DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2016.08.026
基于改进遗传交叉算子的高心墙堆石坝参数反演
李少林1, 2，周伟1，马刚1，常晓林1，胡超1
(1. 武汉大学 水资源与水电工程科学国家重点实验室，湖北 武汉，430072；
2. 长江勘测规划设计研究院，湖北 武汉，430010)
摘要：受基因工程选择性克隆优秀基因片段的启发，提出一种基于基因片段差异度的自适应交叉算子(genetic crossover based on the difference of gene fragment，DGFX)。在改进的交叉算子中，随机确定基因片段长度，计算父代个体对应基因片段的差异度，根据差异度选择基因片段进行交叉操作，能有效避免近亲繁殖，减少无效交叉操作，加快收敛速度。此外，根据演化代数自适应调整基因片段长度系数，增强算法全局收敛能力。将该交叉算子与帕累托交叉算子、启发式交叉算子运用标准测试函数进行对比分析。研究结果表明：利用DGFX交叉算子时能快速收敛到全局最优解，且算法鲁棒性强、精度高。将DGFX交叉算子运用于瀑布沟心墙堆石坝堆石体力学参数反演，利用反演的力学参数进行计算，各测点计算值和实测值在发展趋势和数值上均吻合较好，说明DGFX交叉算子运用于多变量、强非线性复杂岩土工程位移反演中的优越性，具有良好的实际应用价值。
关键词：心墙堆石坝；参数反演；遗传算法；交叉算子；RBF神经网络
中图分类号：TE122.1 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2016)08-2730-08
Inversion of mechanical parameters of high central core rock-fill dam based on modified genetic crossover operator
LI Shaolin1, 2, ZHOU Wei1, MA Gang1, CHANG Xiaolin1, HU Chao1
(1. State Key Laboratory of Water Resources and Hydropower Engineering Science,
Wuhan University, Wuhan 430072, China;
2. Changjiang Institute of Survey, Planning Design and Research, Wuhan 430010, China)
Abstract: A modified adaptive genetic crossover was provided to solve the multi-variable complex problem based on the difference of gene fragment (DGFX). In the modified crossover, the length of gene fragment was randomly determined and the difference of each gene fragment was calculated firstly. Then, the crossover point was selected according to the differences of gene fragments, which reduced the inbreeding and invalid crossover operator, and the global search capability of the algorithm was increased by the tragedy of adaptive length index. The proposed crossover was compared with two existing crossover operators (DPX and HX). A set of nonlinear test problems were used to verify the performance of the novel crossover operator. The results show that the performance of proposed crossover operator is better than or similar to those of other crossover operators and is especially effective in solving high-dimensional nonlinear problems. Then the new crossover is applied to parameters inversion of mechanical parameters of rockfill. At last, the calculated parameters are used to forecast the settlement of the monitoring points of Pubugou central core rock-fill dam. The forecasted values agree well with the measured data, which indicates that the DGFX crossover operator can be well applied to parameter inversion of complex model.
