DOI：10.11817/j.issn.1672-7207.2020.12.019
考虑滑脱效应与迂曲度分布特征的页岩复杂裂缝网络渗透率模型
王付勇，程辉
(中国石油大学(北京) 非常规油气科学技术研究院，北京，102249)
摘要：将页岩复杂裂缝网络假设为一簇具有分形特征的迂曲二叉树裂缝网络，基于Cubic流量定律推导得到其克氏渗透率模型、表观气体渗透率模型和滑脱因子表达式，利用相关数据对滑脱因子表达式进行验证；对渗透率模型开展敏感性分析，明确影响页岩复杂裂缝网络渗透率与滑脱因子的关键参数。研究结果表明：滑脱因子与裂缝最大初始开度和迂曲度分形维数呈负相关，与裂缝开度分形维数呈正相关；随着地层压力的增加，表观气体渗透率与克氏渗透率的比值先快速减小，再缓慢递减并不断接近于1；克氏渗透率与迂曲度分形维数、裂缝长度比、分叉级数和分叉角度呈负相关，与裂缝最大初始开度呈正相关。
关键词：页岩；裂缝网络；渗透率；分形；滑脱效应
中图分类号：TE122.23 文献标志码：A 开放科学(资源服务)标识码(OSID)
文章编号：1672-7207（2020）12-3454-11
A permeability model of shale complex fracture networks considering slippage effect and tortuosity distribution
WANG Fuyong, CHENG Hui
(Unconventional Petroleum Research Institute, China University of Petroleum, Beijing 102249, China)
Abstract: The shale complex fracture network was assumed to be a cluster of tortuous bifurcated tree fracture networks with fractal features, and then the expressions of Klinkenberg permeability model, apparent gas permeability model and slippage factor were derived based on the Cubic flow law. The slippage factor expression was validated using the corresponded experimental data. The sensitivity analysis was conducted to specify the key parameters which influence the permeability and slip factor of the shale complex fracture network. The results show that the slippage factor is negatively correlated with the maximum initial fracture aperture and tortuosity fractal dimension, and positively correlated to the fractal dimension of fracture aperture distribution; the ratio of apparent gas permeability to Klinkenberg permeability decreases rapidly with increasing formation pressure then slowly decreases and keeps approaching 1; Klinkenberg permeability is negatively correlated with tortuosity fractal dimension, fracture length ratio, branch level and branch angle, and positively correlated with the maximum initial fracture aperture.
