DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2017.08.028
塑性铰法分析现浇楼板钢筋混凝土框架结构抗震性能
孙威，黄炎生
(华南理工大学 土木与交通学院，广东 广州，510640)
摘要：为提高建模和分析效率，提出通过修改梁端塑性铰属性来模拟楼板效应的方法。塑性铰法采用杆系单元建模，由梁与楼板的共同受力特性推导出梁端转角和弯矩承载力的关系，并以塑性铰属性的方式赋予整体杆系分析模型。应用该方法对1个典型的2层钢筋混凝土框架结构进行抗震性能分析，将计算结果与直接建立楼板的分析模型计算结果进行比较。研究结果表明：本文提出的塑性铰法能够有效的对楼板的作用效应进行模拟。
关键词：钢筋混凝土框架结构；抗震性能；楼板效应；塑性铰属性
中图分类号：TU375.4 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2017)08-2187-08
Seismic performance analysis of RC frame structures with cast-in-place slab by plastic hinge method
SUN Wei, HUANG Yansheng
(College of Civil Engineering and Transportation,South China University of Technology, Guangzhou 510640, China)
Abstract: In the seismic performance of reinforced concrete (RC) frame structure, the slab effect has a strong influence on the analysis results. The traditional solution method is to use the solid element to build the integral model, which needs a complicated model and costs a lot of computational time. For improving the efficiency of modeling and analysis, plastic hinge method was proposed. Plastic hinge method used the frame element to build the model and simulate the slab effect by modifying the plastic hinge property. The modified plastic hinge property data were calculated from the combined models of beam components and slab components. Plastic hinge method was applied to estimate the seismic performance of a two-story typical RC frame. The results show that compared with the traditional method, plastic hinge method is an effective method of the slab effect simulation.
Key words: reinforced concrete frame structure; seismic performance; slab effect; plastic hinge property
