基于髋部质量的被动步行机器人稳定性和鲁棒性

吴晓光¹，赵杰¹，臧希喆¹，朱磊²

(1. 哈尔滨工业大学 机器人技术及系统国家重点实验室，黑龙江 哈尔滨，150080；

2. 中国科学院 长春光学精密机械与物理研究所，吉林 长春，130033)

摘要：采用一种更接近于人类行走的匀质圆规步态模型，运用Lagrange法和碰撞时刻角动量守恒原理分别建立机器人的摆动模型及碰撞模型。基于对模型步态收敛域与外界扰动快速抑制的准确描述，将全局稳定性分析与局部稳定性分析相结合，对模型进行初始的参数优化配置，并建立Proe样机模型；通过单次与连续外界扰动下不同样机模型步态的自身调节变化分析，最终获得模型参数的最优化配置，并通过实物样机的行走实验进行理论分析验证。仿真结果表明：具有合理髋关节质量的被动步行机器人有更强的行走稳定性与鲁棒性。

关键词：被动步行；机器人；双足；稳定性；Poincaré映射；吸引域

中图分类号：TP242          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2012)06-2157-08

Stability and robustness of biped passive dynamic robot based on hip mass

WU Xiao-guang¹, ZHAO Jie¹, ZANG Xi-zhe¹, ZHU Lei²

(1. State Key Laboratory of Robotics and System, Harbin Institute of Technology, Harbin 150080, China;

2. Changchun Institute of Optics, Fine Mechanics and Physics, Chinese Academy of Sciences, Changchun 130033, China)

Abstract: The effect of upper body on the stable and robust walking of passive dynamic walking robot was researched, based on a compass-gait model which more closely resembled the human walking. The swing stage and the collision stage were modeled by Lagrange method and the principle of angular momentum conservation. Based on the proper description on the basins of attraction of the robot’s gait and the detection of the robot’s quick disturbance-rejection capabilities to random disturbances, the global stability analysis was combined with the local stability analysis. The initial parameters were configured optimally, and the Proe prototype model was built. The self-regulation of the walking gait under singular or continuous random disturbance was analyzed to obtain the optimized design parameters, thus the actual prototype was produced. The experiment on the actual prototype of dynamic model confirms that any passive dynamic robot with reasonable mass of hips performs more efficient and stable walking gait on a slight slope.

Key words: passive dynamic walking; robot; biped; stability; poincaré map; basin of attraction

近年来，步行机器人研究取得很大发展，已开发出各种步行机器人，但存在能量消耗大、控制复杂等问题。传统方法对各个关节角进行精确控制，难以实现机器人高效节能的行走步态。于是，人们集中于类人行走的研究。从人体组织结构、运动机理和行为方式中发现：人类行走过程中摆动腿的驱动与双摆运动十分相似，即一部分动力是由重力实现的^[1-2]。McGree^[3-4]给出一个完全不用驱动与控制的机器人仅在重力的作用下，能沿微小坡度的平滑斜面上稳定向下行走的模型，进而提出“被动步行”的概念。双足机器人在被动步行过程中充分利用重力与自身惯性，具有其独特属性^[5-8]：自身固有的内在稳定性与低能量消耗特性。即对于一组合理的参数值，在没有外界的扰动下机器人具有与之唯一对应的稳定行走步态；被动步行机器人的能量消耗要远比传统的双足机器人的小，甚至在某些参数组合配置下会低于人类行走的能量消耗。然而，这导致该类机器人的步态稳定性对于自身结构参数与外界扰动的高敏感性，因此，获得机器人合理的参数优化配置，对于机器人步态稳定性尤为重要。国内外对该类机器人的研究已取得一定的成果。Huang等^[9-11]研究点足模型质量分布对于机器人步态吸引域和机器人行走效率、能耗的影响。Asano等^[12]在2007年研究与地面接触碰撞时圆弧形脚对摆动腿能量损耗的影响，并提出较大的足半径可以减少碰撞时的能量损失。Liu等^[13]通过胞映射法分析圆形脚模型的足半径、腿质量以及转动惯量等参数对于机器人步态吸引域的影响。Wisse等^[5]在不增加自由度的前提下，将上体通过髋关节处的二分机构“固定”在双腿角分线上，并通过髋关节添加驱动定性的分析机器人上体的质量对于机器人步态吸引域的影响。本文首先建立理论模型，运用Lagrange法与角动量守恒原理分别建立圆规步态模型^[5]在摆动阶段与碰撞阶段的动力学方程。在Matlab环境下定量分析不同髋关节质量对机器人步态吸引域及稳态行走时步态特征的影响，确定机器人模型结构参数的理论优化配置以及稳态行走的初值。在模型参数优化配置基础上构建Proe样机模型，并在Adams环境中实现了Proe 样机的稳态行走；同时，通过不同髋关节质量的Proe样机在地面单次最大扰动与连续扰动下的行走实验，说明髋关节质量对机器人的步态稳定性与鲁棒性有着显著影响。最后，设计并加工出实物样机，通过现实环境中不同腿部质量的实物样机的行走实验，进一步说明髋关节质量取值合理时被动步行机器人行走步态具有更高的稳定性与鲁棒性。