Key words: high central core rock-fill dam; parameter inversion; genetic algorithm; crossover operation; RBF-ANN
堆石坝坝料物理力学参数的取值是堆石坝设计、坝体应力变形分析的基础。堆石体力学参数一般由室内试验或现场试验获得，然而由于受试验条件、缩尺效应[1]、施工质量等影响，测定的力学参数与实际值存在较大差异，由此计算的堆石坝应力、变形不可避免的与实际值相差较大。因此，有必要利用坝体位移监测资料对堆石体的参数进行位移反分析，并由此预测坝体的后期变形。目前，基于现场实测信息的位移反分析方法已成为确定堆石体力学参数的一条有效途径[2]。岩土工程中的反演常采用直接法，将土体参数反演问题转换成优化问题，将计算位移与监测位移的最小误差函数作为目标函数，通过反复迭代逼近待定参数的最优值。堆石坝力学参数反演是一个非线性、多参数组合的大空间复杂优化问题，传统的优化方法因初值难选、易陷入局部最优等不足，很难求解该复杂问题。遗传算法[3-4]、粒子群算法[5-7]、蚁群算法[8]、序列二次规划法[9]等具有全局优化特点的智能搜索算法被用于求解该问题，取得了较好效果。遗传算法(genetic algorithm，GA)因其鲁棒性好、简单通用、效率高等优点，在其首次提出后获得很大发展，并广泛运用于岩土工程参数反演中[10-12]。但进一步研究发现，遗传算法在应用中存在早熟、收敛慢等现象。虽然该问题得到了初步解决，但仍有待进一步研究和实践。遗传算法是模拟生物界遗传和进化过程的一种随机搜索算法，它提供了一种求解复杂优化问题的通用框架，不依赖于具体的领域，对问题的种类有很强的鲁棒性。交叉算子是遗传算法的主要进化手段，但是传统交叉算子的实质是随机选择基因片段进行交叉，当所选择基因片段的具有相同或高度近似的基因时，近亲繁殖很难产出新的个体，是无效的交叉操作，从而使得遗传算法出现收敛速度慢、早熟现象，不易跳出局部极值点。本文作者针对遗传算法在搜索过程中的不足，借鉴基因工程中选择性克隆优良基因片段的思想，提出一种基于基因片段差异度的遗传交叉算子(genetic crossover based on the difference of gene fragment, DGFX)。在介绍DGFX算法的原理、特点、算法后，利用标准测试函数对其性能进行测试，将其运用于瀑布沟心墙堆石坝力学参数反演中，证明这种算法在解决复杂工程问题中的优越性。
1 遗传算法及改进的交叉算子
1.1 遗传算法
遗传算法是一种借鉴生物界自然选择和自然遗传的随机搜索算法，由HOLLAND [13]于1975年提出。它借鉴达尔文“优胜劣汰、适者生存”的自然进化理论和孟德尔的遗传变异理论，将问题的求解转化为“个体”的适者生存过程，反复进行选择、交叉和变异等操作，不断进化，从而使群体最终搜索到“最适应环境的个体”，即求得问题的最优解或满意解。选择操作根据个体适应度来确定个体的生存能力，适应度高的个体具有高的生存概率，相反，适应度低的个体则将遭到淘汰，选择操作使种群的平均适应度不断提高，但不产生新的个体；交叉操作是对父代双亲进行基因片段的交换和重组，产生新的个体，可采用精英保留策略，使更优个体的出现成为可能。变异操作是通过随机改变个体内部的基因，产生新个体，丰富种群个体多样性和基因多样性。标准遗传算法的具体流程如下：
1) 种群初始化，在搜索空间中随机产生N个个体；
2) 计算适应度，根据适应度函数计算个体的适应度；
3) 选择，根据个体适应度选择个体进入下一代；
4) 交叉，将选出的个体两两交换基因，产生的新个体进入新群体；
5) 变异，随机改变某一个体的某个基因，然后将个体添入新群体；
6) 迭代演化，判断算法优化准则，若满足则结束演化，输出结果；否则转到第2)步。
1.2 基于基因片段差异度的自适应交叉算子
1.2.1 遗传算法交叉算子的改进
交叉算子是遗传算法中非常重要的遗传操作，决定着算法的全局收敛能力，影响着算法的收敛速度。传统的交叉算子采用随机选择基因片段的方式进行交叉，当所选择基因片段的具有相同或高度近似的基因时，近亲繁殖很难产出新的个体，是无效的交叉操作，从而使得遗传算法出现收敛速度慢、早熟等现象。为了克服这一不足，改善算法的收敛性能，受基因工程克隆优良基因片段的启发，基于基因片段差异度进行交叉操作。根据基因片段差异度，计算片段交叉概率，选择基因片段进行交叉，减少近亲繁殖和无效交叉 操作。
文中将染色体中任意长度为L的一段连续基因编码称为基因片段，将基因片段首个基因所处基因位称为交叉点，并给出基因片段差异度和片段交叉概率的定义。
定义1 任意优化问题的实数编码空间为Rn，种群个体
和
长度为L的基因片段的差异度为
(1)
