地采诱发建筑物损害识别的多元判别分析模型-有色金属在线

物损害程度的影响因素较多且各因素呈现非线性、多重共线性等特点，借鉴统计学理论并结合工程实际，提出采用不同判别准则的多元判别方法对地采诱发建筑物损害效应进行有效识别。综合考虑地质采矿方面和建筑物本身的因素，选取10个影响砖混结构建筑物采动损害程度的因素作为模型的输入，将砖混结构建筑物的损害等级作为模型的输出，以32个建筑物采动损害的工程实例作为学习样本进行训练；依据不同判别准则及Mahalanobis距离判别分析(MDA)和Fisher线性判别分析(FDA)方法，分别建立建筑物采动损害的MDA模型和FDA模型，并利用该模型对6组待判样本实例进行仿真测试。研究结果表明：MDA方法和FDA方法对学习样本的准确率分别为87.5%和93.8%，对测试样本的准确率分别为83.3%和100%；多元判别分析模型判别性能稳健可靠，FDA法比MDA法判识准确性更高、适用性更强，对现有评价地采诱发建筑物损害方法进行了有效验证和补充。

关键词：

地下开挖；建筑物损害；损伤评价；Mahalanobis距离判别分析；Fisher线性判别分析；预测；

中图分类号：TD803 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2013)08-3335-09

Identification of building damage induced by underground mining using multivariate discriminant analysis model

WEI Wei, LI Xibing

(School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: Based on the fact that mining-induced damage to building is attributed to various nonlinear and multi-collinear factors, using statistics in engineering practice, a multi-variable discriminant analysis model based on different criteria was proposed to effectively identify the influences of mining underground on buildings. Comprehensively considering the geological mining and building factors, ten large factors effecting buildings damage of brick and concrete structure by mining were selected as the proposed model input variables. The damage level of the brick and concrete structure buildings was taken into account for the proposed model output value. 32 typical cases of buildings and structures damaged by mining were used for training data. Based on different criteria, Mahalanobis distance discriminant analysis (MDA) and Fisher linear discriminant analysis (FDA), MDA model and FDA model of buildings damage by mining were established, and 6 group cases were sentenced to distinguish samples for simulation test of these proposed models. The results show that the accuracies of the MDA and FDA method of learning samples are 87.5% and 93.8%, respectively, and accuracies of the test samples are 83.3% and 100%, respectively. The multivariate discriminant analysis model is featured with robust and reliable discriminant performance, and FDA exceeds MDA with higher accuracy and stronger applicability, which effectively verifies and supplements the existing methods for evaluating building damage induced by underground mining.

Key words: underground excavation; building damage; damage evaluation; Mahalanobis distance discriminant analysis (MDA); Fisher linear discriminant analysis (FDA); forecast

