新型索拱桥索力与拱轴线双优化实用方法

胡常福^{1, 2}，郑恒¹，任伟新^{1, 3}，上官兴²

(1. 中南大学 土木工程学院，湖南 长沙，410075；

2. 华东交通大学 土木建筑学院，江西 南昌，330013；

3. 合肥工业大学 土木与水利工程学院，安徽 合肥，230009)

摘要：针对新型索拱桥的特点，提出一种可同时进行索力和拱轴线双优化的方法。基于影响矩阵的原理和迭代法，以弯曲应变能最小为优化目标，提出在抗弯惯性矩无穷小的三铰拱索拱桥有限元模型上，进行拱轴线迭代的实用方法，以同时达到索拱桥的索力调整与拱轴线双优化的目标。以跨径600 m索拱桥作为算例，验证本文方法的有效性及实用方法各参数对结果的影响。研究结果表明：与仅考虑一种优化因素相比，本文方法弯矩分布更合理，弯矩极值约小10%，弯曲应变能约小20%。抗弯惯性矩无穷小模型比抗压刚度无穷大模型能得到更小的弯曲应变能状态；三铰拱模型迭代收敛性能比两铰拱与无铰拱模型的优；索拱桥压力线高次抛物线拟合后的结构内力比低次抛物线结果的优。

关键词：索拱桥；弯曲应变能；索力调整；最优拱轴线；迭代法

中图分类号：U4413           文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2014)07-2320-06

Practical method of optimization of cable tensions and arch axis for new type arch bridges with diagonal web cables

HU Changfu^{1, 2}, ZHENG Heng¹, REN Weixin^{1, 3}, SHANGGUAN Xing²

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;

2. School of Civil Engineering and Architecture, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China;

3. School of Civil Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Abstract: According to the structure characteristics of a new type arch bridges with diagonal web cables, a practical method of optimization of cable tensions and arch axis was proposed. Based on influence matrix principle, iteration method and minimum bending strain energy, a practical method whose arch axis iteration was done on a three-hinge arch bridge finite element model with almost zero bending moment inertia was proposed for structural optimization including both cable tensions and arch axis. A 600 m span arch bridge with diagonal web cables was used as an example to make the parametric analysis of the proposed method. The results show that the bending moment of proposed method has better distribution along arch span, and has about 10% smaller extreme moment and about 20% smaller bending strain energy than the only one factor considered results. The bending strain energy of finite element model with almost zero bending moment inertia is smaller than that of the finite element model with almost infinity area, and it has better iteration performance of three-hinge arch model than two hinge arch model and hingeless arch model, and it has better structural performance results of high order parabolic than low order parabolic used in pressure line curve fitting.

Key words: arch bridges with diagonal web cables; bending strain energy; cable tension optimization; arch axis optimization; iteration method

拱桥结构主要承担轴力因而跨越能力大，但由于在主拱圈合拢前不能承受荷载的固有缺陷，造成其施工特别困难。桁式组合拱桥^[1]采用预应力混凝土拉杆将桥面系与主拱圈连接起来，辅以扒杆吊装进行悬臂施工，使得该种拱桥结构同时满足施工与成桥结构要求，从而较好地适应了V形山谷地域的拱桥建设需求。陈天本^[2]对桁式组合拱桥提出改革方案，使用柔性拉索替代刚性预应力混凝土拉杆，使用钢管混凝土替代箱型拱圈。因斜拉索可调整结构受力，使得改革后桥梁结构的力学性能不同于桁式组合拱桥与普通上承式拱桥，进而成为新的拱桥结构型式^[3]，命名为索拱桥，于2003年建成第1座实桥^[4]。为探索新型拱桥索力优化方法，任亮等^[5]提出使用零弯矩法调整施工阶段索力，使用最小二乘法调整成桥后索力，得到了较好的结果。刘迎春等^[6]考虑了索力调整过程中索力之间的相互影响，提出双影响矩阵法。Chen等^[7]使用简易模型按照力的平衡原理，对预应力混凝土斜拉桥的索力优化进行了研究，取得较好效果。Hassan^[8]基于有限元模型、B样条函数与遗传算法，对斜拉桥进行优化，算例结果表明该方法具有较高的效率和较强的适用性。Lee等^[9]考虑了斜拉桥的施工阶段对索力的影响，提出两次张拉法来达到最优成桥索力。梁鹏等^[10]在分析影响矩阵原理的基础上，提出斜拉桥索力优化实用方法。众所周知，拱桥的拱轴线影响主拱圈的内力分布，而索力调整是新型索拱桥的特有因素，因此，该2个因素对主拱圈内力状况均有较大影响。林阳子等^[11]在半拱有限元模型基础上使用迭代的方法，以求得最优拱轴线；因使用无铰拱模型在拱顶与拱脚存在弯矩，迭代过程常出现拱顶和拱脚相邻节点坐标异常的情况。周尚猛等^[12]使用三次样条曲线优化加权能量法表述的最优拱轴线，计算方法较复杂。目前，已有文献均为对索力或拱轴线进行单因素优化，而对新型索拱桥而言，索力调整与拱轴线均对结构力学性能影响较大。为探索新型拱桥的索力与拱轴线双优化方法，本文作者基于影响矩阵的原理和迭代法，提出索力与拱轴线双优化的实用方法，并以跨径600 m的索拱桥作为算例，验证本文方法的有效性和实用方法各参数对结果的影响。