进行钢筋混凝土框架结构的抗震性能分析是保证结构在地震作用下安全可靠的重要依据，分析结果的准确性直接关系到结构的安全性能。国内外学者早在20世纪七八十年代就已经发现现浇楼板对框架梁端的抗弯能力具有不可忽视的增强作用，并进行了大量的研究。王素裹等[1-4]使用有限元软件ABAQUS研究了现浇楼板对RC框架结构破坏形式的影响，并得出了采用建议的现浇楼板有效翼缘宽度考虑楼板效应的等代方法。林旭川等[5]对考虑楼板效应的RC框架结构进行了震害仿真分析。PANTAZOPOULOU等[6-11]通过实验以及数值分析证明了框架梁因楼板的参与，在一定程度上改变了其抗弯刚度和承载力。此外，刘源等[12-16]从“强柱弱梁”的角度研究现浇楼板的作用。上述研究表明：忽略楼板的作用效应，仅采用梁柱杆件模型来分析结构的抗震性能，将导致分析结果产生较大误差。目前主流的结构分析软件多数采用杆系有限元模型，同时通过板壳单元来考虑楼板效应，由于板壳单元本身复杂性以及与杆单元位移协调等问题，分析结果并不理想。采用实体单元分析可以保证较高的精度，但实体单元法同时存在建模复杂，计算耗时等诸多缺陷。如何有效的在抗震性能分析中考虑楼板作用是本文的研究重点。本文作者通过研究梁端处梁和楼板的共同受力特性，推导出考虑楼板效应时梁端转角和弯矩承载力曲线，将该曲线以塑性铰属性的方式赋予整体杆系分析模型，用以计算结构整体的抗震性能。以2层典型钢筋混凝土框架结构为例，进行Pushover抗震性能分析，结果表明，该方法能够有效地模拟出地震作用下楼板的作用效应，求得的Pushover曲线与实体单元建模分析所得的Pushover曲线吻合良好。
1 框架结构梁端力学性能
通过梁端的力学表现来模拟楼板的作用效应，首先需要了解钢筋混凝土框架结构梁端本身的力学性能，以及考虑楼板作用效应后梁端力学性能发生的相应变化规律。
1.1 梁端截面弯矩承载力计算
图1所示为梁端截面示意图。不考虑楼板效应，当梁端上部拉筋为2排放置时(图1)，梁端弯矩承载力可由下式计算求得：
(1)
框架梁因楼板的协同作用，在一定程度上改变了梁端的弯矩承载力。由于板筋的参与，框架结构梁端参与承受弯矩作用的受拉钢筋面积增加，此时，考虑梁端和楼板作用的截面弯矩承载力计算公式如下：
(2)
式中：
为梁端第1排拉筋应力；
为梁端第2排拉筋应力；
为板面钢筋应力；
为板底钢筋应力；A1i和A2i分别为梁端第1排拉筋和梁端第2排拉筋面积；A3i和A4i分别为板面钢筋和板底钢筋的面积；y1和y2分别为梁端第1排拉筋和梁端第2排拉筋到梁端受压钢筋中心垂直距离；y3和y4分别为板面钢筋和板底钢筋到梁端受压钢筋中心的垂直距离；
为混凝土受压区域内的应力分布；D为混凝土受压区域；y为混凝土受压区积分点到梁端受压钢筋中心垂直距离。
钢筋应力和混凝土应力符号统一表述为，拉应力为正，压应力为负。
图1 梁端截面示意图
Fig. 1 Cross-section of beam
1.2 梁端塑性区域转角计算
钢筋混凝土框架结构梁端承受弯矩作用时，随着荷载增加，钢筋屈服之后，截面的承载能力提高幅度有限，而其相应的曲率增大迅速，此时，该截面相当于一个能转动的塑性铰。塑性区域转角示意图如图2所示。由图2可知：梁端转角θ=θ1+θ2(其中：θ1为梁端塑性区域自身转角；θ2为框架梁弹性区域相对于塑性区域的转角)。同时在塑性区域尺寸详图中，θ3对应于θ1，θ4对应于θ2，由简单的几何关系可推导，θ3=θ1，θ4=θ2。由于梁端转动角度一般较小，因此，可近似认为tanθ= tanθ1+ tanθ2= tanθ3+ tanθ4。再由塑性区域的几何尺寸，以及塑性区域内钢筋的拉、压应变，梁端转角的计算公式可表示为
(3)
式中：θ为梁端塑性区域转角；
为塑性区域内梁顶端最外层钢筋的拉应变；
为塑性区域内梁底部最外层钢筋的压应变；l0为塑性区域初始长度；h0为梁顶端最外层拉筋与底部最外层压筋之间的距离。从式(3)可知：对于梁端转角，考虑与不考虑楼板效应，塑性区域屈服初始转角大致相同。
图2 塑性区域转角示意图
Fig. 2 Schematic diagram of rotation angle in plastic zone
2 塑性铰法的计算原理及步骤
2.1 塑性铰法计算模型说明
塑性铰法计算的核心是准确的模拟出考虑楼板效应时梁端的力学性能。选用合适的模型进行分析是达到该要求的必要条件。钢筋混凝土框架结构中，由于所处位置的不同，框架梁可分为2种：边梁和中梁(后文未加说明时，边梁和中梁均表示考虑楼板效应后的梁模型)。图3所示为塑性铰法计算模型。独立梁、边梁和中梁的分析模型均取梁跨度的一半进行建模，同时固结柱的底端作为边界条件(图3)。图3中L为柱纵向间距，B为柱横向间距。独立梁模型为基础计算模型，与杆件单元模型相对应。边梁和中梁模型均为实体单元分析模型。
图3 塑性铰法计算模型
Fig. 3 PHM calculation models
2.2 梁端塑性铰曲线说明