1  物理模型描述和动力学建模

本研究采用的2-D直腿被动步行机器人具有2条腿即外腿与内腿，分别将外侧的2条腿和内侧的2条腿固连在一起，解决机器人侧向稳定性问题。2个刚性直腿通过1个被动铰链联结，如图1所示，模型的所有运动均限制在图中所示的平面内。2条腿具有完全相同的质量和几何参数，质量均匀分布，为m₁，其相对质心的转动惯量均为J；腿长均为l；质心距离髋关节的距离为c；髋关节质量为m₂；为增加机器人运动的稳定性，采用圆弧足，半径为r。由于机器人双腿的运动过程可以视为双摆运动，该模型可以视为匀质圆规步态模型。为减少模型中参数的数量，使所建立的动力学方程具有更广的适用性，将参数无量纲化：令r=r/l，c=c/l，m₂=m₂/m₁，J=J/(m₁l²)，且将时间无量纲化为；斜坡倾角γ为外部参数，仍为有量纲量。

2  动力学建模

在合理的初始条件下，通过重力和自身的惯性作用，模型可沿微小坡度的斜面稳定向下行走。其每一步的运动过程可分为2个阶段：摆动阶段与碰撞阶段。

图1  模型示意图

Fig.1  Sketch of model

2.1  摆动阶段

当摆动腿离开地面时，支撑腿绕支撑足做倒立摆运动，摆动腿则绕髋关节作单摆运动，即该摆动腿绕沿着弧线轨迹运动的支点作单摆运动。该过程中只有重力作功，故摆动阶段整个系统机械能守恒。由Lagrange方法推导该阶段的动力学方程，得摆动模型如下：

    (1)

其中：

2.2  碰撞阶段

为建立碰撞阶段的动力学方程，进一步假设：摆动腿与地面碰撞瞬时完成，摆动腿和支撑腿角色互换；碰撞点处仅受到外力作用，在碰撞前后，两腿角速度发生变化，而两腿角度不变。对于1次碰撞过程，整个系统关于碰撞点(c_p)处与碰撞后的摆动腿关于髋关节点(H)处分别满足角动量守恒。将碰撞瞬间前后分别用上角标“-”和“+”表示；“st”与“sw”分别表示支撑腿与摆动腿；“stc”表示支撑腿质心；“swc”表示摆动腿质心；为碰撞点(c_p)到支撑腿质心(stc)的向量；r_swc/cp为碰撞点(c_p)到摆动腿质心(swc)的向量；V_stc为支撑腿质心处的速度；V_swc为摆动腿质心处的速度；k为向量i×j，其中i和j如图1所示。

整个机器人系统对于碰撞点c_p的角动量守恒表示为：

(2)

碰撞后的摆动腿关于髋关节点H的角动量守恒，表示为：

    (3)

简化式(2)和(3)，得：

    (4)