式中：D(j)为2个个体的第j个基因片段的差异度；
和
分别为2个体第i个基因位上的基因编码；
表示个体x(1)的基于编码。
定义2 根据基因片段交叉概率选择基因片段的交叉点，基因片段交叉概率为
(2)
式中：D(i)和D(j)分别为父代第i个和第j个基因片段的差异度。
D(j)表示拟交叉基因片段的差异程度，D(j)越大，表示个体x(1)，x(2)和第j个基因片段的差异度越大，对2个个体第j个基因片段进行交叉时出现无效操作的可能性就越小。在交叉过程中，确定长度系数并随机确定片段的长度比例，基因片段长度为
(3)
式中：I为片段长度系数；Lchrom为基因编码的总长度；u1是片段长度比例，为随机数
。基因片段长度系数从总体上控制片段的长度，在总体控制的基础上，引入随机长度比例增加交叉操作的多样性。
1.2.2 自适应基因片段长度系数
DGFX交叉算子中，片段长度系数I直接影响算法的收敛性。在演化早期，高的长度系数有利于鼓励种群个体遍历整个搜索空间，不至于聚集在超级个体周围而导致早熟收敛；在演化后期，低的长度系数有利于个体在最优值附近搜索，以加速收敛。基于以上认识，构造了编码长度递减策略，采用自适应的编码长度系数。设Imin为最小基因片段长度系数，Imax为最大变基因片段长度系数，g为当前迭代次数，G为最大迭代次数，即
(4)
编码长度系数I随着算法迭代的进行而非线性减小。
基于基因片段差异度的交叉算子(DGFX)具体步骤如下。
Step 1：确定编码长度系数Imin和Imax，生成随机数
，根据当前迭代次数和最大迭代次数，由式(3)和(4)计算基因片段长度。
Step 2：运用轮盘赌法随机选择父代个体，
。
Step 3：计算父代x(1)和x(2)对应长度为Lfragment的基因片段的差异度D(i)(i=1，2，…，(n-Lfragment+1))，通过差异度计算基因片段的交叉概率，根据基因片段交叉概率选择片段交叉点istart。
Step 4：生成随机数
，从父代和得到子代个体
和
，公式如下：
(5)
(6)
式中：i为基因编码的基因位；istart为基因片段的起点所在的基因位。
1.3 算法测试
为了验证本文提出的遗传交叉算子DGFX的性能，将交叉算子DGFX与帕累托交叉算子(double pareto crossover, DPX)[14]、广泛运用的启发式交叉算子(heuristic crossover, HX)[15-17]进行了对比分析。3种遗传算法中，选择算子采用轮盘赌法，变异算子采用非均匀变异算子(non-uniform mutation，NUM)[17]，并采用精英保留策略，交叉算子分别采用DGFX，DPX和HX。
本文选择了3个典型的非线性、多峰值函数。根据其特点可分为3类：一是无局部最优解；二是有局部最优解，但局部最优和全局最优解较易区分；三是有局部最优解，且局部最优解和全局最优解很难区分。测试函数形式、取值范围见表1，测试函数特性见表2，测试函数图形见图1~3。对于3类测试函数，种群规模为50，基准测试函数的维数分别取30，60和90，相应的迭代次数为1 500，2 500和3 500，交叉概率为0.8，变异概率为0.1。其中DGFX片段长度系数Imin=0.1，Imax=0.9，采用自适应片段长度系数。
表3所示为各标准测试函数独立运行30次的试验结果，包括最优适应度的平均值和标准差。由表3可知：各测试函数采用DGFX交叉算子的最优适应度均最接近该测试函数的最优值，表明DGFX交叉算子的寻优性能优于其他几种交叉算子。30次试验DGFX的平方差均最小，说明DGFX稳定性高，鲁棒性强。图4~6所示为不同维度问题下，DGFX，DPX和HX的最优适应度平均值；图7所示为Rastrgin函数在变量维度为90时的最优适应度进化过程。从图4~7可以看出：DPX在求解低维度问题时，其收敛性能优于HX的收敛性能，但在求解高维度的复杂问题时，其全局收敛性能减弱，寻优能力较HX的弱。但是，不管是无局部最优值的低维度简单优化问题，还是多局部最优值的高维度复杂优化问题，DGFX交叉算子的精度和稳定性均比其他算子的高，其收敛速度快，精度高，鲁棒性强。
图1 Sphere函数图(n=2)
Fig. 1 Graph of function Sphere (n=2)
图2 Ackley函数图(n=2)
Fig. 2 Graph of function Ackley (n=2)
图3 Rastrigin函数图(n=2)
Fig. 3 Graph of function Rastrigin (n=2)
表1 标准测试函数
Table 1 Benchmark test functions
表2 标准测试函数的特性
Table 2 Summary of benchmark functions’ characters
表3 不同算法的最优适应度平均值和平方差
Table 3 Mean and standard deviation of objective function values for three GAs
图4 不同变量维度DGFX，DPX和HX最优适应度(Sphere)
Fig. 4 Best fitness of Sphere function for HX, DPX and DGFX
