一种快速的LMMSE多径信道估计算法

练柱先¹，余江¹，徐丽敏²，肖文珂¹，刘言立¹，夏锴¹

(1. 云南大学 信息学院，云南 昆明，650091；

2. 云南大学 数学与统计学院，云南 昆明，650091)

摘要：提出一种基于时域信道的快速LMMSE信道估计算法，该算法对时域信道能量和信噪比进行信道估计，避免传统的LMMSE信道估计算法中求解自相关矩阵及其逆矩阵的过程，有效降低运算的复杂度。与LS算法相比，该算法可以有效地降低噪声对信道特性的影响。理论分析和仿真结果显示：提出的快速LMMSE算法的性能接近LMMSE算法，但算法复杂度却远低于LMMSE算法。

关键词：正交频分复用；导频辅助信道估计；信道的状态信息；信道能量；噪声方差

中图分类号：TN911.23          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2014)12-4218-06

A fast LMMSE channel estimation algorithm on multipath channels

LIAN Zhuxian¹, YU Jiang¹, XU Limin², XIAO Wenke¹, LIU Yanli¹, XIA Kai¹

(1. School of Information Science and Engineering, Yunnan University, Kunming 650091, China;

2. Mathematics and Statistics School, Yunnan University, Kunming 650091, China)

Abstract: A fast LMMSE channel estimation algorithm based on time-domain channel was presented based on time-domain channel energy and signal-to-noise ratio to perform channel estimation, which avoids solving the autocorrelation matrix and its inverse matrix of the traditional LMMSE channel estimation algorithm and reduces the computation complexity effectively. Compared with the LS algorithm, the algorithm can reduce the influence of noise on the channel characteristic. Theoretical analysis and simulation results show that the performance of the fast LMMSE algorithm proposed in this paper is close to the LMMSE algorithm, but the algorithm complexity is much lower than LMMSE algorithm.

Key words: orthogonal frequency division multiplexing; pilot aided channel estimation(PSAM); channel state information(CSI); channel energy; noise variance

正交频分复用(OFDM)技术是一种高速率的数据传输技术^[1]，利用快速傅里叶变换和反变换(FFT/IFFT)实现调制和解调是它的一大特点。OFDM系统通过在每个OFDM符号前插入保护间隔(又称“循环前缀”)保证子载波间的正交性，在多径条件下，接收端如果实现同步可以消除符号间干扰(ISI)及子载波间干扰(ICI)^[2]。在向B3G/4G演进的过程中，OFDM是关键的技术之一，可以结合分集、时空编码、干扰和信道间干扰抑制以及智能天线技术^[3]，最大限度地提高了系统的性能。OFDM系统对载波间的正交性要求非常严格，为了达到更高的性能，保证系统的性能不受信道的多径衰落效应的影响，需要使用信道估计的方法来跟踪信道响应的变化，而信道估计方法的精确程度将直接影响到OFDM系统的性能。一般说来，信道估计可以分为3类：第1类是导频辅助信道估计(PSAM)^[4-6]，在发送端发送部分已知的信息(导频)，接收机根据导频和相应的接收信号来判断信道的状态信息(CSI)，它又可以分为频域导频信道估计和时域导频信道估计^[7-8]。第2类是盲信道估计^[9-11]，接收机根据接收信号的统计信息来判断CSI。第3类是半盲信道估计，同时利用导频和接收信号的统计信息来判断CSI。为了实现更好的信道性能，信道估计算法成为了研究的热点。LS算法^[12-13]不需要任何信道信息，但是受高斯噪声(AWGN)的影响较大。LMMSE算法^[14-16]涉及到自相关矩阵及其逆矩阵运算，复杂度较高，Edfors等^[17]提出奇异值分解(SVD)算法对LMMSE算法进行了优化，运算的复杂度得到了降低，但是它涉及到信道的统计信息和自相关矩阵，实际应用中无法预先知道信道的统计信息，因此LMMSE算法存在一定的局限性。Geng等^[18]提出了双对角线的LMMSE算法，该算法也避免了求解逆矩阵，但是它需要预先知道信道的统计信息。本文作者提出了一种快速的LMMSE算法，通过在发送端插入导频，估计出时域信道的脉冲响应和信道能量。由于信号通过AWGN信道之后要受到噪声的干扰，因此选取前L(L≤N)径信道所包含的能量主要为信道能量，其余的N-L径信道所包含的信道能量作为噪声方差，估计出信噪比(SNR)和信道的时域特性，信道的频域特性可以通过快速傅里叶变换得到。快速LMMSE(FLMMSE)算法避免了预先知道信道的统计信息，也避免了求解逆矩阵，计算的复杂度得到了有效降低。

