简介概要

矿震系统的胞映射-突变预测模型

来源期刊：中国有色金属学报2002年第1期

论文作者：周辉冯夏庭谭云亮王泳嘉

文章页码：155 - 160

关键词：矿震；非线性动力学；胞映射-突变预测模型

Key words：mine quake;nonlinear dynamics;cell-mapping -catastrophic forecasting model

摘要：针对传统矿震预测理论和方法存在的问题及矿震本身的非线性动力学特征，基于胞映射理论和突变理论提出了“矿震系统的胞映射-突变预测模型”。该模型既考虑了矿震系统的非线性动力学本质，又利用胞映射理论消除了初值的随机性和矿震系统本身的内在随机性对预测结果的影响。分析实例表明，该模型可以更精确而客观地识别和预测矿震演化过程中的突变行为。

Abstract: Mine quake is a dynamic phenomenon of rock mass which is very harmful to mining. In allusion to the disadvantages of traditional forecasting theories and the nonlinear dynamic features of mine quake, “cell-mapping-catastrophic forecasting model of mine quake” is set up based on the cell-mapping theory and catastrophic theory. The nonlinear dynamic essences of mine quake is considered by the model, and the influences of random of initialized values of variables and the internal randomicity of mine quake on forecasting results are subtly eliminated with the cell-mapping theory. The example shows that the model can distinguish and forecast the catastrophic behaviors of the evolution of mine quake more accurately and objectively.

DOI:10.19476/j.ysxb.1004.0609.2002.01.031

矿震系统的胞映射-突变预测模型

周辉冯夏庭谭云亮王泳嘉

中国科学院武汉岩土力学研究所岩土力学重点实验室

山东科技大学

东北大学资源与土木工程学院武汉430071

武汉430071.东北大学资源与土木工程学院

沈阳110004

泰安271019

摘要：

针对传统矿震预测理论和方法存在的问题及矿震本身的非线性动力学特征 , 基于胞映射理论和突变理论提出了“矿震系统的胞映射突变预测模型”。该模型既考虑了矿震系统的非线性动力学本质 , 又利用胞映射理论消除了初值的随机性和矿震系统本身的内在随机性对预测结果的影响。分析实例表明 , 该模型可以更精确而客观地识别和预测矿震演化过程中的突变行为。

关键词：

矿震;非线性动力学;胞映射突变预测模型;

中图分类号： TD324

收稿日期：2001-01-09

基金：国家自然科学基金资助项目 (5 0 1790 3 4);国家自然科学基金资助项目 (5 980 40 0 5 );

Cell-mapping-catastrophic forecasting model of mine quake system

Abstract：

Mine quake is a dynamic phenomenon of rock mass which is very harmful to mining. In allusion to the disadvantages of traditional forecasting theories and the nonlinear dynamic features of mine quake, "cell mapping catastrophic forecasting model of mine quake"is set up based on the cell mapping theory and catastrophic theory. The nonlinear dynamic essences of mine quake is considered by the model, and the influences of random of initialized values of variables and the internal randomicity of mine quake on forecasting results are subtly eliminated with the cell mapping theory. The example shows that the model can distinguish and forecast the catastrophic behaviors of the evolution of mine quake more accurately and objectively.

Keyword：

mine quake; nonlinear dynamics; cell mapping catastrophic forecasting model;

Received： 2001-01-09

矿震包括岩爆、煤爆和冲击地压等多种表现形式, 是一种对矿井生产具有重大危害的岩体动力现象。目前, 我国许多矿井的开采活动逐步向深部延伸, 这种危害性就愈突出。长期以来, 广大学者和工程技术人员从不同侧面提出了一系列矿震的预测预报理论 ^[1,2] 。但是, 传统理论大都基于定性的、表象的或静态的观点, 没有反映出矿震孕育过程中的非线性动力学本质。因此, 到目前为止, 在应用传统理论进行的矿震预测预报研究中, 很少有成功的范例。近年来, 一些学者将非线性动力学方法应用于岩爆等岩体动力灾害的预测预报中, 得到了一些较满意的结果 ^[3,4,5,6] , 对于矿震的预测预报, 这些理论和方法不失为一些很有前途的研究方向。