梁端塑性铰属性曲线如图4所示。独立梁、边梁以及中梁的梁端转角和弯矩曲线分别对应于图4中OA1B1C1区段、OA2B2C2区段和OA3B3C3区段。由于梁端配筋设计时，一般很少出现对称配筋的情况，因此，图4中所示曲线为非原点对称曲线。其中：OAi和OAi′区段为塑性铰发展阶段(i=1,2,3)；
和
区段为塑性铰强化阶段，
和
区段为塑性铰退化阶段。Ai点对应正弯矩塑性铰初始转角，记为θ1。Bi点对应正弯矩塑性铰破坏转角，记为θ2。
点对应负弯矩塑性铰初始转角，记为
。
点对应负弯矩塑性铰破坏转角，记为
。从图4可以看出：考虑与不考虑楼板效应，其梁端力学特性有明显的区别。
图4 梁端塑性铰属性示意图
Fig. 4 Plastic hinge property curves
2.3 塑性铰法计算原理
塑性铰法的计算原理为：将实际配筋情况下实体建模的中梁(或边梁)模型所求得的梁端转角和弯矩承载力曲线，采用塑性铰属性方式赋予到整体杆系分析模型中对应的杆件单元，以达到考虑楼板效应的目的。为了清楚描述塑性铰法的计算原理，首先介绍下杆系模型中杆件单元截面特性以及其塑性铰默认计算原则。一般有限元分析软件中的杆件单元，其截面通常为规则矩形，在杆件端部定义的塑性铰，其属性曲线中的A1点和A1′点(图4中独立梁塑性铰初始转角对应点)将通过已定义的杆件截面属性(截面尺寸和配筋情况等)自动计算生成，B1点和B1′点(图4中独立梁塑性铰破坏转角对应点)的弯矩值默认取为其对应A1点和A1′点的1.1倍。如何以规则截面形式的独立梁杆件等效模拟出中梁(或边梁)模型计算得到的梁端塑性铰的力学性能，是塑性铰法计算需解决的首要问题。据图4，该问题可简化表述为在杆件单元中，如何将按实际配筋的梁端塑性铰属性曲线OA1B1C1转变为实体模型计算得到的边梁(或中梁)塑性铰属性曲线OA2B2C2 (或OA3B3C3)。
本文提出梁端有效拉筋面积修正系数、梁端弯曲刚度增大系数和塑性铰强化系数的概念，用以阐述杆件单元中塑性铰属性的转换问题。
1) 梁端有效拉筋面积修正系数。实际配筋情况下，梁端的计算截面如图5所示。
由图5可看出：板筋对于梁端弯矩的贡献，离梁越近的板筋贡献度越大；反之，板筋离梁距离达到一定程度后，对梁端弯矩的贡献很小。由于板筋的参与，使得独立梁梁端弯矩承载力由原来的M1(对应于图4中的数值)，变化为M2(或M3)。通过研究发现，在杆件单元的截面属性中，通过修正梁端的拉筋面积，可达到修正塑性铰初始转角时刻梁端弯矩承载力的目的。
边梁由于考虑了一侧的楼板效应，当梁端转角为塑性初始转角θ1时，其承受的弯矩M2稍大于独立梁在转角θ1时对应的弯矩M1。记边梁有效拉筋面积修正系数为η1，其计算式可表示为
。同理，中梁有效拉筋面积修正系数为η2，计算式为
。通过试算发现：边梁(或中梁)在原有独立梁拉筋面积的基础上乘以对应的有效拉筋面积修正系数η1(或η2)，可得到边梁(或中梁)对应的塑性铰初始转角时刻梁端弯矩承载力M2(或M3)。
图5 考虑楼板时梁端截面示意图
Fig. 5 Cross-sections of beam models
2) 梁端弯曲刚度增大系数。从图4可知：边梁(或中梁)在梁端塑性铰产生前的弹性阶段，梁端弯曲刚度比较于独立梁，均有一定程度的增大。仅对梁端拉筋面积进行修正，并不能真正将OA1段曲线转换为OA2段曲线(或OA3段曲线),还需对梁端的弯曲刚度进行调整。
记独立梁梁端弯曲刚度为k0，其计算式为
(式中：
为独立梁梁端弯曲曲率)。边梁梁端弯曲刚度为k1，计算式为
(式中：
为边梁梁端弯曲曲率)。中梁梁端弯曲刚度为k2，计算式为
(式中：
为中梁梁端弯曲曲率)。记梁端弯曲刚度增大系数为γ，表示为考虑楼板效应时的梁端弯曲刚度与未考虑楼板效应时梁端弯曲刚度的比值。由于在塑性铰区域内，梁端弯曲曲率和梁端转角成正比，同时由1.2节式(3)得出的结论，考虑与不考虑楼板效应，梁端出现塑性铰的初始转角大致相同。因此，边梁的弯曲刚度增大系数取值为
，中梁的弯曲刚度增大系数取值为
。在杆件单元截面属性中，将截面的弯曲刚度乘以相应的梁端弯曲刚度增大系数γ，同时修正梁端拉筋面积，即可有效的将OA1曲线转换为OA2曲线(或OA3曲线)。
3) 塑性铰强化系数。塑性铰产生后，进入塑性铰强化阶段，梁端拉筋屈服，应力达到限值。靠近梁端的板筋也逐步达到应力限值，对应于图4中AiBi区段。从图4可看出：边梁(或中梁)在塑性铰强化区段的曲线A2B2 (或曲线A3B3)与独立梁在塑性铰强化区段曲线A1B1的斜率并不相同。
将塑性铰强化系数记为μ，其定义为塑性铰破坏转角对应弯矩与塑性铰初始转角对应弯矩的比值。边梁的塑性铰强化系数取值为
(式中，