1  系统模型

快速LMMSE算法的系统模型如图1所示。假定OFDM系统有N路并行的子载波，P[k](0≤k≤N-1)为发送的导频符号，D[k]为发送的数据符号，X[k]为导频符号和数据符号多路复用之后的信号，时域导频信号可以经过快速傅里叶反变换(IFFT)变换得到，如：

   (1)

离散信道的脉冲响应(CIR)表示为

          (2)

式中：n=0，1，…，N-1；α_l为路径l的复信道增益，随时间变化而变化；τ_l为路径l归一化时延；L为多径信道的个数。假定不同路径是彼此独立的信道，路径l的能量表示为，

对于归一化信道，满足。

信道的时域特性可以表示为

            (3)

导频符号经过高斯信道之后的频域导频可以表示为

   (4)

其中：H[k]为第k个子载波处的信道的频域响应；W[k]为频域的AWGN噪声，其均值为0，方差为。

由文献[20]可知：LS算法的信道估计不需要预先知道信道的统计信息，为了估计信道的特性只需在发送端发送一段已知导频P[k]，根据接收端得到的导频信号来估计信道的脉冲响应信道的频域特性可以由式(4)得出。

   (5)

由式(5)可以看出：LS算法简单，也不需要预先知道信道的统计信息，但是受到AWGN噪声的干扰比较大。LS算法的均方误差δ_MSE^[20]可以表示为

               (6)

其中：为平均信噪比；β为一个与调制方式有关的常数。

图1  快速LMMSE算法的系统模型

Fig. 1  System model of fast LMMSE algorithm

2  快速LMMSE算法

本文是基于PSAM进行的研究，通过LS算法可以得到信道的频域特性，但是由于LS算法受到噪声的干扰比较大，鉴于此，提出了快速LMMSE算法。对AWGN信道的时域特性进行研究可以发现，信道的能量主要集中在前L径多径部分^[21]，因此首先估计出时域的噪声方差。可以得到：

         (7)

L_max为信道脉冲响应长度的最大值，时域信道能量主要集中在0到L_max-1区域内。理想的时域信道特性可以表示为：

        (8)

AWGN信道的时域能量可以表示为

     (9)

理想的时域信道能量可以表示为

    (10)

假定通过AWGN信道之后的信道的时域特性为，它又可以表示成的形式。当的均方误差取最小值时得到的矩阵B为一个对角矩阵，可以用下式表示：

(11)

式中：R_hh为时域信道的自相关矩阵；为路径l的信道能量；β为与调制方式有关的常数；为通过AWGN信道之后信号与噪声的平均信噪比。

时域信道的信噪比可以表示为

              (12)

其中：为第n帧OFDM符号的第k个子载波，R为导频间隔，m=1，2，…，N/R。

于是信道的频域特性可以表示为

 (13)

3  快速LMMSE算法的MSE

对于本文所提出算法的有效性可以用均方误差和δ_MSE误码率进行验证，BER是通过接收端和发送端的数据进行比较得到的，可以用BER来验证信道的特性。在实际的应用中，无法得到发送端发送的数据，因此用δ_MSE性能来表示信道的特性，可以表示为：

 (14)

式中：L应不小于门限值L_max(信道能量主要集中在前L_max多径部分)。L小于L_max时，选取的信道能量低于实际的信道能量，丢失的能量对信道的影响远大于噪声对信道的影响；L大于L_max时，选取的信道能量混入了噪声方差，所以L不应小于门限值L_max但也不能与L_max相差太大。

4  快速LMMSE算法的复杂度分析

信道的频域响应式(13)可以写成向量累加的形式：

 (15)

其中：F_k为矩阵F第k行的行向量；为常数。q_k与F_k相乘得到q_kF_k需要N次乘法， q_kF_k与列向量相乘再需要N次乘法，每个q_k需要2N次乘法，L个q_k共需要2LN次乘法；q_k与F_k相乘没有涉及到加法的运算，q_kF_k再与相乘之后需要N-1次加法，L个q_k共需要LN-L次加法。

