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摘要
1 统一强度理论简介▲
2岩石强度特性的统一强度理论分析
3统一强度理论在巷道围岩弹塑性力学分析中...
4 结论▲
参考文献
图▲

图1 统一强度准则在σ-τ平面上的岩石破坏条件

图2 根据统一强度理论所作出的岩石抗压强度在不同σ3时σ2效应曲线

图3 统一强度理论中b取不同值时的巷道围岩弹塑性分析结果

中国有色金属学报

DOI:10.19476/j.ysxb.1004.0609.2002.05.033

统一强度理论及其在巷道围岩弹塑性分析中的应用

胡小荣俞茂宏

西安交通大学土木系

西安交通大学土木系西安710049

摘要：

应用统一强度理论对岩石在三轴压缩载荷下的强度特性进行了理论分析 , 并将分析结果与已有实验结果作了对比。研究表明 , 统一强度理论能较全面地反映岩石的各种强度特征。另外 , 还应用统一强度理论对静水压力条件下的圆形巷道围岩进行了弹塑性分析 , 分析表明 , 与Mohr Coulomb强度理论结果相比 , 巷道轴向应力和强度理论中的参数b对巷道围岩塑性区半径、应力分布及径向位移等均有影响

关键词：

统一强度理论;岩石强度;巷道围岩;弹塑性分析;

中图分类号： TD325

收稿日期：2001-11-26

基金：国家自然科学基金资助项目 ( 5 97790 2 8);

Unified strength theory and its application in elasto-plastic analysis to tunnel

Abstract：

The characteristics of rock strength under triaxial compressive stress is analyzed by the unified strength theory. The results show that the unified strength theory can deliberate many aspects of the rock strength. In addition, the elasto-plastic analysis using the unified strength theory is also devoted to the wall rock of tunnel with circular cross-section under static hydraulic pressure . The results show that the axial stress parallel to the tunnel and the parameter b in unified strength theory have significant effects on the radius of plastic zone, the magnitude of stresses and the displacement of the wall rock of tunnel, comparing with theory of Mohr-Coulomb .

Keyword：

unified strength theory; strength of the rock; wall rock of the tunnel; elasto-plastic analysis;

Received： 2001-11-26

目前, 井巷工程中巷道围岩的弹塑性分析通常都采用单剪强度准则如Mohr-Coulomb强度准则、Hoek-Brown强度准则等 ^[1,2,3,4] 。虽然巷道围岩的弹塑性分析可以视为平面应变问题, 但实际上围岩是处于三轴应力状态。由于单剪强度准则只能考虑到最大主应力和最小主应力的作用而完全忽略中间主应力的影响, 故在力学分析时就只考虑了巷道断面上的应力, 而没有考虑到轴向应力的作用。然而, 大量的岩石三轴实验已经证明, 岩石的强度和破坏不仅与最大和最小主应力有关, 还与中间主应力密切相关, 即存在所谓的中间主应力效应 ^{[5,6,7,8,9,10]} 。于是, 人们又提出了一些含有中间主应力的岩石强度准则, 文献 [ 11, 12, 13] 对此作了较全面介绍。我国俞茂宏自1985 年起基于双剪的概念相继提出了材料的双剪强度理论和统一强度理论, 并在一些领域得到了应用 ^[14,15,16] 。本文作者应用该强度理论对岩石在三轴压缩载荷下的强度特性以及静水压力条件下圆形巷道围岩的弹塑性分析作了探讨。

1 统一强度理论简介

在主应力空间内, 3个主剪应力及其作用面上的法向正应力分别为

$\begin{array}{l} τ_{13} = \frac{σ_{1} - σ_{3}}{2}, σ_{13} = \frac{σ_{1} + σ_{3}}{2}, \\ τ_{12} = \frac{σ_{1} - σ_{2}}{2}, σ_{12} = \frac{σ_{2} + σ_{3}}{2}, \\ τ_{23} = \frac{σ_{2} - σ_{3}}{2}, σ_{23} = \frac{σ_{2} + σ_{3}}{2}, ? ? ? (1) \end{array}$

由式 (1) 可知τ₁₃=τ₁₂+τ₂₃, 其中, τ₁₃为最大主剪应力, τ₁₂和τ₂₃之间有一个为中间主剪应力, 另一个为最小主剪应力。考虑了最大和中间主剪应力的统一强度理论表达式为