图5 不同变量维度DGFX，DPX和HX最优适应度(Ackley)
Fig. 5 Best fitness of Ackley function for HX, DPX and DGFX
图6 不同变量维度DGFX，DPX和HX最优适应度(Rastigin)
Fig. 6 Best fitness of Rastrigin function for HX, DPX and DGFX
图7 HX，DPX和DGFX算法的最优适应度的进化过程(Rastrigin)
Fig. 7 Evolution of logarithmic average fitness of Rastrigin function for HX, DPX and DGFX
2 瀑布沟心墙堆石坝参数反演
2.1 工程概况
瀑布沟心墙堆石坝最大坝高为186 m，坝顶高程为854.00 m，上游坝坡为1:2.00~1:2.25，下游坝坡为1:1.8，坝顶宽度为14 m；心墙顶宽为4 m，上下游坡度为1:0.25。根据坝体各部位工作特性、受力条件、填料来源等，坝体材料主要分为以下几个填筑分区：心墙、反滤层、过渡层、上游主堆石区、下游主堆石区、下游次堆石区。坝体材料分区见图8。
图8 瀑布沟心墙堆石坝材料分区图
Fig. 8 Material zoning map of Pubugou central core rock-fill dam
2.2 确定待反演参数
本构模型采用邓肯E-μ模型[18]，共9个参数。若将所有参数作为待反演的变量，则无法保证反演结果收敛到实际值，加上部分参数的确定方法相对简单成熟，与工程实际情况较接近，完全能够满足工程计算的需要，所以，应选择待反演参数以减少反演的工作量。根据邓肯E-μ模型参数敏感性分析及特点[19]将Rf，G和k作为待反演参数。对于高心墙堆石坝，心墙土料较软，竖直沉降的最大值均发生在心墙内，大约在坝高的中部[20]。主堆石、次堆石对坝体中各测点沉降起主要作用，因此，本文对心墙料、次堆石料、主堆石料3种堆石料进行反演，采用在试验参数的基础上缩放λ倍的方法进行反演。待反演模型参数共9个，分别为
，
，
，
，
，
，
，
和
；下标1，2和3分别表示心墙料、主堆石料、次堆石料材料参数缩放系数。
2.3 有限元正分析及RBF神经网络的构建
有限元正分析应用FORTRAN语言编写的邓肯E-μ模型程序，运用ABAQUS有限元分析软件计算分析，三维有限元网格见图9。心墙堆石坝的计算过程非常复杂且耗时，若直接用演化算法调用有限元软件进行反演计算，则计算量将相当大，效率很低。因此，本文利用经过训练的RBF神经网络模拟有限元计算。为了保证样本具有足够的代表性，用正交设计原理生成27组样本，同时生成了一些随机样本以保持样本的多样性和均匀性，共200组。用有限元计算结果对RBF神经网络进行学习、训练和测试，测试成功后，用RBF神经网络代替心墙堆石坝的正演计算。将训练好的RBF神经网络运用于优化算法中，反演过程如图10所示。
图9 瀑布沟心墙堆石坝三维计算有限元网格
Fig. 9 Three dimension finite element mesh of dam
图10 GA-RBF反演流程图
Fig. 10 Inversion flowchart of GA-RBF
2.4 目标函数
堆石坝力学参数反演的实质就是寻找一组参数使计算位移值最佳逼近实测值，对于堆石坝来说，由于监测点众多，这种最佳逼近为总体上和平均意义上的最好近似。通过目标函数可采用监测点位移计算值与位移实测值的二范数：
(8)
式中：λ1，…，λ9对应一组待反演参数的缩放系数；m为坝体变形监测点个数；ui(λ1，…，λ9)为第i个监测点变形的计算值；u*为监测点的实测值。
2.5 参数反演及基于反演参数的测点位移预测
采用基于基因片段差异度的交叉算子，变异算子采用NUM，对瀑布沟心墙堆石坝参数进行反演。参数反演中最大迭代数为3 500次，迭代收敛准则为1×10-5，种群中个体数量为50，交叉概率为0.8，变异概率为0.1，其中DGFX片段长度系数Imin=0.1，Imax=0.9，采用自适应片段长度系数。堆石料参数缩放系数反演结果见表4。表5所示为邓肯E-μ的反演结果。
用反演得到的参数进行有限元计算，将蓄水区坝体最大断面725 m高程处的测点实测值与反演参数计算值进行对比，结果见图11。由图11可知：由本文提出的算法反演堆石坝心墙、主堆石、次堆石材料参数，反演参数计算所得沉降值与实测值较接近。图12和图13所示分别为最大断面测点CH12和CH14实测值与反演参数计算值对比。由图12和图13可知：监测点的反演参数计算的变形量与实测沉降在数值和发展趋势上均较吻合。
表4 堆石料参数反演结果
Table 4 Inversion result of central core rock-fill dam
表5 堆石料邓肯E-μ模型参数试验值与反演值
Table 5 Experimental and inversion parameter for E-μ model of central core rock-fill dam
图11 725 m高程测点实测值与反演参数计算值对比 (蓄水期)
