考虑双重非线性的索-拱结构力学性能

赵跃宇¹，康厚军¹，蒋丽忠²，王连华¹

(1. 湖南大学 土木工程学院, 湖南　长沙，410082；

 2. 中南大学 土木建筑学院, 湖南　长沙，410075)

摘要：应用有限元方法对桥梁工程中的索-拱结构及普通拱结构的静力性能进行对比研究。其方法是：对比研究索-拱与普通拱结构自重作用下的内力分布情况；通过对比索拱与普通拱主要控制截面的影响线研究2种结构在活载作用下的不同力学性能；结合牛顿-拉弗森法和弧长法，分别对索-拱与普通拱结构在考虑几何非线性及同时考虑几何与材料双重非线性情形的极限承载能力进行数值分析。研究结果表明，索可以非常明显地提高和改善纯拱结构的静力学性能；索-拱结构的静力学性能比普通拱结构的优。

关键词：

屈曲；索-拱结构；非线性屈曲；极限承载力；

中图分类号：U448.38         文献标识码：A         文章编号：1672-7207(2007)01-0148-06

Mechanical behavior of cable-arch structure with geometric

and material nonlinear

ZHAO Yue-yu¹, KANG Hou-jun¹, JIANG Li-zhong², WANG Lian-hua¹

(1. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China;

2. School of Civil and Architectural Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

Abstract: With the finite element method, the in-depth research of static behaviors of cable stayed arch and true arch in bridge engineering were studied. The procedures were as follows: The internal force distribution of cable-stayed arch and true arch under gravity were investigated using the finite element method. The influence lines of mostly section of the two structures were studied to illustrate the mechanical behaviors under live load. Using the finite element approach in conjunction with the arc-length method and Newton-Raphson iteration, contrastive study of the limit load-carrying capacity of cable-stayed arch and true arch were presented, in which geometrical nonlinearity and double nonlinearity of structures were considered respectively. The results show that cables can improve the mechanical behaviors of normal arch evidently and effectively, and the static behaviors of cable-stayed arch are better than those of true arch.

Key words: buckling; cable-arch structure; nonlinear buckling; limit load-carrying capacity

索-拱结构在房屋结构如上海浦东国际机场、日本关西机场等房屋建筑结构等工程实际中得到应用。在拱桥的吊装施工过程中，索拱结构的应用相当广  泛^[1]。目前我国湖南湘潭正建1座斜拉拱桥^[2]，其索作用于拱上，主跨跨径达400 m,该桥将成为世界首座斜拉拱桥，也将使索拱结构在桥梁建设中得到进一步推广使用。一些研究者对索拱结构的受力性能和稳定进行了研究，如剧锦三等^[3-5]研究了索在拱内部的索-拱构的稳定性，并对拱结构及索-拱结构的二次屈曲进行了探讨；王江等^[6]研究了索-拱结构的极限承载能力；赵跃宇等^[7-9]分析了斜拉拱桥的静力性能、动力性能和经济性能，指出可以通过调整斜拉索索力和角度，提高主拱的受力性能，增加斜拉拱桥的跨越能力,降低斜拉拱桥的造价。另外，索使拱结构的刚度增大，可以考虑将拱顶段作成空钢管。目前，人们对索-拱结构的研究较少。在此，本文作者应用有限元方法研究桥梁建设中的索作用于拱上的索拱结构与普通拱结构在自重作用下其自身的受力性能，并通过绘制各主要控制截面的内力影响线研究其在活载作用下的力学性能，最后对2种结构的面内特征值屈曲问题、考虑几何非线性影响的极限承载能力、同时考虑几何材料双重非线性影响的极限承载能力进行对比研究。

1　基本理论

1.1　特征值和非线性屈曲

特征值屈曲分析用于预测一个理想线性结构的理论屈曲强度，无需进行复杂的非线性分析，采用Lanczos方法进行求解，即可获得结构的临界荷载和屈曲形状，并可为非线性屈曲分析提供可供参考的荷载。其控制方程为

