。

1  风险敏感滤波

当实际过程和假定的名义模型有偏差时，最优信号处理机制可以经受住考验，这也是研究鲁棒滤波的最基本的动机。风险敏感滤波是鲁棒估计的实现途径之一，在此，本文作者运用风险敏感估计来实现鲁棒滤波，即对状态模型不确定性的鲁棒性估计^[4]。

1.1  风险敏感估计

首先给出了风险敏感估计的一般性定义。假定总是存在一个固定的概率模型可以完全描述实际系统，并用P₀来定义实际模型概率分布。因为采用的模型可能不符合实际模型，因此通过P_d定义假设模型。假定是状态x真实值的函数，通过(空间可测函数^[5]，来对它进行估计。

定义为严格有界凸函数，满足。对于任意R空间可测函数，假设

              (1)

并且定义最小风险敏感估计

               (2)

根据“如果设计的控制器可以最小化风险敏感误差，那么该控制器必定隐含一定程度的鲁棒性。”这一理论可知，该估计算子具有鲁棒性。

定义风险敏感估计的最小误差代价函数，首先选择

              (3)

其中，为描述风险程度的参数。

最小风险敏感估计代价函数^[5]定义为：

          (4)

由式(2)定义的最小风险敏感估计有上界估计误差^[6]。

      (5)

其中，R(P_d|P₀)表示概率分别为P₀ 和P_d的2种模型的相对熵。这样就确立了风险敏感估计的准确意义，由上面的公式可知：风险敏感估计的误差具有上界，且上界由2部分组成，第1部分和模型准确已知时的代价函数一致，第2部分为真实概率模型和设计概率模型之间的偏差。

1.2  风险敏感滤波器

定义离散时间非线性系统模型如下：

             (6)

其中：为k时刻的信号状态；为k时刻的观测量；及 为独立同分布的概率过程；概率密度分别为和^[1]。

定义ρ₁和ρ₂为严格凸的连续函数，且2个风险参数，。风险敏感代价函数()为：

            (7)

最小风险敏感估计定义为：

           (8)

易证，风险敏感误差界满足^[6-9]：

          (9)

其中：为k时刻概率分别为P₀和P_d的2个模型的相对熵。

滤波估计的目的是计算状态变量的估计值，因此用如果x_k来代替式(7)中的变量φ_k，可得：

 (10)

为了计算简化将上式中的变量做如下取值，令μ₁=μ₂，且ρ₁和ρ₂取相同的函数，则

与式(7)类似，式(8)变为：

          (11)

注意：所有k时刻以前状态的最优估计值都已经确定，并且固定不变。

式(10)中状态期望值的递归计算可以通过非规范化的密度函数来实现^[9]。

          (12)

密度函数实际也就是式(10)中计算数学期望值的信息状态，即。

                     (13)

因为p_v(y_k) 和 对于最小风险敏感估计  是独立的过程，所以可得

 (14)

2  风险敏感无迹粒子滤波器

式(15)的递归计算可以通过粒子滤波来实现。在每一时刻k， 信息状态可以通过N个采样粒子来近似计算。

        (15)

其中，δ为Dirac delta 函数，变量为重要性权值。将式(15)带入(14)，可得：

   (16)

采用式(16)来计算无迹粒子滤波中k时刻状态的最优估计值，就得到了融合风险敏感算子的无迹粒子滤波器。

风险敏感无迹粒子滤波算法如下^{[1, 5, 9]}：

(1) 初始化：t=0

从预先假定的密度p(x₀)中取N个粒子 (i=1，…，N)，并取其权值均为。采用式(17)计算初始状态的最优估计值，并假设

              (17)

     (18)

(2) 对于时刻t=1，2，…计算重要性采样权值

对于i=1，…，N，通过平方根无迹粒子滤波器进行时间更新。

1) 计算singma 点

   (19)

2) 粒子的时间更新

          (20)

         (21)

 (22)

    (23)

3) 量测更新

  (24)

  (25)

 (26)

        (27)

     (28)

            (29)

    (30)

4) 从下面的概率分布中产生N个采样粒子

对于i=1，…，N, 计算每一个粒子的重要性权值，并进行归一化。

            (31)

对采样权值进行归一化，计算状态的最优估计值。

3  数学仿真

通过潜艇方位角和频率跟踪问题来仿真验证算法的有效性。状态变量定义为二维相对位置向量、二维相对速度向量和目标发射的音频，该音频十分稳定。观测方程包括方位角和多普勒频率2个变量，c=1 500 m/s 表示声波在水中的传播速度^[10]。在跟踪的中间时刻，为了提高目标可观测性潜艇进行机动。