1  索力与拱轴线双优化基本原理

1.1  影响矩阵法的另一种表述

文献[10]通过对索力调整影响矩阵法的分析，证明了以下2个方程是等价的：

    (1)

式中：[C]为索力对弯矩的影响矩阵，其元素c_ij反映了第j个索力发生单位变化对i节点弯矩的影响；[B]=；；l_i，E_i和I_i分别为i单元的长度、弹性模量和抗弯惯性矩；m为需调整弯曲应变能单元的个数；{T}为索力的增量；{M₀}为索力优化前的弯矩向量；和为T_i=1时基本结构的弯矩向量；M₀(s)为索力优化前外荷载引起的弯矩向量。式(1)的左边是影响矩阵法的典型矩阵方程，式(1)的右边方程与下式所示的力法方程相类似：

   (2)

式中：和为T_i=1时基本结构的轴力向量；N₀(s)为索力优化前外荷载引起的轴力量；A为主拱圈横截面面积。文献[10]提出，在有限元模型中人为地将单元抗弯刚度设置为无穷小(E_iI_i→0)或抗压刚度设置为无穷大(E_iA_i→∞)，进而使式(2)近似等价式(1)方程组，得到弯曲应变能最小状态下的索力。

文献[10]使用斜拉桥作为算例，证明了该方法的有效性。同理可证明，在拱桥有限元模型中，人为地将单元E_iI_i→0或E_iA_i→∞时，其内力状态也是弯曲应变能最小的状态，且斜索的索力为最优索力。

1.2  索力与拱轴线双优化

若以式(2)表达拱桥力法方程，当主拱圈单元E_iA_i→∞时，实质上是计算主拱圈除弹性压缩外的内力。而主拱圈弯矩主要组成是主拱圈弹性压缩内力和拱轴线与实际压力线的偏离弯矩，此时，若能在式(2)基础上，进一步迭代消除拱轴线与压力线的偏离弯矩，则能达到索力与主拱圈双优化的目标。在实际应用中，改变单元弯曲刚度E_iI_i→0，索力与内力更加均匀；当主拱圈为三铰拱模型时，迭代的收敛性更好。

针对新型索拱桥的索力调整与拱轴线型均对主拱圈内力影响较大的特点，本文提出在单元E_iI_i→0的三铰拱有限元模型基础上，进行迭代消除拱轴线与压力线的偏离弯矩，完成新型索拱桥索力与拱轴线双优化的目标。其主要步骤如下。

(1) 选取1个初始拱轴线，建立单元E_iI_i→0的索拱桥三铰拱有限元模型，提取主拱圈内力。

(2) 根据式(3)，调整主拱圈的竖坐标：

                 (3)

式中：为主拱圈第i节点竖坐标增量；M_i为步骤(1)有限元模型中主拱圈第i节点弯矩；H_i为主拱圈第i节点等效水平力， ；和分别为该单元长度的x和y轴的投影长度；N_i和Q_i分别为主拱圈第i节点轴力和剪力。

(3) 将调整后的拱轴线，代入步骤(1)的有限元模型中，计算结构内力。

(4) 根据式(4)，判断是否满足迭代停止条件，否则重复步骤(2)与(3)；

       (4)

