增加荷载作用下纤维增强混凝土的动态断裂研究

程云虹1，吕念春2

(1. 东北大学 资源与土木工程学院，辽宁 沈阳，110004；

2. 沈阳理工大学 材料科学与工程学院，辽宁 沈阳，110168)

摘  要：利用建立的纤维增强混凝土动态裂纹模型，将桥联处用载荷表示，当裂纹扩展时，纤维连续开裂。研究结果表明：利用复变函数论方法，将所讨论的问题转化为Riemann-Hilbert问题；通过自相似方法，求得纤维增强混凝土的动态扩展裂纹的坐标原点分别在增加载荷Px/t和Pt3/x2作用下的位移、应力和动态应力强度因子的解析解。利用这些解并采用叠加原理，就可以求得任意复杂问题的解。

关键词：纤维增强混凝土；裂纹；桥联；自相似方法；解析解

中图分类号：TU528          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2009)06-1756-07

Dynamic fracture concerning fibre strengthen concrete under actions of increasing loads

CHENG Yun-hong1, L? Nian-chun2

(1. College of Resources and Civil Engineering, Northeastern University, Shenyang 110004, China;

2. College of Material Science and Engineering, Shenyang Ligong University, Shenyang 110168, China)

Abstract：Applying the dynamic crack model of fibre strengthen concrete, bridging fiber segment was represented by loads. When a crack propagates, its fiber continues to break. The results show that using the theory of complex functions, the problems discussed can be easily translated into Riemann-Hilbert problems. Analytical solutions of the displacements, stresses and dynamic stress intensity factors under the action of increasing loads Px/t and Pt3/x2 situated at the origin of the coordinates of propagation crack, are gained by self-similar approaches. After those analytical solutions are utilized by superposition theorem, the solutions to arbitrary complex problems can be obtained.

Key words: fibre strengthen concrete; crack; bridging fiber; self-similar approaches; analytical solutions

关于纤维增强混凝土增强机理，目前有2种理  论[1-8]：一种是复合材料理论，另一种是纤维间距理论。复合材料理论把纤维增强混凝土看成多相体系，纤维为一种相，混凝土为另一种相，复合材料的性能是各项性能的总和[1-6]。纤维间距理论是针对乱向短钢纤维增强混凝土提出的，它依据线弹性断裂力学原理，是以纤维间距作为基本参数的增强机理。在混凝土中掺入纤维后，有效地约束了裂纹的发展。纤维间距越小，缓和应力集中的作用便越大，从而达到混凝土强度和韧度增大的目的[4-8]。由于在混凝土中掺入纤维具有抵抗裂纹形成及其扩展的功能，使得纤维增强混凝土与素混凝土相比在断裂行为、抗裂性能等方面有很大差别，因此，研究其断裂特征，建立断裂模型，对纤维增强混凝土的结构性能研究和结构设计有一定的指导作用[9]。纤维增强混凝土大多应用于动载荷作用下的工作环境，而人们对它的静力学问题的研究较少，因此，有必要对其动力学问题进行研究。

1  纤维增强混凝土的断裂行为

对于纤维乱向分布的纤维增强混凝土，可以将其看成是各向同性材料[10]。由于在工程实际中，所受拉压现象最普遍，故假设纤维增强混凝土受力开裂为Ⅰ型裂纹。

纤维增强混凝土受到外部荷载作用时，其主裂纹前端出现一个断裂过程区。该过程区的性能对纤维增强混凝土的断裂与韧性有很大影响。当纤维增强混凝土初裂以后，裂纹张开受到横跨裂纹纤维的桥接阻止作用[10]。沈荣熹等[11-14]分析了纤维增强混凝土断裂过程，提出了纤维增强混凝土纤维桥联裂纹模型(见图1)。该模型将裂纹分成3个区域：区域A为无应力传递的裂纹区，该区域裂纹足够宽，纤维被拔出或拔断；区域B为纤维桥联区，亦称假塑性区，该区域的混凝土基体正在开裂，桥联的纤维对裂纹有阻止作用，裂纹长度在此区域缓慢增大，直至达到临界状态；区域C为微裂纹区或称过渡区(由于混凝土是脆性材料，因此，该区域不发生塑性变形或仅有微小的塑性变形)，并假定它对裂纹区无影响。随着荷载的增加，该区域将向区域B转化。

