DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.07.032

基于振动频率法的斜拉桥索力测试影响因素

吉伯海¹，程苗¹，傅中秋¹，陈雄飞²，孙媛媛¹

(1. 河海大学 土木与交通学院，江苏 南京，210098；

2. 江苏扬子大桥股份有限公司，江苏 南京，210004)

摘 要：

，研究拉索自身参数和外界条件对拉索基频的影响。运用拉索静力平衡振动方程，推导考虑阻尼的拉索振动基频计算方法，研究拉索垂度和抗弯刚度对基频计算的影响范围。通过数值计算，分析阻尼器、梁体振动和温度变化等外界条件对基频计算的影响规律，提出斜拉桥索力测试和基频计算建议。研究结果表明：当反映垂度影响的量λ²≤0.9，不可忽略垂度的影响；当反映抗弯刚度影响的量0≤ξ≤210，不可忽略抗弯刚度的影响。拉索安装阻尼器将导致索基频增加，阻尼器安装越远离锚固端对基频的影响越大；拉索越长和直径越小，阻尼器对基频影响也越大。斜拉桥梁体振动时进行索力测试，拉索的基频存在动态波动；拉索温度越高，基频越小。建议选取车流较少、温度稳定的环境进行索力测试以获得较准确的基频。

关键词：

斜拉桥；振动频率法；索力测试；基频；

中图分类号：U448.27             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2015)07-2620-06

Influential factors in cable force measurement of cable-stayed bridges based on vibration frequency method

JI Bohai¹, CHENG Miao¹, FU Zhongqiu¹, CHEN Xiongfei², SUN Yuanyuan¹

(1. College of Civil and Transportation Engineering, Hohai University, Nanjing 210098, China;

2. Jiangsu Yangtze River Bridge Ltd, Nanjing 210004, China)

Abstract: Based on the method of vibration frequency, the influence of cable parameters and external factors on cable fundamental frequency was studied. Calculation method of fundamental frequency was deduced with the static vibration equation equilibrium. And the influential range of cable sag and bending stiffness toward the calculation of the fundamental frequency was studied. Through numerical calculation, the influence of external factors was also analyzed, including damper, beam vibration and temperature variation. Suggestions for cable tension test and calculating fundamental frequency were proposed. The results show that the influence of cable sag can not be ignored when the quantity reacting cable sag λ²≤0.9 and that the influence of cable bending stiffness should be considered when the quantity reacting cable bending stiffness 0≤ξ≤210. The damper on the cable can increase the fundamental frequency. It has greater influence on fundamental frequency when the damper is set further to the anchoring section. And the longer and smaller dimension of the cable is, the more obvious influence damper has on the fundamental frequency. The vibration of beam causes the dynamic fluctuation of fundamental frequency when the testing work is done. Higher temperature causes testing results of larger fundamental frequency. So, a more accurate value of fundamental frequency can be got when the testing work was done under a small traffic flow and stable temperature environment.

Key words: cable stayed bridge; vibration frequency method; cable force measurement; fundamental frequency

斜拉桥属于高次超静定结构，其索力对结构的影响较为敏感，拉索索力的变化会影响主梁及索塔的内力变化。索张拉结构施工过程中，必须准确测量拉索张力以保证工程安全和施工控制的顺利进行^[1]。后期运营过程中，拉索往往由于腐蚀和振动等原因受到损害，导致拉索松弛和损伤，索力将发生变化^[2]。作为张拉结构的重要构件，拉索的损害将会给结构带来严重的后果。无论是使调索后桥梁与竣工时工作状态保持一致，还是通过索力调整对桥梁状态进行改善^[3-4]，都必须以较精确索力测量为前提。如何精确进行索力测试，已成为影响斜拉桥设计、施工及日后维护的关键因素。振动频率法的原理是基于拉索的固有振动频率与索力存在固定的数学关系，当测量到拉索的固有振动频率后，即可通过数学方法计算出其索力。振动频率法的优点是动态响应好和便于安装，是目前最有优势的索力测试方法，因此在实际索力测试中运用最为广泛^[5-6]。国内外学者基于不同的理论和边界条件，对振动频率法的拉索基频计算进行了深入的研究^[7]。但振动频率法属于间接测量方法，测试结果与垂度或刚度以及边界条件有关^[8-10]，外部因素也可能会影响到测试结果准确性^[11]。目前振动频率法在实际工程中存在计算精度不高，且数据处理较复杂，外部因素的影响研究不够全面等问题^[12]。本文作者基于拉索静力平衡方程，推导了考虑阻尼情况下的基频计算方法，分析了垂度和刚度对拉索振动基频计算的影响，并研究了阻尼器、梁体振动、温度变化等外部因素对拉索基频的影响。