式中：和分别为第j次和第j+1次迭代中主拱圈第i节点的弯矩；为事先设定的无穷小量。

(5) 提取迭代终止后有限元模型的斜拉索内力和主拱圈坐标，并使用高次抛物线拟合迭代后的主拱圈坐标；

(6) 将步骤(5)的斜拉索张拉力与拱轴线，代入具有实际单元E_iI_i和E_iA_i的索拱桥有限元模型，此时即可得到考虑索力与拱轴线双优化下的结构恒载作用最优内力与最优拱轴线。

2  索拱桥算例分析

2.1  跨径600 m索拱桥方案

我国桥梁科研人员根据V形地域拱桥建设的需要，拟定了跨径600 m的索拱桥方案^[13-15]，如图1所示。该方案设计中，主拱圈采用大直径品型钢管，立柱为内含加劲肋的空钢管，桥面系为波形钢腹板工字钢组成纵横梁体系，行车道板为的四钢混凝土(波形钢、钢纤维、钢丝网、钢筋混凝土)连续桥面板，斜拉索为直径21.8 mm平行钢丝束组成。

2.2  有限元模型

使用ANSYS有限元软件平台，建立跨径600 m索拱桥有限元模型，主拱圈、纵梁及立柱选用空间梁单元beam4，斜拉索选用杆单元link1，以等效初应变法模拟初始索力对结构的效应。在有限元模型中，主拱圈单元1 200个，纵梁单元1 848个，立柱单元18个，拉索单元14个，各杆件截面特性如表1所示。表1中：拱脚、1号~4号立柱座为固结约束，0号与5号为竖向约束以模拟伸缩缝效应。模型的初始拱轴线为m=1.543悬链线，荷载为结构自重与桥面板自重18.56 kN/m。

图1  跨径600 m索拱桥方案

Fig. 1  Preliminary design of 600 m span arch bridges

表1  索拱桥有限元模型单元截面特征

Table 1  Real constant of arch bridge with diagonal web cables finite element model

2.3  索力与拱轴线双优化

为验证本文提出的考虑索力与拱轴线双优化实用方法的有效性，在上述有限元模型的基础上，分别计算不考虑索力与拱轴线优化、只考虑索力优化、只考虑拱轴线优化和考虑索力拱轴线双优化4种工况下主拱圈内力。其中不考虑索力与拱轴线优化工况在原始有限元模型中计算；只考虑索力优化工况使用单元抗弯惯矩人为减小10^-6倍有限元模型(不进行迭代)；只考虑拱轴线优化工况使用原始有限元模型进行拱轴线迭代并使用9次抛物线拟合；考虑索力拱轴线双优化工况使用单元抗弯惯矩人为减小10^-6倍的三铰拱有限元模型计算并使用9次抛物线拟合拱轴线迭代后的压力线。4种工况的主拱圈内力比较如图2与表2所示。

从图2可以看出：从整个主拱圈弯矩分布图来看，无任何索力优化工况与只优化拱轴线工况弯矩分布基本相当，只优化索力工况与索力拱轴线双优化工况弯矩分布基本相当；4种工况内力在拱脚区与拱顶区有较大变化，四分点区域区分不大；在4种工况中，考虑索力与拱轴线双优化的弯矩峰值与分布方面比其他3种工况的优。从表2可以看出：考虑索力与拱轴线双优化工况的主拱圈弯矩最大值比无任何优化工况小11.2%，比只优化索力工况小10.2%，与只优化拱轴线工况小0.7%；在弯矩最小值方面，索力与拱轴线双优化工况比无任何优化工况小41.7%，比只优化索力工况小27.7%，与只优化拱轴线工况小9.5%；在弯曲应变能方面，索力与拱轴线双优化工况比无任何优化工况小50.6%，比只优化索力工况小23.7%，与只优化拱轴线工况小22.2%。从4个工况内力分布来看，本文方法比常规方法能得到更小的弯矩极值与弯曲应变能结果。

表2  4种工况主拱圈恒载内力状况比较

Table 2  Main arch ring dead internal force comparison of four optimization conditions

图2  4种工况主拱圈恒载弯矩比较

Fig. 2  Main arch ring dead internal force comparison of four optimization conditions