地下工程(隧道、基坑)开挖和矿山采掘不可避免地会对周围岩土体产生扰动，进而对邻近的建筑物产生影响，严重时会危及建筑物的安全。随着经济的发展和城镇化水平的提高，地表建筑物越来越密集，建筑物价值也越来越高，地下工程开挖与地表建筑物的矛盾日益突出的同时，对建筑物损伤风险的定量化要求越来越高^[1-5]。为此，研究地下开挖区临近建筑物的风险评估并针对损害建筑物提出相应的防御措施，对于保证建筑物的安全和正常使用具有重要意义。近年来，关于地采诱发建筑物损害的机制、预测与处治等方面国内外进行了许多卓有成效的研究工作^[4-9]，尤其是开挖引起的建筑物破坏风险评估，如：边亦海等^[4]采用建筑物的裂缝宽度来评价深基坑开挖引起的建筑物潜在破坏；Burland等^[6]在评估伦敦地隧道开挖引起的建筑物破坏时，把建筑物假设为简支梁，通过计算最大拉应变来确定潜在的破坏种类和风险级别；Finno等^[7]提出了分层梁模型，通过计算最大弯曲应变和剪切应变，来判断是否产生裂缝并评定破坏风险等级；Son等^[8]提出了四阶段方法来评估开挖造成的建造物破坏，该方法通过计算角变位和水平应变来确定结构的破坏风险等级。此外，国内外相继出台了一系列法律法规，如英国、波兰等国相继颁布了的建筑物损害等级规范^[1]，我国国家煤炭工业局也制定了《建筑物、水体、铁路及主要井巷煤柱留设与压煤开采规程》^[10]，给出了矿山开采塌陷引起的建筑物损坏判定等级，但在理论、方法体系的论述不够，也缺少实施层面的指导以及工程实践的范例。而影响地采诱发建筑物损害风险评估的因素具有复杂性、多样性和非线性的特点，很难提出准确通用的判别准则。近年来，一些学者提出模糊综合评价法^[11]、神经网络^[12-13]和可拓分析法^[14]等软科学方法对其进行评估，如Lian等^[11]提出了煤矿开采砖混结构破坏等级评价的模糊数学方法；郭文兵等^[12-13]采用基于模糊等价关系的模糊聚类分析方法和自适应BP神经网络技术建立建筑物采动损坏程度的预测模型，对采动影响下建筑物损害程度进行分类研究。刘立民等^[14]基于可拓学的理论和方法，建立了建筑物损坏等级识别和评判的可拓学分析方法的数学模型。上述系列方法和模型均不同程度地取得了一定效果，但均存在一定不足与局限性，如：Burland 等^[6]的方法均以应变或角变位为研究对象，采用的破坏指标，不直观，理解较困难，物理意义也不很明确^{[1, 15}^-^16]；模糊综合评判法常要对各指标确定隶属度及赋予不同权重时，会带有一定的主观性和随意性；BP神经网络方法存在收敛速度慢、易陷入局部最优及隐含层确定具有主观性等弱点；可拓变换难以确定合适的关联函数等。因此，要准确评价地下开挖工程对临近建筑物损害影响的程度，上述分类方法还不能很好地服务于工程实践，还需要探索更科学有效的评价方法。判别分析(discriminate analysis)是一种根据观测变量判断研究样本如何分类的多变量统计方法，它产生于20世纪30年代，近年来，在许多现代自然科学的各个分支和技术部门中得到广泛应用^{[3, 17-21]}，而评价地采诱发建筑物损害等级对象具有随机性和模糊性以及不同条件下的可变性等特点，其影响因素目前没有统一标准，部分明确指标其具体量值也难以确定。为此，本文作者在前人研究工作的基础上，借鉴统计判别分析的基本理论和方法，建立地采诱发建筑物损害的Mahalanobis识别模型和Fisher判别模型，并通过工程实例的分析比较，探讨2种判别模型在地采诱发建筑物损害识别中的适宜性和准确性。

1 多元判别分析计算原理

1.1 判别分析

判别分析法^{[3, 18-21]}在已知研究对象分成若干类型，并已取得各种类型的一批已知样品的观测数据基础上，根据某些准则建立判别式，然后，对未知类型样品进行归类、识别，判断其所属类型的一种多元统计分析方法。包括 Mahalanobis 距离判别分析法^{[3, 18-19]}和 Fisher 判别分析法^{[18, 20-21]}，目前，在岩土和矿业工程领域内得到很好应用。

1.2 Mahalanobis距离判别分析计算理论

设总体(即地采诱发建筑物损伤类别)为n元总体(考察n个指标)，其中样本。令，则总体均值向量为。总体的协方差矩阵为，则样本X与总体之间的Mahalanobis距离定义为。考察新样本X到总体和的Mahalanobis距离的平方差：

(1)

设为判别函数，且

(2)

其中：；。

设有k个总体，的均值为，协方差矩阵为(＞0)，并假设，i=1, 2, …, k。x是1个等待判别的样品，则x到总体的距离为

(3)

其中：；；i=1, 2, …, k。

由式(7)可取线性判别函数为，(i=1，2，…，k)，则多总体的Mahalanobis距离判别规则^{[3, 18-19]}如下：

若，则

(4)

在实际应用中，总体参数及通常是未知的，它们的取值需要用训练样本进行估计。设是来自总体的训练样本^{[3, 18-19]}，则和可估计为

, (5)

其中：；。

1.3 Fisher判别分析计算理论

设有k个n维建筑物损害类别,, …, ，其均值向量为,, …, ，协方差为。本文对4种损害类别进行有效识别，因此，k=5。对任意给定1个样本x，考虑其线性判别函数，则当时，y(x)的均值为，方差为，(i=1，2，…，k)。令组间差

