考虑尺度相关性及几何约束的小波扩散平滑滤波
严家斌1, 2，刘贵忠2，甘怡绚3，陈国胜4
(1. 中南大学 信息物理工程学院，湖南 长沙，410083；2. 西安交通大学 电子与信息工程学院，陕西 西安，710049；
3. 中国石油大学(北京) 油气资源与探测国家重点实验室，北京，102249；4. 核工业航测遥感中心，河北 石家庄，050002)
摘 要：
摘 要：在系统分析各向异性扩散与小波平滑去噪的特点与不足的基础上，研究提取重要小波系数的8邻域几何约束方法；考虑到小波系数间存在一定的局部相关性，提出利用窗口内信号的方差与噪声方差的比值估计扩散系数函数；为了加快扩散速度并提高平滑效果，提出一个考虑小波尺度间相关性及几何约束的扩散平滑模型。研究结果表明：与P&M函数相比，利用扩散系数函数扩散图像具有更高的峰值信噪比(PSNR)，且受扩散时间尺度的影响较小；对受噪声污染的指纹图像(σ=25)，利用所提出的方法扩散平衡时信噪比为28.809 dB，当扩散时间尺度为50时，信噪比为28.724 dB，而利用P&M函数的信噪比分别为27.127 dB和25.623 dB；新扩散模型性能比其他方法的性能优。对于Lena图像，当σ=25时，维纳滤波法小波滤波方法、BayesShrink法、LAWMAP法及本文方法处理后的信噪比分别为24.866，26.613，26.854，27.245和27.831 dB。
关键词：
中图分类号：TN911.73 文献标识码：A 文章编号：1672-7207(2008)06-1325-06
Wavelet diffusion filter considering scale correlation and geometry constraint
YAN Jia-bin1, 2, LIU Gui-zhong2, GAN Yi-xuan3, CHEN Guo-sheng4
(1. School of Info-Physics and Geomatics Engineering, Central South University, Changsha 410083, China ;
2. School of Electronic and Information Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China;
3. State Key Laboratory of Petroleum Resource and Prospecting, China University of Petroleum, Beijing 102249, China;
4. Airborne Survey and Remote Sensing Center of Nuclear Industry, Shijiazhuang 050002, China)
Abstract: Based on the systemic analysis of character and shortcoming of anisotropic diffusion and wavelet de-noise, 8 neighborhoods geometry constraint method as extracting significant wavelet coefficient was analyzed. Considering scale correlation between wavelet coefficient, the estimation method of diffusion coefficient function was proposed by the ratio of signal variance to noise variance in local window. For improving diffusion velocity and diffusion effect, a new diffusion filter model considering scale correlation and geometry constraint was proposed. The results show that the proposed diffusion coefficient function takes on higher peak signal to noise ratio (PSNR) and lower influence by diffusion time scale compared with P&M function, for example, as noise variance σ=25, the PSNR of diffusion balance of the finger image is 28.809 dB and 28.724 dB after 50 iterations by proposed method, 27.127 dB and 25.623 dB by P&M function respectively. The proposed model preserves image feature better and not sensitive to diffusion time scale compared with other method, PSNR of the Lena image contaminated by noise σ=25 are 24.866, 26.613, 26.854, 27.245 and 27.831 dB by Wiener, wavelet, BayesShrink, LAWMAP and proposed filter method respectively.
