DOI： 10.11817/j.issn.1672-7207.2020.10.020
基于一种新Lyapunov泛函方法的时滞复杂动态网络同步采样控制
陈刚1, 2，李佳1, 2，肖伸平1, 2
(1. 湖南工业大学 电气与信息工程学院，湖南 株洲，412007；
2. 电传动控制与智能装备湖南省重点实验室，湖南 株洲，412007)
摘要：本文针对时滞复杂动态网络同步采样控制问题进行研究。首先，构建时滞复杂动态网络模型和1个相关假设；其次，针对时滞复杂动态网络模型，基于Lyapunov-Krasovskii(L-K)稳定性分析理论和采样控制原理，建立新的Lyapunov泛函，这种Lyapunov泛函引入数据采样区间相关矩阵和优化双闭环泛函，从而能够更加充分利用系统的状态信息；最后，运用积分不等式方法构造Lyapunov泛函的导数，获得1个时滞复杂动态网络稳定的新判据并设计了1个保证时滞复杂动态网络同步的数据采样控制器。仿真研究结果表明：所给出的时滞复杂动态网络同步的充分条件是少保守性，且数据采样控制器是可行的。
关键词：时滞复杂动态网络；数据采样控制器；Lyapunov-Krasovskii泛函；积分不等式
中图分类号：TP273 文献标志码：A 开放科学(资源服务)标识码(OSID)
文章编号：1672-7207（2020）10-2885-08
Sampled-data synchronization of delayed complex dynamical networks based on a new Lyapunov functional method
CHEN Gang1, 2, LI Jia1, 2, XIAO Shenping1, 2
(1. School of Electrical and Information Engineering, Hunan University of Technology, Zhuzhou 412007, China;
2. Key Laboratory for Electric Drive Control and Intelligent of Hunan Province, Zhuzhou 412007, China)
Abstract: The problem of a sampled-data synchronization of delayed complex dynamical networks is studied. Firstly, the delayed complex dynamical network model and a relate assumption are constructed. Secondly, based on the stability analysis theory of Lyapunov-Krasovskii(L-K) and the sampling control principle, a new Lyapunov functional is constructed,which introduced the correlation matrix of data sampling interval and an optimized double-closed loop functional to more fully obtain the state information of the system. At last, some newly reported integral inequalities are used to estimate the derivative of Lyapunov functional, a new criterion for stability of delayed complex dynamical networks is finally obtained, and a sampled-data controller is designed to ensure the synchronization of delayed complex dynamical networks.The results show that the sufficient conditions for the sampled-data synchronization of delayed complex dynamical networks are less conservative and the sampled-data controller is feasible.
Key words: delayed complex dynamical network; sampled-data controller; Lyapunov-Krasovskii functional; integral inequality
复杂动态网络本质上是一种具有复杂拓扑结构特征的图论[1]。在过去的几十年中，复杂动态网络广泛应用于现实世界物理和社会系统建模，如神经网络、互联网、社交网络、传感器网络的目标追踪、电力系统和食物链网络[2-8]。在复杂动态网络中，系统的同步性是复杂动态网络代表性现象，其应用于信息处理、安全通道、交通系统等领域，已成为控制领域的研究热点[9-11]。文献[12-16]对一些复杂动态网络的同步性和稳定性分析工作进行了研究，并取得了一些突出成果。随着通信技术的不断发展及数字控制在连续系统的控制过程中具有速度快、体积小、精度高和成本低的优点，人们对复杂动态网络的数据采样同步控制问题进行了研究。实际上，在数据采样控制中，在tk时刻更新信号并将信号从采样器成功传输到控制器和零阶保持器，会经历信号传输延迟，故研究时滞复杂动态网络具有重要意义，其主要目的是通过采样控制来保证时滞复杂动态网络有尽可能大的采样间隔[17-23]，同时设计出1个采样控制器使系统达到同步稳定。