为B2点对应的弯矩)，中梁的塑性铰强化系数取值为
(式中，
为B3点对应的弯矩)。通过塑性铰强化系数μ对杆件单元塑性铰属性曲线中破坏点所对应的弯矩值进行调整，可达到将A1B1段曲线斜率转换为A2B2段曲线斜率(或A3B3段曲线斜率)的目的。
综上，通过有效拉筋面积修正系数、梁端弯曲刚度增大系数和塑性铰强化系数这3个系数对杆件单元梁端拉筋面积的修正以及截面属性的调整，可有效模拟出中梁(或边梁)模型计算求得的塑性铰属性曲线。
2.4 塑性铰法计算步骤
塑性铰法计算结构抗震性能的步骤可分为5部分。
1) ABAQUS有限元分析软件中分别建立独立梁、边梁和中梁计算模型。
2) 在远离柱的梁端分别施加正负位移荷载，应用式(1)和式(2)分别计算出各荷载步梁端截面弯矩承载力，并汇总得到梁端转角和梁端弯矩承载力的关系曲线。
3) 由独立梁梁端转角和弯矩承载力关系曲线得到塑性铰初始转角
和
以及该时刻独立梁对应的梁端弯矩
和
。
4) 由2.3节内容计算边梁和中梁塑性铰属性的修正系数：梁端有效拉筋面积修正系数η、梁端弯曲刚度增大系数γ和塑性铰强化系数μ。
5) 按实际配筋形式建立杆系模型，通过第4步的塑性铰修正系数分别对边梁和中梁梁端配筋和塑性铰属性进行修正，采用修正后的杆系模型计算结构Pushover抗震能力曲线。
3 整体模型法的计算步骤
整体模型法作为验算塑性铰法的一种方法，在ABAQUS有限元分析软件中，采用实体单元模拟混凝土，线单元模拟钢筋，并采用embed技术模拟混凝土与钢筋之间的连接作用。按照实际配筋情况建立模型，并赋予相应的荷载与边界条件。记结构顶点侧向位移为d，底层柱总水平剪力为V，加载水平地震作用后，从计算结果中提取各荷载步下顶点侧向位移d和底层柱总水平剪力V的数据，绘成曲线，即为整体模型法求得的结构抗震能力曲线。
4 算例分析
通过一个具体算例来介绍塑性铰法如何求解钢筋混凝土框架结构的抗震性能。算例模型为2层标准钢筋混凝土框架模型，如图6所示。楼层层高为3 m，跨度为4 m。梁、柱纵筋强度为400 MPa，楼板板筋强度为300 MPa。梁、柱纵筋直径为16 mm，板筋直径为8 mm，板筋间距为100 mm。梁截面尺寸(长×宽)为200 mm×400 mm，柱截面尺寸(长×宽)为400 mm×400 mm。梁、柱截面配筋如图7所示，箍筋直径为8 mm，间距为100 mm。梁、柱保护层厚度为20 mm，楼板保护层厚度为15 mm。梁上结构自重等效线荷载p=10 kN/m。采用Pushover方法分析其抗震性能。
4.1 塑性铰法
在ABUQUS有限元软件中建立图8所示独立梁、边梁和中梁计算模型，并在远离柱的梁端分别施加正、负位移荷载。以图8所示施加的荷载为例，计算得到混凝土应力分布云图和钢筋应力分布云图。
图6 钢筋混凝土框架结构示意图
Fig. 6 Schematic of RC frame structure
图7 梁柱配筋示意图
Fig. 7 Schematic diagram of beam reinforcement and column reinforcement
图8 计算梁模型应力云图
Fig. 8 Stress nephogram of beam models
分别将边梁和中梁在塑性铰转角为
，和
时刻，塑性铰区域内梁端钢筋和楼板板筋应力如图9~12所示。由，和塑性铰转角时刻的钢筋应力分布，展现出塑性铰区域内梁端纵筋和板筋在荷载作用下的应力变化规律。
提取各荷载步对应的钢筋应力，采用式(1)和 (2)求取独立梁、边梁和中梁梁端截面在各荷载步下的弯矩。同时通过式(3)计算得到各荷载步下梁端塑性区域转角。将求取的弯矩和转角数据绘于图13中。其中，曲线1、曲线2和曲线3分别表示独立梁，边梁和中梁的梁端转角与弯矩关系曲线。由独立梁梁端转角和弯矩关系曲线，可得塑性铰初始转角为θ1=0.4°，θ1′=-0.28°，塑性铰初始时刻独立梁梁端弯矩M1=159.7 kN·m，M1′=-89.9 kN·m，塑性铰破坏时刻转角θ2=3.012 7°，θ2′=-3.012 8°。
由图13中数据，通过2.3节塑性铰属性修正系数的相关计算，可得边梁和中梁的梁端有效拉筋面积修正系数η、梁端弯曲刚度增大系数γ和塑性铰强化系数μ，结果如表1所示。
图9 边梁模型中第1层钢筋应力分布曲线
Fig. 9 First-row reinforcement stress distribution of boundary beam model
图10 边梁模型中第2层钢筋应力分布曲线