碰撞后两腿的角色互换，故有：和。

3  稳定性分析及参数优化

针对本文的被动步行机器人，用步行周期内某一时刻的状态变量值来表示整个步行周期的动力学特性，可将非线性连续动力系统转化为离散动力学系统。通常该时刻取为足与地面碰撞后的瞬间，并称该时刻状态变量值所在的空间为Poincaré截   面^[5,15]。该时刻摆动腿与支撑腿存在几何关系。因此，独立的状态变量仅为、和，构成状态向量。记v_n为机器人步行第n步时Poincaré截面上状态向量v的值，Poincaré映射是根据当前步状态向量v_n计算下一步状态向量v_n+1的映射，其表达式S为：

v_n+1=S(v_n)                 (5)

3.1  基于胞映射方法的全局稳定性分析

将Poincaré截面空间中的研究区域划分为多个相胞，用相胞的几何中心点近似代替整个相胞，通过对几何中心点进行连续的Poincaré映射，将n-1维状态空间划分成可行胞集合与不可行胞集合，整个可行胞集为机器人的步态吸引域，可行胞集合的大小决定机器人的全局稳定性^[13-14]。考虑到人类行走的运动特点并经过多次的数值仿真分析，最终确定状态空间范围为：θ₁∈[0，0.8] rad，， (rad/-)，由于可行胞集合的大小与胞的总数近似成正比^[13-14]，综合考虑运算时间与胞的精度将状态空间划分为50×50×30个胞。

对于文中的匀质圆规步态模型，不同的物理参数组合对机器人步态吸引域有着重要的影响，这样的参数包括髋关节参数(m₂)、腿参数(r，c，J)以及斜坡角度γ。经过不同参数组合下的多次试算，得出以下结论：当髋关节质量变化时，参数足半径为0.3，质心位置为0.15，转动惯量为0.02时可以获得较大的步态吸引域。在上述参数条件下，斜坡角度为0.001~0.03 rad之间时，吸引域变化并不显著。本文着重分析基于上述参数组合下髋关节质量对于步态吸引域的影响。

采用无量纲化模型，当时，模型可以近似地视为最简的点足模型。进一步增大髋关节质量，机器人的步态收敛域仅发生微弱变化。 结合人类躯干与腿部的质量比率，考虑参数m₂=[0，1，2.5，5，100]时模型的步态吸引域的变化。图2所示为不同髋关节质量对被动步行机器人步态全局稳定性的影响，其中每1行对应于不同的髋关节质量，第1列至第4列分别表示吸引域的三维空间和其在二维空间上的投影。对应于上述髋关节质量，模型的可行胞数为[5 783，12 773，16 375，16 212，14 796 ]。由图2可见：随着髋关节质量的增加，步态吸引域范围的变化并不显著，但可行胞数由m₂=0时的5 783变为m₂=1时的12 773，且随髋关节质量的增加步态吸引域变得更加集中；当m₂由0增大到1时，机器人的质心高度迅速增加，使机器人的步态吸引域迅速增大；同时，机器人整体质量增加，使在机器人步态跨距不变时，机器人通过质心最高点的初始动能更大，而且机器人质量的增加也使碰撞时刻的能量损失变大，两者的共同作用导致吸引域随m₂的增大而收缩；进一步增大m₂时，机器人的步态吸引域没有显著变化。分析结果表明：当m₂取值在2.5附近时，模型达到最大步态收敛域。

3.2  基于Newton-Raphson方法的局部稳定性分析

模型局部稳定性分析就是确定模型是否存在不动点以及不动点处的渐近稳定性。机器人的局部稳定性可以通过极限环的特征值体现。

系统的强非线性使Poincaré映射S的解析形式难以确定，采用Newton-Raphson数值方法求解。若系统存在不动点v^*，则需满足v^*=S(v^*)。令第n步状态向量的值为v_n，经过1次映射后变为v_n+1=S(v_n)，2次状态向量相差?v_n=v_n+1-v_n，则v_n+1在v_n处的1次泰勒展开为：

    (6)

