预应力锚索荷载传递与锚固效应计算

邓宗伟^1,2，冷伍明³，邹金锋³，唐葭²

(1. 中南大学 资源与安全工程学院 湖南 长沙，410083；

 2. 湖南城市学院 土木工程学院，湖南 益阳，413000；

3. 中南大学 土木建筑学院 湖南 长沙，410075)

摘要：考虑岩体的损伤特性，根据剪切位移法，推导锚固段侧摩阻力沿锚固长度的非线性分布计算公式；结合该公式和Mindlin解，推导出锚固岩体影响范围内任一点的应力分布解析解，并以具体例子进行计算分析。研究结果表明：锚索在锚固段的应力分布主要集中在前端1/3处，比传统方法计算的结果更集中；为提高锚固的效果不能一味增加锚固段长度，而应增加有效的锚固面积或分散前端的集中应力；锚索的设计参数中,相邻锚索之间相互影响的最小距离应以正应力为标准进行控制，而锚固力则应以剪应力为标准进行控制；随着锚索拉力的增加，在锚固段应力影响范围增加较小，但应力集中程度增加较大，因此，锚索设计时不但要考虑锚索与锚固体的黏结强度，更要考虑锚固体与岩土体的黏结强度。

关键词：预应力锚索；非线性分布；Mindlin解；荷载传递；锚固效应

中图分类号：TU398          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2011)02-0501-07

Calculation of pre-stress cable transference of load and effect of anchor

DENG Zong-wei^1,2, LENG Wu-ming³, ZOU Jin-feng³, TANG Jia²

 (1.School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;

2. School of Civil and Engineering, Hunan City University, Yiyang 413000, China;

3. School of Civil Engineering and Architecture, Central South University, Changsha 410075, China)

Abstract: Based on shear displacement method, considering the damage characteristic of rock mass, the nonlinear distribution calculation formula of lateral friction along the anchorage length was deduced. Combining this formula with Mindlin solution, the analytic solution of stress distribution in anchoring rock mass was deduced. Taking advantage of this analytical solution, the specific examples were calculated and analyzed. The results show that the anchor section's stress distribution mainly concentrates in the front end 1/3 of cable, and it is more centralized than the classical approach. Instead of increasing the length of anchoring cable, increasing the anchoring area or dispersing the front end centralized stress can enhance the anchoring effect. In anchor cable’s design variable, the neighboring anchor cable mutual influence’s minimum range should take the normal stress as a standard to control, but the anchorage force should take the shearing stress as a standard to control. With the increase of cable tensile force, in the anchor section, the range of influence of stress increases less than stress concentration degree. Therefore, the interface’s bond strength between anchoring mass and rock mass should be considered much than that between anchoring mass and cable in designing a cable.

Key words: pre-stress cable; nonlinear distribution; Mindlin solution; transference of load; effect of anchor

预应力锚索的荷载传递机理和锚固岩体中的应力分布这2个问题是紧密相关的。因为只有对预应力锚索的荷载传递机理有了比较深入的理解，才会正确认识锚固岩体中的应力分布。长期以来，许多学者对这2个问题进行了深入研究。20世纪70年代，Evangelista等^[1-2]对黏性土和粒状土中的锚杆进行量测，得出锚固体表面摩阻力沿锚固长度呈非均匀分布的结论，张季如等^[3]根据弹性剪切位移法，建立锚杆荷载传递的双曲函数模型，获得了锚杆摩阻力和剪切位移沿锚固长度的非线性分布规律及其影响因素，此外，何思明   等^[4-9]分别采用试验、理论推导、数值模拟的方法对拉力型锚杆与锚索的摩阻力与剪切位移的非分布规律进行了研究，探讨了锚固段的应力影响因素、有效长度及其安全储备，得出了一些有益结论。但锚固段的应力对周围岩体的应力影响如何，影响范围多大，则很少有人研究。实际上，大部分锚杆(索)的破坏都是锚固体岩体破坏而导致整个锚杆(索)失效，因此，锚固岩体中的应力分布需进一步研究。娄国充等^[10]采用数值分析的方法，对锚索的相互影响距离进行了分析，间接地分析了锚固岩体中的应力分布，但该方法缺乏对锚固岩体中应力分布机理的内在揭示。何思明等^[11]基于Mindlin 应力解及应力叠加原理计算岩土体内任意点处的应力分布，但计算时假定锚固体周围摩阻力呈矩形分布，这与实际的非线性分布不符，而且没有通过计算实例对锚固岩体中的应力分布进行细致的研究。针对这种情况，本文作者在对预应力锚索锚固段进行力学形为分析时，将锚固段荷载传递机理与锚固岩体中的应力计算结合起来进行研究。首先基于损伤理论探讨了锚固段侧阻力随锚固长度的非线性分布规律；其次采用Mindlin解，用应力叠加原理求解锚固段侧摩阻力对周围岩土体的影响；最后以具体工程为例子，对该理论方法进行了分析。

