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参考文献

摘要
1金属板材弹性各向异性的计算方法
2实验方法
3结果与讨论
参考文献
图▲

图1 热轧工业钛板的ODFs (φ2截面, L=22)

图2 热轧工业钛板弹性模量的变化 (按照Voigt, Reuss和Hill平均法计算)

表▲

表1 六方晶体对称的级数展开系数 [4]

中国有色金属学报

DOI:10.19476/j.ysxb.1004.0609.2000.02.016

六方结构金属板材弹性的计算法

王超群商顺利王宁

北京有色金属研究总院!北京100088

摘要：

具有六方结构的金属板材呈现较强的物理和力学性能各向异性 , 尤其是钛及其合金呈现的弹性各向异性 , 其轧向与横向的弹性模量差异较大。根据Bunge等人的三维取向分布函数 (ODF) , 由单晶弹性系数和少量有限的织构系数如直至四阶的C系数 , 简便地计算了低对称六方结构的板材的弹性。钛及其合金板材弹性的理论计算结果与实测数值相吻合 , 钛合金板材的弹性各向异性是由织构产生的 , 具有 { 1 2 1 5}〈1 0 1 0〉织构的钛板材的横向弹性模量为 1 1 6GPa, 大于轧向的弹性模量 (1 0 8GPa)

关键词：

六方金属板材;弹性;织构;极图;ODF;

中图分类号： TG113

收稿日期：1999-01-19

Calculation of elastic properties of metals and alloys with a hexagonal structure

Abstract：

The presence of texture was known to cause anisotropy of elastic properties of polycrystalline materials with a hexagonal structure. By using texture coefficients and elastic constant of single crystal, the elastic property of polycrystalline plate can be calculated. The present calculation method has been applied to predicting elastic modulus for a rolled titanium sheet and the results are consistent well with experimental ones.

Keyword：

hexagonal metallic plate; elasticity; texture; pole figure; ODFs;

Received： 1999-01-19

具有低对称六方结构的金属晶体, 其物理和力学性能呈强的各向异性, 如弹性模量绕C轴呈对称分布, C轴方向的弹性模量 (143.3 GPa) 远大于底面各方向的弹性模量 (104.4 GPa) 。因此只要建立弹性模量E的方向分布与C轴织构的方向分布之间的关系, 通过板材的织构测定, 就可以计算合金板材的弹性模量, 并可通过合金化、加工与热处理工艺的调整, 有目的地控制织构与弹性各向异性, 以满足实际使用的要求。人们一般采用反极图或极图法, 由单晶弹性数据, 结合极密度加权平均, 计算多晶金属板材的弹性 ^[1] , 然而反极图与极图法均为二维的, 且在织构测量时需要叠片制样, 既费时又不精确。为此, Bunge ^[2] , Morris ^[3] 和ZUO ^[4] 等人发展了一种以三维取向分布函数 (ODF) 为基础的新方法, 根据单晶弹性数据和少量有限的织构系数 (至四阶的C系数) , 便可简捷地计算六方织构板材的弹性向各异性。其中根据Voigt-Reuss-Hill等的平均法, 结合织构加权函数, 对含磷深冲钢板以及六方Zn板的弹性计算已取得很好的结果, 但对钛合金板材尚未见报道。为此本文将主要采用ZUO ^[4] 的方法计算织构钛合金板材的弹性模量, 并讨论了几种方法的一致性。

1金属板材弹性各向异性的计算方法

1.1多晶材料的弹性性质

上面已扼要介绍了在一定的假设条件下, 通过相应的平均方法, 能够从单晶的数据计算多晶材料的弹性性质。 Voigt平均法系假设多晶体内的所有晶粒的应变增量相等, 而Reuss平均法则假设在整个试样中应力均匀分布。 Hill ^[5,6] 认为这两种模型均不真实, 因为在恒应变模型中, 相邻晶粒之间的应力难以平衡, 而在恒应力模型中, 晶粒的畸变在晶界上不能连续。 Hill指出根据Voigt研究的弹性模量要大于根据Reuss所得的结果, 正确的数值应处于两者之间。 Bunge ^[7] 也指出在单轴拉伸下, Voigt近似对于铅笔型晶粒组成的多晶体结构是正确的, 而Reuss近似则对于片状晶组成的多晶体是合理的。因此真实的计算模型应是Hill近似, 即由晶粒形状因子m作为加权值, 对于等轴晶的多晶体m=0.5。 Bunge将Voigt-Reuss-Hill近似法推广应用于具有立方晶系数的织构多晶材料。 Morris ^[3] 则发展了一种利用织构加权函数的平均四阶张量法, 该法适用于正交晶系和更高的晶系 (四方、六方和立方系) 多晶板材的弹性计算。近年来Bunge ^[2] , ZUO ^[4] 和LI ^[8] 等人也就六方结构金属的弹性进行了计算, 其中ZUO, Morris等人对多晶弹性的Voigt-Reuss-Hill近似法给出了普遍解 ^[4,9,10] 。本文将主要介绍这种方法并将其用于钛及其合金板材的弹性测算。

