边坡土体稳定性分析的数值流形方法

李奋强^1,2, 彭振斌¹, 卢敦华¹

(1.中南大学 地学与环境工程学院,湖南 长沙,410083;
2.湖南基础工程有限公司,湖南 株洲,412003)

摘 要：

壁)土体在未经支护前可能出现的变形趋势,采用数值流形方法,通过构造覆盖函数,将块体单元的形心位移与位移权函数有机结合起来,把每一个分割的块体视同为一个流形单元,通过权重函数来确定每一个块体单元在边坡流失时所起的作用即贡献值,依此来解析土体的应力-应变关系;应用弹塑性理论和参变量变分原理,建立了边坡(壁)土体变化趋势的状态方程,并给出了方程的求解过程。结合具体实例研究了地质体的应力-应变变化趋势。研究结果表明:利用块体单元的形心位移及其位移权函数能较好地反映边坡失稳瞬间所发生的应力释放、应力转移和应力重新分配的特征。
关键词: 边坡; 弹塑性理论; 数值流形方法; 状态方程; 参变量变分原理
中图分类号:P642.2 文献标识码:A 文章编号: 1672-7207(2005)01-0169-05

Numerical Manifold Method of Soil Slope Stability Analysis

Abstract: In order to understand the deformation tendency caused by soil slope before non-protection, numerical manifold method was used to constitute cover function which could combine center displacement of block element with its displacement weight function, treat each segmental unit as one manifold unit whose weight function could make its effect when soil slope was deformed, and analyzed the relationship between stress and strain in the soil. According to elastic-plastic theory and parametric variational principle, the state-equations of the deformation tendency for slope were found and the course which disposed of these state-equations was presented. According to a concrete case, the deformation tendency of all geologic body was calculated. The results indicate that this method can effectively reflect the characteristic whose stress would release and transfer and redistribute when soil slope deforms.
Key words: slope; elastic-plastic theory; numerical manifold method; state-equation; parametric variational principle 

由于土体的抗剪强度较低,抗拉强度几乎可以忽略,因而,天然土体只能以较小的高度直立。当土体的直立高度超过临界高度或坡顶有较大荷载,以及其他环境因素发生变化时, 土坡易失稳,同时其失稳破坏过程并不是瞬间便发生整体破坏,而是一个由局部破坏逐渐扩展以至贯通形成滑面的渐进过程^[1-4]。目前,边坡稳定分析方法大都建立在极限平衡理论基础上,广泛采用刚体极限平衡方法,该方法 在土坡稳定分析中又称条分法^[5-7]。在此,作者采用单元体的形心位移与位移权函数相结合的方法,用数值流形法和参变量变分原理对土坡的变形趋势进行探讨。由文献[1]可知,真实土的应力-应变关系是非线性的,并且具有弹塑性。在大多数情况下,土体的塑性流动服从非关联流动法则,如果采用增量迭代法进行弹塑性分析,所得到的弹塑性刚度矩阵是不对称的,这给求解带来困难。参变量变分原理将弹塑性分析问题转化为在屈服条件约束下求能量泛函的极值问题。采用该方法处理非关联流动问题十分方便,并且在每个增量步的计算中不需要弹塑性迭代。

1 模型的建立

块体单元法以块体形心处的刚体位移作为基本未知量,即用分片的刚体位移模式逼近实际位移场,在块体单元之间设“缝”单元,反映结构的物理性质^[7]。在此基础上,把每一个分割的块体视为一个流形单元,其位移函数是由该单元上各物理覆盖的位移函数加权得到的^[8,9],通过权重函数来确定块体单元在边坡失稳瞬间发生应力释放、应力转移和应力重新分配中所发挥的作用即贡献值。

假定计算范围内共有n块可动的块体单元,在外力作用下,其中第i块的单元位移为:

{δ_i}=[X_i Y_i Z_i θ_xi θ_yi θ_zi]T。(1)