Fig. 10 Second-row reinforcement stress distribution of boundary beam model
图11 中梁模型中第1层钢筋应力分布曲线
Fig. 11 First-row reinforcement stress distribution of regular beam model
图12 中梁模型中第2层钢筋应力分布曲线
Fig. 12 Second-row reinforcement stress distribution of regular beam model
图13 塑性铰原性曲线详图
Fig. 13 Actual diagram of plastic hinge property curves
图14 塑性铰转角和弯矩的关系简图
Fig. 14 Abbreviated diagram of plastic hinge property curves
通过表1中数据以及图13中提取的关键参数，，，，和，可绘出边梁和中梁的塑性铰转角和弯矩的关系简图，如图14所示。图14中曲线上的关键点铰转角与弯矩见表2。
表1 塑性铰属性修正系数
Table 1 Correction coefficients of plastic hinge property
表2 塑性铰转角与弯矩
Table 2 Plastic hinge angle and bending moment
在SAP2000杆系模型中，按照梁端有效拉筋面积修正系数调整杆系单元的拉筋面积，同时按照梁端弯矩刚度增大系数和塑性铰强化系数来调整杆系单元的塑性铰属性。将调整后的杆系模型进行Pushover抗震性能分析，10 s左右便能求得计算结果。Sap2000杆系模型的塑性铰示意图如图15所示，对应的Pushover曲线如图16所示。
4.2 整体模型法
在ABAQUS有限元软件中采用整体模型法建立模型，地震作用以及边界条件均与4.1节相同，进行抗震性能分析，分析耗时30 min，得到楼板竖向位移云图如图17所示。从图17可以看到楼板在梁端变形中的协同作用情况。
图15 Sap2000有限元模型塑性铰示意图
Fig. 15 Schematic diagram of plastic hinge in Sap2000
将塑性铰法和整体模型法计算得到的Pushover曲线汇总于图18中，同时在图18中绘出未考虑楼板效应的整体模型法Pushover曲线作为对比曲线。由图18可知：塑性铰法计算得到的Pushover曲线和整体模型法计算得到的Pushover曲线吻合良好，而未考虑楼板效应的Pushover曲线与考虑楼板效应的Pushover曲线之间存在较大差异。
图16 塑性铰法Pushover曲线
Fig. 16 Pushover curve from plastic hinge method
图17 钢筋混凝土框架结构竖向位移云图
Fig. 17 Vertical displacement nephogram of RC frame structure
图18 不同方法求得的Pushover曲线
Fig. 18 Pushover curves of each method
5 结论
1) 考虑楼板效应后梁端塑性铰曲线和未考虑楼板效应梁端塑性铰曲线差异明显，因此，进行有限元模型分析时应充分考虑现浇楼板的作用。
2) 采用塑性铰法计算得到的Pushover曲线与整体模型法计算得到的Pushover曲线吻合良好，说明塑性铰法能够有效地对楼板的作用效应进行模拟。
3) 该方法尚存在以下局限性：未考虑梁端塑性铰产生后强化阶段梁端弯曲刚度的变化。塑性铰属性修正系数取值与梁端截面面积和配筋直接相关，若将塑性铰法应用于工程中，则首先需弄清塑性铰修正系数与截面面积和配筋之间的对应关系。
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(编辑 陈爱华)
收稿日期：2016-10-12；修回日期：2016-12-29
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助助项目(51008085)(Project (51008085) supported by the National Natural Science Foundation of China)
通信作者：黄炎生，博士，教授，从事既有建筑物的可靠性评估研究；E-mail：cvyhuang@scut.edu.cn