突发性是矿震的典型特征, 这种突发性的岩体动力行为可以用突变理论来描述。另外, 最新的研究成果表明, 矿震系统是一个典型的混沌系统 ^[7,8] 。对于混沌系统而言, 系统的内在随机性会导致其对观测初值的极端敏感性, 即观测初值稍有误差, 就会导致预测结果的完全不同; 而由于矿井工作面的生产条件非常复杂, 矿震系统变量观测中的误差是难免的。如何消除观测初值的随机性和系统内在随机性的影响是传统的预测理论没有解决的难题。传统的非线性预测理论对于矿震混沌系统的预测结果采用的是确定性的表达方式, 即“矿震系统在未来某时刻将处于某一确定状态或在未来某时刻将发生突变”。本文作者认为, 采用这种方式来表述矿震的预测结果本身就是不科学的。因为初值观测的随机性和系统的内在随机性决定了对矿震所作出的预测中必然包含有一定的随机成分, 因此, 矿震混沌系统的预测不应当是确定性问题, 而是一个概率问题。显然, 传统的非线性预测理论并没有提供解决这一问题的方法。为了解决上述问题, 本文作者基于突变理论和胞映射理论提出了一种新的矿震系统的非线性预测模型——胞映射-突变预测模型, 从而更准确地识别矿震演化过程中的突变行为。

1胞映射理论及时间序列灰色-尖点突变模型的基本原理

1.1 胞映射理论的基本原理

胞映射理论由Hsu提出 ^[9,10] , 是对非线性动力系统, 特别是对强混沌性系统进行全局分析的一种有效工具。胞映射将点到点的映射转化为胞到胞的映射, 可以“平滑”并削弱观测初值的随机性和系统的内在随机性对系统动力学模式的影响。其基本原理如下:

设N维动力系统的非线性动力学方程可以表示为

dx_i/dt=f_i (x₁, x₂, …, x_N; α_i) (1)

式中 x_i为系统的状态变量, α_i为控制变量。

把N维状态空间的每个坐标都分成许多小段, 每段用一个整数Z_i表示, 离散化状态空间的N维有限单元称为胞, 以N个整数Z_i (i=1, 2, …N) 构成向量Z (称为胞向量) 来表征。

将系统的动力学行为 (从n时刻到n+1时刻) 用胞对胞的映射c表示为离散化的整数方程

Z (n+1) =cZ (n) (2)

若每个胞都只有一个相应的映射胞, 即称为狭义胞映射; 若每个胞对应多个映射胞, 则称为广义胞映射。对于广义胞映射, 需要计算出每个胞在下一时刻映射到多个胞i中的概率, 记为ξ_i。把这些概率汇总成胞概率向量, 记为ξ (t) (t为时间) 。在实际计算中, ξ (t) 可按下面的方法进行计算:

将第j个胞离散细化为若干个子胞, 设第k个子胞的中心点状态向量为X^d (n) , 则其一次映射后的状态向量可由式 (1) 经差分运算求得

X^d (n+1) =F (X^d (n) ) (3)

记胞j的所有子胞经上述映射后落入胞i的个数为M_ij, 则从胞j到胞i的一次转移概率为

P_ij=M_ij/N_s (4)

式中 N_s为一个胞内子胞的总数。

由P_ij构成Markov一次转移概率矩阵P, 则系统的动力学行为可用概率方程表示为

ξ (n+1) =Pξ (n) (5)

利用上式, 可以分析非线性动力系统的各种演化特性。

1.2 时间序列的灰色-尖点突变预测模型

为了弱化矿震系统变量观测信息的随机性, 可采用灰色建模理论的思想, 首先对原始观测数据进行累加。令x⁽⁰⁾为原始观测序列, x⁽¹⁾为其一次累加生成 (AGO) 序列, 即

$x^{(1)} (k) = \sum_{j = 1}^{k} x^{(0)} (j) ? (j, k \leq m) ? ? ? (6)$

若视时间序列x⁽¹⁾为来自于时间的连续函数 $\hat{x}$ ⁽¹⁾ (t) 的一组离散解, 则可进行Taylor展开, 并截取至5次项, 从而将 $\hat{x}$ ⁽¹⁾ (t) 近似表示为

$\begin{array}{l} \hat{x}^{(1)} (t) = A_{0} + A_{1} t + A_{2} t^{2} + A_{3} t^{3} + \\ A_{4} t^{4} + A_{5} t^{5} ? ? ? (7) \end{array}$

对上式求导, 即可得到还原后的模型表达式

$\begin{array}{l} \hat{x}^{(1)} (t) = \frac{d \hat{x}^{(1)} (t)}{d t} = A_{1} + 2 A_{2} t + 3 A_{3} t^{2} + \\ 4 A_{4} t^{3} + 5 A_{5} t^{4} ? ? ? (8) \end{array}$