1  锚索锚固段侧阻力分布机理及其解析

当张拉荷载作用在锚索上时，锚索、岩土体共同承担着张拉荷载。岩土体与锚索锚固段接触界面上所激发的摩阻力随着张拉荷载的增大将达到土体极限抗剪强度而最终破坏。在一般情况下，锚索的塑性变形很小，可忽略不计，因此，锚索锚固段的总位移(w₀)可以用锚索锚固段的拉伸变形(w₁)及锚固段与周围土体间的相对剪切位移(w₂)来表示，用公式表示为：

                (1)

为了分析锚固段与周围土体之间的相对剪切位移，取锚索隔离体，其受力如图1(a)所示。从锚索隔离体中任取一个锚索单元，其受力如图1(b)所示。

图1  锚固段荷载传递机理分析简图

Fig.1  Sketch map of cable load transfer mechanism

考虑到该锚索单元体的轴向静力平衡条件可得：

               (2)

式中：q为锚固体表面摩阻力合力；p为轴向拉拔力；D为锚固体的直径；τ为锚固段表面受到的剪应力。

由虎克定律，锚索轴力与弹性变形之间的关系为：

             (3)

式中：E_a为锚固体的有效弹性模量，其求解见文献[4, 7, 11]。

由于岩土体在剪切应力作用下发生损伤后的有效剪切模量为切线剪切模量^{[4, 7, 11]}，则锚索单元体在岩土体损伤后剪应力与剪切位移之间的关系为：

              (4)

对式(4)进行微分后与式(1)和式(3)联立得：

            (5)

式(5)即岩土体损伤后锚索荷载传递的二阶微分方程，其通解表达式为：

  (6)

式中：G_S=(1-R_f?S)²G₀^[12]；R_f和S分别为土的破坏比和应力水平，其含义与邓肯－张非线性模型中的定义相同；G₀为初始剪切模量；C₁和C₂为待定常数。

考虑到边界条件：，可得锚固段的剪切位移与剪切摩阻力分别为：

       (7)

       (8)

式中：L_m为锚索锚固段的长度；P为锚固段前端的预应力。

为了更好地理解侧摩阻力与(1-R_fS)和x/D的变化关系，本文从数值的角度对上述关系进行分析(见图2)。

图2  侧摩阻力与(1-R_fS)和x/D之间的变化关系图

Fig.2  Relationship charts of lateral friction, (1-R_fS) and x/D

从图2可以看出：当x/D＞50时，侧摩阻力随(1-R_fS)增大而呈非线性减小；反之则呈非线性增大；当(1-R_fS)＞0.3时，侧摩阻力随x/D的增大而呈非线性减小，反之则侧摩阻力随x/D的增大基本上没有多大变化，即：(1-R_fS)越大，侧摩阻力沿锚索长度的分布越不均匀，侧摩阻力在锚索顶端的分布也就越集中；越靠近锚索的底部，其侧摩阻力的分布越来越趋于均匀，而且摩阻力就比较小；反之，则侧摩阻力沿锚索长度的分布越均匀，沿锚索长度的分布基本上为区域均值。由此可知锚索侧摩阻力沿长度方向的分布不能都近似地看作均匀分布，实际上其呈非线性分布，这与传统理论的均匀分布存在一定的差别。

2  锚固岩土体中的应力计算

锚索的自由端在预紧力的作用下，锚固段则在锚固浆体表面产生侧摩阻力τ，而锚固浆体表面的侧摩阻力τ与作用在岩体表面的侧摩阻力是一对大小相等、方向相反的作用力。这2种力在半空间下的应力计算简图见图3。

为了分析在锚固段剪应力的作用下对周围岩体的影响，对图4所示的微元体进行力学分析，结合摩阻力沿锚固段长度的计算公式(见式(8))。

图3  应力计算简图

Fig.3  Chart of stress analysis

图4  Mindlin解计算简图

Fig 4  Design schedule of Mindlin solution

可得微小长度上的剪应力为：

   (9)

