边坡稳定性任意条分法分析中安全系数的计算
曹 平,邓志斌,陈 枫
(中南大学 资源与安全工程学院,湖南 长沙,410083)
摘要: 基于边坡稳定性分析的任意条分方法, 在单元静力平衡分析中引进作用在边界上的虚拟平衡力, 满足边坡安全系数求解过程中单元静力平衡的要求。 分析了虚拟平衡力与边坡安全系数间的变化规律, 研究了通过迭代求解非线性方程确定在虚拟平衡力趋于零时边坡安全系数的基本原理。 研究结果表明:基于给出的算法,通过迭代求解安全系数, 收敛速度快;在迭代初期,平衡力与安全系数间有较复杂的对应关系;当迭代次数大于某一值后,平衡力随安全系数的增加而单调地变化。
关键词: 边坡稳定性; 任意条分法; 安全系数
中图分类号:TD324 文献标识码:A 文章编号: 1672-7207(2005)02-0302-05
Calculation of Safety Factor for Slope Stability Analysis with Polygon Elements
CAO Ping,DENG Zhi-bing, CHEN Feng
(School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)
Abstract: Based on the stability analysis for slope with polygon elements, the equilibrium of elements was evaluated by adapting fictitious force acting at boundary of element to calculate factor of safety, the behavior of the fictitious force was studied while the factor of slope safety changes, the procedure was discussed to obtain the factor of slope safety in an iterative way if the adopt fictitious force was vanished finally. The relationship between fictitious equilibrium force and factor of safety is complex in the initial steps during the iterative procedure. If the iterative step is greater than a certain number, the fictitious equilibrium force will change simply with factor of slope. The algebraic method is efficient to obtain a convergence value of safety factor.
Key words: slope stability; polygon elements; safety factor
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边坡稳定性分析是一个超静定问题,无法直接由静力平衡条件求出边坡的安全系数[1-5]。为了避免求解岩土的复杂应力应变关系,并将超静定问题转化为静定问题,常对边坡的稳定性分析问题进行适当的近似假定,较常用的有刚体极限平衡分析法。刚体极限平衡分析法不考虑岩土的应力应变关系,首先假定边坡的潜在滑移面形状,将潜在滑移面以上岩土竖向分为许多条块;然后,利用条块的静力平衡条件确定条块底部潜在滑移面上的法向应力,以确定潜在滑移面上的法向应力和整个滑移面上的剪应力,使边坡稳定性分析问题转化为静定问题[6-9]。岩边坡的失稳大都是沿各种软弱结构面发生的,由于节理、断层等软弱结构面不总是垂直的,传统条分法难以适用。针对节理岩体边坡失稳这一特点,提出了一种典型的边坡稳定性分析方法即非垂直分条的任意条分法。该方法可根据边坡的地质特性和结构面构造,对滑体按节理构造进行斜分条及不等距分条,使各条块尽量模拟实际岩体节理、断层的产状和强度, 合理地利用水平地震加速度产生的惯性力的影响。 边坡稳定性的任意条分法远比垂直条分法复杂, 在边坡安全系数确定前, 任意分条(单元)一般不完全满足静力平衡条件。在此,引进作用在边界上的虚拟平衡力参与静力平衡分析, 实现边坡安全系数求解过程中单元静力平衡的要求, 在此基础上,通过一迭代过程确定该虚拟平衡力趋于零时边坡的安全系数。
1 任意条分法虚拟平衡力
边坡一般存在一塑性滑动区或潜在塑性滑动区。采用塑性滑动区内的滑移线使该塑性的合力在x和y方向的分量均等于零。 根据单元静力平衡原理,可将作用在任一单元上滑动区划分为若干单元(见图1)。 在极限平衡条件下,诸单元满足静力平衡条件, 即每一单元的面力、 体力和集中载荷应形成平衡力系, 即合力为零, 用数学式表示为:
图 1 边坡塑性滑动区内的单元示意图
Fig. 1 Diagram of kinematics elements in a slope plastic sliding zone
式中:[DD(X]S[DD)]表示对某一单元S的各边求和;SSx和SSy分别为S边上的合力在x和y方向的分量;Rx和Ry分别表示该单元体力的合力在x和y方向的分量。 对所有单元建立静力平衡方程,可得到静力平衡方程组:
[KS]{N}+{F}=0。(2)
式中:[KS]为系数矩阵;{N}为单元边界作用的法向力列向量;{F}为已知列向量。
边坡稳定性分析过程中安全系数是待求量, 要在安全系数不同取值时使方程组(2)恒满足, 需引进附加力参与静力平衡分析。设附加力为作用在边界上的虚拟平衡力P(见图1),由此可得到包括虚拟平衡力P在内的静力平衡方程组。 对图2中所示的仅2个任意三角形单元的边坡问题, 经推导可得到在任意粘结力ccal和内摩擦因数fcal时, 静力平衡条件要求作用在边12[TX-]上的平衡的力P满足:
图 2 2个任意三角形单元的边坡示意图
Fig. 2 Diagram of slope problem with two elements
式中:
X1和Y1分别为单元1体力在x和y方向的分量;X2和Y2分别为单元2体力在x和y方向的分量;ccal和fcal分别为粘结力和内摩擦因数的计算值。
设边坡岩土介质的粘结力和内摩擦因数分别为c和f, 则边坡的安全系数Fs可定义为:
Fs=c/ccal;(4)
Fs=f/fcal。(5)
将式(4)和式(5)代入式(3), 得到由安全系数表示的平衡力P:
P=Φ(Fs,c,f)。(6)
分析式(3),(4)和(5)得到该2个单元边坡问题(见图3)的安全系数与虚拟平衡力P间的关系曲线(见图4)。结果表明:平衡力与安全系数间有比较复杂的对应关系, 随着安全系数的增加, 平衡力振荡变化,并出现较大的峰值;当安全系数大于0.5后, 平衡力P随安全系数的增加而单调地减小(见图5), 趋于一稳定值, 即边坡的安全系数。取容重γ=0.027 MPa/m,粘结力c=0.01 MPa,内摩擦因数f=0.7。
图 3 2个单元计算模型
Fig. 3 Numerical model with two elements
图 4 2个计算单元模型的边坡安全系数Fs与虚拟平衡力P间的关系曲线
Fig. 4 Curve of safety factor and fictitious equilibrium force with two elements
对于图6所示的3个单元边坡问题, 同理可以推导出在任意粘结力c和内摩擦因数f条件下,作用的虚拟平衡力P的表达式。与2个单元情况类似, 当安全系数增加时,作用的平衡力振荡变化(见图7), 局部急剧变化达到峰值;当安全系数大于某一定值后, 平衡力P随安全系数的增加而单调地减小(见图8),最后趋于边坡的安全系数。
图 5 边坡安全系数Fs与虚拟平衡力P间的关系曲线局部放大图
Fig. 5 Diagram of partial curve of safety factor and fictitious equilibrium force with two elements
图 6 3个单元计算模型
Fig. 6 Numerical model with three elements
图 7 3个计算单元模型的边坡安全系数Fs与虚拟平衡力P间的关系曲线
Fig. 7 Curve of safety factor and fictitious equilibrium force with three elements
图 8 边坡安全系数Fs与虚拟平衡力P间的关系曲线局部放大图
Fig. 8 Diagram of partial curve of safety factor and fictitious equilibrium force with three elements
2 安全系数的迭代求解
当边坡坡顶无外载作用时, 在给定破坏模式下,边坡的安全系数为对应平衡力P为零时Fs的值。令式(3)中P=0, 得到:
可见,式(7)为关于Fs的非线性方程。在单元较少时, 对推导得到的类似显式可直接调用标准计算机程序求解非线性方程;当单元较多时, 难以得到Fs的解析式。此时,将方程(7)写成迭代求解形式,有:
Φ[(Fs)i]+Φ[(Fs)i-1]=0。(8)
其中:
或写成:
Φ[(Fs)i]=-Φ[(Fs)i-1]。(9)
迭代方程(9)中i-1和i分别表示Fs的第i-1次和第i次迭代计算。当i=1时, 要求给定安全系数的初始值(Fs)0,如取为1。设给定一足够小的正数ε,当安全系数Fs在第i次和第i-1次迭代中求得的值满足:
认为迭代达到给定的精度,迭代过程完成,即得所要求的边坡安全系数。
对1个有多台阶的边坡, 假设该边坡的危险滑动面如图9所示, 在给定破坏模式下令平衡力P为零, 迭代求解边坡安全系数, 取初始安全系数为1, 迭代求解的次数与安全系数间的关系曲线见图10。结果表明, 在迭代次数大于10 后, 安全系数逐步趋于稳定值。 图11所示为取不同初始安全系数时, 迭代求解次数与安全系数间的关系曲线。可以看出, 当迭代次数小于10时, 安全系数均震荡变化;当迭代次数大于10 后, 安全系数逐步趋于稳定。
图 9 多台阶边坡计算模型
Fig. 9 Numerical model for a open pillar mine
图 10 迭代求解次数n与安全系数Fs间的关系曲线
Fig. 10 Curve of iterative times and safety factor
图 11 不同初始安全系数时迭代求解次数n与安全系数Fs间的关系曲线
Fig. 11 Curves of iterative times and safety factor for different initial values
3 结 语
a. 引进虚拟的作用在单元边界上的平衡力参与分析任意分条条件下的边坡稳定性, 结果表明, 平衡力的大小与安全系数间有比较复杂的对应关系, 但当安全系数大于某一值后,平衡力随安全系数的增加而单调地减小。
b. 引进平衡力分析任意分条条件下的边坡稳定性, 在边坡坡顶无外载的条件下, 边坡的安全系数为平衡力为零时的值, 安全系数可以通过迭代求解的方式实现;迭代求解过程收敛速度快,迭代次数一般小于20。
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收稿日期:2004-06-10
基金项目:国家自然科学基金资助项目(50274074)
作者简介:曹 平(1959-),男,湖南祁东人,教授,博士,从事岩土力学与工程的理论及其应用研究
论文联系人: 曹 平,男,教授,博士;电话:0731-8879263(H)