，组类差。

运用方差分析思想选择系数(权)a使得判别效率达到最大。令，

，(其中为n维向量，I_k为k阶单位阵，J_k表示元素全为1的k阶方阵)，则有

(6)

式中：B和E为非负阵。为确保解的唯一性，不妨设，考虑目标函数

(7)

对式(6)求导得：

； (8)

经整理得：

(9)

式中：u为最大特征值λ对应的特征向量，由此可以求出判别函数的系数；I 为组内离差平方和与组间离差平方和的比值，解方程分别可求得γ-2个判别函数(γ=Min[(Ω-1)，k]，本文γ=4。每个判别函数都有1个衡量其判别能力的指标即贡献率^{[18, 20-21]}。在实际运用中，当累计贡献率P＞0.85即可。

对任意样本x，求判别函数为，根据式(1)计算它与建筑物损伤类别的Mahalanobis距离，(i=1，2，…，k)。则其判别规则为

， (10)

1.4 判别准则的评价

判别方法的有效性表现在2个方面：一是对已知分类的样本的回代判别正确率高；二是对于新样品的分类具有很高的判断正确率^{[3, 18, 21]}。为考察上述判别准则的优越性，采用回代估计法来计算误判率。设(i=1, 2, …, k)为来自总体,, …, 的容量分别为n₁, n₂, …, n_k的训练样本；以全体训练样本作为n₁+n₂+…+n_k个新样本，逐个代入已建立的Mahalanobis距离和Fisher判别准则中判别其归属，这个过程称为回判。并将误判个数对全体训练样本个数的比值作为误判率的回代估计，则

(11)

式中：为将属于总体Ω₁的样本被误判的个数；为将属于总体Ω₂的样本被误判的个数；为将属于总体Ω_k的样本被误判的个数。

2 地采诱发建筑物损害效应预测的多元判别分析模型及应用

2.1 模型输入输出参量的确定

建筑物损伤效应受多种控制因素的影响，参考有关研究及工程实践^[1-13]，还需考虑分析资料的易获性和代表性，综合考虑地质采矿方面和建筑物本身方面因素，选取建筑物状况R、空区位置y、长度L、宽度W、采动程度综合系数q、采深H、采厚M、覆岩平均普氏系数f、倾角α和顶板管理方法T这10个因素作为模型的输入参量。其中：建筑物状况R主要指建筑物的修建年限、地基、基础性质、建筑材料和结构以及建筑物质量等方面的综合反映，分级是用定性语言描述的，在计算中按表1量化值计算^[13]；建筑物与采空区的位置关系可根据建筑物移动盆地内位置的不同及受到开采影响破坏程度利害情况，划分为5种情况，如表2所示^[13]。

表1 建筑物状况赋值

Table 1 Valuation of buildings situation

表2 建筑物在移动盆地中的位置

Table 2 Position of buildings in moving basin

在确定建筑物损伤时，参考BRE建筑物破坏分类表^[15](表3)、Rankin评估系统^[16](表4)、英国建筑物损害等级规范^{[1, 17]}(表5)、波兰建筑物损害规范^{[1, 17]}(表6)和《建筑物、水体、铁路及主要井巷煤柱留设与压煤开采规程》^[10](表7)，将建筑物损坏分为将建筑物损害等级分为Ⅰ(忽视)、Ⅱ(轻微)、Ⅲ(中等)和Ⅳ(严重)4个类别，给出建筑物的最大裂缝宽度，将建筑物损坏类别D作为模型的输出。

2.2 仿真数据采集及数据归一化处理

为了验证本文提出的地采诱发建筑物损害效应预测模型有效性和实用性，以郭文兵等^[12-13]搜集的38组建筑物采动损害实例数据作为总体样本，其中隶属于Ⅰ(忽视)、Ⅱ(轻微)、Ⅲ(中等)和Ⅳ(严重) 4个建筑物损害类别的样本数分别为9，10，9和10，并将样本集分成2部分，其中32组(编号S1，S2，…，S32)作为MDA和FDA模型训练样本集进行训练，其余部分(编号T1，T2，…，T6)作为检验集。建筑物采动损害典型实例训练集和测试集分别见表8和表9。各评价参量数据可视化图见图1。