Key words: shale; fracture network; permeability; fractal; slippage effect
页岩气作为一种非常规资源，是目前国内外勘探开发的热点[1-2]。页岩储层孔隙度和渗透率极低，孔喉连通性差，但泥质含量较高，岩性较脆，储层中发育大量天然微裂缝，微裂缝开度纳米到微米不等[3]。由于页岩储层物性极差，在开发过程中需要大规模人工压裂。人工压裂产生的人造裂缝与储层中的天然裂缝一起形成复杂裂缝网络，成为储层与井筒之间重要流动通道，因此，研究页岩复杂裂缝网络渗流特征对页岩气的有效开发具有重要意义[4]。与常规油气藏流体渗流规律不同，页岩气在微纳米裂缝中的流动规律研究必须考虑滑脱效应的影响，这是因为在页岩储层中，气体的平均自由程往往接近于孔喉或裂缝开度，气体在边界处的流动速度不为0[5-7]。TANG等[8]使用Boltzmann方法模拟气体在微尺度孔隙中的流动发现，当压力和孔隙度较低时，滑脱效应对气体流动的影响不可忽略。滑脱效应的研究对明确气体在微纳米尺度流动机理具有重要意义[9-10]。滑脱因子可以反映滑脱效应的严重程度，自从KLINKENBERG[11]提出滑脱因子的概念以来，国内外学者关于滑脱效应进行了大量研究，提出了不同滑脱因子的表达式[12-17]。相关研究表明天然裂缝的分布符合分形标度律[18-19]。页岩储层微纳米裂缝具有与平板类似的形状，因此平板模型通常用来描述裂缝内的流动。李玉丹等[20]将页岩裂缝网络假设为一簇互不交叉的平板裂缝，且假设裂缝分布具有分形分布特征，推导一种页岩裂缝表观渗透率动态模型。但该模型没有考虑裂缝之间的交叉性。实际上，交叉性是页岩裂缝网络的重要特征之一。树状分叉结构广泛存在于自然界中，比如动物的血管网络、植物的叶脉等，地下油气藏中的裂缝网络也具有类似的树状分叉结构，相关理论表明这种复杂的分叉结构可以通过简单的数学迭代生成[21]。LORENTE等[22]研究发现不均匀各向异性多孔介质与树状分叉网络具有类似的性质。WANG等[23]研究发现水力压裂形成的裂缝与树状网络具有相似的性质，并提出了一种树状裂缝网络的渗透率预测模型，但该模型并不适用于复杂裂缝网络。何岩峰等[24]提出了一种页岩天然裂缝网络渗透率模型，并对影响渗透率的参数进行了分析。WANG等[25-26]基于圆管的泊肃叶定律推导得到了随机分布树状网络渗透率模型。刘化普等[27]考虑裂缝迂曲度提出了一种微纳米孔隙页岩气藏表观渗透率模型，并发现迂曲度分形维数对渗透率有较大的影响。徐祖新等[28]对页岩气储层孔隙结构的分形特征研究发现分形维数越大，页岩孔隙结构越复杂，分形维数可以有效地评价页岩孔隙结构的复杂性。MIAO等[29]基于分形理论和Cubic定律得到了一种裂缝渗透率模型，该模型假设裂缝是一块具有角度的平板，没有考虑迂曲度的影响。TAN等[30]研究了树状分形裂缝网络的渗流特征并建立了用于多段压裂的水平井产能模型。可见，国内外学者提出了多种页岩裂缝网络分形渗透率模型，这些数学模型大致可以被分为2类。一类为二叉树裂缝网络模型，该类方法可以定量分析裂缝分叉特性对渗流规律的影响，但已有的二叉树裂缝网络分形模型大都基于圆管流量方程推导得到，而裂缝中的流动更接近于平板间流体流动[31]。因此，基于泊肃叶方程的圆管二叉树模型将会给裂缝渗透率计算带来误差。另一类为平板裂缝模型，该类模型对简单裂缝具有较好的适用性，但由于该类模型不考虑裂缝之间的交叉性，因而不能适用于复杂裂缝网络渗透率计算。本文作者将这2类方法相结合，以平板流量方程和分形二叉树理论为基础，同时考虑滑脱效应和迂曲度分布特征对渗流规律的影响，构建页岩复杂裂缝网络渗透率模型，并推导了气体滑脱因子表达式，进一步明确了裂缝的宽高比、分形维数、平板二叉树的分叉级数、长度比等对页岩气渗流规律的影响。该模型更加符合页岩复杂裂缝网络实际结构特征，可以有效表征页岩气在页岩中的渗流规律。
1 渗透率模型
储层中的裂缝网络与树状分叉网络具有非常相似的几何分布特征。图1(a)所示为真实岩心CT扫描图片，将真实裂缝网络假设为具有分形特征的二叉树裂缝网络，如图1(b)所示。二叉树类分形网络是一种“点到线”型类分形树状分叉网络。本文采用二分叉结构(
=2)，分叉角度为
(<90°)，总分叉级数为
。图2所示为不考虑迂曲度和考虑迂曲度的第k级裂缝分叉示意图，其中，l，a和h分别为裂缝的长度、开度和高度。在计算过程中，假设裂缝中的流体流动为层流，忽略裂缝粗糙度，且假设裂缝与基质之间无流体交换。
图1 基于平板模型的分形二叉树裂缝网络模型示意图