如文献[18]提出了一种新的凸优化方法和神经元激活函数的不等式，得到1个保守性较小的采样区间。文献[19]对具有记忆的时滞复杂动态网络的非脆弱指数同步采样控制进行了讨论，进一步增大了采样区间间隔。文献[22]为进一步获得更多的采样区间间隔，优化所构建的泛函，建立了一些含自由权矩阵的恒零等式去增强增广泛函中各向量之间的组合关系。然而，尽管人们对数据采样控制和时滞复杂动态网络的同步性进行了研究，但所得到的成果具有很大的保守性。为此，本文基于一种新Lyapunov泛函方法研究时滞复杂动态网络同步采样问题，主要步骤为：1) 构造一种新Lyapunov泛函，这种泛函的部分系统状态变量使用状态区间相关矩阵连接，使得Lyapunov泛函中的向量组合关系增强，同时，这也进一步优化了双闭环泛函；2) 利用一些积分不等式估计泛函求导中的积分项并结合线性矩阵不等式方法，得到1个较少保守性的复杂动态网络稳定的新判据；3) 设计1个能保证时滞复杂动态网络同步的数据采样控制器；4) 通过仿真实例结果和状态轨迹图说明本文方法的优越性和可行性。
1 问题描述
采用如下标号：上标“T”和“-1”分别表示转置和求逆；Rn和Rn×m分别代表实数域的n维向量和n×m的矩阵；矩阵P>0表示矩阵P是正定的；0和I分别表示合适维数的零矩阵和合适维数的单位矩阵；P为矩阵；Sym{P}表示P+PT；符号“
”表示块对称矩阵中的对称项；
表示Kronecker乘积；diag{a1,…,an}代表块对角矩阵；col{a1,…,an}代表一组列向量，其中a1,…,an为矩阵元素。
考虑N个相同耦合节点组成的时滞复杂动态网络，其中每个节点都是1个N维动力系统，其方程为
(1)
式中：i=1，2，
，N；
和
分别表示时间t时刻时复杂动态网络其第i个节点的状态向量和控制输入；
为连续状态值函数；c表示耦合强度；
=
，为2个连通节点间的内部耦合矩阵；
=
，为网络拓扑节点的外部耦合矩阵，
若满足节点j到节点i(i≠j)连接，则
，否则
，且矩阵G的对角元素为
(2)
另外，时变时滞h(t)满足
和
。其中，h和μ是大于0的常量。
令
表示自然孤立点，
表示状态轨迹，的定义与式(1)中的相同。
定义
，其含义是节点i的状态与期望的状态向量
之间的误差，故误差系统可表述为
(3)
其中：i=1，2，，N；
。
结合数据采样控制可表示为
(4)
其中：i=1，2，，N；
；采样区间
。
满足
(5)
其中：d为最大采样期间。将式(4)代入式(3)得
(6)
其中：
；
；
。
引用如下假设和主要引理。
假设1 
和
为合适维度的定值矩阵，则非线性函数
满足以下条件：
。
引理1 文献[24]给出正定矩阵
，对于任意可导函数
，有不等式
成立。其中：
。
引理2 文献[25]给出正定矩阵，任意可导函数
，
，
，任意矩阵D1
，D2和向量
，有如下不等式成立：
其中：
；
；
；
；
。
2 主要结果
为简化本文复杂的计算过程，本文只考虑含3个节点的复杂网络系统模型，并有如下符号定义：
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；K=diag{K1，K2，K3}；
；
。
定理1 给定标量h>0，d>0，μ>0，ε>0，若存在矩阵P1>0，Q1>0，Q2>0，Z1
R2n×2n，P2>0，P3>0，S>0，Z3>0，Z4>0Rn×n，任意矩阵Z2R4n×4n，FiRn×n(i=1，2，3)，M1R2n×11n和M2R2n×11n，有如下矩阵不等式成立：
(7)
(8)
则误差系统(6)渐近稳定。其中：
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
。
证明 选择如下Lyapunov泛函：
(9)
其中：
；
；
；
；
；
；
。
因为
，通过类似文献[26]中方法处理，Z1，Z2，Z3和Z4无需满足正定矩阵的限定条件。
然后，对构建的泛函求导，经过简单计算后，有如下积分项存在：
(10)
(11)
(12)
应用引理1处理式(10)，可得
(13)
运用引理2处理式(11)和式(12)，可得
(14)
此外，若存在常数
，则由假设1可得
(15)
同时，在计算过程中存在如下恒等式成立：
(16)
综上所述，可得
(17)
其中：。根据Schur补定理，若式(7)和(8)成立，则有
0，故误差系统(6)渐近稳定。证明完毕。
注释1 在泛函
中，通过引入状态区间相关的矩阵去连接系统的状态向量，若P2=P3=P，则转变成经典的泛函
，故本文的泛函更具有广义性与少保守性；另外，在双闭环泛函中，构造含更多状态信息的增广向量，优化文献[26]中泛函。
注释2 在定理1中，F1，F2，F3和控制器增益K没有给出，从而矩阵不等式(7)和(8)是非线性矩阵不等式，无法用MATLAB中工具箱求解，下面给出定理2去实现线性化并求解数据采样控制器。
定理2 给定标量h>0，d>0，μ>0，ε>0，若存在矩阵P1>0，Q1>0，Q2>0，Z1R2n×2n，P2>0，P3>0，S>0，Z3>0，Z4>0Rn×n，任意矩阵Z2R4n×4n，FiRn×n，HiRn×n，KiRn×n (i=1，2，3)，M1R2n×11n，M2R2n×11n，且控制增益矩阵K=F-1H，有如下矩阵不等式成立：
(18)
(19)
则误差系统(6)渐进稳定。其中：
；
；
。
其他变量的定义与定理1中的一样。
证明 令
，
，
和H=FK，其他证明过程与定理1的证明过程相同，可得定理2。证明完毕。
注释3 在定理2中，采用文献[20,22]中的线性化方法，设，和，矩阵不等式(18)和(19)中的数据采样控制器增益K=F-1H可直接用MATLAB工具箱求出。
3 仿真实例
下面通过仿真实例证明本文方法的有效性和优越性。
考虑含3个节点的复杂动态网络模型，并有如下系统参数：