3  实用方法参数分析

针对新型索拱桥的结构特点，本文提出索力与拱轴线双优化实用方法，主要包括选取有限元模型、拱轴线迭代与压力线拟合3步。为理解实用方法各步骤对结果的影响，对其进行参数分析。

3.1  单元截面性质

从式(2)的理论分析层面可知：单元E_iI_i0和E_iA_i∞均可使式(2)近似接近于式(1)，但在索拱桥这一新结构中，两者的差别尚待分析。为此，对算例拱桥使用单元E_iI_i0和E_iA_i∞ 2种有限元模型，分别进行迭代双优化，两者的主拱圈弯矩结果比较如表3所示。

表3  2种有限元模型结果比较

Table 3  Structural internal force comparison of two type finite element model

从表3可以看出：在弯矩最大值方面，单元E_iI_i无穷小模型结果比单元E_iA_i无穷大模型小6.2%；在弯矩最小值方面，单元E_iI_i无穷小模型结果比单元E_iA_i无穷大模型小9.1%；在弯曲应变能方面，单元E_iI_i无穷小模型结果比单元E_iA_i无穷大模型小32.4%；从弯矩的极值与弯曲应变能来看，单元E_iI_i无穷小模型优于单元E_iA_i无穷大模型。计算结果还显示，单元E_iI_i无穷小模型得到的最优索力较均匀。

3.2  主拱圈有限元模型

为进一步探索基础有限元模型对索力拱轴线双优化的影响，对算例拱桥使用主拱圈为无铰拱模型、两铰拱模型与三铰拱模型，分别进行50次迭代双优化，迭代过程比较如图3所示。

从图3可以看出：随着迭代次数的增加，两铰拱与三铰拱模型的弯曲应变能均迅速下降，而无铰拱模型的弯曲应变能则出现先下降后上升现象；在相同的迭代次数情况下，三铰拱比两铰拱模型收敛速度更快，且弯曲应变能更小。其主要原因在于无铰拱和两铰拱模型的拱顶与拱脚分别存在部分弯矩，使用式(3)迭代时造成拱脚与拱顶坐标变化，进而造成不收敛和迭代速度慢，并影响最终拱轴线的拱脚坐标与矢高。

图3  3种种有限元模型迭代收敛性比较

Fig. 3  Iterative convergence comparison of three finite element model

3.3  拟合曲线型式

在单元E_iI_i无穷小的三铰拱有限元模型基础上进行拱轴线迭代后，能得到无弹性压缩的实际压力线。由于立柱与斜拉索的离散分布，造成实际压力线是折线，拟合曲线型式的选用对主拱圈弯矩结果也会有影响。为此，分别选用5次抛物线与9次抛物线，对EI无穷小三铰拱有限元模型线迭代后的压力线进行拟合，两者所得到的索力与拱轴线坐标对主拱圈弯矩影响比较，如表4所示。

表4  2种拟合曲线结果比较

Table 4  Structural internal force comparison of two type curve fitting

从表4可以看出：在弯矩最大值方面，9次抛物线拟合结果比5次抛物线小5.1%；在弯矩最小值方面，9次抛物线拟合结果比5次抛物线小16.6%；在弯曲应变能方面，9次抛物线拟合结果比5次抛物线小15.8%；从弯矩的极值与弯曲应变能来看，9次抛物线拟合结果均优于5次抛物线拟合结果，表明高次抛物线更能接近实际压力线。

4  结论

(1) 抗弯惯性矩无穷小的三铰拱索拱桥有限元模型上进行拱轴线迭代，可实现索拱桥的索力与拱轴线双优化。

(2) 跨径600 m索拱桥算例表明，本文双优化方法结果在弯矩极值和弯曲应变能方面，均比比单优化结果小。

(3) 采用单元E_iI_i→0的三铰拱有限元模型迭代拱轴线，使用高次抛物线拟合迭代结果，能得到更好的双优化结果。

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(编辑  杨幼平)

收稿日期：2013-07-19；修回日期：2013-11-05

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51278163)；江西省教育厅基金资助项目(GJJ12325)；铁路环境振动与噪声教育部工程研究中心资助项目(11TM01)

通信作者：任伟新(1960-)，男，湖南长沙人，教授，从事桥梁稳定与振动研究；电话：0551-62901432；E-mail: renwx@hfut.edu.cn