Key words: anisotropic diffusion; wavelet; geometry constraint; diffusion coefficient function
在图像的去噪与增强处理中，一方面要较好地压制噪声干扰，另一方面又要尽可能保留图像中重要的特征信息，如图像的边缘纹理等。传统的线性平滑滤波器如高斯滤波器虽然对高斯噪声的处理效果比较明显，但常导致图像过光滑使一些边缘细节信息丢失，并导致边缘定位信息提取错误。研究表明，信号(或图像)与不同尺度高斯函数的卷积完全等价于以信号为初始值的热传导方程的解[1]，类似于各向同性扩散，但由于在图像的边缘纹理区域与其他平滑区域具有相同的扩散速度而导致图像特征信息模糊化。20世纪90年代Perona等[2]提出经典的各向异性扩散滤波方法。各向异性扩散滤波与其他方法相比主要侧重于利用定向扩散来保护图像的特征，其不足之处主要在于图像信息的重要性估计是依据图像灰度梯度幅值来判定的，极易受到噪声的干扰，也就是说，它无法区分图像的特征和噪声引起的梯度幅值的变化[3-5]。图像处理中另一种滤波方法是小波去噪算法，它侧重于依据信号与噪声在尺度间与尺度内的不同特性，通过某种准则而予以分离(或收缩)，达到消除噪声的目的，但有时会导致伪Gibbs现象(如硬阈值收缩)或造成边缘模糊等失真现象(如软阈值收缩)，不利于提高图像的对比度[6-9]。在此，本文作者把小波去噪与各向异性扩散滤波结合起来，提出一种考虑小波尺度相关性及几何约束的各向异性扩散平滑滤波方法，以保护图像的特征信息，解决扩散过程中对时间尺度较敏感的问题。
1 各向异性扩散模型
Perona等[2]提出如下各向异性扩散方程(即P&M模型)为：
k为阈值参数，当
＜＜ k时，
，非线性扩散方程(1)退化为线性扩散方程；当 ＞＞ k (如在图像的边缘区域)时，
，对图像的平滑减小或不平滑，起到保护作用。经过多次扩散后，噪声引起的图像梯度幅值较小，会得到较大程度的平滑，而图像的特征引起梯度幅值较大而得到较小程度的平滑，从而压制噪声并保护图像特征。显然，若噪声的强度及阈值k的选择不适当，会出现一些虚假边缘(当k较小时)或过平滑图像的边缘特别是弱边缘(当k较大时)。因此，仅仅通过梯度幅值判定扩散点的重要性不合适。
2 小波域各向异性扩散
P&M模型的核心思想是利用某个规则(如梯度的幅度)确定扩散点与其邻域的差异来判定其重要性程度，从而确定相应的平滑速度。其主要特点是在消除噪声的同时，能够有效地保护信号或图像的细节及边缘特征，并提高信号的对比度。其不足之处在于噪声的存在会影响判定的准确性甚至误判，因为它很难把噪声从信号中提取出来。小波变换的能量聚集特性使得小波分解后信号的能量主要集中在低频带中，而高频子带则集中了与噪声相关的小波系数[10-12]，因此，通过小波分解可以把信号与噪声予以适当分离，从而可以把待分析的图像进行小波分解，然后，按下式对小波系数进行扩散平滑[13-14]。
其中：0＜
＜0.25；p为扩散点(x, y)的邻域数。同样，小波扩散平滑的效果也依赖于扩散参数的选择及小波分解尺度。
3 考虑尺度相关性及几何约束的小波变换扩散平滑去噪
3.1 重要小波系数的提取
小波变换的性质使得与信号相关的小波系数在不同尺度之间存在一定相关性，与噪声的相关性较小或没有[10-11, 15]。利用相关性可提取到具有强相关性的信息如强边缘等，但有可能会漏掉弱边缘等信息[6]。实事上，图像的特征信息并不是孤立出现的，而是与相邻的点构成一条直线或曲线，因此，若相邻点上相关系数相等或相差较小，则即使相关系数较小，也应认为是图像的特征信息，应予以保护。相反，即使某点有较大的相关性，但它与相邻的点相差较大，认为是由噪声引起，应予以消除。为了提取并保护不同方向上的弱信息，这里采用8邻域在0?，45?，90?，135?和180?方向上加以相关约束来提取小波系数，计算方法如下：首先，按式(4)计算中心点(i, j)及约束方向上小波系数相对值γ，γ1和γ2。
然后，按式(5)分析判断该小波系数是否是由图像的特征引起，若其γ都大于某个阈值α，则认为此小波系数是重要的，应予以保护并作上标记mask(i, j)=1；若不能满足，则认为是由噪声引起，赋予扩散标记mask(i, j)=0，即
IF γ≥
，γ1≥和γ2≥ (5)
THEN mask(i, j)=1
ELSE mask(i, j)=0
END
3.2 扩散系数函数的改进
扩散系数决定了扩散中平滑的速度。通过复杂模型模拟结果发现小波子带内的小波系数也存在一定的相关性，至少存在局部相关性[16]。若考虑小波系数间的这种局部相关性，则在一定尺寸的窗口A内估计信号的方差
与噪声方差
的比可更准确地反映小波系数的重要性程度[9-11]。因此，扩散系数函数可定义为：