令

$\begin{array}{l} y = \hat{x}^{(0)} (t), a_{0} = A_{1}, a_{1} = 2 A_{2}, a_{2} = 3 A_{3}, \\ a_{3} = 4 A_{4}, a_{4} = 5 A_{5} ? ? ? (9) \end{array}$

则式 (8) 可简化为

y=a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³+a₄t⁴ (10)

对上式进行Tschirnhaus变换 ^[11] , 即令

$x = t - A, A = \frac{a_{3}}{4 a_{4}} ? ? ? (11)$

则式 (10) 可化为

y=b₀+b₁x+b₂x²+b₄x⁴ (12)

作进一步代换, 令

$x = \sqrt[4]{\frac{1}{4 b_{4}} z} ? (b_{4} > 0)$ 或

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{4 b_{4}} z} ? (b_{4} < 0) ? ? ? (13)$

这里仅就b₄>0的情况进行讨论 (对于b₄<0的情况, 可将方程的两端同乘以-1, 从而化成与b₄>0相同的方程形式) 。合并式 (12) 和 (13) 得

$y = \frac{1}{4} z^{4} + \frac{1}{2} a z^{2} + b z + c ? ? ? (14)$

式中 $a = \frac{b_{2}}{\sqrt{b_{4}}}, b = \frac{b_{1}}{\sqrt[4]{4 b_{4}}}$ ; 略去与突变无关的c, 式 (14) 即为尖点突变的标准形式。

由突变理论可知, 式 (14) 的平衡曲面方程和相应的分叉集方程分别为

z³+az+b=0 (15)

4a³+27b²=0 (16)

分叉集方程是稳定平衡状态区与非稳定平衡状态区的分界线, 系统的演化只有越过这个分界线才有可能从一个平衡状态突变到另一个平衡状态。

如图1所示, 分叉集将控制变量空间划分成两部分: 在区域E, 4a³+27b²>0, 系统是稳定的; 在区域J, 4a³+27b²<0, 系统有3个平衡点, 其中位于平衡状态曲面的上、下叶的平衡点是稳定的, 而位于中叶的平衡点是不稳定的, 且不稳定平衡点满足

图1 分叉集与平衡状态空间的划分

Fig.1 Partition of bifurcation group and equilibrium state space

$\frac{d^{2} y}{d z^{2}} = 3 z^{2} + a < 0 ? ? ? (17)$

由平衡曲面方程 (15) 求解z: ①a=0时, z₁=z₂=z₃=0; ②a<0时, 方程有3个实根:

$z_{1} = 2 (- \frac{a}{3})^{\frac{1}{2}}, z_{2} = z_{3} = - (- \frac{a}{3})^{\frac{1}{2}} ? ? ? (18)$

式中解z₁位于上叶 (或下叶) , 解z₂和z₃合并于中叶与下叶 (或上叶) 的交线 (分叉集的一枝) 上, 解z₂和z₃所处的点即为系统状态在分叉集上发生突变的位置 (如图2所示) 。由图2和式 (18) 可求得Δz为

$Δ z = z_{1} - z_{2} = 3 (- \frac{a}{3})^{\frac{1}{2}} ? ? ? (19)$

图2 状态变量突变示意图

Fig.2 Schematic diagram of state variable catastrophe

还原状态变量z和控制变量a, 可得到由临界点到发生突变的时间差为:

$Δ t = Δ z (4 b_{4})^{- \frac{1}{4}} = (- 3 a)^{\frac{1}{2}} (4 b_{4})^{- \frac{1}{4}} ? ? ? (20)$

利用式 (20) , 即可对系统的突变时间进行确定性预测。

2矿震系统的胞映射-突变预测模型及实现步骤

由式 (20) 对系统所作的突变预测是确定性的, 考察灰色-尖点突变模型的理论基础和混沌系统的动力学特征可以看出, 方法本身存在如下不足: 1) 没有考虑观测数据中存在的随机误差以及混沌系统本身具有的内在随机性, 预测结果受观测误差的影响甚大; 2) 灰色-尖点突变模型只能分别对单个变量进行突变预测, 这显然不能从系统整体上反映系统演化直至突变的动力学本质。针对灰色-尖点突变预测模型的上述缺点, 本文作者提出矿震系统的胞映射-突变预测模型和实现步骤如下:

1) 利用灰色-尖点突变模型对时间序列进行突变预测, 初步判定系统在时刻t是否处于临界状态以及相应的系统突变时间。

2) 利用观测数据反演系统的非线性动力学方程 (反演方法见文献 [ 7] ) ; 应用反演的动力学方程和临界时刻t的状态向量进行若干次差分迭代 (迭代次数视变量的演化速率而定) , 从而确定在临界点以后一定时间内系统可能的状态空间; 划分状态空间为胞空间, 并应用胞映射理论计算一次转移概率矩阵。

3) 以临界时刻t的系统状态所对应的胞向量为初始胞向量, 与一次转移概率矩阵迭代一次即得到t+1时刻的胞向量 (预测值) 。

4) t+1时刻的预测胞向量及其与系统突变特性的关系: ① 在t+1时刻的胞向量反映了在临界点后第一时刻系统状态的概率分布, 但这种概率向量描述方式比直接差分迭代所给出的确定值表达方式更客观; ② 系统的演化是一个动态过程, 因此其突变特性也是一个随时间和内、外界影响因素而变化的动态演化过程; ③ 在临界时刻t后的系统突变特性的演化趋向由t+1时刻的系统状态 (胞向量) 决定, 且系统在t+1时刻的预测胞向量“表象”而客观地描述了系统在t+1时刻的状态分布, 所以可以用系统t+1时刻的预测胞向量来讨论系统在临界时刻后的突变特性和演化趋势; 同时, 由于随着时间的增加, 预测胞向量会逐渐“忘记”初始信息而趋于极限状态概率分布, 且由t+1时刻的状态概率分布能够足以精确地反映系统在临界时刻t后的短期演化趋势, 因此无论是从精度方面考虑, 还是从对系统短期演化描述的充分性方面考虑, 用t+1时刻的预测胞向量来讨论系统在临界时刻后的突变特性都是必要的和可行的。

5) 设由观测数据和式 (20) 预测得到系统在t时刻处于临界状态, 且相应地在t₁时刻将发生突变, 则这一预测结果与以下4种可能情况相对应:

① 若在t+1时刻, 预测得到系统仍处于临界或失稳状态, 且相应的预测突变发生时间较t₁提前, 则说明在t时刻系统因某种因素的作用而正在加速“奔向”突变状态。在这种情况下, 系统的突变将较预测时间t₁提前发生。

② 若在t+1时刻, 预测得到系统仍处于临界或失稳状态, 且相应的预测突变发生时间较t₁滞后, 则说明在t时刻系统正在减速“奔向”突变状态。在这种情况下, 系统的突变将较预测时间t₁滞后发生。

③ 若在t+1时刻, 预测得到系统仍处于临界或失稳状态, 且相应的预测突变发生时间与t₁相同或差别不大, 则说明在t时刻系统正等速“奔向”突变状态。在这种情况下, 系统的突变将在预测时间t₁附近发生。

④ 若在t+1时刻, 预测得到系统不处于临界或失稳状态, 则说明系统在预测突变时刻t₁不会发生突变。因为t+1时刻的系统状态决定了系统突变行为的演化特性, 所以也可以利用t+1时刻的预测胞向量定量地评价t时刻系统处于以上4种情况的可能性, 从而计算在临界点预测突变提前、滞后、准时发生和不发生的概率。方法如下:

在由观测数据预测得到系统在t时刻处于临界状态且相应地在t₁时刻将发生突变的前提下, 设事件A为“发生突变”, 事件B为“提前发生突变”, 事件C为“准时发生突变”, 事件D为“滞后发生突变”, 事件E为“不发生突变”, 事件F (i) 表示系统状态在t+1时刻处于胞i, P (·) 为事件 (·) 发生的概率, 则

$\begin{array}{l} Ρ (B) = \sum_{i = 1}^{n} Ρ (F (i)) Ρ (B / F (i)) \\ Ρ (C) = \sum_{i = 1}^{n} Ρ (F (i)) Ρ (C / F (i)) \\ Ρ (D) = \sum_{i = 1}^{n} Ρ (F (i)) Ρ (D / F (i)) \\ Ρ (A) = \sum_{i = 1}^{n} Ρ (F (i)) Ρ (A / F (i)) \\ ? ? = Ρ (B) + Ρ (C) + Ρ (D) \\ Ρ (E) = 1 - Ρ (A) \end{array}} ? ? ? (21)$

式中 n为胞的总个数; P (F (i) ) 由t+1时刻的预测胞向量计算得到。

P (B/F (i) ) , P (C/F (i) ) 和P (D/F (i) ) 由样本法求得, 即在胞i中均匀地取m个状态样本点, 利用灰色-尖点突变模型分别判别在t+1时刻系统处于样本点j (j=1～m) 的突变特性。若胞i中有m′个样本点使事件B发生, 则