1  拉索参数对基频的影响

1.1  考虑阻尼器的拉索振动方程

假设拉索在静力平衡位置微幅振动方程为^[13]

 (1)

式中：E_I为抗弯刚度；为拉索振动产生的竖向位移；为拉索自重产生的竖向位移；H为水平拉索索力；h为由于振动所产生的水平附加索力；为单位长度的弹性参数；为单位长度的阻尼参数；m为单位长度的质量；t为振动对应的时间；x为拉索横向坐标值。

由于同一根拉索的截面通常是相同的，故在考虑阻尼情况下，振动方程可简化为

   (2)

Mehrabi等^[13]在1998年推导了不考虑阻尼的基频计算方法。参照类似的方法(为了说明表达式中个字母代表意义，推导过程与文献存在部分重复性)，考虑阻尼的情况下，在式(2)的基础上拉索振动基频计算方法推导。

假设拉索的曲线为，其中L为拉索直线投影长度；d为拉索直径；g为重力加速度。

             (3)

将式(3)代入式(2)得：

   (4)

考虑位移为，其中q是与时间有关的参数，定义q为，，得

 (5)

由于振动所产生的水平附加索力为

               (6)

其中：； ；为振动频率；l为拉索实际长度；A为截面积。

将式(6)进行整理，同时对其分离变量得

           (7)

为了方便下面的分析，引进反映垂度影响的量，  ，代入式(5)得

    (8)

引入与拉索划分单元节点对应的矩阵，。同时引进反映抗弯刚度影响的量， 。则式(8)可化为

       (9)

其中：B为元素都为1的矩阵；I为单位矩阵；a=L/N即为单元质量；N为拉索的单元数，n=N-1。

因此，式(9)成为

   (10)

代入，得：

        (11)

可以通过解式(11)矩阵特征值，即可以解出，进而解出。通过ω=2πf和g，在已知假定索力的基础上推算出与之相对应的基频，可得到相关参数与基频的对应关系。

1.2  拉索参数对基频的影响范围

弦理论假设拉索为一根张紧弦，忽略拉索的抗弯刚度和垂度，数学计算公式为

              (12)

其中：f是拉索的基频；H是索的拉力；m是索的线密度；l是拉索长度。

以弦理论计算基频为不考虑刚度和垂度的结果，以振动频率法计算基频为考虑刚度和垂度的结果，通过对比二者差别，分析考虑刚度和垂度的影响。定义振动频率法计算基频与弦理论计算基频之比为基频比R。以式(11)振动频率法计算基频为精确值，通过基频比随λ和ξ变化规律，分析垂度和刚度对基频计算的影响。图1所示为基频比的关系图，X轴和Y轴分别为拉索反映垂度和抗弯刚度影响的量，Z轴为考虑垂度和抗弯刚度时的基频与弦理论的基频比。

图1所示结果与Mehrabi和Tabatabai得到的计算结果类似^[1]。但文献[1]中定性认为：当λ²≥1时不可忽略垂度的影响，当0≤ξ≤100时不可忽略抗弯刚度的影响。结合文献研究结果和本文计算结果，按照基频比±5%为标准，认为基频比超过5%不可忽略影响。由图1可知：按照此标准，当λ²≥0.9或0≤ξ≤210时基频比值超过5%。即本文认为，当λ²≥0.9时不可忽略垂度的影响，当0≤ξ≤210时不可忽略抗弯刚度的影响。

