扬声器的位移共振与速度共振

张平柯

(湖南第一师范学院 数学物理系，湖南 长沙，410002)

摘要：证明了一般的扬声器或者密闭式扬声器箱的位移共振频率并不在其速度共振频率的附近，而是比其速度共振频率低得多。当扬声器系统的总品质因素Q_T小于0.707时，位移共振将不存在，在等幅纯音信号驱动下，将出现频率越低扬声器纸盆振幅越大的现象。因此，对速度共振频率比较高而Q_T较小的密闭式扬声器箱，送入频率过低的信号，不仅不能输出有效的声压，相反，由于扬声器振膜振幅过大，将使音圈的运动超出罐形磁场的线性区，导致严重失真甚至损坏扬声器系统。对这类扬声器箱，应该在放大器中设置高通网络，切除过低的频率成分。

关键词：扬声器；位移共振；速度共振

中图分类号：TN722          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2013)12-4930-06

Displacement-resonance and velocity-resonance of loudspeaker

ZHANG Pingke

(Department of Mathematics and Physics, Hunan First Normal University, Changsha 410002, China)

Abstract: It is proved that the displacement resonance frequency of general speakers or sealed speaker box is much lower than its velocity resonance frequency. The displacement resonance will disappear when the total quality factor Q_T of the speaker system is less than 0.707. At this time, when constant amplitude pure tone signals drive, the lower the frequency is the higher the amplitude of the loudspeaker cones appears. Particularly, the signal which has much lower frequency will lead to serious distortion even damage the sealed speaker box which has higher velocity resonance frequency and smaller Q_T. This is because too large amplitude of loudspeaker cones will make the motion of voice coil exceed the linear region of pot-shaped magnetic field. So, for this kind of speaker box, high-pass networks should be set in the amplifier to cut the too low frequency signal.

Key words: loudspeaker; displacement resonance; velocity resonance

有些音响爱好者凭视觉观察到用幅度相等的纯音信号驱动扬声器时会出现频率越低振幅越大的现象。但由于对共振现象没有深入的了解，总认为扬声器系统在共振频率处振幅应该最大，从而对观察到的现象感到迷惑不解，甚至怀疑所得观察结果。王以真^[1]针对这个问题进行了研究，得出在小于共振频率f₀时，扬声器振膜的振幅基本与频率无关，保持为常数。在f₀处振幅最大，其峰值与总品质因素Q_T有关，Q_T愈大，峰值愈高，当大于f₀时，振幅随频率增加而快速下降。并认为频率越低振幅越大的感觉是由于在频率甚低时，振膜速度太慢造成的视觉误差。事实上，扬声器的共振频率f₀是指扬声器锥盆的振动速度最大时对应的频率即速度共振频率，它与扬声器锥盆振幅最大时对应的频率即位移共振频率是2个不同的概念。对于一般的机械振动系统，在发生受迫振动时，位移共振频率f_r总是低于速度共振频率f₀(至于到底低多少，要由振动系统的阻尼因素来决定^[2-4])。虽然在很多情况下，机械振动系统的位移共振频率f_r非常接近于其速度共振频率f₀^[5-6]，但对于一般的扬声器系统，其位移共振频率f_r却远低于其速度共振频率f₀。当扬声器系统的Q_T≤0.707时，位移共振将不存在，在这种情况下，确实会出现频率越低振幅越大的现象，而不像文献[1]认为的是一种视觉误差。

1  扬声器位移共振频率的计算

高保真音响系统的最终目的是为了实现较高效率的电声转换、尽可能低的失真度、良好的瞬态响应以及平坦且足够宽的频率响应。虽然音源、放大器、扬声器、电源等任何一个环节都会影响到整个音响系统的最终表现，但扬声器是对系统影响最大的一个环节，同时也是最薄弱的一个环节。尽管人们对扬声器及其系统已经进行了长期而又深入的研究，但扬声器作为整个音响系统瓶颈的状况并没有得到根本改变。

扬声器系统的灵敏度、失真度、频率响应和瞬态响应都与共振相关，因此，很多学者从不同的角度对扬声器及其系统的共振进行了研究^[7-12]。随着技术的进步，实验研究的手段也不断更新。

扬声器系统是一个有阻尼的受迫振动系统，忽略一些非线性因素，其振动微分方程为^[13]

        (1)

其中：m为扬声器系统的等效振动质量；b为系统的弹性系数；γ为阻尼系数(包括系统的机械阻尼和电阻尼)；F_M和p分别为驱动力的力幅和角频率。令，则方程(1)可以写为

         (2)