状态方程噪声v为零均值高斯白噪声，动态系统协方差为(10^-3)²，音频部分协方差为(10^-4)²。观测噪声也为零均值高斯白噪声，方位角协方差为(0.017 5)²，频率协方差为(0.06)²。

在仿真实验过程中，对风险敏感无迹粒子滤波器(RSUPF)与无迹卡尔曼滤波器(UKF)和无迹粒子滤波器(UPF)进行了性能比较。仿真结果如图1~3所示。从图1~3可以看到，无迹卡尔曼滤波器性能最差，在距离估计和方位角估计过程中出现明显发散现象，频率估计过程中不确定性也很明显。与无迹卡尔曼滤波器相比，无迹粒子滤波器性能更好，但有时不确定性也很明显，导致估计结果无效。尽管风险敏感粒子滤波器性能明显强于其他2种算法，但在改进估计发散问题上要明显优于其他两种算法。从图3也可以看出，该算法在频率估计过程中表现并不理想，这主要是由于在跟踪途中，潜艇为了改善目标的可观测性而进行机动所导致。在视线角发生快速变化的过程中，观测到的信息量更多、更广泛，同时也严重加剧了状态方程的非线性。在这个过程中，滤波器在进行状态数据处理时，出现估计错误的可能性大大提高，因此导致滤波发散。

图1  方位角误差

Fig.1  Azimuth angle error

图2  航向角误差

Fig.2  Heading angle error

图3  频率误差

Fig.3  Frequency error

4  结论

将风险敏感函数融合到无迹粒子滤波器中。并在非线性方位角和频率跟踪问题中的应用了该算法，仿真结果表明：新的滤波方法在性能上比无迹卡尔曼滤波器和无迹粒子滤波器都要优越。无迹风险敏感粒子滤波器的最大特点在于通过风险敏感函数来建立估计误差的高阶项惩罚因子，这样新算法对模型和噪声的不确定性就更加敏感。如果设计的风险敏感函数合适，新的滤波方法就会对参数不确定模型的粒子采样枯竭问题具有鲁棒性。尽管要以牺牲一部分计算性能为代价，然而新算法结构简单，易于实现。

参考文献：

[1] Kotecha J H, Djuric P M. Gaussian Particle Filtering[J]. IEEE Trans Signal Processing, 2003, 51(10): 2592-2601.

[2] Crisan D, Doucet A. A survey of convergence results on particle filtering methods for practitioner[J]. IEEE Trans Signal Processing, 2002, 50(3): 736-746.

[3] Thrun S, Langford J, Verma V. Risk sensitive particle filters, in Advances in Neural Information Processing Systems 14[M]. Cambridge: MIT Press, 2002: 372-381.

[4] James M R, Elliott R J. Risk-sensitive and risk neutral control for continuous-time hidden markov models[J]. Journal of Applied Mathematics and Optimization, 1996, 34(1): 37-50.

[5] Whittle P. Risk sensitive optimal control[M]. New York: Wiley, 1990: 89-103.

[6] Dey S, Moore J B. Risk sensitive filtering and smoothing via reference probability methods[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1997，42(11): 1587-1591.

[7] Bhaumik S, Ghoshal T, Sadhu S. Alternative formulation of risk-sensitive particle filter (posterior)[C]//Proceedings of 2006 Annual IEEE India Conference. Piscataway: IEEE, 2006: 1-4.

[8] Speyer J L, Fan C, Banavar R. Optimal stochastic estimation with exponential cost criteria[C]//Proc 31st Conf Decision Control, New York: IEEE, 1992: 2293-2298.

[9] Moore J B, Elliott R J, Dey S. Risk-sensitive generalizations of minimum variance estimation and control[J]. J Math Syst Estimat Control, 1997, 7(1): 1–15.

[10] Gustafsson F, Gunnarsson F, Bergman N, et al. Particle filters for positioning, navigation, and tracking[J]. IEEE Trans Signal Processing, 2002, 50(2): 425-437.

(编辑 赵俊)

收稿日期：2011-04-15；修回日期：2011-06-15

基金项目：国家自然科学基金重点资助项目(60535010)

通信作者：李鹏(1978-)，男，山东青岛人，博士，讲师，从事非线性滤波研究；电话：15200378567；E-mail：pengli.hit@gmail.com

摘要：针对概率估计过程中，由于模型的不确定性而导致滤波器鲁棒性差，甚至滤波发散的问题，将风险敏感估计算子引入无迹粒子滤波器中得到新的滤波算法，该算法能够根据风险敏感函数值自动改变状态噪声协方差，消除模型不确定导致的粒子采样枯竭现象，提高滤波器的鲁棒性。将该算法运用于潜艇方位角和频率跟踪问题，并与无迹卡尔曼滤波算法和无迹粒子滤波算法进行比较，结果表明新算法性能明显优于其他2种算法。