其中：为雅克比矩阵，其特征值的模是进行稳定性分析的关键。若雅克比矩阵特征值的模，即Floquet乘子均位于单位圆内，则每一步的误差会逐渐减小并收敛于不动点处。若模大于1，则步态误差将逐步增大，模型最终将摔倒。因此，可通过雅克比矩阵的特征值判断机器人步态极限环的稳定性：所有的特征值必须在单位圆内，特征值越接近0，步态收敛速率就越快。

图2  髋关节质量对步态收敛域的影响

Fig.2  Effect of hip mass on basins of attraction

双足被动步行机器人稳定行走的动力源自于斜面坡度，不同的斜面坡度会使得机器人稳定行走步态及步态收敛速度有较大的不同，本文以参数γ和m₂作为研究参考对象。

从图2可见：在时，圆规步态模型可以近似地视为质点式的最简模型。因此，将m₂的取值范围限定在[0, 10] kg，γ的取值范围限定在(0, 0.1] rad。同时，将最大特征值的模大于或等于1的参数区域视为不稳定区域, 为便于图像表示, 不稳定区域的模值均取为1。

图3显示模型在斜面坡度与髋关节质量不同组合下, 稳态行走时最大特征值模的变化。在髋关节质量小于2.5时，模值随坡度增加先是迅速变小后保持线性减小；当髋关节质量大于2.5时，模值在坡度大于0.075 rad时迅速增大。模值随髋关节质量的变化因坡度的不同而存在差异。在坡度接近0 rad时由于重力提供的能量不足以补偿碰撞损失，机器人处于不稳定区域(模值为1)。当坡度较小时，模值随髋关节质量的增大而变大。这是由于当坡度接近于0 rad时，虽然模型具有稳定的行走步态，但是，由于两足跨距小使得碰撞时能量损失较小，而质量大的模型重力提供的能量较多，因此，步态收敛速度较慢。随着坡度进一步增大，模型步长迅速变大，碰撞时能量随之变大，导致髋关节质量变大后模型将具有更快的收敛速度。现实中来自地面坡度变化而引发的扰动是随机不可预测的，不能仅考虑模型在某一组参数组合下的步态收敛速度，需要考虑尽可能多的坡度范围。由图3可知：当m₂=2.5 kg时，在坡度为[0.001, 0.1] rad的区间内，模型具有基于全局考虑的最优收敛速度。

图3  髋关节质量与斜面坡度不同组合对稳定步态最大特征值的影响

Fig.3  Effect of different combinations with hip mass and slope on maximum value of eigenvalues of stable gait

改变其他变量，如腿长、脚半径、转动惯量等，进行多次仿真分析, 获得模型结构参数数值仿真优化配置, 如表1所示。为便于在Proe环境中构建模型，表1中的参数均为有量纲量，同时下面所讨论的参数是实际设计参数，均为有量纲量。

表1  各腿的参数和斜面坡度

Table 1  Parameters of each leg and the slope

4  外界扰动下机器人的步态鲁棒性分析

4.1  Adams仿真分析

4.1.1  外界扰动对样机模型稳定行走步态的影响

对机器人稳定运动步态产生影响的外界扰动主要来自地面的起伏变化，体现为机器人前后碰撞点所在平面坡度γ的变化^[5,14]。

当机器人在稳态行走时，将γ跳变到另一值β时机器人将对其自身步态做重大调整, 体现出机器人抵制外界扰动的能力。由图4可知：通过斜坡路面高度改变可达到γ的突变，即Δγ=β-γ。

采用棋盘路面的设计，避免机器人运动过程中摆动腿与地面相碰的“擦地”现象。据表1中的参数，在Proe中构建参数化的双足被动行走机器人并导入Adams虚拟环境中，通过垫块高度的调整(颜色的不同)实现地面的起伏变化。ΔH为Adams虚拟环境下被动步行机器人行走所能承受的最大高度差，即最大允许扰动，故ΔH成为衡量鲁棒性的指标：其值越大，则鲁棒性越好，即步态吸引域越大，抗干扰能力越强。