；
；
。
假设h=0.25，
，则非线性函数
为
易知该非线性函数满足假设1，且
，
。
基于定理2，参数λ1和λ2选取与文献[22]中的相同，在MATLAB工具箱中建立仿真，不同耦合强度c下的最大允许区间上界d如表1所示。
表1 不同c下的最大允许上界d
Table 1 Admissible upper bound d for different c
由表1可知：选取
，
，
和
，
，
以及
，
，
，通过对比本文可以得到最大数据采样区间d与参考文献[18-19,21-23]中采样区间d，结果显示了本文方法具有明显的优越性。
基于定理2，设初始条件为：
x1(0)=
；x2(0)=
；x3(0)=
；
。
当
，，
时，利用MATLAB工具箱得采样控制器增益为：
；
；
。
误差系统(6)的无控制输入状态轨迹由图1所示。由图1可知：当
时，系统是发散的。当加入本文设计的控制器后，控制输入
仿真图和误差系统(6)状态轨迹
仿真图分别如图2和图3分别所示。由图2和图3可知：基于定理2计算的控制输入矩阵增益能够使误差系统(6)的状态轨迹最终趋于稳定，这也证明了本文方法是有效的。
图1 无控制输入误差系统(6)的状态轨迹
Fig. 1 State trajectories of error system (6) without control input
图2 控制输入
Fig. 2 Control input
图3 误差系统(6)的状态轨迹
Fig. 3 State trajectories of error system (6)
图4 加入控制器后的控制输入
Fig. 4 Control input when controller is added
图5 加入控制器后的误差系统(6)的状态轨迹
Fig. 5 State trajectories of error system (6) when controller is added
当
，
，时，利用MATLAB工具箱计算采样控制器增益为：
；
；
。
当加入本文所计算的控制器后，控制输入仿真图和误差系统(6)状态轨迹仿真图分别如图4和图5所示。由图4和图5可知：本文得出的控制增益能够使误差系统(6)的状态轨迹最终趋于稳定，进一步说明了本文方法的有效性。
4 结论
1) 本文研究了时滞复杂网络同步采样控制问题。构造了一种由状态区间相关矩阵泛函和双闭环泛函两者组成的新Lyapunov泛函，运用积分不等式方法估计泛函求导中的积分项，使用线性矩阵不等式方法，得到了1个较少保守性的复杂动态网络稳定的新判据。
2) 基于所获得的渐近稳定性判据，设计了1个能够使时滞复杂动态网络同步的数据采样控制器。MATLAB数值仿真表明本文方法的优越性和可行性。
参考文献：
[1] STROGATZ S H. Exploring complex networks[J]. Nature, 2001, 410(6825): 268-276.
[2] WANG Xin, LIU Xinzhi, SHE Kun, et al. Extended dissipative memory sampled-data synchronization control of complex networks with communication delays[J].Neurocomputing, 2019, 347: 1-12.
[3] BOCCALETTI S, LATORA V, MORENO Y, et al. Complex networks: structure and dynamics[J]. Physics Reports, 2006, 424(4/5): 175-308.
[4] ZHANG Lixian, ZHU Yanzheng, SHI Peng, et al. Resilient asynchronous H∞ filtering for Markov jump neural networks with unideal measurements and multiplicative noises[J]. IEEE Transactions on Cybernetics, 2015, 45(12): 2840-2852.
[5] ZENG Hongbing, TEO K L, HE Yong, et al. Sampled-data synchronization control for chaotic neural networks subject to actuator saturation[J]. Neurocomputing, 2017, 260: 25-31.
[6] WANG Wei, ZENG Hongbing, TEO K L. Free-matrix-based time-dependent discontinuous Lyapunov functional for synchronization of delayed neural networks with sampled-data control[J]. Chinese Physics B, 2017, 26(11): 110503.
[7] 陈宁, 刘玮瑛, 桂卫华. 基于输出反馈的电力系统时滞相关分散鲁棒H∞控制[J]. 中南大学学报(自然科学版), 2009, 40(3): 711-718.
CHEN Ning, LIU Weiying, GUI Weihua. Delay-dependent decentralized robust H∞ control for power systems based on output feedback[J]. Journal of Central South University(Science and Technology), 2009, 40(3): 711-718.