在β＜ω时，方程满足初始条件和的解为

式中：

令

则x可以表示为

      (3)

式(3)中第1项随时间的增大趋向于0，它对扬声器的瞬态响应有很大影响^[13]，当扬声器进入稳定的振动状态后，只剩下第2项，因此，在稳态情况下，有

(4)

对方程(1)在β=ω和β＞ω这2种情况下求解发现：虽然x的非稳态部分的解形式会发生相应的变化，但其稳态部分的形式(4)保持不变。求A_D对P的导数，并令，可以得到位移共振角频率：

                (5)

此时，位移振幅A_D有极大值。

但需要注意的是，位移共振并不一定存在。从式(5)可以看出：当时，p=0；当时，P没有实数解。

对式(4)，求x对时间的导数，并提取稳态部分，可以得到稳态时纸盆的振动速度为

对速度振幅求关于P的导数，并令其为0，可以得到：当p=ω时，将产生速度共振，即速度共振的角频率总是等于系统的自由振动角频率，与阻尼无关。速度振幅的极大值。

从式(5)可以看出：当β很小时，位移共振频率会接近于速度共振频率。但下面的分析结果表明一般的扬声器系统不满足这个条件。

2  扬声器位移共振频率与Q_T的关系

扬声器的Q_T是一个非常重要的参数，很多学者都从不同的角度诠释了它的物理意义，给出了它的计算公式和测量方法。根据有阻尼的受迫振动的一般理论，可以导出Q_T与β的关系式：

                  (6)

将这个关系式代入式(5)，可以得到位移共振角频率与Q_T的关系：

               (7)

Q_T对扬声器系统的瞬态响应和声压频率特性都有很大的影响，从瞬态响应看，过高的Q_T会使扬声器系统的前、后沿特性变差。如图1所示的纯音猝发声信号在驱动高Q_T的扬声器时，会出现明显的前沿启动困难和后沿拖尾的现象，产生严重的瞬态失真。设扬声器的谐振频率为25 Hz，Q_T=3，用计算机可以模拟其对20 Hz信号的瞬态响应，见图2。若该扬声器的Q_T=0.7，其对20 Hz信号的瞬态响应将明显改善，见图3。

从声压频率特性看，过高的Q_T会导致谐振频率处出现很高的声压峰值。设扬声器的谐振频率为25 Hz，Q_T=3，用计算机模拟其声压-频率特性曲线，发现在25 Hz处有1个声压高峰，见图4。过低的Q_T低频响应又太差，见图5。理论上，只有当时才能够获得最佳的声压频率特性，见图6。

图1  20 Hz纯音猝发声电压信号

Fig. 1  Tone burst voltage signal of 20 Hz

图2  Q_T=3时扬声器纸盆的速度-时间曲线

Fig. 2  v-t curve of cone when Q_T=3

图3  Q_T=0.7时扬声器纸盆的速度-时间曲线

Fig. 3  v-t curve of cone when Q_T=0.7

图4  Q_T=3时扬声器的声压-频率曲线

Fig. 4  Pressure-frequency curve of speaker when Q_T=3

图5  Q_T=0.3时扬声器的声压-频率曲线

Fig. 5  Pressure-frequency curve of speaker when Q_T=0.3

图6  Q_T=0.707时扬声器的声压-频率曲线

Fig. 6  Pressure-frequency curve of speaker when Q_T=0.707

因此，扬声器系统的Q_T一般都根据所设计的音箱特色，在0.7左右进行小调整：当需要更好的瞬态响应时，Q_T取小一些；需要增加低频的分量时，Q_T取大一些。但为了保证系统的良好瞬态响应和较平坦的声压-频率特性，扬声器系统的Q_T一般都在0.5~1.2之间。若以Q_T=1计算，可得。设扬声器的速度共振频率f₀为30 Hz，可以算出位移共振频率约为21 Hz，远小于f₀；当时，位移共振频率变为0 Hz，将出现频率越低时振幅越大的现象。

当Q_T小于0.707时，位移共振现象将消失。但通过对振幅A与驱动信号的频率之间的关系进行数学分析和计算机模拟可以得出：在这种情况下，虽然不会出现位移共振，但将出现频率越低振幅越大的现象。