1.2六方结构金属板材的弹性计算方法原理 [4]

作为一级近似, 多晶材料弹性的平均值

$\overset{?}{E}_{i j k l} = \oint E_{i j k l} ? f (g) d g = \overset{?}{Τ}_{i j k l o p q r}$ ·E_opqr (1)

式中 $\overset{?}{Τ}_{i j k l o p q r}$ 为织构因子, E_opqr为四阶弹性张量分量, f (g) 为晶体取向分布函数, 其中E_ijkl是劲度量或顺度张量。

对于六方晶系, 考虑到晶体对称性以及应力、应变张量的对称性, E_opqr只有5个独立分量即E₁₁₁₁, E₁₁₂₂, E₁₁₃₃, E₂₃₂₃和E₃₃₃₃, 因此

$\begin{array}{l} \overset{?}{E}_{i j k l} = \overset{?}{Τ}_{i j k l 1111} ? E_{1111} + \overset{?}{Τ}_{i j k l 1122} ? E_{1122} + \\ \overset{?}{Τ}_{i j k l 1133} ? E_{1133} + \overset{?}{Τ}_{i j k l 3333} ? E_{3333} + \\ \overset{?}{Τ}_{i j k l 2323} ? E_{2323} ? ? ? (2) \end{array}$

式中 $\overset{?}{Τ}_{i j k l o p q r}$ 是对四阶弹性张量E_opqr为独立的T_ijklopqr的线性组合, 只有15个 $\overset{?}{Τ}_{i j k l o p q r}$ 独立, 它们的系数e $_{L^{'} i j k l o p q r}^{n^{'}}$ =a_{L′n′ijklopqr}+ib_{L′n′ijklopqr}列于表1中。为方便起见用T_uvst表示 $\overset{?}{Τ}_{i j k l o p q r}$ , 线性独立T_uvst的关系见文献 [ 4] 。

对于板材试样, 当拉伸坐标系 (O-xyz) 相对于试样坐标系 (通常取轧向-横向-板面法向) 的取向为{α, 0, 0}, 则

$\begin{array}{l} \overset{?}{Τ}_{u v s t {α ? 0 ? 0}} = \sum_{l = 0 (2)}^{4} \sum_{n = - L}^{+ L} [4 π (2 L + 1)]^{- 1 / 2} ? \\ C_{L}^{1 n} e_{L}^{* n} (u v s t) ? \exp (i n α) ? ? ? (3) \end{array}$

由式 (3) 可见, 织构因子的计算和平均弹性张量的计算只需要测算至四阶的织构系数C¹ⁿ_L, 而e $_{L}^{* n}$ 是纯数学量, a_L′n′, b_L′n′可查表1。

实际计算如下:

例如, 根据Reuss平均法, $\overset{?}{S}_{1111}^{R}$ 的计算如式 (4) 。

$\begin{array}{l} \overset{?}{S}_{1111}^{R} = \overset{?}{Τ}_{1111} S_{1111} + \overset{?}{Τ}_{1112} S_{1122} + \overset{?}{Τ}_{1113} S_{1133} + \\ \overset{?}{Τ}_{3333} S_{3333} + \overset{?}{Τ}_{1144} S_{2323} ? ? ? (4) \end{array}$

根据与T_uvst线性相关的计算关系 ^[4] , 有

$\begin{array}{l} Τ_{1112} = 0, Τ_{1113} = 2 Τ_{1211} + 2 Τ_{1311} ? \\ Τ_{1133} = 1 - Τ_{1111} - 2 Τ_{1211} - 2 Τ_{1311} ? \\ Τ_{1144} = 4 Τ_{1211} + 4 Τ_{1311} \end{array}} ? ? ? (5)$

因此式 (4) 变为

$\begin{array}{l} \overset{?}{S}_{1111}^{R} = \overset{?}{Τ}_{1111} S_{1111} + \overset{?}{Τ}_{1113} S_{1133} + \\ \overset{?}{Τ}_{1133} S_{3333} + \overset{?}{Τ}_{1144} S_{2323} ? ? ? (6) \end{array}$