式中:X_i,Y_i,Z_i分别为该块体单元在整体坐标系xyz中沿坐标轴x,y和z的平移; θ_xi,θ_yi和θ_zi分别为该块体单元在整体坐标系xyz中沿坐标轴x,y和z的平移绕坐标轴的转角。块体内任一点(x,y,z)的位移为:

x_ci,y_ci和z_ci为第i块体形心的整体坐标。

数值流形方法则采用分片光滑的位移函数将连续介质和非连续介质的力学问题有机地结合在一起。式(2)的位移函数可表述为^[3]:

式中:m为物理覆盖i上所定义的位移函数的项数;u_ij,v_ij和h_ij分别为物理覆盖i上第j个沿x方向、y方向和z方向的位移变量;s_ij(x,y,z)为物理覆盖i上的基本函数,其形式为幕函数。

若流形单元e由q个物理覆盖的交集构成,则该单元的总体位移为:

式中:w_e(i)为物理覆盖i上位移函数对单元e的位移贡献权值。设u_e(i)为构成流形单元e的物理覆盖i,同时满足:

则可将式(4)和式(2)表述为:

式(7)则为所要建立的块体单元变形趋势的位移方程。

2 方程的求解

参变量变分原理是将弹塑性问题转化为在屈服条件约束下求能量泛函的极值问题,采用该方法可方便地处理弹塑耦合材料的不可逆流动、摩擦接触物体间的非法向滑动等工程问题。其求解过程如下。
2.1 单元的约束控制方程

在某个给定时刻t,假定处于平衡的物体或结构Ω上各点的状态和变形为已知,在Ω内给定体力增量db,在边界S_p上给定面力增量dp[TX-],在边界S_u上给定位移增量du[TX-],则总边界S=S_p+S_u。

边界条件:

根据弹塑性理论^[2] ,其应力-应变关系为:

屈服条件为:

流动法则为:

D为弹性本构关系矩阵;g为塑性势函数;ε^p为塑性应变;f为加载函数;λ为待定的塑性流动比例因子(流动参数);k为反映变形历史的强化参数即硬化参数。

根据文献[2],本构关系式(10)~(13)可合并表述为:

式中:v为引入的原约束松驰变量,与λ互补,互补性条件为vλ=0,v≥0,λ≥0。

在数值计算中,将f(dε,λ)进行线性化近似:

式中:f⁰为屈服函数f(dε,λ)的初始值,即该增量步计算前屈服函数f(dε,λ)的值。

假定1个单元只有1种弹塑性状态,同时只服从1个屈服准则。设第e个单元的屈服准则是由m_fe个光滑的屈服(面)条件组成的(m_fe≥1),则根据式(14),第e个单元的弹塑性控制方程为:

2.2 系统的弹塑性势能

根据文献[2],可将系统的弹塑性势能定义为:

下面对该物体Ω进行有限元网格划分。设划分后单元总数为N_e,自由度数为N_u,同时又设只有N_p个单元为可能产生塑性状态的弹塑性单元(N_p≤N_e),则式(17)可表述为:

在增量数值流形方法中,变形分析是随时间分步计算的,每步计算出的应力、应变和位移均为该步的增量,所以, 每步的应变增量dε^e为:

将式(19)代入式(18),则离散化后弹塑性势能可表述为:

T^e_e和T^e_λ分别为总体位移未知量与单元位移未知量的转换矩阵、总体流动参数与单元流动参数的转换矩阵。
2.3 参变量变分原理求解

将式(19)代入式(16)中的第1式,对所有单元求和即可得到整体的约束控制方程^[2]:
C{U}-Vλ-d+v=0。(21)
其中:

由参变量变分原理可知,λ不直接参加变分,真实解应当使系统的弹塑势能对{U}的一阶导数为零,即对(20)式变分可得:

由式(21)和式(22),即可得到弹塑性问题的方程:

一般地,由于v与λ互补,先让λ=0,让v在基底,由(23)式可导出:

其中:I为单位阵, I∈R^N_u^×N_u; Φ₁=K^-1Φ, Φ₁∈R^N_u^×m_f; V₁=CΦ₁-V, V₁∈R^m_f^×m_f; 。

(24)式是一个标准的列线性互补问题,其求解过程为:先通过该式的第1式即约束方程和互补条件组成线性互补方程,采用线性互补方程的解法(如Lemek算法等)求出流动参数λ,然后,将流动参数代入式(24)的第2式即整体平衡方程,求得各单元的位移变量{U}。

3 算 例

砂基上有一粘土堤坝,堤高为9.14m,堤顶宽为6.10m,堤基宽42.70m,堤坡比为1∶2。其材料参数见表1。

表 1 地层材料参数
Table 1 Material parameters of stratum

计算模型按1∶1的比例进行仿真,首先构造一个平面(见图1),然后建立1个三维地质体(见图2),并以此分析计算这一粘土堤坝的应力-应变图形。在进行单元体网格化时,将2种材料之间接触层的节点相互关联在一起,即等效成1个节点,这样就可以较好地模拟真实地层。

图 1  单元网格化图
Fig. 1  Element mesh of computational section

图 2  立体网格化图
Fig. 2  Solid element mesh of
computational section

约束条件:

a. 假定土体服从Mohr-Coulomb准则;

b. 基底底层面是固定的,即不产生位移和角应变;

c. 位移权函数w_e(i)服从正态分布规律。

图3所示为边坡土体在自重作用下土体内部应力变化趋势图,标尺底部(黑色)→顶部(白色)表示由小到大的变化趋势(标尺值为放大的倍数)。可以看出:同一层位(x轴)的应力(即y值),在滑移面的两侧明显偏大,总的变形趋势是向下移动,即朝向y轴的负方向移动。结合表2可判断在坡高6.54m处位移变化值最大并且有扭转的变化态势。

表 2 边坡特征点计算位移值
Table 2 Displacement of the typical nodes on slope

图 3  地层变形示意图
Fig. 3  The displacement on stratum

由此可以看出,采用块体单元的形心坐标,引入数值流形法进行堤坝的变形分析能真实地反映堤坝体内的变化态势。

4 结 语

a. 在土坡结构稳定分析中,引入数值流形方法,构造覆盖函数,将单元体的形心坐标及其位移权函数有机地结合,合理地定义其物理网格和数学网格,把每一个分割的块体视同为一个流形单元,通过权重函数来确定每一个块体单元在边坡流失时所起的作用即贡献值,能更有效地解析土体的应力-应变关系。

b. 采用参变量变分原理来求解,不仅使计算效率大大提高,而且使处理非关联流动问题变得十分方便。

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收稿日期:2004-06-25

作者简介:李奋强(1965-),男,广东五华人,博士研究生,高级工程师,从事土钉支护、边坡处理、大口径超深孔桩基础施工的应用研究

论文联系人: 李奋强,男,博士研究生;电话:0731-8832705(O);E-mail:csulfq@126.com

摘要: 为了了解边(壁)土体在未经支护前可能出现的变形趋势,采用数值流形方法,通过构造覆盖函数,将块体单元的形心位移与位移权函数有机结合起来,把每一个分割的块体视同为一个流形单元,通过权重函数来确定每一个块体单元在边坡流失时所起的作用即贡献值,依此来解析土体的应力-应变关系;应用弹塑性理论和参变量变分原理,建立了边坡(壁)土体变化趋势的状态方程,并给出了方程的求解过程。结合具体实例研究了地质体的应力-应变变化趋势。研究结果表明:利用块体单元的形心位移及其位移权函数能较好地反映边坡失稳瞬间所发生的应力释放、应力转移和应力重新分配的特征。
关键词: 边坡; 弹塑性理论; 数值流形方法; 状态方程; 参变量变分原理
中图分类号:P642.2 文献标识码:A 文章编号: 1672-7207(2005)01-0169-05