将式(9)代入Mindlin应力解并积分可得在摩阻力的作用下锚固段周围岩体中任意一点处产生的应力 分量：

(10)

       (11)

     (12)

      (13)

式中：D为锚固浆体直径；；；；P_N=

；μ为泊松比。

3  算例分析与讨论

3.1  计算结果

为了对本文理论的可靠性进行验证，以邵怀高速公路预应力锚索桩板墙为例进行计算研究。桩板墙设计高度为8.5 m，桩截面为1.75 m×1.5 m(厚度×宽度)的矩形截面，每根单桩布置2根锚索，锚索锚固段长度为6.0 m，自由段长度为12.0 m，锚索孔径为130 mm，倾角为15°。锚索设计预应力为486 kN。锚索由四束低松弛钢绞线组成，其直径为15.24 mm，标准抗拉强度为1.86 GPa，弹性模量E_a=220 GPa。挡墙内回填土石混合料，填料沿锚索轴线方向平均厚3.0 m。通过地质调查，该处边坡岩层的岩性为钙质砂岩，产状为155°~165°∠2°~4°(即岩层倾向为155°~165°，岩层倾角为2°~4°)，岩层走向与公路的线路走向呈岩层分化剧烈，节理发育，通过现场取样试验知岩石的损伤力学参数为：μ₁=0.32，G_S=21 MPa，G₀=18 MPa，黏聚力C=50 kPa，摩擦角f＝44.3°。

根据上述的应力与位移公式，采用编程进行迭代求解得出锚固体与岩土体的正应力、剪应力分别如图5~8所示。

3.1.1  锚固体与岩土体正应力分布

从图5可以看出：沿锚索的轴线方向12.5 m处存在1个“峰值”，这是摩阻力作用产生的；锚固岩体的正应力在锚固段呈“非线性”的分布规律，并且在锚固段的前端1 m左右范围内形成一逐步衰减的拉应力，由此说明，锚固段前端1/3范围内不但是锚索轴力与摩阻力充分发挥的地段，也是正应力最集中的地段，容易使锚固浆体与锚固体围岩产生破坏。

图6所示为根据锚索长度12.5 m处的正应力沿径向的分布而做成的曲线。从图6可以看出：灌浆体与岩体的正应力沿径向也呈衰减趋势；当张拉荷载较小(P=500 kN)时，正应力主要分布在注浆体周围0.5 m范围内，随着张拉力的增大，正应力逐渐向岩体周围扩散，但扩散的范围及幅度都不是很大，而且张拉力增大的直接后果是使得锚固浆体周围的应力更加集中，更容易造成浆体破坏而使锚索被抽出。

图5  正应力空间分布图

Fig.5  Spatial distribution chart of normal stress

图6  径向正应力分布曲线

Fig.6  Curves of radial normal stress

3.1.2  锚固体与岩土体剪应力分布

从图7中可以看出：锚固体与岩土体中的剪应力分布沿锚索的轴线方向出现1个“峰值”，其位置在锚索长度的12.5 m处。剪应力在锚固段的分布规律与正应力的分布规律基本相同，主要分布在锚固段前端1/3的位置，并且在锚固段的前端2 m左右范围内      衰减。

图8所示为根据锚索长度12.5 m处的剪应力沿径向分布而得到的曲线。从图8可以看出：灌浆体与岩体的剪应力沿径向也呈衰减趋势。

结合轴向与径向的剪应力图可以看出，剪应力在空间的分布主要集中在锚固体周围0.5 m的范围内，锚固段前端1/3范围内，并且随锚索拉力的增大，锚固体周围岩土体的应力更加集中。

图7  轴向剪应力分布曲线

Fig.7  Curves of axial shearing stress

图8  径向剪应力分布曲线

Fig.8  Curves of radial shearing stress

3.1.3  锚固效应分析

通过计算分析可以看出：在锚拉荷载作用下，单根锚索加固的岩土体内所产生的正应力、剪应力都存在一定的影响范围，且随着荷载不同，其影响范围发生变化；当多根锚索共同工作时，相邻锚固体系中的正应力、剪应力的影响范围将进行叠加，从而影响整个岩土体内的应力与变形状态。一般地，在相同拉力作用下，锚固段中正应力的影响范围较大，剪应力影响范围较小。由图6和图8可以看出：在本例中，正应力影响范围为1.25~2.25 m，剪应力的影响范围为1.0~1.75 m。因此，多根锚索同时工作时，锚孔间相互完全无影响的最大间距为：对正应力，要求为2.5~4.5 m；对剪应力，要求为2.0~3.5 m。由此通过该应力影响范围可知：锚固段的影响范围应以正应力为标准进行控制较安全，而锚索锚固力则主要取决于浆体与周围岩体交界面的剪应力。一旦剪应力超出交界面的黏结强度，锚索锚固段与周围岩体将发生相对滑移，锚固效果降低。