$Ρ (B / F (i)) = \frac{m^{'}}{m} ? ? ? (22)$

同理也可计算出P (C/F (i) ) 和P (D/F (i) ) 。

上述计算过程包含了系统的非线性动力学方程反演、胞映射分析、灰色-尖点突变分析等理论和算法, 作者编制了计算程序完成上述复杂的计算过程。

3矿震系统胞映射-突变预测模型的应用实例

表1所示为门头沟矿某工作面矿震系统变量的观测数据, 其中X₀为声发射频度, X₁为声发射能率, X₂为光弹应变差。利用本文建立的胞映射-突变预测模型对表1中的变量X₀进行预测 (见表2所列) (虽然仅对单个变量X₀进行了评价, 但由上文的分析可知, 胞映射的一次转移概率矩阵是由系统的非线性动力学方程得到的, 因此, 预测结果可以体现系统整体的动力学特性) 。对比表2中的预测结果与现场实录可以发现:

① 在第10日, 监测到数次大的顶板振动, 并记录到“一次巨响”; “Y₃孔前方待采煤体应力集中程度较大, 并波及到Y₁, Y₂监测孔附近的煤体”; 自10日起, “Y₁, Y₂及Y₃各孔的监测值同时或交替出现跃变, 预示工作面可能出现某些变动”。而预测结果显示在第10.79日和第11.96日分别将以100%的概率发生突变, 且提前发生的概率为100%。可见, 预测结果与现场实际记录基本吻合。

② 在第9日预测到系统将以12.32%的概率在第15.36日发生突变, 且提前发生的概率为12.32%。可见, 虽然预测表明在15日前后将有可能发生突变, 但这种可能性却较小。而实际情况是, “Y₃孔从6月15日至17日连续出现监测值跃升, ……Y₁, Y₂孔亦于6月16日出现较大峰值”。但总的来看, 在6月15日前后并没有发生明显的突发性矿压显现和矿震。因此, 预测结果与实际情况是一致的。

③ 在6月10, 14和15日预测到系统将分别以0, 1.18%和0的概率于第21.77, 23.82和24.65日发生突变, 仅由预测结果就可以判定工作面在上述预测突变日期发生突变的可能性很小。而实际上, 尽管工作面自6月18日开始出现较明显的矿压显现, 但这些显现都是渐进发生的, 未发生显著的突发性和灾害性动力现象, 与预测评价结果基本一致。

表1 门头沟矿某工作面矿震系统变量的观测数据

Table 1 Variable data of a mine quake system in Mentougou Mine

Date	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
X₀	13	119	18	10	24	30	28	3	32.2	35	391	349	3.6	21	224
X₁	856	6?294	1?283	454	2?068	2?220	1?742	45	176	2?900	4?129	1?265	229	404	2?313
X₂	9	17	0	36	5	5	55	37	-19	-18	23	41	29	-19	-10

表2 矿震系统的胞映射-突变预测结果

Table 2 Forecasting results of mine quake system with cell-catastrophic theory

Forecasting items	Forecasting results
Critical points	6	7	9	10	14	15
Forecasting catastrophic date	10.79	11.96	15.36	21.77	23.82	24.65
Probability ahead of forecasting	100%	100%	12.32%	0	1.18%	0
Probability on time	0	0	0	0	0	0
Probability delaying	0	0	0	0	0	0
Total probability of occurrence	100%	100%	12.32%	0	1.18%	0
Probability without occurrence	0	0	87.68%	100%	98.82%	100%

尽管工作面实际上并没有发生明显的灾害性矿震, 但由预测结果可以看出, 本模型可以非常精确地识别矿震孕育过程中的突变信息, 所作出的预测是客观、准确和符合实际情况的。另外, 本模型也适用于对其它岩体动力行为 (如山体滑坡、边坡失稳等) 的预测评价。

4 结论

利用胞映射理论和突变理论建立了矿震系统的胞映射-突变预测模型, 该模型充分考虑了系统的非线性动力学本质及多变量的整体综合作用, 并利用胞映射理论巧妙地消除了观测初值的随机性和矿震系统本身的内在随机性对预测结果的影响, 因此更客观地描述了矿震演化的动力学机制。预测实例表明, 本文所建立的胞映射-突变预测模型可以非常精确地识别矿震演化过程中的突变信息。另外, 本模型也可以用来预测其它突发性的岩体动力行为。