DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2018.09.001

矿石碎磨能耗数学模型

文书明¹，刘建¹，李成必²，夏晓鸥²，邓久帅¹

(1. 昆明理工大学 国土资源工程学院，云南 昆明，650093；

2. 北京矿冶科技集团有限公司，北京，100160)

摘要：根据矿石碎磨过程中能量输入和消耗的一般规律，以破碎比和磨矿比为自变量，能耗为因变量，经过条件假设，推导出矿石破碎和磨细所需要的能耗与破碎比和磨矿比之间的统一数学模型。研究结果表明：矿石碎磨能耗与破碎比和磨矿比的n次方成正比，对于破碎和磨矿阶段，对应的指数n分别为1和1/2；破碎和磨矿的能耗系数与矿石极限应力、弹性模数、密度、比表面能等力学性质有关；通过碎矿设备生产能力计算的经验公式和邦德功指数经验公式证明了所推导的数学模型的正确性；基于该模型和碎磨能耗最低原理，获得碎磨能耗最低时矿石最佳入磨粒度计算公式。

关键词：碎磨能耗；入磨粒度；数学模型

中图分类号：TD-05        文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2018)09-2115-06

A mathematical model describing energy consumption of crush and grinding

WEN Shuming¹, LIU Jian¹, LI Chengbi², XIA Xiaoou², DENG Jiushuai¹

(1. Faculty of Land Resource Engineering, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650093, China;

2. Beijing General Research Institute of Mining & Metallurgy Technology Group, Beijing 100160, China)

Abstract: According to the common law of energy input and consumption of ore’s crush and grinding, a unified mathematical model describing energy consumption of crush and grinding was deduced based on certain assumptions, in which the size reduction ratio of crush and grinding and energy consumption were used as independent and dependent variables, respectively. The results show that energy consumption is in proportion to the nth power of size reduction ratio of crush and grinding stage, and n is 1 and 1/2 for the crushing and grinding stage, respectively. Energy consumption coefficient in the model is related to the properties of ore, such as ultimate stress, modulus of elasticity, density of ore, specific surface energy and etc. The model validity is confirmed by the results calculated by the widely used empirical formulas of crushing equipment production capacity and the Bond work index. Based on the model and the lowest energy consumption principle, the optimal particle size which is fed to grinding at lowest energy consumption is determined.

Key words: crushing energy consumption; grinding particle size; mathematical model

生产上，在矿石进入选别作业前，首先需通过破碎磨矿对矿石中的有用矿物进行解离，并对矿石的粒度组成进行控制^[1-3]。通常认为，矿石的破碎和磨矿是一个极为耗能的过程， 碎矿磨矿过程不仅消耗大量的电能，而且消耗大量的钢材^[4-7]。据估计，世界上每年用于碎矿磨矿的电能高达总电能消耗的3.3%，美国用于碎矿磨矿的电能为总电耗的1.3% ^[8]。就我国而言，每年有3~4亿t的有色金属和黑色金属行业产生的矿石需要碎矿磨矿^[9-11]，这意味着我国每年将消耗巨大的电能。据统计，单磨矿作业所消耗的电能就占整个矿山选厂能耗的40%~60%^[12-14]。因此，从理论上研究和分析矿石碎磨过程能量消耗的一般规律，提高碎矿磨矿过程的能量利用效率，对矿山节能降耗具有重要意义。目前，在碎磨过程中能量消耗的学说主要有以下3类^{[8, 15-16]}：Rittinger(雷廷格尔)面积学说、Kick(基克)体积学说和Bond(邦德)裂缝学说，其中邦德学说被人们广泛接受。雷廷格尔学说认为，破碎矿石所作的功与矿石破碎所产生的新生表面积成正比。基克学说认为，破碎矿石所做的功用于使矿块产生变形，变形到了极限就发生破碎，故破碎矿石所消耗的功与矿石的体积变形成正比；邦德学说认为破碎矿石所做的功首先使矿石产生变形，当局部变形超过临界点时产生裂缝，裂缝进一步扩展生成新生表面，因此，矿石破碎所消耗的功应包含变形能和表面能2部分。邦德学说的方程表达式^{[15, 17]}为(其中W为将粒度为d_f的给矿破碎到粒度为d_p的产品所消耗的功；W_i为邦德功指数；d_f和d_p分别为给矿和产品80%过筛时的筛孔孔宽)。上述3种功耗学说为人们理解破碎磨矿过程中的能量消耗提供了重要的参考价值，但是这3种学说具有各自的局限性，其实际应用受到很大限制，通过这3种功耗学说测算出来的能耗值偏差也较大。迄今为止，关于破碎磨矿过程中能耗理论分析和计算的研究较少。为此，本文作者根据矿石破碎和磨细过程中能量输入和消耗的一般规律，以破碎比和磨矿比为自变量，能耗为因变量，经过一些条件假设，推导出碎矿磨矿过程中能耗的数学模型；在此基础上，采用碎矿设备生产能力计算的经验公式和邦德功指数经验公式对所推导的理论公式进行验证；采用该数学模型，基于碎矿与磨矿能耗最低原理，以获得碎磨能耗最低时矿石的最佳入磨粒度。