当τ₁₂-βσ₁₂≥τ₂₃-βσ₂₃,

F=τ₁₃-βσ₁₃+b (τ₁₂-βσ₁₂) =K (2-1)

当τ₁₂-βσ₁₂≤τ₂₃-βσ₂₃,

F′=τ₁₃-βσ₁₃+b (τ₂₃-βσ₂₃) =K (2-2)

式中 b为中间主剪应力及其作用面上的法向正应力对材料破坏的影响程度; β, K为材料参数, 可通过拉压试验得出。若规定压应力为正, 拉应力为负, 则上式的主应力表达式为

当

式中 α为材料单轴强度拉压比; σ_t为材料的单轴抗拉强度。

对于外凸型强度理论而言, b的取值范围为[0, 1], 当b=0时, 统一强度准则退化成Mohr-Coulomb强度准则, 它界定了统一强度准则的下限; 当b=1时, 统一强度准则退化成双剪强度准则, 它界定了统一强度准则的上限。当0<b<1时, 统一强度准则可分别与现有的其它强度准则作直线近似 ^[16] 。

2岩石强度特性的统一强度理论分析

对于岩石类材料而言, 若式 (3-1) , (3-2) 用主应力、岩石内聚力C₀、岩石内摩擦角φ表示则为

$\begin{array}{l} 当 σ_{2} \leq \frac{σ_{1} + σ_{3}}{2} - \frac{σ_{1} - σ_{3}}{2} \sin φ, \\ F = σ_{1} (1 - \sin φ) - \frac{b σ_{2} + σ_{3}}{1 + b} (1 + \sin φ) = \\ 2 C_{0} \cos φ ? ? ? (4 - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} 当 σ_{2} \geq \frac{σ_{1} + σ_{3}}{2} - \frac{σ_{1} - σ_{3}}{2} \sin φ, \\ F^{'} = \frac{σ_{1} + b σ_{2}}{1 + b} (1 - \sin φ) - σ_{3} (1 + \sin φ) = \\ 2 C_{0} \cos φ ? ? ? (4 - 2) \end{array}$

令 $σ^{'}_{1} = \frac{σ_{1} + b σ_{2}}{1 + b}, σ^{'}_{3} = \frac{b σ_{2} + σ_{3}}{1 + b}$ , 则上式可写成

当

由于式 (5-1) , (5-2) 都有类似于以下Mohr-Coulomb强度理论的表达式:

σ₁ (1-sinφ) -σ₃ (1+sinφ) =2C₀cosφ (6)

因此, 可以依据式 (4-1) , (4-2) 在σ-τ平面上作出判断岩石是否发生破坏的应力莫尔圆 (如图1所示) 。

由统一强度理论所作出的岩石破坏应力莫尔圆可知, 岩石的强度具有如下特征:

1) 中间主应力在一定程度上可使岩石强度得以提高, 其效果表现为判断岩石破坏的应力莫尔圆缩小了;

2) 中间主应力效应具有区间性, σ₃固定不变时, 若σ₂在 $σ_{3} \leq σ_{2} \leq \frac{σ_{1} + σ_{3}}{2} - \frac{σ_{1} - σ_{3}}{2} \sin φ$ 区间变化, 抗压强度σ₁随σ₂的增加而增加, 若σ₂在区间 $σ_{1} \geq σ_{2} \geq \frac{σ_{1} + σ_{3}}{2} - \frac{σ_{1} - σ_{3}}{2} \sin φ$ 变化, 抗压强度σ₁随σ₂的增加而又从最高值逐步减小;

3) σ₃增加, 岩石强度也会增加;

4) 岩石强度和中间主应力效应与统一强度理论中的参数b有关, b值越大, 中间主应力效应就越显著, b=0时, 中间主应力对岩石强度无影响。

图2所示是根据式 (4-1) , (4-2) 并假定岩石内聚力C₀=20 MPa、内磨擦角φ=30°, σ₃分别等于30, 60, 90, 120 MPa的计算结果所作出的岩石抗压强度在不同σ₃时σ₂效应曲线。该曲线所反映的岩石强度变化规律与文献 [ 8, 9, 10] 中的实验结果比较一致。由此可知, 统一强度理论能较好地反映岩石在三轴压缩状态下的强度特性, 这是单剪强度理论无法做到的。