索拱结构采用最低线性屈曲模态作为结构初始缺陷模态，求得的稳定性承载力是可能的最不利值，必须对结构进行基于大挠度有限元理论的非线性屈曲分析。对于非线性屈曲问题，求解过程是一个逐步加载并进行平衡迭代的过程。利用虚位移原理,可获得索拱结构的非线性平衡方程：

索-拱结构的非线性分析是基于牛顿－拉弗森法和弧长法进行全平衡过程跟踪，包括对极值点及后屈曲过程进行研究，其迭代原理见文献[10-12]。

1.2　材料应力-应变关系

主拱肋钢管采用Q235钢，这里采用双线性随动硬化模型。该模型包含Bausinger效应与Mises屈服准则。具体表达式为：

式中：E_y为钢材弹性阶段的弹性模量；ε_e1为弹性极限应变；f_y和f_u分别为钢材的屈服强度和极限强度。取强化极限应变ε_e2=100ε_e1，钢材的极限强度f_u=1.6f_y ^[13]。

2　计算模型

索拱结构在房屋建筑和桥梁建设中应用较广泛，常见的主要有如图1所示的3种形式。

 (a) 平面预应力体系索拱构形；(b) 平面悬索拱构形；

(c) 房屋建筑中的索拱构形

图1　3种常见索拱结构构形

Fig.1　Three kind of configurations of cable-arch

本文索拱模型的工程背景是针对我国钢管混凝土拱桥建设中采用吊装施工法施工过程中，拱合龙后未拆索和未吊装吊杆前这一阶段的构形，以及我国在建的斜拉钢管混凝土拱桥——湘潭湘江四桥的承重构件所提出的。采用非线性杆系有限元^[14]对索-拱结构与普通拱结构(见图2)进行对比研究。研究基于以下假设：

a. 2种结构的跨径、荷载、边界条件及拱圈截面的几何特性相同；

b. 不考虑施工阶段的内力逐步累加过程和施工状态下的内力；

c. 扣索索力的竖向分力用于减轻自重的竖向力，忽略索力对拱轴线的影响。

 (a) 普通桥；(b) 索拱

图2　普通拱与索拱构形

Fig.2　Configurations of true arch and cable-arch

2种平面结构体系的参数及荷载为：跨径L=88 m，矢高f=22 m，矢跨比为1?4，拱圈截面为圆管,面积A₁=0.926 07 m²，竖弯惯性矩I=0.052 507 m⁴，密度ρ= 7.8 t/m³；索面积A₂=0.002 55 m²，最大张拉力F=690 kN,拱的弹性模量E₁=2×10¹¹ Pa，拉索的弹性模量E₂=   2.1×10¹¹ Pa。

几何非线性分析假定在弹性范围内，考虑线性弹性和非线性弹性 2 种情况。进行双重非线性分析时，对索仅考虑几何非线性问题，忽略垂度的影响，并只考虑结构在荷载作用平面内的问题。

3　恒载及活载作用内力分析

3.1　恒载内力对比分析

根据以上基本假设及计算模型，在索无初始应力且仅考虑结构自重作用下，普通拱与索拱结构的内力如图3所示。可见，索拱结构轴力分布与普通拱的结构轴力分布基本相同，轴压力从拱顶到拱脚逐渐增大，拱顶处最小，拱脚处最大。但在量值上，索拱结构的轴力在全跨范围内均低于普通拱结构的轴力，拱顶处的轴力比拱脚处的轴力下降幅度大。由剪力图可知，索拱结构与普通拱结构相比两拱脚处剪力大幅度减小，拱肋其余部分剪力峰值也明显减小。索拱结构的弯矩分布明显比普通拱结构的分布更合理。拱脚及拱顶负弯矩明显减小。索拱结构拱脚负弯矩较大，拱顶负弯矩较小，其余部分弯矩分布非常平稳。由此，索拱结构比普通拱受力合理，其恒载状态明显优于普通拱结构的恒载状态。其主要原因是拉索、拱轴力与拱重力一起形成三力汇交力系，又由于拉索两边对称布置，使水平方向分力相互抵消，竖向分力给拱以竖直向上的作用力，从而使拱的轴力减小，拱脚水平推力降低，拱的正负弯矩峰值减小，弯矩分布更趋平稳，对主拱起优化作用。