式(6)与式(2)相比有如下优点：首先是自适应的，若窗口内的方差估计较小或为0，则认为窗口内的小波系数主要与噪声有关或由不重要的小波系数组成，应给予较大的扩散速度；若较大，则认为窗口内的小波系数是重要的或与信号特征相关，应给予较小的扩散系数，从而对该系数起保护作用。其次，基于统计特性的估计参数相对于梯度估计值
受到噪声的干扰较小；此外，图像扩散平滑的质量受扩散时间尺度的影响较小。图1所示分别为扩散系数函数式(2)与式(6)的比较结果。可以看到：本文扩散系数函数图像质量受扩散时间尺度的影响要小得多，即扩散图像的峰值信噪比[11]到达最佳后，随扩散时间的变化较小，而式(2)中的信噪比则下降较快，扩散图像受扩散时间的影响大。其次，利用该函数所获得的峰值信噪比要远远地高于P&M函数的信噪比，如当σ=25时，扩散指纹图像的信噪比(扩散平衡时)为28.809 dB；当扩散时间尺度为50时，信噪比为28.724 dB，而采用P&M函数的信噪比(扩散平衡时)仅为27.127 dB；当扩散时间尺度为50时，信噪比为25.623 dB，显示了更强的图像特征保护能力和对扩散时间尺度的不敏感性。
(a) 指纹图像，窗口A=5×5，σ=10; (b) 指纹图像，窗口A=5×5，σ=25
图1 2种扩散系数函数的扩散效果比较
Fig.1 Comparison results between two diffusion coefficient functions
3.3 改进的各向异性扩散模型
为了加快扩散速度并提高平滑效果，对不同区域分别进行各向同性扩散与各向异性扩散，扩散模型改进如下：
当
时，方程(7)就退化为Alvarez等[4]提出的均值曲率运动扩散方程(MCD)；当
时，就是标准的各向同性扩散方程，具有较快的平滑速度。
小波扩散平滑过程步骤如下：
a. 进行移不变小波变换并提取每个尺度上的小波系数，利用式(4)计算尺度间的相关性，并利用式(5)提取重要的小波系数(即mask(i, j)=1的扩散)；
b. 利用
的方形局部窗口计算局部方差；利用式(6)计算扩散系数；
c. 利用式(7)对高频小波系数进行各向异性扩散降噪；
d. 进行逆小波变换并输出降噪后的图像。
在本文的计算中，参数
，
。
4 模拟测试结果
为了测试本方法的有效性，利用Lena与指纹图像进行对比测试，测试方法为Matlab工具箱中的维纳滤波与小波滤波方法、BayesShrink方法、LAWMAP方法及本文方法。本文方法采用具有线性相位的双正交样条小波，分析滤波器及综合滤波器长度均为2；其他小波方法采用滤波器长度为8的Daubechies小波。不同方法的峰值信噪比在不同噪声强度下的测试结果见表1~2及图2~3，扩散中的时间尺度采用文献[17]中的扩散平衡估计。表1和表2中DB表示扩散平衡时[17]时的信噪比，max表示采用扩散平衡方法所能获得的最大信噪比，括号内的数字表示扩散平衡的时间尺度和获得最大信噪比时扩散时间尺度。
图2所示为采用7×7窗口Lena图像对比结果。显然，采用本文方法(信噪比为27.831 dB，图2(d))要优于LAWMAP方法(信噪比为27.245 dB，图2(c))及其他方法，如对于Lena图像，当σ=25时，维纳滤波法与小波滤波方法、BayesShrink法、LAWMAP法及本文方法处理后的信噪比分别为24.866，26.613，26.854，27.245和27.831 dB。图3所示的纹理图像处理也有类似的结果。对照表1和表2可以看到，窗口尺寸的选择对于不同噪声强度处理有一定的影响，当噪声较小时，较小的窗口其最大信噪比要大些；相反，当噪声较大时，较大的窗口其最大信噪比要大些，但影响并不明显。对纹理丰富的图像(指纹图像)，窗口尺寸对处理结果的影响相对较大(表2)，但最大相差也只有0.1 dB左右。表1与表2所示结果也表明扩散平衡时图像的信噪比与本文所提出的方法所能获得的最大信噪比非常相近，表明严家斌等[17]提出利用扩散平衡估计扩散时间尺度的有效性和实用性。
表1 Lena图像不同噪声强度的对比
Table 1 Comparison of PSNR for Lena images
表2 指纹图像不同噪声强度的测试对比
Table 2 Comparison of PNSR for finger images
(a) 原始图像；(b) 含噪图像(σ=25)；(c) LAWMAP方法；(d) 本文方法
图2 Lena含噪图像去噪处理对比测试结果
Fig.2 Comparison of lena images
5 结 论
a. 结合小波域中尺度间相关性、尺度内的小波系数相关性与各向异性扩散平滑的特点，提出了一种考虑空间尺度相关性的小波扩散平滑方法和能自适应于图像的扩散系数函数计算式。
b. 为了提取并保护扩散图像不同方向上的弱信息，利用尺度间相关性与几何约束来提取小波变换的重要系数，并采用8邻域在0?，45?，90?，135?和180?