3统一强度理论在巷道围岩弹塑性力学分析中的应用

3.1 应力状态分析

静水压力条件下圆形断面巷道围岩的弹塑性力学分析可以看成是平面应变问题, 若采用Mohr-Coulomb强度理论, 就只能考虑到巷道断面上径向应力σ_r和切向应力σ_θ的作用。而采用统一强度理论, 则不仅可以考虑到上述两个应力, 还可考虑到巷道轴向应力σ_z的作用。由于σ_r, σ_θ, σ_z3者相互正交, 可以认为是3个主应力。假定塑性区围岩体应变ε_V=0, 则塑性区内的径向应力σ $_{r}^{(p)}$ 、切向应力σ^(p)_θ和轴向应力σ $_{z}^{(p)}$ 存在以下关系

图1 统一强度准则在σ-τ平面上的岩石破坏条件

Fig.1 Failure conditions of unified strength theory in σ-τ plane $(a) — σ_{3} \leq σ_{2} \leq \frac{σ_{1} + σ_{3}}{2} - \frac{σ_{1} - σ_{3}}{2} \sin φ$ ; $(b) — σ_{3} \geq σ_{2} \geq \frac{σ_{1} + σ_{3}}{2} - \frac{σ_{1} - σ_{3}}{2} \sin φ$ Circle 1—b=0; Circle 2—b=2; Circle 3—b=1/3; Circle 4—b=1;

图2 根据统一强度理论所作出的岩石抗压强度在不同σ3时σ2效应曲线

Fig.2 Effective curves of σ₂ to compressive strength σ₁ under different σ₃

$σ_{z}^{(p)} = \frac{1}{2} (σ_{r}^{(p)} + σ_{θ}^{(p)}) ? ? ? (7)$

由于在巷道周边围岩中, 切向应力σ $_{θ}^{(p)}$ 最大, 径向应力σ $_{r}^{(p)}$ 最小, 由上式可知, 在塑性区内3个主应力的大小为σ₁=σ $_{θ}^{(p)}$ , σ₂=σ^(p)_z, σ₃=σ $_{r}^{(p)}$ , 且满足 $σ_{2} ＞ \frac{1}{2} (σ_{1} + σ_{3}) - \frac{1}{2} (σ_{1} - σ_{3}) \sin φ$ 的条件。故在进行塑性区应力计算时, 采用统一强度准则的式 (4-2) , 得

$\begin{array}{l} \frac{σ_{θ}^{(p)} + b σ_{z}^{(p)}}{1 + b} (1 - \sin φ) - σ_{r}^{(p)} (1 + \sin φ) = \\ ? ? 2 C_{0} \cos φ ? ? ? (8) \end{array}$

3.2 塑性区应力

将式 (7) 代入式 (8) 有

σ $_{r}^{(p)}$ -σ $_{φ}^{(p)}$ =- (K₁σ $_{r}^{(p)}$ +K₂) (9)

式中

$\begin{array}{l} Κ_{1} = \frac{4 (1 + b) \sin φ}{(2 + b) (1 - \sin φ)}, \\ Κ_{2} = \frac{4 C_{0} (1 + b) \cos φ}{(2 + b) (1 - \sin φ)} ? ? ? (10) \end{array}$

不考虑体积力时, 平面应变问题的平衡方程为

$\frac{? σ_{r}^{(p)}}{? r} + \frac{σ_{r}^{(p)} - σ_{φ}^{(p)}}{r} = 0 ? ? ? (11)$

将式 (9) 代入式 (11) 得

$\frac{1}{Κ_{1}} Ι n (σ_{r}^{(p)} Κ_{1} + Κ_{2}) = Ι n$ r+C (12)

由边界条件r=r₀, σ $_{r}^{(p)}$ =p_i (p_i为支护力) 可得

$C = \frac{1}{Κ_{1}} Ι n (p_{i} Κ_{1} + Κ_{2}) - Ι n$ r₀ (13)