[8] SELVARAJ P, SAKTHIVEL R, AHN C K. Observer-based synchronization of complex dynamical networks under actuator saturation and probabilistic faults[J]. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics: Systems, 2019, 49(7): 1516-1526.
[9] CHEN Xiangyong, PARK J H, CAO Jinde, et al. Adaptive synchronization of multiple uncertain coupled chaotic systems via sliding mode control[J]. Neurocomputing, 2018, 273: 9-21.
[10] YANG Xinsong, YANG Zhichun, NIE Xiaobing. Exponential synchronization of discontinuous chaotic systems via delayed impulsive control and its application to secure communication[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2014, 19(5): 1529-1543.
[11] ZENG Hongbing, TEO K L, HE Yong, et al. Sampled-data stabilization of chaotic systems based on a T-S fuzzy model[J]. Information Sciences, 2019, 483: 262-272.
[12] SONG Qiankun, SHU Hanqi, ZHAO Zhenjiang, et al. Lagrange stability analysis for complex-valued neural networks with leakage delay and mixed time-varying delays[J]. Neurocomputing, 2017, 244: 33-41.
[13] ZHANG Ruimei, ZENG Deqiang, ZHONG Shouming, et al. Event-triggered sampling control for stability and stabilization of memristive neural networks with communication delays[J]. Applied Mathematics and Computation, 2017, 310: 57-74.
[14] WU Yuanqing, LU Renquan, SHI Peng, et al. Sampled-data synchronization of complex networks with partial couplings and T-S fuzzy nodes[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2018, 26(2): 782-793.
[15] WANG Xin, SHE Kun, ZHONG Shouming, et al. Exponential synchronization of memristor-based neural networks with time-varying delay and stochastic perturbation[J]. Neurocomputing, 2017, 242: 131-139.
[16] SONG Qiankun, ZHAO Zhenjiang, LIU Yurong. Stability analysis of complex-valued neural networks with probabilistic time-varying delays[J]. Neurocomputing, 2015, 159: 96-104.
[17] WANG Junyi, ZHANG Huaguang, WANG Zhanshan. Sampled-data synchronization for complex networks based on discontinuous LKF and mixed convex combination[J]. Journal of the Franklin Institute, 2015, 352(11): 4741-4757.
[18] ZENG Deqiang, ZHANG Ruimei, ZHONG Shouming, et al. Sampled-data synchronization control for Markovian delayed complex dynamical networks via a novel convex optimization method[J]. Neurocomputing, 2017, 266: 606-618.
[19] LIU Yajuan, GUO Baozhu, PARK J H, et al. Nonfragile exponential synchronization of delayed complex dynamical networks with memory sampled-data control[J]. IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems, 2018, 29(1): 118-128.
[20] ZHANG Ruimei, ZENG Deqiang, PARK J H, et al. Nonfragile sampled-data synchronization for delayed complex dynamical networks with randomly occurring controller gain fluctuations[J]. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics: Systems, 2018, 48(12): 2271-2281.
[21] 陈刚, 王信, 肖伸平, 等. 复杂动态网络指数采样同步控制[J]. 中南大学学报(自然科学版), 2018, 49(12): 2993-3001
CHEN Gang, WANG Xin, XIAO Shenping, et al.Sampled-data exponential synchronization for complex dynamical networks[J]. Journal of Central South University(Science and Technology), 2018, 49(12): 2993-3001
[22] ZENG Deqiang, ZHANG Ruimei, LIU Xinzhi, et al. Improved results on synchronisation of delayed complex dynamical networks via sampled-data control[J]. International Journal of Systems Science, 2018, 49(6): 1242-1255.
[23] LEE S H, PARK M J, KWON O M, et al. Advanced sampled-data synchronization control for complex dynamical networks with coupling time-varying delays[J]. Information Sciences, 2017, 420: 454-465.
[24] SEURET A, GOUAISBAUT F. Wirtinger-based integral inequality: application to time-delay systems[J]. Automatica, 2013, 49(9): 2860-2866.
[25] ZENG Hongbing, LIU Xiaogui, WANG Wei. A generalized free-matrix-based integral inequality for stability analysis of time-varying delay systems[J]. Applied Mathematics and Computation, 2019, 354: 1-8.
[26] ZENG Hongbing, TEO K L, HE Yong. A new looped-functional for stability analysis of sampled-data systems[J]. Automatica, 2017, 82: 328-331.
(编辑 陈灿华)
收稿日期： 2020 -01 -10; 修回日期： 2020 -03 -22
基金项目(Foundation item)：湖南省自然科学基金资助项目(2018JJ4075)；国家自然科学基金资助项目(61703153) (Project(2018JJ4075) supported by the Natural Science Foundation of Hunan Province; Project(61703153) supported by the National Natural Science Foundation of China)
通信作者：陈刚，博士，副教授，从事时滞系统、鲁棒控制和网络控制系统研究；E-mail：drchengang@163.com