1  矿石破碎磨矿能耗的数学模型

1.1  矿石破碎磨矿能耗的通用数学模型

众所周知，矿石破碎和磨细的程度可以用破碎比和磨矿比来衡量：破碎比和磨矿比越大，能耗越高；破碎比和磨矿比越小，能耗越低。当矿石性质、设备类型、工艺参数相同时，根据数学分析原理，碎磨能耗的这种正相关关系可以用1个连续、可积、可导的数学表达式来表示：

                (1)

式中：W为破磨矿石的单位能耗；i为破磨比，；k为与矿石性质、破碎磨矿设备等因素有关的系数；C为与破磨比无关的系数；n为与设备和碎磨阶段有关的指数。

将代入式(1)可得：

              (2)

该数学表达式的边界条件如下：当时，若碎磨能耗为0 kW·h/t，即碎矿磨矿没有使矿石的粒度减小，没有发生碎矿与磨矿作用，则应该没有能量消耗。由此可得，将C代入式(2)可得

               (3)

根据量纲分析，式中系数k具有能耗的单位，指数n为量纲一指数。由式(3)可知：将粒度为d_f的矿石破磨至粒度为0 μm时，需要的能量为无限大，这与实际相符合。

1.2  矿石破碎及磨矿各阶段能耗的半经验公式

1.2.1  矿石破碎能耗的半经验公式

在矿石破碎阶段，破碎机提供的能量首先使矿石发生变形，变形至矿石的极限时发生破裂。由于破裂的发生，矿石与矿石之间、矿石与破碎机施力部件之间位置突然发生变化，破碎机对矿石的施力消失，破碎矿块的变形恢复，对外以声音、震动、放热等形式释放能量，部分能量转化为新生的表面能，这就完成了1次破碎。随着破碎机施力部件进一步压缩矿石，破碎的矿石之间距离缩短，再一次承受压力，承受压力的矿石又开始变形，直至破碎，实现第2次破碎。在1个破碎周期内，矿石发生多次破碎，最终使得矿石的粒度变小，达到要求的破碎比。

根据矿石应力与应变的关系，对于体积为V的矿石，第1次破碎需要消耗的能量U为^[15]

          (4)

式中：为应力；E为弹性模量；m为接近1的指数。

若第1次施力就将体积为V的矿石破碎到要求的粒度，则破碎能耗是最低的。若第1次施力只能产生1块要求粒度的矿石，则要使体积为V的矿块全部破碎到要求的粒度，需要i次施力(i为破碎比)，需要的破碎能耗将是最大的，由此可知矿石破碎需要的最大能耗U_max为

     (5)

由于颗粒的重量，则单位重量矿石破碎需要的最大能耗W_ps为

令，则

                (6)

1.2.2  矿石磨矿能耗的半经验公式

在矿石磨矿阶段，磨机的能量通过磨矿介质传递给矿石，首先使矿石变形，变形到达极限时发生破碎，破碎后的矿石发生变形恢复，矿石内储存的能量转化为振动能、热能、声能和储存在永久变形中的能量，同时部分转化为新生表面的表面能，这2部分能量构成了磨矿的能耗。

破碎后矿石内储存的变形能与矿石的体积成正比。

磨矿输入的能量部分转化为变形能，即

式中：K_v为体积球形系数。

破碎后矿石的表面能与表面积成正比。

式中：W_A为表面能；为单位表面能；A为表面积；K_A为面积球形系数。

设磨矿能耗与矿石变形能和表面能的几何平均值成正比，则有

        (7)

由于颗粒的重量，则单位重量磨矿能耗W_mk为

令，则有

               (8)

由式(8)可知：当d_f=d_p时，W_mk=0的边界条件不成立。为了使边界条件成立，在公式中加入系数C，使得公式变为

当d_f=d_p时，W_mk=0，由此边界条件可得出，则有

             (9)

式中：。

由磨矿能耗公式可知：当磨矿比一定时，矿石密度越大，磨矿能耗越低；矿石弹性模量越大，磨矿能耗越低；给矿粒度越大，磨矿能耗越低，即粗磨的能耗比细磨的低；矿石表面能越低，磨矿能耗越低；矿石硬度越小，磨矿能耗越低。该公式从理论上反映出矿石密度、粒度、硬度、弹性、表面能对磨矿能耗的影响规律和定量关系。当矿石的这些物理性质都确定并已知时，就可以计算矿石磨矿的理论能耗。

通过以上的理论推导，可得矿石碎磨的能耗公式如下。

碎矿阶段：

磨矿阶段：

通用公式：

             (10)