 (a) 轴力图；(b) 剪力图；(c) 弯矩图

— 索拱；… 普通拱

图3　索拱和普通拱的结构内力图

Fig.3　The diagram of structure internal forces of

cable-arch and true arch

3.2　活载作用下索拱结构的受力分析

将单位力作用于拱上135个结点，求得各控制截面内力影响线，如图4和图5所示。

从图4可知，索拱结构拱脚、拱顶及1/4截面的轴力影响线峰值均比普通拱结构的大，弯矩影响线峰值均比普通拱结构的小，并且较平稳，说明索拱结构将作用于拱上的单位活载转换成轴压力，使产生的弯矩和剪力比普通拱的小。图4中索拱结构各截面挠度影响线说明，在同样单位力作用下，索拱结构的变形明显小于普通拱结构的变形。可见，索作用于拱上使得拱的受力更合理，整体结构面内刚度增大，承载能力增强。

(a) 拱脚内力影响线；(b) 拱顶内力影响线；(c) 1/4截面内力影响线

— 索拱；… 普通拱

图4　索拱和普通拱结构内力影响线

Fig.4　The internal force influence lines of structure of cable-arch and true arch

(a) 拱顶截面；(b) 1/4跨截面；(c) 1/8跨截面

— 索拱；… 普通拱

图5　索拱和普通拱结构挠度影响线

Fig.5　The flexibility influencece line of structure of cable-arch and true arch

4　特征值屈曲分析

为研究索拱结构的特征值屈曲问题,分析了以下3种情况。

a. 在有4对索作用于拱上仅考虑结构自重，拱脚分别为铰支和固支时，索力与结构前四阶特征值屈曲系数λ的关系。数值分析结果表明，索-拱结构的屈曲系数λ对索的预应力不敏感，但有所提高，对面内稳定有一定作用。但索力过大，与本文假设不符，需要对拱轴线进行调整。与建筑结构中索作用于拱内部的结构预应力使极限承载力减小的情形^[3]相比，桥梁工程中索作用于拱外部体现了其自身的优点。

b. 在无预应力情况下仅考虑结构自重,拱脚分别为铰支和固支时拉索数量与前四阶λ的关系。与普通拱相比,对普通拱加1对索后，当拱脚为铰支时，第1阶λ提高2.55倍。以后每增加1对索，λ提高21.2%；拱脚为固支时，加1对索后，λ提高50.8%。可见，索-拱结构与普通拱面内相比稳定性明显提高,当拱脚为铰支时，索对结构的稳定性贡献更大。

c. 仅考虑结构自重且在单对索作用于拱上时，拱脚分别为铰支和固支时拉索与水平面夹角正切与λ的关系。每对索作用下结构的第1阶λ与其水平角度的正切呈现抛物线关系，都有1个极值点，这说明单对索对于结构面内稳定的贡献与水平夹角度密切相关，有一个最优的角度。此外，索作用在拱上的位置对索拱结构的面内稳定性也有很大影响。边界条件对索拱结构中索的面内稳定贡献的影响很大，铰支比固支小，第4对索表现得最为明显。

5　非线性屈曲分析

对索拱结构的非线性屈曲问题，从考虑几何非线性及双重非线性分别从边界条件为固支和铰支，荷载布置为跨中集中力、全跨均布荷载、半跨均布荷载几个方面进行对比研究，结果如图6~8所示。其中：A表示仅考虑几何非线性情况，B表示同时考虑几何与材料双重非线性情况。