图1  垂度和抗弯刚度对基频的影响

Fig. 1  Influence of sag and bending stiffness on fundamental frequency

2005年，任伟新等^[14]通过能量法推导了垂度和抗弯刚度对拉索索力计算的实用计算公式，并将影响范围分别划定为0.17＜λ²＜4π²和0≤ξ≤210，其中抗弯刚度的影响范围与本文设定的一致，但由于两者推导公式时采用的方法不同及所选精度不一样，从而导致垂度的影响范围略有差别。

2  外界条件对基频的影响

2.1  阻尼器的影响

对索力基频计算影响因素进行有限元分析，斜拉索采用LINK10单元进行模拟，划分100个单元，约束两端X，Y和Z方向的位移和转角。针对液体黏滞阻尼器，采用COMBIN14单元进行模拟，阻尼器安放的位置考虑为垂直。运用等效弹性模量法修正斜拉索弹性模量，体现斜拉索的非线性行为。等效弹性模量有割线弹性模量和切线弹性模量2种，在有限元模型中，垂度对拉索的非线性影响最大，采用Ernst公式来修正拉索弹性模量^[15]，以反映拉索垂度效应，修正后的弹性模量为

          (13)

其中：E_eq为拉索考虑垂度影响的修正弹性模量；E为拉索弹性模量；l_c为拉索的水平投影长度；为拉索的应力。

对4种常用规格的拉索进行模拟，分别为PES7-139，PES7-187，PES7-241和PES7-283，对应的截面直径分别为112，127，142和152 mm。拉索容重为7.938×10⁴ N/m³，弹性模量为195 GPa，斜拉索的方向角为30°，拉索长度为L，初始索力设定为3 345 kN。阻尼器的阻尼系数为2×10⁵ N·s/m，阻尼器距锚固端距离为X_d。分别考虑了2种工况：X_d/L=0.06和X_d/L=0.03。

定义R_d为考虑阻尼与不考虑阻尼的基频比值，图2所示为R_d与索长的关系图。由图2可知：R_d均大于1，说明安装阻尼器后拉索的基频有所增加，其原因是拉索安装阻尼器后其自由长度缩短^[16]，振动频率会提高。与X_d/L=0.03工况相比，阻尼器安装在X_d/L=0.06工况下对拉索的基频影响更大。即索力一定时，阻尼器越远离锚固端，对拉索基频的影响越大；当阻尼器安装位置一定时，阻尼器对长索的基频影响比短索的大。但安装阻尼器导致基频的增大幅度不明显，均在3%以内。由相同位置阻尼器对不同型号的拉索影响可以看出，阻尼器对直径较小的拉索影响比直径大的拉索影响要显著。

图2  阻尼器对基频比的影响

Fig. 2  Influence of damper on fundamental frequency ratio

2.2  梁体振动的影响

选取某主跨648 m的双塔钢箱梁斜拉桥作为模型进行有限元分析，有限元模型如图3所示。针对该桥的其中最长和最短的2根索计算结果进行了分析，其参数如表1所示。

图3  梁体振动分析模型

Fig. 3  Analysis model of vibration of beam

表1  分析模型中拉索参数

Table 1  Cable parameters in analysis model

根据大桥收费站所统计的车辆数据进行随机车辆荷载模拟，作为计算荷载^[17]。根据计算结果，提取计算结果的150 s内的梁体位移，将梁体位移作为拉索有限元模型的外荷载激励，计算得到拉索150 s内的基频时程曲线，如图4所示。

由图4可以看出：梁体振动对基频的结果存在较明显影响，最大基频与最小基频相差约9%。因此在实桥索力测试时，应尽量选取交通量较小的时间段，以便获取的基频与实际基频更为接近。

2.3  温度的影响

与阻尼影响分析类似，对PES7-139，PES7-187，PES7-241和PES7-283这4种拉索进行模拟。斜拉索初始条件与阻尼器影响分析中设定条件相同。常温设置为20 ℃，钢绞线热膨胀系数为15.669 2×10^-6 /℃。对比温度为-15 ℃和50 ℃的基频计算结果，进行温度对基频的影响分析。

图4  拉索索端激励时程曲线与基频时程曲线

Fig. 4  Time-history curve of cable end’s vibration exciting and cable’s fundamental frequency