通过测量得出b&w801s3扬声器箱的速度共振频率为34.5 Hz，Q_T=0.788，利用(7)式可以算出：

f=15.23 Hz

任意给定H 1个值，利用maple10，可以作出该扬声器系统的位移振幅-频率曲线与速度振幅-频率曲线，分别见图7和图8。

图7  b&w801s3的位移振幅-频率曲线

Fig. 7  A_D-f curve of b&w801s3

图8  b&w801s3的速度振幅-频率曲线

Fig. 8  A_V-f curve of b&w801s3

从图7和图8可以看到：位移共振频率在15 Hz左右，速度共振频率为35 Hz左右。

3  扬声器位移共振频率的实际测量

通过一个简单的方法，可以精确地测量b&w801s3扬声器箱的位移共振频率。

用三脚架固定1个软毛刷，让毛刷接近低音扬声器的防尘帽中心。利用SpectraLAB软件的multiple ton功能输出幅度恒定的纯音信号送入功率放大器，驱动扬声器，从38 Hz开始，以0.5 Hz为步进单位逐步降低信号频率。在改变信号频率的同时，反复调整毛刷与防尘帽中心的距离，使毛刷在扬声器振幅最大时与防尘帽刚好接触(以听到轻微嗒嗒声为准)，这时，信号的频率等于扬声器的位移共振频率。

测量结果表明：这只b&w801s3扬声器箱的位移共振频率为14 Hz左右，远低于其速度共振频率34.5 Hz。该实测结果与计算值很接近但不相等，原因在于b&w801s3并不是封闭箱，而是特性接近封闭箱的重阻尼倒相箱。

通过此方法测量1只速度共振频率f₀=42.5 Hz，Q_T=0.548的伟达808c扬声器，可以看到频率越低，振幅越大。利用maple10进行仿真，可以作出其位移振幅-频率曲线，见图9。从图9可看出：位移振幅随着f的减小而增大。从式(7)可以看出：在此情况下，位移共振角频率p已经不存在实数解，也就是说，该扬声器不可能发生位移共振。但实测结果和仿真结果都表明位移振幅随着频率的下降而快速增大。

图9  808c扬声器的位移振幅-频率曲线

Fig. 9  A_D-f curve of 808c loudspeaker

图10  808c扬声器的速度振幅-频率曲线

Fig. 10  A_v-f curve of 808c loudspeaker

通过速度振幅A_v的表达式，利用maple10仿真，作出其速度振幅-频率曲线，可以看到速度共振频率的理论值与实测值很接近。

4  放大器设置高通网络的意义

扬声器在速度共振频率处输出的声功率与Q_T的关系很大，Q_T太高，会在其谐振频率(等于速度共振频率)处出现声压峰，因此，扬声器的Q_T不能太高。在速度共振频率以上时，声压-频率特性曲线相对平坦(扬声器纸盆作活塞运动的前提下)。而在速度共振频率以下时，声功率会迅速下降，实际上，已经不能有效地产生声辐射^[14]。因此，为获得良好的低频响应，低音扬声器应该具有尽可能低的自然谐振频率和合适的Q_T(0.7左右)。但降低扬声器的自然谐振频率并确保能产生有效的低频输出，必须以增大扬声器振膜面积为代价，这必然导致扬声器系统的大型化和高造价，因此，除了少数音响爱好者外，大多数家庭选择的是速度共振频率并不太低、口径较小的低音扬声器构成的系统。

对速度共振频率较高而Q_T又较小的密闭式扬声器箱，输入速度共振频率以下的电信号会出现频率越低纸盆振幅越大的现象，这时，扬声器纸盆虽强烈振动，却不能有效输出声压。相反，过低频率的信号迫使纸盆产生大幅度的振动，有可能使音圈超出罐形磁场的线性区，造成严重的非线性失真，甚至损坏扬声器。因此，对这样的系统，不应过分追求低频响应，相反，还应该在放大器中设置高通网络，切除速度共振频率以下的低频信号，防止它们对扬声器系统造成不利影响，保证对速度共振频率以上的信号的高质量重放。

5  结论

(1)位移共振频率与速度共振频率的比值，它完全决定于扬声器系统的Q_T，与其他因素无关。由于扬声器的Q_T不可能太大，因此，扬声器的位移共振频率总是明显低于其速度共振频率。

(2) 当时，位移共振消失，会出现频率越低振幅越大的现象。

(3) 对那些速度共振频率比较高、Q_T又比较小的密闭式扬声器箱(对倒相式音箱也有参考价值)，最好在放大器中设置高通网络，切除过低频率成分的信号，以提高对速度共振频率以上信号的重放质量。

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(编辑  陈灿华)

收稿日期：2013-04-13；修回日期：2013-06-12

基金项目：湖南省科技计划项目(2009GK3144)

通信作者：张平柯(1956-)，男，湖南浏阳人，教授，从事物理学、电声学研究；电话：13907314207；E-mail: zhangpingke@126.com