3.2  实测结果与讨论

3.2.1  摩阻力分布实测

在本文研究中，选取典型锚索安装测试元件对锚索的应力进行观测，并与计算结果进行对比，结果如图9所示。从图9可以看出：实测结果与计算结果比较吻合，即在锚固段的前端最大，然后在1/3长度处迅速减小。但计算结果较实测结果更集中，且在锚索的前端计算结果比实测结果大，说明实际测量中由于锚索的张拉导致前端锚索与锚固体的摩阻力      降低。

图9  锚固段摩阻力分布曲线

Fig.9  Curves of cable lateral friction

3.2.2  锚固效应实测

为对本文计算的锚固效应进行过测试，选定一排锚索(6根，锚索间距为1 m)，在最左边1根锚索埋设测试元件，然后，按顺序依次张拉各根锚索，得出在测试锚索上的反映，可知邻锚效应区的范围为3.5~4.5 m，与图6和图8相比较，本次实测结果为相邻锚索相互影响间距，故应与图6与图8中应力影响范围的2倍相比较。从图10可以看出：实测邻锚效应区的范围接近于2倍正应力的影响范围。因此，本试验的结果与计算结果是比较接近的，即锚固段的影响范围应以正应力为标准进行控制。

图10  不同锚索张拉时仪器观测断面的应变变化

Fig.10  Stress changes at section while prestressing with different tendons

4  结论

(1)在锚索顶端的侧摩阻力分布集中，越靠近锚索的底部，其侧摩阻力的分布越来越趋于均匀，而且摩阻力也较小。由此可知锚索侧摩阻力沿长度方向的分布不能都近似地看作均匀分布，实际上呈非线性分布，这与传统理论的均匀分布存在一定的差别。实例计算与实测结果表明：锚索在锚固段的应力分布呈非线性，主要集中在锚固段前端1/3处，比传统方法(考虑锚固段摩阻力的线性特性)计算的结果更集中；因此，为提高锚固的效果不能一味增加锚固段长度，而应增加有效的锚固面积或分散前端的集中应力。

(2) 基于损伤理论、Mindlin解,考虑锚固段摩阻力的非线性特性，推导得出锚索影响范围内土体中任一点的应力分布解析解，弥补了在以往计算中将锚固段摩阻力作为线性分布进行求解的缺陷。通过计算分析可知：锚固岩体中的应力分布趋势在锚索轴向方向与锚索锚固段的摩阻力分布趋势一致，呈非线性分布，主要集中在锚固段前端1/3处；在锚索径向方向，锚固岩体中的应力在很小的范围内衰减。因此，锚索如发生张拉破坏时一般发生在锚固岩体附近较小范围 之内。

(3) 在锚拉荷载作用下，单根锚索加固的岩土体内所产生的正应力、剪应力都存在一定的影响范围，且随着荷载的不同，其影响范围发生一定程度的变化。相对地，随着张拉荷载增加，应力影响范围增加较小，而应力集中程度则较大增加。因此，锚索设计时不但要考虑锚索与锚固体的黏结强度，更要考虑锚固体与岩土体的黏结强度，必要时可考虑采取工程措施增加锚固区岩土体的抗剪强度以增强锚固效果。

(4) 选取锚索的设计参数进行计算时不能一味以剪应力为标准进行控制。相邻锚索之间相互影响的最小距离要以正应力为标准进行控制，而锚固力的计算应以剪应力为标准进行控制。

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(编辑 杨幼平)

收稿日期：2010-03-15；修回日期：2010-05-15

基金项目：湖南省教育厅重点研究项目(09A016)；湖南省交通建设基金资助项目(200501)；中南大学博士后科研基金资助项目(2009年)；湖南城市学院青年基金资助项目(200802)

通信作者：邓宗伟(1972-)，男，湖南益阳人，博士后，副教授，从事岩土工程与隧道工程的试验与研究；电话：13973760738；E-mail：teapotd@163.com