图6所示为索拱结构与普通拱结构拱顶受集中荷载下，拱脚为固支时荷载与顶点挠度曲线。拱脚为固支且仅考虑几何非线性时，从普通拱到索拱结构极限承载力提高20%，考虑双重非线性时索拱结构与普通拱结构承载能力均降为仅考虑几何非线影响时的1/5，但索拱结构与普通拱结构相比，其承载能力仍高10%。拱脚为铰支(图中未示出)且仅考虑几何非线性时，索拱结构极限承载力比普通拱结构的极限承载力提高27%。考虑双重非线性时，索拱结构承载能力降低，为仅考虑几何非线性的18%，而普通拱承载能力降为20%，但索拱结构与普通拱结构相比仍大13.4%。考虑双重非线性后，2种结构相对只考虑几何非线性时变形减小。

１—A，普通拱；2—A，索拱；

3—B，普通拱；4—B，索拱

图6　集中荷载下顶点荷载挠度曲线

Fig.6　Load-displacement relation of vault with concentrated load

图7所示为索拱结构与普通拱结构在半跨均布荷载下，拱脚为固支时荷载与顶点挠度曲线。仅考虑几何非线性影响，索拱结构与普通拱结构对比，拱脚为固支时极限承载力提高129%，铰支时(图中未示出)提高394%。考虑双重非线性影响，索拱结构与普通拱结构相比，拱脚为固支时极限承载力提高33%，铰支时提高56%，但2种结构的极限承载能力均降为仅考虑几何非线性影响的1/10~1/5。索对索拱结构的贡献相当大，特别是铰支半跨荷载作用下作用更加显著。

图8所示为索拱结构与普通拱结构在全跨均布荷载下，拱脚为固支时荷载与顶点的挠度曲线。仅考虑几何非线性影响时，索拱结构与普通拱结构对比，拱脚为固支时极限承载力提高90.7%，铰支时(图中未示出)提高217.5%。考虑双重非线性影响，索拱结构与普通拱结构对比，拱脚为固支时极限承载力提高21.2%，铰支时提高78.2%。考虑双重非线性影响，2种结构的极限承载能力均比仅考虑几何非线性影响的极限承载能力降低，索拱结构在拱脚为固支时的极限承载能力降为57.8%，铰支时降为39.8%；普能拱结构承载能力降低较小，在拱脚为固支时降为88.2%，铰支时降为69.8%。

１—A，普通拱；2—A，索拱；

3—B，普通拱；4—B，索拱

图7　半跨均布荷载下顶点荷载挠度曲线

Fig.7　Load-displacement relation of vault with half-span uniform load

１—A，普通拱；2—A，索拱；

3—B，普通拱；4—B，索拱

图8　全跨均布荷载下顶点荷载挠度曲线

Fig.8　Load-displacement relation of vault with full-span uniform load

6　结　论

a. 索拱结构将拉索固结于拱上，由于拉索两边对称布置，使水平分力相互抵消，竖向分力给拱以竖直向上的作用力，减小拱的轴力及拱脚水平推力，使主拱的正负弯矩峰值减小，弯矩分布更趋平稳，外荷载作用下变形明显减小。因此，索有效地控制了拱结构内力分布，对主拱起到了优化的作用。

b. 索可以有效地控制拱结构的失稳模态和破坏形式，提高其极限承载能力，影响破坏过程及后屈曲平衡路线。

c. 在半跨荷载作用下，索有效地克服了拱结构在半跨荷载作用下变形大、承载力低的缺点。

d. 材料非线性使结构的稳定性明显降低，对索拱结构的影响比对普通拱结构的影响大，但索拱结构比普通拱结构承载能力明显提高，稳定性能明显增强。

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收稿日期：2006-06-07

基金项目：国家自然科学基金资助项目(10502020)；教育部跨世纪人才基金资助项目(教技函(2002)48)；湖南省科技厅资助项目(897201033)

作者简介：赵跃宇(1961-)，男，湖南益阳人，教授，博士，从事桥梁结构动力学研究

通讯作者：赵跃宇，男，教授，博士；电话：0731-8823962(O)；E-mail: kang.echo@gmail.com