铝卷径向等效导热系数的仿真
李建平，刘 涛，胡仕成，毛大恒
(中南大学 现代复杂装备设计与极端制造教育部重点实验室，湖南 长沙，410083)
摘 要：利用铝板退火加热实验采集到的温度，通过热传导反问题的求解，求得铝板间的等效导热系数，将其等效为铝卷径向导热系数，并推导出铝卷强对流传热系数对温度的数学表达式，从而构建更准确的铝卷退火的温度场模型。运用ANSYS有限元分析软件，综合考虑铝卷的导热系数和对流换热系数随温度变化的非线性，模拟铝卷退火过程中的瞬态温度场。仿真结果表明：在退火的开始阶段，铝卷外表面与芯部温差较大，最高达173 ℃；在保温阶段，铝卷内部温差逐渐减小，温差只有3 ℃，最后稳定在545 ℃，与实测结果较吻合，证明所建立的数学模型是可靠的，同时，为铝卷退火工艺的优化提供了理论依据。
关键词：导热系数；热传导反问题；黄金分割法；温度场
中图分类号：TF341.6；TP273 文献标识码：A 文章编号：1672-7207(2009)05-1276-05
Simulation of equivalent thermal conductivity coefficient for aluminum coil
LI Jian-ping, LIU Tao, HU Shi-cheng, MAO Da-heng
(Key Laboratory of Design for Modern Complex Equipment and Extreme Manufacturing of Ministry of Education, Central South University, Changsha 410083, China)
Abstract: Using temperature data in aluminum plates annealing experiment, the equivalent thermal conductivity coefficient between the aluminum sheets was resolved, and its value was regarded as the radial thermal conductivity coefficient of the aluminum coil. The expression of the convective coefficient to the temperature was derived, and thus a more precise model for the aluminum coil's annealing temperature field was established. Considering the non-linearity of the radial thermal conductivity coefficient and the convective coefficient, the temperature field of the aluminum was simulated using the finite element analysis software of ANSYS. The results show that at the beginning of the annealing process, the temperature difference between the outer surface and the core is great, and the greatest value is 173 ℃. During the holding period, the temperature difference in the aluminum coil decreases to 3 ℃, and the temperature in the aluminum coil is stable at 545 ℃. The simulation temperature and the practicing measurement from aluminum annealing curve at the test point are consistent, which proves that the experiment project and the solution method are reasonable. Moreover it provides theory basis for making the annealing process.
key words: thermal conductivity coefficient; inverse heat conduction problem; golden section method; temperature field
在铝卷的生产过程中，退火是热处理工艺中最重要的工序之一。而铝卷温度场的仿真研究为退火工艺的制定提供了理论基础和参考依据[1-2]。在铝卷退火过程中，由于铝卷层间存在间隙和油膜，引起铝卷径向导热系数不确定，因此，对铝卷层间导热系数进行研究是了解铝卷退火温度场的首要问题，而铝卷层间的接触热阻是影响铝卷径向导热的最重要因素。人们对接触热阻从不同方面进行了研究，如：钟明等[3]用蒙特卡罗随机模拟法计算了固体接触界面问的接触热阻，并通过计算结果与试验结果的比较证明了该模型的可信性；龚钊等[4]基于单点接触热导理论模型和弹性形变理论模型，导出了总接触热阻与总压力之间的关系，简化了接触热导的计算模型；Sawaf等[5-6]采用Levenberg-Marquardt 方法对参数估计的热传导反问题进行了研究，并且扩展到热导率各向异性材料的研究中，取得了良好的效果；Fieberg等[7]利用红外线测温仪测出热棒与冷棒接触时的温度场分布，并通过热传递反问题的求解，反演出接触热阻；Loulou等[8-9]通过Fourier导热定律，建立了连铸结晶器中渣膜与结晶器及铸坯之间的接触热阻模型；Terrola等[10-11]则利用数值方法，将导热系数的求解转化成以热传导方程为约束条件的优化问题；Yang[12]利用共轭梯度法进行导热系数的预测，获得了较高的精度；Lin等[13]利用Tikhonov正则化方法研究了锻件的热传导系数，具有很强的稳定性。在此，本文作者结合实验和理论分析，利用黄金分割法反演出铝卷径向的等效导热系数，并利用ANSYS温度场进行仿真，以期为铝卷退火工艺的优化提供理论依据。
