有躯干弹簧质量模型研究

冯帅，孙增圻

(清华大学 计算机科学与技术系，北京，100084)

摘要：建立一个具有躯干的纯被动的双足机器人模型，该模型的腿部为无质量的弹簧。通过数值仿真的方法研究机器人模型在水平地面上的步行，并对弹簧的劲度系数与步行的周期和步长的关系进行研究。研究结果表明：尽管躯干不受任何驱动器的控制，该模型能够实现在平面上的无能耗步行。

关键词：弹簧质量模型；双足机器人；步行；躯干

中图分类号：TP242.6          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2011)S1-0423-04

A spring-mass model with a torso

FENG Shuai, SUN Zeng-qi

(Department of Computer Science and Technology, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

Abstract: A simple model of biped robot with a totally uncontrolled torso was established. In this model, the leg is a mass-less spring. Then the model was researched using numerical simulation method. The relationship between the stiffness of the spring with the step length and step period was investigated. The results show that this model can realize periodic level-ground walking, and that the torso can be uncontrolled at all during the walking.

Key words: spring-mass model; bipedal robot; walking; torso

弹簧质量模型(Spring-mass model)最早是用来描述人的跑步运动^[1-3]，近期亦有不少学者试图用该模型来研究人的步行运动^[4-5]。弹簧质量模型能够实现周期性的步行或者跑步运动已经成为一个公认的事实。如果在弹簧质量模型中添加一个躯干则能使模型更接近于真实的机器人，对机器人的制作与控制更具有指导意义，也可能更合理地解释人的步行和跑步运动。但到目前为止，国内外还没有这方面相关的研究工作。本文作者对有躯干的弹簧质量模型进行了研究。首先介绍了模型的动力学方程，然后给出了一个典型步行的示例并对模型数据与人体步行数据进行了比较，并对弹簧的劲度系数与步行参数的关系进行了分析。

1  模型介绍

描述人的跑步运动的弹簧质量模型如图1所示。图2所示的模型即为本文研究的机器人简化模型。该模型中有2个质点：胯关节质点m_h与躯干质点m_u；而腿部则是一个无质量的弹簧，弹簧的劲度系数为K，腿的自由长度为l₀；躯干的长度保持恒定为l_u。θ₁和θ₂分别为支撑腿角度和躯干角度，都是以地面的法向量作为参考，l为支撑腿的长度。θ₁，θ₂和l表征了模型的3个自由度。模型的具体参数见表1。

人的步行周期由一个单腿支撑阶段和一个双腿切换阶段构成。假设模型的双腿切换瞬时完成。即在完成单腿支撑阶段的瞬间，原摆动腿变成新的支撑腿，原支撑腿变成新的摆动腿。因此，可以只对单腿支撑阶段的机器人模型进行研究。

图1  描述人跑步运动的弹簧质量模型^[3]

Fig.1  Running movement described by spring-mass model

图2  有躯干的弹簧质量模型

Fig.2  Spring-mass model with a torso

表1  模型的参数

Table 1  Parameter of the model

在单腿支撑阶段，支撑点可以看作是光滑的铰链结构，并且忽略关节摩擦及形变，整个模型系统可以用如下的动力学方程进行描述：

          (1)

其中有：

引入参数x⁰=[θ₁(0)，θ₂(0)，l(0)，θ₁(0)，θ₂(0)，]为机器人在单腿支撑阶段的初始状态。假设机器人步行的周期为T，步长为D。考虑步行的周期性与对称性，一个单腿支撑周期中，模型的初始状态值与末尾状态值应满足如下约束：

              (2)

模型只有满足以上约束并在T时刻进行双腿角色的转换，才能产生周期的步行运动。

设定q=[x⁰，K]，则可以把确定机器人初始状态及弹簧的劲度系数以满足步行T，D要求的问题转化为求解q以满足上述约束的问题。一旦q确定，则整个单腿支撑周期内机器人模型的状态即能通过数值积分方式得出。采用Snopt软件对以上可行解求解问题进行求解。

2  实验与结果

设定T=0.6，D=0.75，采用Matlab中ode113数值积分方式对模型的步行进行仿真研究。

求得：q=[-0.384，0，1，1 456，-0.562，-0.589，157.232]，即在机器人初始状态x⁰为[-0.384，0，1，    1 456，-0.562，-0.589]，弹簧的劲度系数为 157.232时，模型能够实现步长为0.75 m，周期为0.6 s的周期步行。

图3所示为机器人模型步行的棍状示意图，由于模型中摆动腿没有质量，实际上可以任意设定摆动腿的位置。为了美观，适当调整了摆动腿的长度，且摆动腿位置为支撑腿位置的镜像。图4所示为机器人模型沿腿的支撑力，图5~7所示为机器人模型的状态量。从图3~7可以看出：模型能够实现周期性的步行，且机器人的躯干在没有任何控制的情况下能保持基本竖直。由于整个步行中，弹簧的压缩与伸长起到了储能与释能的作用，所以步行的能耗为0。

图8所示为人步行中躯干的角度^[6]。为了对比，将图7中模型的步行数据进行转换，结果如图9所示。

将模型步行产生的躯干角度数据与人步行中躯干的角度数据进行比较可以发现：两者数据非常一致。这说明在步行中躯干受控力度很小。

图3  机器人模型行走的棍状图

Fig.3  Walking sketch of robot model

图4  沿腿的支撑力曲线

Fig.4  Curve of leg force

图5  腿长曲线

Fig.5  Curve of leg length

图6  支撑腿角度曲线

Fig.6  Curve of stance leg angle

图7  躯干角度曲线

Fig.7  Curve of torso angle

图8  人体步行数据^[6]

Fig.8  Walking data of human

图9  模型获得的步行数据

Fig.9  Walking data of model

弹簧的劲度系数与步行的步长和周期的关系如图10所示。从图10可以看出：劲度系数K随周期T的增大而减小，亦随步长D的增加而减小。

图10  弹簧劲度系数与步行参数的关系曲线

Fig.10  Curves of spring stiffness versus walking parameters

3  结论

虽然模型中的躯干完全不受控，但是模型依然能够实现周期的步行运动，且在步行中模型躯干的运动数据与人体步行中躯干的运动数据相一致。

参考文献：

[1] McMahon T A, Cheng G C. The mechanics of running: How does stiffness couple with speed?[J]. Journal of Biomechanics, 1990, 23: 65-78.

[2] Blickhan R. The spring-mass model for running and hoping[J]. Journal of Biomechanics, 1989, 22: 1217-1227.

[3] Geyer H, Seyfarth A, Blickhan R. Spring-mass running: simple approximate solution and application to gait stability[J]. Journal of Theoretical Biology, 2005, 232(3): 315-328.

[4] Geyer H, Seyfarth A, Blickhan R. Compliant leg behaviour explains basic dynamics of walking and running[J]. Proceedings of the Royal Society B, 2006, 273(1603): 2861-2867.

[5] Whittington B R, Thelen D G. A simple mass-spring model with roller feet can induce the ground reactions observed in human walking[J]. Journal of Biomechanical Engineering, 2009, 131: 011013-1-8.

[6] Hirasaki E, Moore S T, Raphan T, et al. Effects of walking velocity on vertical head and body movements during locomotion[J]. Experimental Brain Research, 1999, 127(2): 117-130.

(编辑 赵俊)

收稿日期：2011-04-15；修回日期：2011-06-15

通信作者：孙增圻(1943-)，江苏靖江人，教授，博士生导师，从事智能控制机器人等研究；电话：010-62788939；E-mail：szq-dcs@tsinghua.edu.cn