Fig. 11 Comparison between measured and calculated settlements of observation point at 725 m elevation (during impounding period)
图12 最大断面实测值与反演参数计算值对比(测点CH12)
Fig. 12 Comparison between measured and calculated settlements of points (CH12) in the largest section of dam
图13 最大断面实测值与反演参数计算值对比(测点CH14)
Fig. 13 Comparison between measured and calculated settlements of points (CH14) in the largest section of dam
3 结论
1) 受基因工程中选择性克隆优良基因的启发，提出基于基因片段差异度的遗传交叉算子(DGFX)，在DGFX交叉算子中，根据基因片段长度系数随机确定片段长度，依据差异度选择片段进行交叉，减少近亲繁殖和无效交叉操作，提高了交叉效率；同时采用自适应片段长度系数，增强了算法的全局搜索能力。
2) 通过将DGFX交叉算子与DPX交叉算子、HX交叉算子用于标准测试函数对比发现，DGFX交叉算子不管是在收敛精度还是收敛速度上都优于其他 算法。
3) 以瀑布沟心墙堆石坝为工程背景，采用RBF径向基神经网络代替有限元正分析，结合基于DGFX交叉算子的遗传算法建立心墙堆石坝岩石力学参数位移反演模型，进行邓肯E-μ参数的反演，利用反演的材料参数计算所得的沉降值与实测值在数值和发展趋势上较吻合，误差小，表明本文提出的DGFX遗传交叉算子在复杂岩土工程位移反演分析中具有较好的实际应用价值。
参考文献：
[1] 马刚, 周伟, 常晓林, 等. 堆石料缩尺效应的细观机制研究[J]. 岩石力学与工程学报, 2012, 31(12): 2473-2482.
MA Gang, ZHOU Wei, CHANG Xiaolin, et al. Mesoscopic mechanism study of scale effects of rockfill[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2012, 31(12): 2473-2482.
[2] 冯夏庭. 智能岩石力学导论[M]. 北京: 科学出版社, 2000: 20-48.
FENG Xiating. Introduction of intelligent rock mechanics[M]. Beijing: Science Press, 2000: 20-48.
[3] 张社荣, 何辉. 改进的遗传算法在堆石体参数反演中的应用[J]. 岩土力学, 2005, 26(2): 182-186.
ZHANG Sherong, HE Hui. Application of improved genetic algorithm to back analyzing parameters of rockfill[J]. Rock and Soil Mechanics, 2005, 26(2): 182-186.
[4] 罗先启, 詹振彪, 葛修润, 等. BP网络与遗传算法在水布垭工程中的应用[J]. 岩石力学与工程学报, 2002, 21(7): 963-967.
LUO Xianqi, ZHAN Zhenbiao, GE Xiurun, et al. Application of artificial neural network and genetic algorithm into Shuibuya project[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2002, 21(7): 963-967.
[5] 常晓林, 喻胜春, 马刚, 等. 基于粒子迁徙的粒群优化算法及其在岩土工程中的应用[J]. 岩土力学, 2011, 32(4): 1077-1082.
CHANG Xiaolin, YU Shenchun, MA Gang, et al. Particle swarm optimization based on particle migration and its application to geotechnical engineering[J]. Rock and Soil Mechanics, 2011, 32(4): 1077-1082.
[6] 李金凤, 杨启贵, 徐卫亚. 基于改进粒子群算法CHPSO-DS的面板坝堆石体力学参数反演[J]. 岩石力学与工程学报, 2008, 27(6): 1229-1235.
LI Jinfeng, YANG Qigui, XU Weiya. Back analyzing mechanical parameters of rockfill based on modified particle swarm optimization CHPSO-DS[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2008, 27(6): 1229-1235.