表3 BRE 提出的建筑物破坏分类表

Table 3 Classification of building damage by BRE

表4 Rankin评估系统

Table 4 Rankin’s evaluation system

表5 英国建筑物损害等级规范

Table 5 Evaluation code for buildings damage in England

表6 波兰建筑物损害规范

Table 6 Evaluation code for buildings damage in Poland

表7 砖石结构建筑物的破坏等级规范

Table 7 Level specification of destruction of masonry buildings

表 8 建筑物采动损害典型实例训练集

Table 8 Typical cases for training data of buildings and structures damaged by mining

表9 建筑物采动损害典型实例测试集

Table 9 Typical cases for testing data of buildings and structures damaged by mining

图1 建筑物损伤评价原始数据可视化图

Fig.1 Original data visualization of damage evaluation of buildings

2.3 建立建筑物损伤等级评估的MDA和FDA模型

多元判别模型输入向量为(R, y, L, W, q, H, M, f, α, T)，模型输出损害等级D，建立映射D→F(R, y, L, W, q, H, M, f, α, T)。因训练集中有4个类别，输出层为4种损伤等级类别：Ⅰ(忽视)、Ⅱ(轻微)、Ⅲ(中等)和Ⅳ(严重)。应用前面介绍的理论，首先根据多元判别分析理论建立地采诱发建筑物损害效应预测的Mahalanobis距离判别分析模型，根据多总体的Mahalanobis距离判别原理对其进行学习，借助Matlab 软件编制相关数据分析程序，建立Mahalanobis距离判别准则下的Mahalanobis 判别函数(表10)，进而对各个样本进行归类判别(表8)，其判别流程见图2。

MDA模型对学习样本的判别结果全部准确(表8)，由此可认为分类模型已很稳定。根据学习好的建筑物损伤识别的MDA 模型对6 个待判样本进行判别，判别结果与实际状态较相符，回代估计准确率达87.5%(28/32)，并与BP神经网络方法^[13]预测结果较为一致，只有一组发生误判，误判率为83.3%(5/6) (表9)。由此可见：MDA模型用于地采诱发建筑物损害识别预测是可靠和有效的。

表10 Mahalanobis距离判别函数系数

Table 10 Coefficients of Mahalanobi distance discriminant function

然后，根据所确立的模型因子和基于Fisher判别分析建模所要求的基础数据，利用上述Fisher判别分析法的基本原理，建立FDA模型。应用 Fisher 判别分析法时，首先选取训练样本，通过一系列运算使其在一定的空间上投影，要求投影尽可能分开，然后，对待测点进行诊断。诊断的第1步也是对待测点进行投影，然后计算其投影与各样本投影的马氏距离，通过比较各马氏距离判断待测样本的归类，为此利用32个学习样本进行训练，借助Matlab 软件编制相关数据分析程序，得到fisher判别准则下的地采诱发建筑物损害识别模型，根据fisher判别准则确定各判别函数系数 (表11)，进而判别各样本的归属，利用回代估计法进行检验。从表8可以看出：对32组训练样本，FDA判别正确率达到93.8%(30/32)。第一、二判别函数分组简图见图3。从图3可以看出样本离散性较好，从而说明Fisher判别准则下的地采诱发建筑物损害识评价模型的有效性和可行性。所以，将Fisher判别分析模型应用于地采诱发建筑物损害识等级评价的判定中完全可行，高效可靠，并具有较高的实用价值。把学习好的FDA模型对测试集6组样本进行实际验证，正确率达100%，其他模型结果见表9。

图2 地采诱发建筑物损害风险的多元判别分析流程图

Fig.2 Principle flow chart for proposed multivariate discriminant analysis approach to assess risk of mining-induced buildings damage

2.4 结果分析

在建构筑物损害分类判别中，多元判别分析方法展现出强大的统计优势，利用Fisher判别准则和Mahalanobis距离判别准则均取得较好的效果(表8)，从表8可以看出：MDA和FDA判别准则下的样本判别模型，回代估计率都很高，分别为87.5%和93.8%，对待判样本的推广判别效率分别为83.3% 和100%，都在80%以上，在一定程度上满足工程实际需要。个别模型上FDA模型较MDA模型判别略有优势。