图4  斜坡路面高度陡变示意图

Fig.4  Sketch of sharp change on floor of slope

图5所示为髋关节质量m₂=3 kg、路面高度差Δh=2.5 mm 时双足被动模型在路面上行走的过程。为较好体现被动步行机器人在单次扰动下的恢复过程，实验中选取的Δh＜ΔH。从图6可见：初值与机器人步态不动点存在偏差，经过调整，机器人踩到第1个蓝色垫块之前，具有稳定且单一的周期步态，踩到第1个蓝色垫块后，因该垫块较前面垫块矮Δh=2.5 mm，故被动模型的稳定行走受到较大扰动，经过2步调整后(如图6所示，曲线1和2分别为支撑腿与摆动腿的角度变量θ₁与θ₂的变化曲线)，被动行走模型又恢复稳定单一的周期行走步态，可见该模型具有较强的单次扰动抑制能力，即机器人具有较大的全局稳定性。

图5  单次扰动下被动机器人稳定性验证

Fig.5  Robustness analysis of robot walking under singular disturbance

图6  单一扰动下被动机器人双腿角度变化曲线

Fig.6  Curves of angle of both legs of passive robot under single disturbance

机器人在某些参数组合下，尽管可以通过单次高度差ΔH较大的路面，但如果机器人步态恢复能力较差，机器人即使通过2次高度差远小于ΔH的路面仍会摔倒。为验证机器人步态恢复能力，采用2次扰动路面。同上，为体现机器人在2次扰动下的恢复能力，所选取的Δh均小于机器人所能抑制的单次最大高度。

图7所示为髋关节质量m₂=3 kg，连续路面高度差ΔH₁=1.5 mm，ΔH₂=2.5 mm时，机器人行走过程中双腿角度变化曲线(曲线1和2分别为别对应角度变量θ₁与θ₂)。从图7可看出机器人在连续扰动、调整阶段，被动模型在连续2个碰撞时刻受到高度差分别为ΔH₁=1.5 mm和ΔH₂=2.5 mm的连续扰动，但经过3小步调整后，被动行走模型又迅速恢复到稳定单一的周期行走步态，可见：当髋关节质量与腿质量比值在3附近时，该模型具有较强连续扰动抑制能力。

图7  连续扰动下被动机器人双腿角度变化曲线

Fig.7  Curves of angle of both legs of passive robot under contours disturbances

4.1.2  髋关节质量对机器人鲁棒性的影响

图8所示为不同扰动下髋关节质量对稳定性的影响。从图8可见：对于单次扰动，随着髋关节质量的提高，双足被动机器人行走的抗干扰能力是增强的，即双足被动机器人稳定行走的鲁棒性随着髋关节质量的增加而有所提高。但现实世界中的扰动千差万别，具有很大的随机性。因而需要进一步研究连续的扰动下不同髋关节质量样机模型的步态恢复能力。首先，取定第1次扰动高度差ΔH₁为1.5mm，然后，对不同的髋关节质量在下1个垫块继续增加扰动，可获得该对应的机器人稳定行走所能承受的第2次扰动的最大高度差ΔH₂。与单次扰动的情况有所不同，连续扰动下机器人的步态恢复能力随着髋关节质量的增加先增大然后减少，在m₂=3 kg时达到最大值。其次，修改第1次扰动的高度差值ΔH₁，以获得机器人所能承受的第2次扰动的最大高度差ΔH₂。经过多次仿真实验，得出当髋关节与腿部的质量比在3附近时，机器人具有最快的步态收敛速度，这与数值仿真中髋关节与腿部质量比为2.5存在差别。这一差别是由数值仿真中的一系列假设所致：为使数值仿真简单可行，将碰撞过程简化为瞬时完成，且摆动腿与支撑腿的角色立即交换，同时将碰撞视为完全非弹性碰撞。而在虚拟样机环境下的碰撞并非瞬时完全非弹性的，且地面的作用力对机器人的运动会产生作用，使得碰撞时机械能量的损失增大，从而需要更大的髋关节质量来达到最大稳定性。因此，在不考虑二者因碰撞条件设定不同而产生微小影响下，二者获得相同的结论。