温度变化会引起斜拉索的初始索力和索长变化，通过索力和索长的变化量进行弹模修正。其初始索力和索长的变化量分别为：

            (14)

             (15)

其中：△H为拉索初始拉力变化量；为线膨胀系数；E为材料弹模；A为截面积；△t为温度变化量；△L为长度变化量；L为拉索原长度。

定义R_t为某温度情况下基频与常温下的基频比，图5所示为R_t与索长的关系图。由图5可知，温度为50 ℃，R_t均小于1，温度为-15 ℃，R_t均大于1。这说明温度对斜拉索的基频是有影响的，即温度越高，基频越小。温度为50 ℃时的基频比常温时基频降低4%~5%，而温度为-15 ℃时的基频比常温时的基频提高5%~6%。故在实桥索力测试时，应选择温度变化较小的时间段。

图5  考虑温度时拉索的基频比与索长关系图

Fig. 5  Relationship between cable’s fundamental frequency ratio and length considering temperature

3  结论

1) 基于拉索静力振动平衡方程，推导了基频计算方法，通过假定索力推算出与之相对应的拉索振动基频值，可得到相关参数与基频的对应关系。

2) 应用振动频率法测试索力计算拉索基频时，当反映垂度影响的量λ²≤0.9，则不可忽略垂度的影响；当反映抗弯刚度影响的量0≤ξ≤210，则不可忽略抗弯刚度的影响。

3) 拉索安装阻尼器导致索基频增加，阻尼器安装在离锚固端越远，对基频的影响越大；拉索越长和直径越小，阻尼器对基频影响也越大。

4) 斜拉桥梁体振动时进行索力测试，拉索的基频存在动态波动；温度高低影响索力测试结果，拉索温度越高，基频越小。建议选取车流较少、温度稳定的环境进行索力测试以获得较准确的基频。

参考文献：

[1] 张柳煜, 刘来君, 杨利峰. 支架现浇大曲率斜拉桥初始索力确定方法[J]. 中国公路学报, 2010, 23(3): 58-63.

ZHANG Liuyu, LIU Laijun, YANG Lifeng. Method of determining initial cable forces for large curvature cable-stayed bridge with full framing cast-in-place[J]. China Journal of Highway and Transport, 2010, 23(3): 58-63.

[2] Hassan M M, Nassef A O, El Damatty A A. Surrogate function of post-tensioning cable forces for cable-stayed bridges[J]. Advances in Structural Engineering,2013, 16(3): 559-578.

[3] 陈辉. 运营状态下南京长江二桥拉索索力测试与分析[J]. 公路, 2009(10): 1-5.

CHEN Hui. Real time measurement and analysis of cable force for second Nanjing Yangtze River Bridge[J]. Highway, 2009(10): 1-5.

[4] Kangas S, Helmicki A, Hunt V, et al. Cable-stayed bridges: Case study for ambient vibration-based cable tension estimation[J]. Journal of Bridge Engineering, 2012, 17(6): 839-846.

[5] 魏建东, 刘山洪. 基于拉索静态线形的索力测定[J]. 工程力学, 2003, 20(3): 104-107.

WEI Jiandong, LIU Shanhong. Tension calculation of cable bye its static profile[J]. Engineering Mechanics, 2003, 20(3): 104-107.

[6] Liao W Y, Ni Y Q, Zheng G. Tension force and structural parameter identification of bridge cables[J]. Advances in Structural Engineering,2012,15(6): 983-995.

[7] Choi D H, Park W S. Tension force estimation of extradosed bridge cables oscillating nonlinearly under gravity effects[J]. International Journal of Steel Structures, 2011, 11(3): 383-394.

[8] 唐盛华, 方志, 杨索. 考虑边界条件的频率法测索力实用公式[J]. 湖南大学学报(自然科学版), 2012, 39(8): 7-13.

TANG Shenhua, FANG Zhi, YANG Suo. Practical formula for the estimation of cable tension in frequency method considering the effects of boundary conditions[J]. Journal of Hunan University (Natural Sciences), 2012, 39(8): 7-13.