将式 (13) 代入式 (12) 并由式 (9) , (7) 得

$\begin{array}{l} σ_{r}^{(p)} = (p_{i} + \frac{Κ_{2}}{Κ_{1}}) (\frac{r}{r_{0}})^{Κ_{1}} - \frac{Κ_{2}}{Κ_{1}} ? ? ? (14) \\ σ_{φ}^{(p)} = (p_{i} + \frac{Κ_{2}}{Κ_{1}}) (1 + Κ_{1}) (\frac{r}{r_{0}})^{Κ_{1}} - \frac{Κ_{2}}{Κ_{1}} ? ? ? (15) \\ σ_{z}^{(p)} = (p_{i} + \frac{Κ_{2}}{Κ_{1}}) (1 + \frac{Κ_{1}}{2}) (\frac{r}{r_{0}})^{Κ_{1}} - \frac{Κ_{2}}{Κ_{1}} ? ? ? (16) \end{array}$

将式 (10) 代入式 (14) , (15) , (16) 有

$\begin{array}{l} σ_{r}^{(p)} = (p_{i} + C_{0} c t g φ) (\frac{r}{r_{0}})^{\frac{4 (1 + b) \sin φ}{(2 + b) (1 - \sin φ)}} - C_{0} c t g φ ? ? ? (17) \\ σ_{θ}^{(p)} = (p_{i} + C_{0} c t g φ) [\frac{2 + b + 2 \sin φ + 3 b s i n φ}{(2 + b) (1 - \sin φ)}] ? \\ (\frac{r}{r_{0}})^{\frac{4 (1 + b) \sin φ}{(2 + b) (1 - \sin φ)}} - C_{0} c t g φ ? ? ? (18) \\ σ_{z}^{(p)} = (p_{i} + C_{0} c t g φ) [\frac{2 + b + b s i n φ}{(2 + b) (1 - \sin φ)}] ? \\ (\frac{r}{r_{0}})^{\frac{4 (1 + b) \sin φ}{(2 + b) (1 - \sin φ)}} - C_{0} c t g φ ? ? ? (19) \end{array}$

3.3 塑性区半径及巷道径向位移

静水压力条件下, 塑性区边界r=R₀ 处的应力与原岩应力p存在以下关系 ^[1] :

$σ_{r}^{(p)} |_{r = R_{0}} + σ_{θ}^{(p)} |_{r = R_{0}} = 2 p ? ? ? (20)$

上式结合式 (9) 知, 在r=R₀ 处

$\begin{array}{l} σ_{r}^{(p)} |_{r = R_{0}} = σ_{R_{0}}^{(p)} = \frac{2 p - Κ_{2}}{2 + Κ_{1}}, \\ σ_{θ}^{(p)} |_{r = R_{0}} = \frac{2 (1 + Κ_{1}) p + Κ_{2}}{2 + Κ_{1}} ? ? ? (21) \end{array}$

由式 (14) , (21) 得塑性区半径R₀为

$\begin{array}{l} R_{0} = r_{0} [\frac{2 (p + Κ_{2} / Κ_{1})}{(2 + Κ_{1}) (p_{i} + Κ_{2} / Κ_{1})}]^{1 / Κ_{1}} ? ? ? (22) \\ R_{0} = r_{0} [\frac{2 + b}{2 + b + b s i n φ} ? \\ \frac{p + C_{0} c t g φ) (1 - \sin φ)}{p_{i} + C_{0} c t g φ}]^{\frac{(2 + b) (1 - \sin φ)}{4 (1 + b) \sin φ}} ? ? ? (23) \end{array}$

及支护力p_i为

$\begin{array}{l} p_{i} = (\frac{2 + b}{2 + b + b s i n φ}) (p + C_{0} c t g φ) ? \\ (1 - \sin φ) [\frac{r_{0}}{R_{0}}]^{\frac{4 (1 - b) \sin φ}{(2 + b) (1 - \sin φ)}} - C_{0} c t g φ ? ? ? (24) \end{array}$

又塑性区边界r=R₀ 处围岩的径向位移为 ^[1]

$u_{R_{0}} = \frac{(p - σ_{R_{0}}^{(p)}) R_{0}}{2 G} ? ? ? (25)$

式中 G为剪切模量。根据体应变ε_V=0得塑性区围岩径向位移为

$u_{r} = \frac{p - σ_{R_{0}}^{(p)}) R_{0}^{2}}{2 G r} ? ? ? (r \leq R_{0}) ? ? ? (26)$