图8  不同扰动下髋关节质量对稳定性的影响

Fig.8  Effect of hip mass on stability under different disturbances

4.2  样机实验验证

双足被动步行机器人的稳定行走对运动的初值较敏感，只有合适的初始条件才可以使样机稳定行走。初始条件只能通过人为的摆动实现，因此，每次实验需要反复试验多次，以获得合理的初始条件。本文采用统计学的方法来验证髋关节质量对被动机器人稳定行走的影响：即对每组参数通过100次行走的实验，统计能成功走完整个路面的次数。这种方法经过大量的重复性实验，可以客观地反映被动机器人行走的稳定性与鲁棒性。如图9所示。

图9  被动机器人行走实验

Fig.9  Experiment on walking of passive robot

样机模型采用参数化建模获得，由髋关节质量的无量纲化m₂=m₂/m₁，可知髋关节的质量m₂为一相对质量，可以通过增减配重块改变腿质量进行等价调节。

试验样机的机械参数如表2所示。

表2  外(内)腿有无配重块的参数和斜面坡度

Table 2  Parameters of and the slope

不同腿质量对机器人稳定行走影响实验结果统计如下：

m₁=2.061 7 kg 时成功走完路面67次，在失败33次中有25次能顺利走到第8步，3 次走完第9步；

m₁=1.876 4 kg 时成功走完路面79次，在失败21次中有16次能顺利走到第9步。

在整个试验中发现，在机器人稳定行走成功率的影响因素中，足与垫块材料起着关键作用。

机器人不能通过整个路面的原因为：(1) 结构设计问题：脚部宽度较薄，使得机器人在碰撞时受地面冲击力作用下脚部移位，改变了机器人运动方向，影响下一步态的碰撞。(2) 摩擦与结构装配误差间的冲突。为保证机器人在运动过程中摩擦的影响尽量小，要求髋关节与腿部结合处留有间隙，从而使得髋关节与腿部连接处存在着装配误差，这导致机器人的脚部与斜面上的垫板碰撞存在较大的随机性。因此，当腿质量m₁减少较小时，机器人整体质量变小，髋关节的相对质量增大，样机系统的质心变高；同时，由于整体质量减小，使得碰撞时摆动腿受到地面反作用冲击力减小，也就减小了脚部与斜面上垫板碰撞的随机性，因此，机器人的稳定性与鲁棒性较大增强。

5  结论

(1) 基于被动步行原理，分析髋关节质量对于双足机器人行走稳定性与鲁棒性的影响。

(2) 将匀质圆规步态模型的髋关节简化成质点, 使得模型建立简单合理、求解方便、易于揭示机器人运动的基本规律。

(3) 对不同髋关节质量的模型进行全局稳定性分析，可知：质量增加时，步态收敛域先增加后减小，在m₂取值在2.5 kg附近时，模型达到最大步态收敛域。进一步，通过局部稳定性分析获得在坡度为[0.001, 0.1] rad的区间内，m₂=2.5 kg时，模型具有基于全局考虑的最优收敛速度。从而获得模型的初始参数优化配置：m₂=2.5 kg，J=0.005 kg·m²，c=0.075 m，r=0.15 m，l=0.5 m，并构建了样机模型。

(4) 通过对样机模型在外界最大扰动与连续扰动下步态调整变化的分析，得出上体模型参数的最优配置：m₂=3 kg，l₃=0.15 m，c=0.075 m，r=0.15 m，l=0.5 m，J₁=0.005 kg·m²，验证了数值仿真中关于机器人稳定步态收敛域与恢复速度的分析结果。

(5) 构建实物样机，利用统计规律，通过现实条件下“不同”髋关节质量双足机器人稳定步行的成功次数及成功程度，进一步说明合适的髋关节质量可以提高机器人行走的稳定性与鲁棒性。

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(编辑 邓履翔)

收稿日期：2011-06-05；修回日期：2011-08-26

基金项目：国家自然科学基金资助项目(60905049)；机器人技术与系统国家重点实验室(哈尔滨工业大学)自主课题(SKLRS200804C)

通信作者：吴晓光(1981-)，男，河北丰润人，博士研究生，从事双足机器人研究；电话：0451-86413392；E-mail：wxgtreera@gmail.com