表1分别显示了LS，LMMSE、采用SVD分解的LMMSE算法和本文提出快速LMMSE算法的乘法和加法次数。由表1可以看出，本文改进的算法运算复杂度得到了降低。

表1  算法计算复杂度的比较

Table 1  Comparison of algorithm complexity

5  仿真结果与分析

为了验证本文提出算法的有效性，在误码率和均方误差2个方面进行了仿真。仿真参数设置如下：系统的工作频率2 GHz，采用的导频图案是块状导频，每隔6帧OFDM符号插入一帧导频符号，使用160个子载波，60帧OFDM符号，采用PN序列作为导频，16-QAM进行调制，循环前缀(CP)的长度为40，有8个多径信道，门限值L_max为8，信道的脉冲响应受各径时延的影响，信噪比表示为平均信号能量与平均AWGN噪声方差的比值。仿真结果如图2所示。

图2和图3分别为LS算法、SVD算法和快速LMMSE算法的MSE和BER的变化曲线。由图2和3可以看出：在相同SNR的条件下，快速LMMSE算法在L取10和16时的MSE明显优于LS算法，L为10时，快速LMMSE算法的MSE接近LMMSE算法。在L为4时，快速LMMSE算法的性能衰减比较快。由以上理论分析可知，信道的时域能量主要集中在前L个多径信道，当L接近门限值L_max时，MSE性能最佳；L大于L_max时，大于L_max的那部分多径信道表示的是噪声方差，L越大，MSE也就越大；L小于L_max时，选取的信道能量低于实际的信道能量，丢失的能量对信道的影响远大于噪声对信道的影响，仿真结果和理论相符合。

图2  LS算法、LMMSE算法和快速LMMSE算法的MSE性能

Fig. 2  MSE performances of LS algorithm, LMMSE algorithm and fast LMMSE algorithm

图3  LS算法、LMMSE算法和快速LMMSE算法的BER性能

Fig. 3  BER performances of LS algorithm, LMMSE algorithm and fast LMMSE algorithm

图4所示为SVD算法和快速LMMSE算法MSE的变化曲线。从图4可以看出：在相同SNR的条件下， L取16时SVD算法和快速LMMSE算法的MSE曲线比较接近；L为16时，快速LMMSE算法的性能要逊于SVD算法。对于SVD算法，L越大其性能越好，但是复杂度也随着增加；对于快速LMMSE算法，L越大受到噪声的影响也就越大，计算复杂度也随着L增大而增加。

图5和图6所示为LS算法、SVD算法和快速LMMSE算法在不同平均时延(t_rms)下的MSE和BER性能变化曲线。由图5和6可以看出：在相同SNR的条件下，随着t_rms的增大，BER增大，快速LMMSE算法的BER性能在t_rms为10 μs时已经很接近SVD算法。由于t_rms的增加，发生了码间串扰，信道的传输特性发生了畸变，因此BER也随着增加。

为了验证LS算法、SVD算法和快速LMMSE算法运算的复杂度，本文通过对3种算法进行多次仿真，利用仿真时间均值来验证算法的复杂度。分别对3种算法进行了13次仿真，得到LS算法的时间均值为0.041 8 s，SVD算法的仿真时间为0.188 5 s，SVD算法的时间均值是LS算法的4.5倍，LS算法没有涉及到信道的统计信息，算法简单，SVD算法涉及到求解自相关矩阵，复杂度较高。快速LMMSE算法在L分别取10，16和32时的时间均值分别为0.136 7，0.138 0和0.139 1 s，如表2所示。在L取10，16和32时时间均值分别比LMMSE算法降低了27.48%，26.79%和26.21%，快速LMMSE没有涉及自相关矩阵及其逆矩阵运算，复杂度较低。L取值不同时，运算复杂度随L的增大而增加。

图4  SVD算法和快速LMMSE算法的MSE性能

Fig. 4  MSE performances of SVD algorithm and fast LMMSE algorithm

图5  3种算法在不同平均时延下的MSE性能比较

Fig. 5  Comparisons of MSE performance of three algorithms under different average delays

图6  3种算法在不同平均时延下的BER性能比较

Fig. 6  Comparisons of BER performance of three algorithms under different average delays

表2  3种算法的仿真时间

Table 2  Simulation time of three algorithms

6  结论

1) 提出一种快速LMMSE算法，该算法对时域信道能量和信噪比进行信道估计，避免传统的LMMSE信道估计算法中求解自相关矩阵及其逆矩阵的过程，有效降低了运算的复杂度。

2) 该算法的系统性能与LMMSE算法、SVD算法，比较接近，但复杂度降低。与LS算法相比，该算法可以有效降低噪声对信道特性的影响，系统性能明显改善。

3) 在选取合适的L时，快速LMMSE算法既保证了系统的性能，又降低了运算的复杂度。

参考文献：

[1] Das S, Chakraborty A, Kumar S. Capacity calculation and sub-optimal power allocation scheme for OFDM-based systems[J]. Communications and Network, 2012, 4(4): 292-297.