将式 (21) , (22) 代入得

$\begin{array}{l} u_{r} = \frac{Κ_{1} p + Κ_{2}}{2 (2 + Κ_{1}) G} [\frac{2 (p + Κ_{2} / Κ_{1})}{(2 + Κ_{1}) (p_{i} + Κ_{2} / Κ_{1})}]^{\frac{2}{Κ_{1}}} ? \\ \frac{r_{0}^{2}}{r} ? ? ? (27) \end{array}$

若用单轴抗压强度 $R_{c} = \frac{2 C_{0} \cos φ}{1 - \sin φ}$ 及压拉比 $ξ = \frac{1 + \sin φ}{1 - \sin φ}$ 表示, 则式 (17) , (18) , (19) , (23) , (24) 可写成

$\begin{array}{l} σ_{r}^{(p)} = (p_{i} + \frac{R_{c}}{ξ - 1}) (\frac{r}{r_{0}})^{\frac{2 (1 + b) (ξ - 1)}{2 + b}} - \frac{R}{ξ - 1} \\ σ_{θ}^{(p)} = (p_{i} + \frac{R_{c}}{ξ - 1}) (\frac{2 ξ + 2 b ξ - b}{2 + b}) ? \\ (\frac{r}{r_{0}})^{\frac{2 (1 + b) (ξ - 1)}{2 + b}} - \frac{R}{ξ - 1} \\ σ_{z}^{(p)} = (p_{i} + \frac{R_{c}}{ξ - 1}) (\frac{ξ + 1 + b ξ}{2 + b}) (\frac{r}{r_{0}})^{\frac{2 (1 + b) (ξ - 1)}{2 + b}} - \\ \frac{R_{c}}{ξ - 1} \\ R_{0} = r_{0} [\frac{2 b}{ξ + 1 + b ξ} ? \frac{R_{C} + p (ξ - 1)}{R_{C} + p_{i} (ξ - 1)}]^{\frac{2 + b}{2 (1 + b) (ξ - 1)}} \\ p_{i} = (\frac{2 b}{ξ + 1 + b ξ}) [R_{C} + p (ξ - 1)] ? \\ [\frac{r_{0}}{R_{0}}]^{\frac{2 (1 + b) (ξ - 1)}{2 + b}} - \frac{R_{C}}{ξ - 1} ? (r_{0} \leq r \leq R_{0}) \end{array}$

3.4 弹性区围岩应力及径向位移

对于r≥R₀处的弹性区围岩, 其应力及径向位移为 ^[1]

$\begin{array}{l} σ_{r}^{(e)} = p (1 - \frac{R_{0}^{2}}{r^{2}}) + σ_{R_{0}}^{(p)} \frac{R_{0}^{2}}{r^{2}} ? ? ? (28) \\ σ_{r}^{(e)} = p (1 + \frac{R_{0}^{2}}{r^{2}}) - σ_{R_{0}}^{(p)} \frac{R_{0}^{2}}{r^{2}} ? ? ? (29) \\ u_{r}^{(e)} = \frac{(p - σ_{R_{0}}^{(p)} R_{0}^{2}}{2 G r} ? ? ? (30) \end{array}$

3.5 结果分析

图3所示是根据如下参数:C₀=30 MPa, φ=30°, p=300 MPa, p_i=10 MPa, r₀=2 m 所得的计算结果。

图3 统一强度理论中b取不同值时的巷道围岩弹塑性分析结果

Fig 3 Elasto-plastic results for wall rock analyzed by unified strength when b is changed (a) —Influences of b on stress distributions inwall rock and radius of plastic zone; (b) —Influences of b on stresses of interface between elastic and plastic zone; (c) —Influences of b on radius of plastic zone

从中可以看出:围岩径向应力随b增大而增大; 切向应力在塑性区随b增大而增大, 在弹性区随b增大而减小; 塑性区半径随b增大而减小; 在弹塑性交界处, 径向应力随b增大而减小, 切向应力随b增大而增大。由此可知, 统一强度理论中的参数b对围岩的弹塑性力学行为有一定影响, 它是反映巷道轴向应力对巷道围岩强度和破坏影响的一个综合指标。