其中只有织构因子 $\overset{?}{Τ}_{1111} ? \overset{?}{Τ}_{1211}$ 及 $\overset{?}{Τ}_{1311}$ 待算。它们的计算式可写成

$\overset{?}{Τ}_{u v s t} {α ? 0 ? 0} = a_{00} + \frac{1}{\sqrt{5 π}} (a_{20} C_{2}^{10} +$

$\begin{array}{l} a_{22} C_{2}^{12} \cos ? 2 α) + \\ \frac{1}{6 \sqrt{π}} (a_{40} C_{4}^{10} + \\ a_{42} C_{4}^{12} \cos \end{array}$

2α+a₄₄C $_{4}^{14}$ cos 4α) (7)

式中 $a_{00} = (2 \sqrt{π})^{- 1} ? a_{00} = 8 / 15$ (对于 $\overset{?}{Τ}_{1111})$ , 而对于其它的织构因子, T₁₂₁₁及T₁₃₁₁的a₀₀, a₂₀, a₂₂, a₄₀, a₄₂和a₄₄可查表1。

表1 六方晶体对称的级数展开系数 [4]

Table 1 Series expansion coefficients e $_{L^{'}}^{n^{'}}$ (uvst) =α_L′n′ (uvst) +ib_L′n′ (uvst) for hexagonal crystal symmetry

L′n′ (uvst)	a_L′n′ (uvst)									b_L′n′ (uvst)
L′n′ (uvst)	00 B₀×	20 B₁×	21 B₂×	22 B₂×	40 B₀×	41 B₁×	42 B₃×	43 B₄×	44 B₅×	21 B₂×	22 B₂×	41 B₁×	42 B₃×	43 B₄×	44 B₅×
1111	56	16		-8	3		-2		1
1211	7	-4			1				-1
1212	35	28
1311	7	2		1	-4		2
1411										1		-1		1
1511			4			3		-1
1611											4		1		-1
2211	56	16		8	3		2		1
2311	7	2		-1	-4		-2
2411										-4		-3		-1
2511			-1			1		1
2611											4		1		1
3411										-4		4
3511			4			-4
3611											-1		-2

B₀=2 (π) ^1/2/105; B₁= (5π) ^1/2/105; B₂= (30π) ^1/2/105; B₃= (10π) ^1/2/105; B₄= (35π) ^1/2/105; B₅= (70π) ^1/2/105

对于板材平面里的弹性模量 $\overset{?}{E} (α)$ 的变化可按下式计算:

$\overset{?}{E} (α) = \frac{1}{\overset{?}{S}_{(1111)}^{R} {α, 0, 0}} ? ? ? (8)$

对于Voigt平均法也可以进行类似的计算, 但E_opqr用劲度张量C_opqr替换。而Hill平均法可用下式计算:

$\begin{array}{l} \overset{?}{C}_{i j k l}^{Η} = [\overset{?}{C}_{i j k l}^{V} + (\overset{?}{S}_{i j k l}^{R})^{- 1}] / 2 \\ \overset{?}{S}_{i j k l}^{R} = [(\overset{?}{C}_{i j k l}^{V})^{- 1} + \overset{?}{S}_{i j k l}^{R}] / 2 \end{array} ? ? ? (9)$

式中 $(\overset{?}{S}_{i j k l}^{R})^{- 1}, (\overset{?}{C}_{i j k l}^{V})^{- 1}$ 分别是 $\overset{?}{S}_{i j k l}^{R} ? \overset{?}{C}_{i j k l}^{V}$ 的逆阵。

2实验方法

选用纯钛和高弹钛合金板材。在X′pert MRD衍射仪上, 用Cu靶, 40 kV, 40 mA, 石墨单色器和正比计数管, 测量了 (010) , (002) , (110) , (011) 和 (012) 极图, 步进Δα=Δβ=5 °, α扫测范围0 °～85 °, β范围为0 °～360 °, ODF计算的展开度L=22。

计算弹性模量时选用C $_{2}^{10}$ , C $_{2}^{12}$ , C $_{4}^{10}$ , C $_{4}^{12}$ 和C $_{4}^{14}$ 五个C系数, 而钛单晶的弹性常数用C₁₁₁₁=162.4 GPa, C₁₁₂₂=92.0 GPa, C₁₁₃₃=69 GPa, C₃₃₃₃=180.7 GPa和C₂₃₂₃=46.7 GPa; 并由式 (4) , (7) , (8) 和 (9) 计算Voigt-Reuss-Hill平均法的E (α) 值。