Fig. 1 Schematic diagram of fractal-like tree fracture network model based on plate model without considering tortuosity
图2 第k级分叉示意图
Fig. 2 Schematic diagram of kth bifurcation
假设裂缝高度与开度之比h为定值且表示为[32]
(1)
式中：
为裂缝开度，μm；
为裂缝纵横比，为固定常数。二叉树裂缝网络的长度比
和高度比
分别为
(2)
(3)
式中：
和
分别表示第
级和第
级裂缝长度，μm；
和
分别表示第k+1级和第级裂缝高度，μm。每一级裂缝的长度和高度均可以由初始长度和初始高度表示为
(4)
(5)
式中：
和
分别为第0级裂缝的长度和高度，μm。裂缝的直线长度和迂曲长度之间的关系可以表示为[33]
(6)
式中：
为裂缝的迂曲长度，μm；
为迂曲度分形维数。根据Cubic方程[34]。通过第级单条裂缝的流量可以表示为
(7)
式中：
为第级单条裂缝的流量，μm2/s；
为第级裂缝的开度，μm；
为气体的黏度，Pa·s；
为第级裂缝两端的压力差，Pa。
根据式(6)和(7)，具有迂曲度分形分布特征的单根裂缝气体流量可以表示为
(8)
第级裂缝的总数为
，根据式(8)可以得到通过一个二叉树裂缝网络的气体总流量为
(9)
式中：
为一个二叉树裂缝网络的气体总流量，μm2/s；为分叉数，对于二分叉结构：n=2。
将式(9)表示为压差形式：
(10)
忽略二叉树裂缝网络分叉处的压力局部损失，则总压降
可以表示为
(11)
将式(4)，(5)和(10)代入式(11)可以得到二叉树裂缝网络的总压降为
(12)
根据式(12)，流过单个二叉树裂缝网络的总流量q为
(13)
假设第0级裂缝的开度分布符合分形标度率，则裂缝的数目与开度的关系可以表示为
(14)
式中：N(≥
为初始开度大于的裂缝总数目；
为裂缝开度分形维数，对于二维空间，0<<2，对于三维空间，0<<3；
为裂缝最大初始开度，μm。由于储层中往往存在大量裂缝，可认为式(14)是连续可微的，对式(14)两边关于求导得
(15)
裂缝网络的面孔率可由裂缝横截面积表示：
(16)
式中：
为裂缝网络的面孔率，%；
为岩心的横截面积，cm2；
为岩心横截面上裂缝孔隙的总面积，cm2。
由式(15)和(16)可以得到理论裂缝横截面积：
(17)
式中：
为裂缝最小初始开度，μm。
将式(17)代入式(16)，则岩心的横截面积可以表示为
(18)
通过岩心的总流量等于流过二叉树裂缝网络的总流量，可以通过式(13)和(15)积分得到
(19)
达西定律可以表示为
(20)
(21)
式中：
为岩心的直线长度[35]，其值等于二叉树裂缝网络的等效直线长度，μm；为分叉角度；为分叉级数。将式(18)，(19)和(21)代入式(20)，得到二叉树裂缝网络克氏渗透率的解析表达式为
(22)
式中：
为二叉树裂缝网络克氏渗透率，mD。
假设二叉树裂缝网络横截面积守恒，由于每个母支分叉出2个子支，即=2，则=1/2，由于
，则
，式(22)可以简化为
(23)
式(23)为考虑迂曲度分形分布特征的二叉树裂缝网络克氏渗透率表达式。将式(23)进一步简化可以得到裂缝网络的克氏渗透率表达式为
(24)
式中：
为裂缝网络的克氏渗透率(量纲一参数)。平板裂缝中的气体克努森数可以表示为平均自由程与裂缝开度之比[36]
(25)
式中：
为克努森数；
为气体平均分子自由程，μm。气体平均分子自由程可以表示为[37]
(26)
式中：R为气体常数，J·mol-1·K-1；T为地层温度，K；Pk为平均地层压力，Pa；M为气体摩尔质量，kg/mol。ROY等[38]根据克努森数，将气体流动划分为4个区域：连续介质区(Kn≤10-3)、滑移区(10-3＜Kn≤10-1)、过渡区(10-1＜Kn≤10))和自由分子区(Kn＞10)。气体在页岩微纳米裂缝中的流动主要以黏滞流和滑脱流动为主，压力越低，滑脱越严重[20]。图3所示为裂缝中气体的滑脱流动示意图，在裂缝壁面处的气体速度不为0 m/s，越靠近裂缝中心，气体的流动速度越大。
图3 裂缝中气体滑脱流动示意图
Fig. 3 Schematic diagram of gas slippage flow in a fracture
克氏渗透率与表观气体渗透率的关系可以用滑脱流动相关系数表示