图1  纤维增强混凝土断裂模型

Fig.1  Model of fracture of fiber reinforced concrete

在纤维桥联区，横跨裂纹面的若干纤维可等效为若干使裂纹面闭合的集中力[15]。纤维桥联降低了裂纹尖端的应力强度因子，在基体材料断裂韧性相同的情况下，需要更大的外荷载才能诱发裂纹扩展，引起材料结构发生破坏[16]。

纤维桥联在纤维对混凝土的阻裂、增强及增韧过程中起着至关重要的作用，尤其是混凝土产生裂纹时，纤维的桥联作用更是不容忽视。故纤维桥联问题是有关纤维增强混凝土的重要研究课题，也是该领域的前沿课题。

2  纤维增强混凝土断裂的动态模型

纤维桥联形成于纤维增强混凝土裂纹的形成与扩展过程中，即裂纹快速扩展时，桥联现象仍然存在。建立恰当的纤维桥联动力学模型，对于研究纤维增强混凝土的断裂问题很有意义。

若纤维的失效由最大拉应力引起，且该应力出现在裂纹平面上，纤维断裂，裂纹的扩展将以自相似的方式出现。纤维断裂沿着1条横向线，并呈现1个“V”字形刻痕。假设裂纹从无穷小的微观裂纹形成，并以自相似方式沿着x轴高速扩展，即：裂纹从初始长度为0开始，以速度v沿x轴正、负方向对称扩展。在混凝土基体中裂纹扩展的速度为v，但在靠近裂纹尖端，纤维并没有断裂，而离裂纹尖端较远处(即裂纹中心附近)，纤维已经断裂；当裂纹扩展时，纤维也在连续地发生断裂。设纤维断裂的速度为，桥梁裂纹扩展示意图如图2所示。可见，对于y轴，该桥联结构具有在几何上和载荷上的对称性，故只需分析右侧的半平面区域即可。纤维和混凝土基体被认为是线弹性的，并进一步假定在轴向上纤维比混凝土基体具有更高的弹性系数，因此，在纤维增强混凝土中，纤维被看作支撑所有轴向载荷。在相邻纤维之间，通过简单的剪切机理，载荷穿过混凝土基体传递。为了便于分析，假定纤维断裂位置沿着单一的平面出现，纤维断裂是自相似的纤维断裂，并且呈现1个“V”字形刻痕。图2中，y=0，-vt＜x＜vt是基体中裂纹的位置区间(其中在y=0，-＜x＜处纤维已经断裂)；y=0，＜|x|＜vt是桥联区的位置区间。

图2  桥联裂纹扩展示意图

Fig.2  Sketch of crack extension of bridging fibres in fiber reinforced concrete

显然，图2中纤维增强混凝土的桥联裂纹动力学问题可以用图3所示的动力学模型来表示。该模型由1条沿x轴扩展的裂纹表示，裂纹两端各以速度v沿x轴正、负方向对称扩展，同时，纤维断裂的速度为，桥联的位置也具有关于x轴对称的特性。每个纤维被1对垂直作用在相同坐标的同一点上、下裂纹平面的牵引力所代替，但方向相反，并假定每个纤维力与来自混凝土基体的纤维断裂载荷相平衡。关于x轴和y轴，这个模型具有几何和力学上的对称性。在y=0，-vt＜x＜及＜x＜vt区间上作用闭合力，该力代表桥联处纤维的压力。在纤维增强混凝土中，纤维通常是密集排列的，因此，假设由桥联产生的压力是连续分布的。以y=0和＜x＜vt区间为例，由于在此区间内裂纹面的位移不同，因而，桥联力也不同，显然，靠近处的桥联力最大(|x|＜处的纤维都已拉断)，而靠近vt处的桥联力最小，因此，可以假设桥联力与x有关。另一方面，由于裂纹快速扩展，裂纹尺寸随时间t的变化而变化，而裂纹越长，断裂的纤维就越多，即纤维的断裂数量与时间t有关。于是，可以认为，在y=0和＜x＜vt上，桥联力是不同的。上述分析基于以下假设：纤维在混凝土基体中是均匀分布的，各纤维具有同等强度，断裂时纤维与基体在同一截面上。当然，这仅是1种假设和1种力学模型，这种模型与实际情况显然存在较大差别。