表 11 Fisher判别函数系数

Table 11 Coefficients of Fisher discriminant function

图3 第一、二判别函数分组简图

Fig.3 Figure of grouping using the first and second discriminant functions

比较以上介绍的2种判别法，很难从客观上判断其优劣，这需要根据实际问题作出选择。如当k个总体的均值向量共线性程度较高时，Fisher判别法和Mahalanobis判别法均比较简单，且Fisher判别法未对总体分布进行特殊要求。在一定条件下，这些判别法其实都是等价的。与神经网络方法相比^[13]，本文方法计算过程更加简单。因为FDA和MDA分析模型可以借鉴统计学的优势，充分利用已有观测数据提供的信息建立地采诱发建筑物损害效应预测的FDA和MDA 模型，可克服神经网络难以实现全局最优的缺点，又可在一定程度上避免繁杂的数值仿真过程。

由此可见：用多元判别分析理论用于地采诱发建筑物损害效应评估完全可行，比较客观地反映了地采诱发建筑物损害效应的真实情况。在工程实际中，根据本模型确定其损害程度，判定建筑物的补偿形式和补偿标准，使得建筑物补偿工作更加科学合理。

3 结论

(1) 选用允许使用小样本、并可使用建立模型时的数据进行验证的多元判别分析原理，提出基于统计学理论的地采诱发建筑物损害效应预测方法，综合考虑地质采矿方面和建筑物本身方面因素，选取10个影响砖混结构建筑物采动损害程度的因素(R, y, L, W, q, H, M, f, α, T)作为模型的输入，将砖混结构建筑物的损害等级D作为模型的输出，根据不同判别准则，分别建立了地采诱发建筑物损害效应评价的Mahalanobis距离和Fisher识别模型。

(2) 所建立不同判别准则下的建筑物采动损害多元判别分析模型，计算方法简单，评价结果与实际情况较吻合，FDA模型略优于MDA模型。在考虑诸多风险因素的情况下，应用判别分析可更加充分地挖掘可用信息，降低错判率，为建筑物采动损害评价方法提供了一种崭新实用的途径。

(3) 判别方法建立和验证都离不开建筑物采动损害原始资料，其适用性与可信度在很大程度上取决于原始资料。由于本文预测模型是建立在发生损害的建筑物的观测数据与特征规律学习基础上，因此，学习样本的数量及代表性对地采诱发建筑物损害效应预测判别的准确性非常重要，在学习样本范围外的预测判别可能会产生较大的误差。在实际工程应用中，可根据具体情况，更广泛地收集工程实例资料，建立相应的样本数据库，增强模型的识别能力。

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(编辑陈灿华)

收稿日期：2013-01-11；修回日期：2013-03-10

基金项目：国家自然科学基金资助项目(41272304)；国家重点基础研究发展计划(“973”计划)项目(2010CB732004)；中南大学中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(2012zzts102)

通信作者：李夕兵(1962-)，男，湖南宁乡人，教授，博士生导师，从事岩石动力学与采矿研究；电话：15874173722；E-mail: xbli@csu.edu.cn

摘要：针对采动区建筑物损害程度的影响因素较多且各因素呈现非线性、多重共线性等特点，借鉴统计学理论并结合工程实际，提出采用不同判别准则的多元判别方法对地采诱发建筑物损害效应进行有效识别。综合考虑地质采矿方面和建筑物本身的因素，选取10个影响砖混结构建筑物采动损害程度的因素作为模型的输入，将砖混结构建筑物的损害等级作为模型的输出，以32个建筑物采动损害的工程实例作为学习样本进行训练；依据不同判别准则及Mahalanobis距离判别分析(MDA)和Fisher线性判别分析(FDA)方法，分别建立建筑物采动损害的MDA模型和FDA模型，并利用该模型对6组待判样本实例进行仿真测试。研究结果表明：MDA方法和FDA方法对学习样本的准确率分别为87.5%和93.8%，对测试样本的准确率分别为83.3%和100%；多元判别分析模型判别性能稳健可靠，FDA法比MDA法判识准确性更高、适用性更强，对现有评价地采诱发建筑物损害方法进行了有效验证和补充。