(27)
式中：Kg为气体表观渗透率，mD；f(Kn)为滑脱流动相关系数。f(Kn)可以表示为[39]
(28)
结合式(13)，(15)，(26)和式(28)可以得到考虑滑脱的二叉裂缝网络气体流量表达式为
(29)
将式(29)代入式(20)，可以得到表观气体渗透率表达式如下
(30)
式(30)表明二叉树裂缝网络的表观气体渗透率是裂缝横截面积分形维数Df、迂曲度分形维数DT、分叉级数m、随着孔隙度、裂缝纵横比、最大裂缝初始开度
、地层压力和滑脱因子等的函数。结合式(23)和(30)可得
(31)
KLINKENBERG[11]使用滑脱因子和平均压力来表示表观气体渗透率Kg与克氏渗透率KL之间的关系，其表达式如下
(32)
式中：Pk为平均地层压力，Pa；b为气体滑脱因子，其大小取决于气体和岩石的性质，滑脱因子越大，气体滑脱效应越严重。结合式(31)和(32)，则气体的滑脱因子b可以被表示为
(33)
式(33)滑脱因子表达式与WANG等[17]推导得到的分形多孔介质中的滑脱因子表达式具有非常相似的形式。式(33)表明页岩微纳米裂缝内气体滑脱因子与裂缝的物性参数和气体性质有关，而对于给定储层，气体常数R、地层温度T、气体分子质量M和气体黏度μ往往是固定的，因此确定滑脱因子的关键在于确定储层裂缝开度、裂缝开度分形维数和迂曲度分形维数。最大裂缝开度、分形维数和迂曲度分形维数越小，滑脱因子越大，滑脱效应越明显。
2 模型验证
MAURER等[40]测试了氦气和氮气在微平板裂缝中的滑脱因子与克努森数的关系，微裂缝的平均开度和平均高度分别为1.14 μm和200 μm；当注入气体为氦气时，平均注入压力为263 kPa，平均出口压力为56 kPa，则裂缝内平均压力为160 kPa；当注入气体为氮气时，平均注入压力为182 kPa，平均出口压力为52.4 kPa，则岩心内平均压力为117.2 kPa。为了得到单根平板裂缝中滑脱因子b与克努森数Kn之间的关系，将式(24)和(25)代入式(33)，其中，式(33)中的使用a代替，即可得到平板裂缝的滑脱因子与克努森数的关系式为
(34)
令
，则式(34)变为
(35)
式(35)即为裂缝内气体流动的滑脱因子与克努森数关系式。图4所示为式(35)的计算结果与实验结果对比[40]。从图4可以看出：模型预测结果与实验数据拟合效果较好，尤其是在克努森数大于0.3时拟合效果更好；当克努森数小于0.3时，模型预测结果略小于实验结果。这是因为模型中所使用的压力为使用实验数据计算的平均压力，为固定值，而实验中裂缝两端的压力并非固定的，压力越小，滑脱越严重，滑脱因子则越大。
图4 模型预测结果与实验结果对比[40]
Fig. 4 Comparison between prediction of proposed model and experimental data
3 模型敏感性分析
为了进一步分析页岩储层微纳米裂缝内的气体渗流规律以及不同条件下滑脱效应对气体渗透率规律的影响，对影响滑脱因子和克氏渗透率的一些重要参数敏感性进行分析。表1所示为用于模型敏感性分析的裂缝及气体参数。
表1 模型计算参数
Table 1 Parameters of model used for calculation
图5所示为根据式(33)计算的裂缝最大初始开度与滑脱因子关系。从图5可见：随着裂缝最大初始开度的增加，滑脱因子不断减小。当裂缝最大开度在10~100 μm之间时，滑脱因子随最大裂缝开度的减小而缓慢增加，而当裂缝开度小于10 μm时，滑脱因子随最大开度的减小快速增加。以=1.5为例，当裂缝开度为100 μm时，滑脱因子b=0.62；当裂缝开度为10 μm时，滑脱因子b=6.2；当裂缝开度为1 μm时，滑脱因子b=62.02。这表明滑脱效应对于小裂缝的影响远大于对大裂缝的影响。从图5可以看出：当裂缝最大开度不变时，滑脱因子与裂缝开度分布分形维数成正相关，这是由于裂缝开度分布分形维数越大，表示小裂缝的数目越多，小裂缝中滑脱效应越明显。
图5 裂缝最大初始开度与滑脱因子关系
Fig. 5 Plot of fracture maximum initial aperture and slippage factor
图6所示为根据式(31)计算的平均地层压力与表观气体渗透率和克氏渗透率比值的关系。从图6可以看出：随着地层平均压力的增加，表观气体渗透率和等效液体渗透率比值不断地接近于1，即当压力无限大时，表观气体渗透率等于克氏渗透率。这是由于平均压力越小，气体密度越小，则气体分子之间的碰撞就越少，气体则更容易流动，即滑脱更严重，反之，平均压力越大，滑脱效应逐渐消失。当压力无限大时，气体的流动近似于液体的流动性质，此时，渗透率即为克氏渗透率。