(a) 原始图像；(b) 含噪图像(σ=25)；(c) LAWMAP方法；(d) 本文方法
图3 指纹图像去噪处理对比测试结果
Fig.3 Comparison of PNSR for finger image
方向上加以相关约束；其次，考虑到小波系数间存在一定的局部相关性，利用窗口内信号的方差与噪声方差的比值估计扩散系数函数，与P&M函数相比，利用本文提出的扩散系数函数能更有利于图像特征信息的保护，扩散图像具有更高的信噪比且扩散时间尺度的影响较小，如当σ=25时，扩散指纹图像的信噪比(扩散平衡时)为28.809 dB，当扩散时间尺度为50时，信噪比为28.724 dB。而采用P&M函数的信噪比(扩散平衡时)仅为27.127 dB，当扩散时间尺度为50时，信噪比为25.623 dB，受扩散时间尺度的影响较大。
c. 为了加快扩散速度并提高平滑效果，提出新的扩散模型。模拟测试结果表明，本文方法优于其他方法，如对于Lena图像，当σ=25时，采用维纳滤波方法、小波滤波方法、BayesShrink法、LAWMAP法及本文方法处理后的信噪比分别为24.866，26.613，26.854，27.245和27.831 dB。
参考文献：
[1] Witkin A. Scale space filtering[C]//Morgan Kaufmann Publishers Inc. San Francisco: CA, 1987: 329-332.
[2] Perona P, Malik J. Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion[J]. IEEE Trans on PAMI, 1990, 12(7): 629-639.
[3] Catte F, Lions P L, Morel J M, et al. Image selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion[J]. Society for Industrial and Applied Mathematics J Numerical Analysis, 1992, 29(1): 182-193.
[4] Alvarez L, Lions P L, Morel J M. Image selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion II[J]. Society for Industrial and Applied Mathematics J Numerical Analysis, 1992, 29(3): 845-866.
[5] 姜东焕, 冯象初, 宋国乡. 基于非线性小波阈值的各向异性扩散方程[J]. 电子学报, 2006, 34(1): 170-172.
JIANG Dong-huan, FENG Xiang-chu, SONG Guo-xiang. An anisotropic diffusion equation based on nonlinear wavelet shrinkage[J]. Acta Electronica Sinica, 2006, 34(1): 170-172.
[6] XU Yan-sun, Weaver J B, Healy D M. Wavelet transform domain filters: A spatially selective noise filtration technique[J]. IEEE Trans on IP, 1994, 3(6): 747-758.
[7] Scharcanski J, Jung C R, Clarke R T. Adaptive image denoising using scale and space consistency[J]. IEEE Trans on IP, 2002, 11(9): 1092-1001.
[8] Donoho D L. De-noising by soft-thresholding[J]. IEEE Trans Inform Theory, 1995, 41(3): 613-627.
[9] Donoho D L, Johnstone I M. Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage[J]. Biometrika, 1994, 81(3): 425-455.
[10] Chang S G, YU Bin, Vetterli M. Adaptive wavelet thresholding for image denoising and compression[J]. IEEE Trans on IP, 2000, 9(9): 1532-1546.
[11] Chang G, YU Bin, Vetterli M. Spatially adaptive wavelet thresholding with context modeling for image denoising[J]. IEEE Trans on IP, 2000, 9(9): 1522-1531.
[12] Mihcak M K, Kozintsev I, Ramchandran K, et al. Low-complexity image denoising based on statistical modeling of wavelet coefficients[J]. IEEE Trans on SPL, 1999, 6(12): 300-303.
[13] Acton S T. A pyramidal edge detector based on anisotropic dirrusion[C]//IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing Conference Proceedings. 1996: 2215-2218.
[14] Peng C, Andrew C, WANG Jian-zhong. Speckle noise removal and edge enhancement on SAR image using anisotropic diffusion and discrete wavelet transform[C]//2000 International Geoscience and Remote Sensing Symposium. 2000: 1663-1665.
[15] Mallat S, Hwang W L. Singularity detection and processing with wavelets[J]. IEEE Trans Inform Theory, 1992, 38(2): 617-643.
[16] Crouse M, Nowak R, Baraniuk R. Wavelet-based statistical signal processing using hidden Markov models[J]. IEEE Trans SP, 1998, 42(4): 886-902.
[17] 严家斌, 刘贵忠. 一种新的各向异性扩散时间尺度估计方法[J]. 计算机工程, 2008, 34(2): 43-45.
YAN Jia-bin, LIU Gui-zhong. A novel time scale estimation method of anisotropic diffusion[J]. Computer Engineering, 2008, 34(2): 43-45.
收稿日期：2008-01-12；修回日期：2008-03-22
基金项目：国家自然科学基金资助项目(60272072)
通信作者：严家斌(1969-)，男，湖南常德人，博士后，从事图像及地球物理信号处理的研究；电话：13548942513；E-mail: cspyry@mail.csu.edu.cn