图3  桥联裂纹的动力学模型

Fig.3  Dynamic model of crack of bridging fibers in fiber reinforced concrete

3  自相似函数的相关公式

设在y=0的平面上有任意个载荷区段及位移区段，这些区段的端点各以不同的常速移动，初始条件为0。这些区段上的载荷或位移是如下函数线性组合[17]：

需指出的是：在亚音速范围内，D(τ)/D1(τ)总是纯虚值。至此，所论正交异性体弹性动力学问题化为确定满足边界条件的单一未知函数F(τ)及W(τ)的问题。在一般情况下，这是复变函数论中的Riemann-Hilbert问题(在简单情况下，成为Keldysh-Sedov问题或Dirchlet问题)，这一类问题容易用Muskhelishvili方法[21]解决。

对无限大复合材料的断裂动力学问题进行研究。假定：在t＜0时一切静止；在t=0时坐标原点开始出现裂纹，并以速度v (小于声速)沿x轴正、负方向对称扩展，裂纹表面受到不同类型的荷载作用，且处于平面应变状态下。

4  具体问题的求解

为了更好地解决纤维混凝土的断裂动力学问题，对受集中荷载作用下的Ⅰ型运动裂纹进行求解，并根据广义函数原理，利用自相似函数将不同边界条件转化为Keldysh-Sedov混合边界值问题，从而获得相应问题的解。

a. 设在t=0时刻，坐标原点在集中载荷P作用下，开始出现1条穿透裂纹，裂纹以常速v沿x轴正、负方向对称扩展，在y=0的半平面上，问题的边界条件为：

利用对称性、无穷远条件及裂纹尖端的奇异    性，可得Keldysh-Sedov问题(13)的惟一解：

据式(32)和(33)可以求出此动力学问题的纤维增强混凝土的纤维断裂速度。

5  数值结果及分析

为了更有效地描述动态应力强度因子，针对具体问题需将解析解转化为数值解，才能便于说明应力强度因子变化规律。下面以式(19)及式(30)为例来研究动态应力强度因子与时间的关系，所得结果分别见图4和图5。所取参数如下[10]：弹性模量E=3.3×1010 N/m2，泊松比=0.17，断裂韧度KIC=1.197 9×106 N/m3/2，并设v=800 m/s，P=600 N。

图4  由式(19)所得的动态应力强度因子与时间的关系

Fig.4  Relationship between dynamic stress intensity factors and time obtained by Eqn.(19)

图5  由式(30)所得的动态应力强度因子与时间的关系

Fig.5  Relationship between dynamic stress intensity factors and time obtained by Eqn.(30)

由图4可见：在t=0时，动态应力强度因子趋近于无穷大；随着时间的延长，应力强度因子衰减趋势逐渐减慢，以至最后趋近于1个常数。也就是说，动态应力强度因子从无穷大开始变化到最终趋近于1个常数，在动态裂纹的尖端，应力强度因子具有明显的应力奇异性。

由图5可知：随着时间t的延长，应力强度因子从0开始逐渐增大，以至于可以达到或超过材料的断裂韧性，导致材料结构发生破坏。

当，时，(其中：a为静态裂纹的长度)，上述的动态解就能转化成静态解[17]。

可见：所研究的2个问题的动态应力强度因子在，时均小于此混凝土的断裂韧度，因此，该材料结构是安全的。

6  结  论

a. 利用f(x, y, t)=tnf(x/t, y/t) (n为整数)，就可以将所讨论的问题转化为零次齐次函数即自相似函数。凡是满足这个函数关系，均可通过式(4)~(8)以τ为变量的齐次函数类型进行求解，并得到了纤维增强混凝土桥联问题的裂纹动力学模型的解析解。这一方法不仅在弹性动力学中得到应用，而且在弹性静力学中甚至其他领域也可得到应用。

b. 采用复变函数的方法获得纤维增强混凝土动态裂纹模型的解析解，采用自相似函数的途径能够获得该模型的具体解，同时，可以计算不同载荷状态下应力、位移、应力强度因子和桥纤维的断裂速度。

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收稿日期：2008-11-15；修回日期：2009-02-06

基金项目：中国博士后科学基金资助项目(2005037231)

通信作者：程云虹(1964-)，女，辽宁沈阳人，博士，副教授，从事混凝土材料及性能研究；电话：13109886936；E-mail: cyh_neu@163.com