图6 平均地层压力与表观气体渗透率和克氏渗透率比值的关系
Fig. 6 Relationship between ratio of apparent gas permeability and equivalent liquid permeability and average formation pressure
图7所示为根据式(33)计算的滑脱因子随裂缝开度分形维数变化关系。从图7可以看出：滑脱因子随裂缝迂曲度分形维数的增加而减小，这是由于迂曲度的增加会使气体分子与裂缝壁面的碰撞概率增加，从而减小了滑脱效应。
图7 不同迂曲度分形维数时滑脱因子随裂缝开度分形维数变化关系
Fig. 7 Plot of gas slippage factor versus fractal dimension
图8所示为由式(24)计算得到的不同分叉级数时裂缝网络克氏渗透率随裂缝长度比变化关系。从图8可以看出：裂缝网络克氏渗透率随裂缝长度比增加而减小，其他条件不变时，根据式(21)，越大的裂缝长度比意味着裂缝越长，即流体的流动路径越长，则渗流阻力越大，渗透率减小。从图8还可以看出：无因次渗透率与分叉级数呈负相关，这是由于模型假设二叉树裂缝网络在分叉过程中长度比和高度比保持不变，导致了分叉级数越大，最大分叉级的裂缝高度和开度越小，即单根裂缝过流面积越小，渗流阻力增大，渗透率减小。
图8 不同分叉级数时克氏渗透率随长度比变化关系
Fig. 8 Plot of dimensionless permeability versus radio of fracture length at different branch level
图9所示为由式(24)计算得到的不同分叉角度时克氏渗透率随裂缝最大初始开度变化关系。从图9可以看出：克氏渗透率与裂缝最大初始开度成正相关。当裂缝长度比小于0.3时，长度比和分叉级数均对克氏渗透率有明显影响。当长度比大于0.3时，长度比对克氏渗透率的影响较小。当裂缝最大初始开度一定时，随着分叉角度增大，克氏渗透率减少。由式(21)可知，在相同直线长度下，分叉角度越大，裂缝的迂曲长度越长，则流动阻力增加，裂缝网络的渗透率降低。
图9 不同分叉角度时克氏渗透率随裂缝最大初始开度变化关系
Fig. 9 Plot of dimensionless permeability versus initial maximum fracture aperture at different branch angel
4 结论
1) 提出了一种页岩复杂裂缝网络的克氏渗透率模型与表观气体渗透率模型，并推导了气体滑脱因子表达式，利用文献中的实验数据对模型进行了可靠性验证。
2) 当裂缝的最大开度从100 μm减小到1 μm时，滑脱因子先缓慢增大，随后快速增大，表明小裂缝中滑脱效应对裂缝内气体的流动影响不可忽略。滑脱因子与最大裂缝初始开度成反比，与裂缝开度分布分形维数成正相关，而与裂缝迂曲度分形维数成负相关。
3) 随着地层平均压力的增加，表观气体渗透率和克氏渗透率比值先快速减小，然后缓慢减小，并不断的接近于1，即当压力无限大时，表观气体渗透率即等于克氏渗透率。
4) 克氏渗透率与裂缝长度比、分叉级数和分叉角度成负相关，与裂缝最大初始开度成正相关。裂缝长度比小于0.3时，长度比和分叉级数均对克氏渗透率有明显的影响，当长度比大于0.3时，长度比对克氏渗透率的影响较小。克氏渗透率与裂缝最大初始开度成正相关，与分叉角度成负相关。
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(编辑 赵俊)
收稿日期： 2020 -03 -10; 修回日期： 2020 -04 -22
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51874320) (Project(51874320) supported by the National Natural Science Foundation of China)
通信作者：王付勇，博士，副研究员，从事油气藏动态监测、非常规油气藏开发与提高采收率研究；E-mail：wangfuyong@cup.edu.cn