[2] Wen J H, Chiang C H, Hus T J, et al. Resource management techniques for OFDM systems with the presence of inter-carrier Interference[J]. Wireless Personal Communications, 2012, 65(3): 515-535.

[3] Nasab E S, Ardebilipour M, Kalantar A, et al. Performance analysis of multi-antenna relay networks with imperfect channel estimation[J]. AEU-International Journal of Electronics and Communications, 2013, 67(1): 45-57.

[4] Lamahewa T A, Kennedy R A, Rapajic P B. Model-based pilot and data power adaptation in PSAM with periodic delayed feedback[J]. IEEE Transactions on Wireless Communications, 2009, 8(5): 2247-2252.

[5] Nair J P, Raja-Kumar R V. Data Aided Iterative Channel Estimation in OFDM Systems Using a Controlled Superimposition of Training Sequences[J]. Wireless Personal Communication, 2013, 68(4):1241-1254.

[6] LI Wei, ZHANG Yue, HUANG Like, et al. Implementation and co-simulation of hybrid pilot-aided channel estimation with decision feedback equalizer for OFDM systems [J]. IEEE Transactions on Broadcasting, 2012, 58(4): 590-602.

[7] GAO Meng, SHEN Yuehong, XU Kui. A low complexity frequency domain pilot time domain doubly-average channel estimation for LOFDM systems[J]. Przeglad Elektrotechniczny, 2011, 87(4): 270-274.

[8] Yeh C S, Lin Y. Channel estimation using pilot tones in OFDM systems[J]. IEEE Transactions on Broadcasting, 1999, 45(4): 400-409.

[9] CHEN Wei, LIU Guanghui, ZHU Weile. Amplitude-phase constraints based blind and semi-blind channel estimation for OFDM systems[J]. Transactions on Emerging Telecommunications Technologies, 2012, 23(8): 707-714.

[10] WANG Song, HU Jiankun. Blind channel estimation for single-input multiple-output OFDM systems: Zero padding based or cyclic prefix based?[J].Wireless Communications and Mobile Computing, 2013, 13(2): 204-210.

[11] Gorshtein A, Levy O , Katz G, et al. Blind channel estimation for MLSE receiver in high speed optical communication: theory and ASIC implementation[J]. Optics Express, 2013, 21(19): 21766-21789.

[12] QIAO Yantao, YU Songyu, SU Pengcheng, et al. Research on an iterative algorithm of LS channel estimation in MIMO OFDM systems[J]. IEEE Transactions on Broadcasting, 2005, 51(1): 149-153.

[13] Edfors O, Sandell M, van de Beek J J, et al. Analysis of DFT-based channel estimators for OFDM[J]. Wireless Personal Communications, 2000, 12(1): 55-70.

[14] van de Beek J J, Edfors O, Sandell M, ea al. On channel estimation in OFDM systems[C]//IEEE Vehicular Technology Conference. Chicago, IL, 1995: 815-819.

[15] Hung K C, Lin D W. Pilot-based LMMSE channel estimation for OFDM systems with power-delay profile approximation[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 2010, 59(1): 150-159.

[16] Noh M, Lee Y, Park. Low complexity LMMSE channel estimation for OFDM[J]. IEE Proceedings Communications, 2006, 153(5): 645-650.

[17] Edfors O, Sandell M, van de Beek J J, et al. OFDM channel estimation by singular value decomposition[J]. IEEE Transactions on Communications, 1998, 46(7): 931-939.

[18] Geng N, Yuan X, Ling P. Dual-Diagonal LMMSE channel estimation for OFDM systems[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, 60(9): 4734-4746.

[19] Konstantinidis S, Freear S. Performance Analysis of tikhonov regularized LS channel estimation for MIMO OFDM systems with virtual carriers[J]. Wireless Personal Communications, 2012, 64(4): 703-717.

[20] Kang Y, Kim K, Park H. Efficient DFT-based channel estimation for OFDM systems on multipath channels[J]. IET Communications, 2007, 1(2): 197-202.

[21] Banavar M, Tepedelenlioglu C, Spanias A. Distributed SNR estimation with power constrained signaling over Gaussian multiple-access channels[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, 60(6): 3289-3294.

(编辑  陈爱华)

收稿日期：2014-03-10；修回日期：2014-06-23

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(61162004)(Project(61162004)supported by the National Natural Science Foundation of China)

通信作者：余江(1961-)，男，云南昆明人，教授，从事网络通信理论、智能控制等方向研究；电话：0871-65031598；E-mail：yujiang@ynu.edu.cn