3结果与讨论

图1是热轧钛计算的ODF。将由ODF获得的C¹ⁿ₄和钛单晶的弹性常数代入式 (4) , (7) , (8) 和 (9) , 计算了Voigt, Reuss和Hill平均法的E (α) 值, 其结果如图2所示。由图2可见, 横向的弹性模量 (≈116 GPa) 大于轧向的弹性模量 (≈108 GPa) , 这与图1/图2的极图数据和ODF分析结果相吻合。由极图分析可知该板材的主要织构为 (0001) ±30 $° Ν D - Τ D ? 10 \overset{?}{1} 0 ?$ , 而由ODF分析可知主要的织构类型为 ${12 \overset{?}{1} 5} ? 10 \overset{?}{1} 0 ?$ , 因此轧向的杨氏模量偏低是可以理解的。轧向与横向弹性模量实际测量结果分别为107.7 GPa和116 GPa, 实验测试结果与理论预测相吻合。

无论是ZUO ^[4] , 还是Bunge ^[2] 的方法, 其计算方法是一致的。例如Bunge ^[2] 导出的Reuss平均法的表达式为

$\begin{array}{l} \overset{?}{E}^{R} (α) = [\overset{?}{S}^{R} (α)]^{- 1} ? ? ? (10) \\ \overset{?}{S}^{R} (α) = S_{0} / 15 + S_{2} ? F_{2} (α) + S_{4} ? F_{4} (α) ? ? ? (11) \\ S_{0} = - 8 S_{11} + 3 S_{33} + 4 S_{13} + 2 S_{44} ? ? ? (12) \\ S_{2} = - 8 S_{11} + 6 S_{33} + 2 S_{13} + S_{44} ? ? ? (13) \\ S_{4} = S_{11} + S_{33} - S_{13} - S_{44} ? ? ? (14) \end{array}$

将式 (12) , (13) 和 (14) 代入式 (11) 可得 (用4位数字标记)

$\begin{array}{l} \overset{?}{S}^{R} (α) = \frac{8}{15} S_{1111} + \frac{3}{15} S_{3333} + \frac{4}{15} S_{1133} + \\ \frac{8}{15} S_{1313} + (- 8 S_{1111} + 6 S_{3333} + \\ 2 S_{1133} + 4 S_{1313}) ? F_{2} (α) + (S_{1111} + \\ S_{3333} - S_{1133} - 4 S_{1313}) F_{4} (α) ? ? ? (15) \end{array}$

而由式 (4) ZUO ^[4] 的结果, 即可以得

$\begin{array}{l} \overset{?}{S}^{R} (α) = \frac{8}{15} S_{1111} + \frac{3}{15} S_{3333} + \frac{4}{15} S_{1133} + \\ \frac{8}{15} S_{1313} + ? ? ? ? (16) \end{array}$

因此两者是一致的, 而由Bunge的F₂及F₄计算式:

$F_{2} (α) = \frac{4}{525} \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} C_{2}^{11} \overset{?}{Ρ}_{2}^{0} + C_{2}^{12} \overset{?}{Ρ}_{2}^{2} \cos$ 2α) (17)

图1 热轧工业钛板的ODFs (φ2截面, L=22)

Fig.1 ODFs of hot-rolled titanium plate (φ₂ section, L=22)

图2 热轧工业钛板弹性模量的变化 (按照Voigt, Reuss和Hill平均法计算)

Fig.2 Elastic modulus of hot rolled titanium plate (calculated according to V-R-S average) ○—Experimental values

$\begin{array}{l} ? ? F_{4} (α) = \frac{16}{945} [\frac{1}{\sqrt{2}} C_{2}^{11} \overset{?}{Ρ}_{4}^{0} + C_{2}^{12} \overset{?}{Ρ}_{4}^{2} \cos ? 2 α + \\ C_{2}^{14} \overset{?}{Ρ}_{4}^{4} \cos ? 4 α) ? ? ? (18) \end{array}$

式中 C $_{4}^{1 n}$ 为C系数, $\overset{?}{Ρ}_{2}^{n}$ 为连带勒让德多项式的傅氏系数, 可以进一步同ZUO的方法比较, 得出:

$\overset{?}{Ρ}_{2}^{0} = - 1.25 ? \overset{?}{Ρ}_{2}^{2} = 2.165 1 ? \overset{?}{Ρ}_{4}^{0} = 0.795 5 ? \overset{?}{Ρ}_{4}^{2} = - 1.185$ 9和 $\overset{?}{Ρ}_{4}^{4} = 1.568 7$ 。