[9] 刘文峰, 应怀樵, 柳春图. 考虑刚度及边界条件的索力精确求解[J]. 振动与冲击, 2003, 22(4): 12-14, 25.

LIU Wenfeng, YING Huaiqiao, LIU Chuntu. Precise solution of cable tensile force in consideration of cable stiffness and its boundary conditions[J]. Journal of Vibration and Shock, 2003, 22(4):12-14, 25.

[10] Fang Z, Wang J Q. Practical formula for cable tension estimation by vibration method[J]. Journal of Bridge Engineering, 2012, 17(1): 161-164.

[11] 王朝华, 李国蔚, 何祖发, 等. 斜拉桥索力测量的影响因素分析[J]. 世界桥梁, 2004(3): 64-67.

WANG Chaohua, LI Guowei, HE Zufa, et al. Analysis of influential factors in cable force measurement of cable-stayed bridges[J]. World Bridges, 2004(3): 64-67.

[12] 侯俊明, 彭晓彬, 叶方才. 斜拉索索力的温度敏感性[J]. 长安大学学报(自然科学版), 2002, 22(4): 34-36.

HOU Junming, PENG Xiaobin, YE Fangcai. Temperature effect on cable’s forces controlling of cable-stayed bridge[J]. Journal of Chang’an University (Natural Science Edition), 2002, 22(4): 34-36.

[13] Mehrabi A B, Tabatabai H. A unified finite difference formulation for free vibration of cables[J]. Journal of Structural Engineering, ASCE, 1998, 124(11): 1313-1322

[14] 任伟新, 陈刚. 由基频计算拉索索力的实用公式[J]. 土木工程学报, 2005, 38(11): 26-31.

REN Weixin, CHEN Gang. Practical formulas to determine cable tension by using cable fundamental frequency[J]. China Civil Engineering Journal, 2005, 38(11): 26-31.

[15] 梁立农, 韩大建. 索的非线性有限元与调索方法研究[J]. 工程力学, 2007, 24(11): 1-7.

LIANG Linong, HAN Dajian. A study on nonlinear finite element analysis for cable and adjustment method of cable forces[J]. Engineering Mechanics, 2007, 24(11): 1-7.

[16] 毛亚娜, 刘世忠, 叶丹. 基于频率法对系杆拱桥吊杆索力测试的分析[J]. 兰州交通大学学报, 2010, 29(1): 124-128.

MAO Yana, LIU Shizhong, YE Dan. Analysis of determining suspender tension of tied-arch bridges based on frequency method[J]. Journal of Lanzhou Jiaotong University, 2010, 29(1): 124-128.

[17] JI Bohai, CHEN Donghua, MA Lin, et al. Research on stress spectrum of steel decks in suspension bridge considering measured traffic flow[J]. Journal of Performance of Constructed Facilities, 2012, 26(1): 65-75.

(编辑  杨幼平)

收稿日期：2014-07-04；修回日期：2014-10-02

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51278166)；高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(20120094110009) (Project(51278166) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(20120094110009) supported by Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education of China)

通信作者：吉伯海，博士，教授，博士生导师，从事钢桥疲劳与维护方面研究；E-mail: hhbhji@163.com

摘要：基于振动频率法，研究拉索自身参数和外界条件对拉索基频的影响。运用拉索静力平衡振动方程，推导考虑阻尼的拉索振动基频计算方法，研究拉索垂度和抗弯刚度对基频计算的影响范围。通过数值计算，分析阻尼器、梁体振动和温度变化等外界条件对基频计算的影响规律，提出斜拉桥索力测试和基频计算建议。研究结果表明：当反映垂度影响的量λ²≤0.9，不可忽略垂度的影响；当反映抗弯刚度影响的量0≤ξ≤210，不可忽略抗弯刚度的影响。拉索安装阻尼器将导致索基频增加，阻尼器安装越远离锚固端对基频的影响越大；拉索越长和直径越小，阻尼器对基频影响也越大。斜拉桥梁体振动时进行索力测试，拉索的基频存在动态波动；拉索温度越高，基频越小。建议选取车流较少、温度稳定的环境进行索力测试以获得较准确的基频。