[7] 马刚, 常晓林, 周伟, 等. 高堆石坝瞬变-流变参数三维全过程联合反演方法及变形预测[J]. 岩土力学, 2012, 33(6): 1889-1895.
MA Gang, CHANG Xiaolin, ZHOU Wei, et al. Integrated inversion of instantaneous and rheological parameters and deformation prediction of high rockfill dam[J]. Rock and Soil Mechanics, 2012, 33(6): 1889-1895.
[8] 田明俊, 周晶. 基于蚁群算法的土石坝土体参数反演[J]. 岩石力学与工程学报, 2005, 24(8): 1411-1416.
TIAN Mingjun, ZHOU Jin. Inversing soil mechanical parameters of embankment dam using ant colony algorithm[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2005, 24(8): 1411-1416.
[9] 周伟, 徐干, 常晓林, 等. 堆石体流变本构模型参数的智能反演[J]. 水利学报, 2007(4): 389-394.
ZHOU Wei, XU Gan, CHANG Xiaolin, et al. Intelligent back analysis on parameters of creep constitutive model[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2007(4): 389-394.
[10] 周伟, 常晓林, 胡颖, 等. 基于改进遗传算法的堆石体流变模型参数反馈分析[J]. 水力发电学报, 2007(3): 29-33.
ZHOU Wei, CHANG Xiaolin, HU Yin, et al. Back analysis of rockfill creep model parameters based on improved genetic algorithm[J]. Journal of Hydroelectric Engineering. 2007(3): 29-33.
[11] 魏连伟, 韩文秀, 张俊艳, 等. 基于模拟退火遗传算法的水文地质参数识别[J]. 天津大学学报(自然科学与工程技术版), 2003, 36(5): 618-621.
WEI Lianwei, HAN Wenxiu, ZHANG Junyan, et al. Hydrogeological parameter identification on the simulated annealing-genetic algorithm[J]. Journal of Tianjin University (Science and Technology), 2003, 36(5): 618-621.
[12] 郭利霞, 朱岳明, 钟锐, 等. 基于遗传算法的混凝土湿度场特征参数求解及反分析[J]. 天津大学学报(自然科学与工程技术版), 2010, 43(8): 712-716.
GUO Lixia, ZHU Yueming, ZHONG Rui, et al. Solution of concrete moisture diffusion parameters based on genetic algorithms and back analysis[J]. Journal of Tianjin University (Science and Technology), 2010, 43(8): 712-716.
[13] HOLLAND J H. Adaptation in natural and artificial systems[M]. Michigan, USA: University of Michigan, 1975: 1-190.
[14] THAKUR M. A new genetic algorithm for global optimization of multimodal continuous functions[J]. Journal of Computational Science, 2014, 5(2): 298-311.
[15] WRIGHT A H. Genetic algorithms for real parameter optimization[J]. Foundations of Genetic Algorithms, 1991, 1: 205-218.
[16] MICHALEWICZ Z. Genetic algorithms, numerical optimization, and constraints[C]//Proceedings of the Sixth International Conference on Genetic Algorithms. San Mateo, CA, 1995: 151-158.
[17] MICHALEWICZ Z. Genetic algorithms+data structures= evolution programs[M]. Berlin Heidelberg: Springer, 1996: 631-635.
[18] DUNCAN J, CHANG C. Nonlinear analysis of stress and strain in soils[J]. Journal of the Soil Mechanics and Foundations, 1970, 96(5): 1629-1653.
[19] 何昌荣, 杨桂芳. 邓肯-张模型参数变化对计算结果的影响[J]. 岩土工程学报, 2002(2): 170-174.
HE Changrong, YANG Guifang. Effects of parameters of Duncan-Chang model on calculated results[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2002(2): 170-174.
[20] 丁艳辉, 袁会娜, 张丙印, 等. 超高心墙堆石坝应力变形特点分析[J]. 水力发电学报. 2013(4): 153-158.
DING Yanhui, YUAN Huina, ZHANG Bingyin, et al. Stress-deformation characteristics of super-high central core rockfill dams[J]. Journal of Hydroelectric Engineering, 2013(4): 153-158.
(编辑 杨幼平)
收稿日期：2015-08-24；修回日期：2015-11-15
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51322905)(Project(51322905) supported by the National Natural Science Foundation of China)
通信作者：周伟，教授，博士生导师，从事高坝结构数值仿真研究；E-mail：zw_mxx@163.com