1 铝卷径向等效导热系数的确定
在加热阶段，炉内的传热包括加热器对炉膛内空气加热，铝卷间的热传导，空气与铝卷间的对流换热以及炉壁的辐射[14]。同时，吹洗风机吹入新鲜空气，排除铝卷在加热时产生的轧制油挥发物，并且提高炉内温度的均匀性。在退火炉保温和冷却阶段，对加热器停止加热，此时，炉膛内以辐射换热为主。当铝卷达到规定的出炉温度时，整个退火过程结束。由于铝卷退火过程中其边界条件非常复杂，不仅要考虑对流传热，还要考虑炉气的辐射传热，且对铝卷进行加热实验的周期长，因此，在实验中，采用铝板加热实验来代替铝卷退火实验。
1.1 实验方案设计
铝卷的径向导热系数与其卷紧力和粗糙度有关。为了使叠加铝板的导热系数能够有效地等效为铝卷的径向导热系数，实验中，必须保证铝板的压紧力和粗糙度分别与铝卷的卷紧力和粗糙度一样。因此，选用来自同一轧机轧出的铝板，以保证铝板和铝卷的粗糙度相同，同时，通过扭矩扳手调节铝板间的压力，使其与铝卷的卷紧力相同。在铝板加热实验中，通过热电偶得到铝板内部局部点温度，最后，利用黄金分割点法求解得铝板间的导热系数。
实验铝板的粗糙度Ra为0.4 μm，夹紧力为8 MPa。采用电阻炉加热，其功率为3 kW。选择K型铠装带补偿功能的热电偶，其误差范围为-1~1 ℃。测温仪为英华达测温仪，用于温度数据的采集。铝板平均厚度约为1.5 mm，共110块，总厚度为160 mm。采用测温仪每5 min测定1次温度，在每个测试点共测得65个温度。测试点放置位置如图1所示。
1，2，3—铝卷温度测试点；4，5—炉气温度测试点；6—电阻炉
图1 铝板加热实验图
Fig.1 Schematic diagram of heating experiment
1.2 热传导反问题数学模型
瞬态热传导问题的控制方程可以表示为[15]：
在本实验中，铝板没有内热源且对流传热可以忽略，故将其传热过程等效成一维热传导来分析，其热传导方程简化成如下形式：
将导热系数未知的参数估计问题转化成优化问题来求解。目标函数为残差绝对值与测量值比值的最小值，表达式如下：
1.3 最小化求解步骤
对于热传导方程(2)~(5)，利用差分法，通过迭代，可以求得各时刻铝板的温度。利用向后差分法，建立热传导方程的向后Euler差分方程：
铝板的等效导热系数为150~200 W/(m?℃)，因 此，本文采用黄金分割点法对目标函数
进行优化。
由黄金分割法迭代9次，求得铝板间导热系数为173.9 W/(m?℃)。将其代入式(2)，由MATLAB仿真，所得铝板温度误差率曲线如图2所示，其最大值为8.17%。
图2 铝板温度相对误差曲线
Fig.2 Curve of relative error for temperature of aluminum coil
2 铝卷径向等效导热系数的验证
2.1 铝卷温度场模型的建立
通过铝板加热实验求得铝板间的导热系数，并将其等效为铝卷的径向导热系数。铝卷的热流沿其半径和轴线方向进行传递。铝卷中的热传递方程表示为：
2.2 对流传热系数的推导
影响铝卷对流传热系数的因素有很多，归纳起来，有流体流动、流体相变、流体的流动状态、换热表面的几何因素及流体的物理性质等。在铝卷退火过程中，炉气在循环风机的作用下形成强制对流，没有相变，流动状态为紊流，换热表面为圆形。其强制对流加热过程可近似等效为流体横掠铝卷传热。根据流体横掠管道传热的原理，可得[16]：
2.3 铝卷退火温度场仿真
铝箔卷内径为55 cm，外径为185 cm，长为166 cm。由于其形状呈轴对称性，所以，计算模型只取1/4圆柱体。
在ANSYS中利用APDL语言建立铝卷有限元模型，并采用20节点solid90单元进行智能网格划分，精度级别为1。铝卷初始温度为室温(20 ℃)，退火温度为540 ℃。完成铝材的热物性参数的设定(如铝卷轴向导热系数和径向等效导热系数)，并通过函数功能由表达式(19)实现对流载荷的加载。对求解器进行设置，将分析类型设置为瞬态分析，分析终止时间为 72 000 s，并打开自动时间步长，最小时间步长为10 s，最大为100 s。利用ANSYS求解得到的铝卷温度场分布如图3所示。为了验证数学模型的合理性和计算程序的正确性，将模拟结果与实验结果进行对比，如图4所示(图4中铝卷测试点距离卷筒250 mm)。
由图3(a)可知，铝卷在退火2 h后，靠近铝卷内侧400 mm处的区域温度较低，铝卷外部和芯部温差较大，达到173 ℃，铝卷内侧温度与外侧温度相比，要低98 ℃左右，这是由于铝卷内侧的传热方式与外侧相比，外侧存在强对流换热。由图3(b)可知，在铝卷退火20 h后，铝卷外部和芯部的温度趋于稳定，为545 ℃，温差只有3 ℃。图4所示为测试点距铝卷内侧250 mm处温度仿真对比图，可见，仿真结果与实测结果基本吻合。铝卷的仿真温度与测试温度相差10~15 ℃。这是因为在实际工况中，炉壁对铝卷端面还存在辐射换热。但整体的仿真结果与试验结果较吻合，说明所建模型是可靠的。
(a) 退火2 h；(b) 退火20 h
图3 铝卷内部仿真温度场
Fig.3 Simulated temperature field of aluminum coil at different times
1—铝卷中心温度实验值；2—铝卷中心温度计算值
图4 铝卷内部测试点温度仿真值与实测值的对比
Fig.4 Comparison between simulated temperature and measured temperature at tested point
3 结 论
a. 对铝板进行退火加热实验，通过参数估计反问题的求解，求出了铝板间的导热系数。
b. 对铝卷退火传热过程的分析，并建立了精确的铝卷退火温度场计算模型。
c. 应用建立的温度场模型，对铝卷退火过程中的温度场进行仿真，并与测试结果进行比较，其仿真温度与测试温度相差10 ℃左右，证实了计算模型的正确性。
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收稿日期：2008-09-10；修回日期：2008-11-21
基金项目：国家重点基础研究发展规划(“973”计划)项目(2007CB613706)；国家教育部留学回国人员基金资助项目(76084)
通信作者：李建平(1952-)，男，湖南长沙人，教授，博士生导师，从事材料热处理工艺与装备、温度控制与仿真研究；电话：0731-88830102；E-mail: rikennpei102@hotmail.com