式中：矿石破碎阶段，n=1；矿石磨矿阶段，n=1/2。

2  矿石破碎和磨矿能耗数学模型实践验证

2.1  矿石破碎能耗数学模型实践验证

在矿石破碎阶段，根据大量生产实践，选矿厂在设计时采用的破碎机生产能力计算的经验公式^[18]为：

式中：Q为破碎机单位时间内的生产能力；K₄为矿石硬度系数；K₅为矿石密度系数；K₆为矿石给料粒度系数；K₇为矿石水分系数；q_s为标准状态下破碎机的生产能力；q₀为单位排矿口的生产能力； K_e为排矿口宽度与排矿粒度的关系系数。

令，则有

破碎机输出的能量是一定的，排矿粒度越小，破碎机处理能力就越小，单位矿石破碎能耗就越高。如果破碎机的输入能量为W_z，则单位矿石破碎能耗为

令，则有

上述公式在d_f=d_p时，W=0的边界条件不成立。为了使边界条件成立，在公式加入1个系数C，使公式变为

当d_f=d_p时，W=0，由此边界条件可得出，则有

             (11)

式中：。

对比式(11)和式(6)可知：碎矿能耗公式(式(11))与理论推导的碎矿能耗模型(式(6))具有相同的形式，式(11)表示矿石破碎需要的实际能耗，而式(6)表示矿石破碎需要的理论能耗，由此证明数学模型是正确的。

2.2  矿石磨矿能耗数学模型实践验证

邦德通过大量的生产实践数据获得矿石磨矿能耗的经验公式为

式中：W_i为矿石磨碎的功指数。

在给矿粒度一定的情况下，邦德磨矿能耗经验公式可转化为

令，则有

           (12)

由此可知，邦德公式是碎磨能耗通用模型式(10)的特殊形式。磨矿能耗的生产实践表明，磨矿能耗的数学模型是正确的。

令K₂=k₂，由此可得邦德磨矿功指数为

如果矿粒为球形，K_A=π，，则有

             (13)

式(13)为邦德功指数的理论计算式，在测定了矿石的表面能、极限应力、应力与应变的关系指数、弹性模数、密度后，就能计算出邦德功指数的理论值，而这些力学性能是可以检测的。此前，邦德功指数只能通过试验测定，且并无实际的物理意义，通过磨矿数学模型的推导，明确了邦德功指数的物理意义及其影响因素，且能通过物理参数计算获得功指数。

3  能耗最低的入磨粒度计算公式

当碎矿设备的给矿粒度和磨机的排矿粒度一定时，碎矿机的排矿为磨机的给矿，碎矿和磨矿的能耗为碎矿能耗与磨矿能耗之和。当磨机给矿粒度变化时，式(9)中的k₂不再是常数，因为其中包含了变化的入磨粒度，所以，式(9)应改写为

            (14)

式中：。若磨矿产品粒度正好为80%通过100 μm的筛孔，即d_p=100 μm，则=W_i，这正是邦德磨矿功指数规定的磨矿细度。

根据式(6)和(14)，令碎矿的排矿粒度等于磨矿的给矿粒度，用d₁表示，由此可得碎矿和磨矿的总能耗为

     (15)

式中：W_bg为碎矿和磨矿总能耗，kW·h/t；d₁为入磨粒度(80%矿石通过的筛孔宽度)，μm；d_f为碎矿机给矿粒度(80%矿石通过的筛孔尺寸)；d_p为磨机排矿粒度(80%矿石通过的筛孔尺寸)。

对式(15)求偏导数可得

        (16)

令，可得

               (17)

式中：d₁为碎磨能耗最低时的入磨粒度。

当碎矿机给矿粒度和磨机排矿粒度一定时，最低碎磨能耗入磨粒度只与系数k₁和有关。只要通过试验确定k₁和，就能计算最低碎磨能耗的入磨粒度。

只考虑矿石性质，而不考虑破碎机和磨矿机的性能时，将，，，m=1，K_A=π和K_V=π/6代入式(17)，可得到能量最低时的入磨粒度理论计算公式：

               (18)

由式(18)可知：碎磨能耗最低时的入磨粒度与碎矿给矿粒度、矿石弹性模量、矿石极限应力和单位表面能相关。在选矿厂设计中，在选定碎磨矿设备之前，可以通过式(18)计算矿石的最佳入磨粒度。

4  结论

1) 根据矿石破碎和磨细的能量消耗一般规律，破碎与磨矿的能耗通式为，其中破碎 阶段，n=1；磨矿阶段 ，n=1/2。

2) 矿石破碎和磨矿的能耗具有与理论推导公式一致的形式，即，其中破碎阶段，n=1；磨矿阶段，n=1/2。

3) 矿石破碎和磨矿能耗最低时的入磨粒度公式为，通过试验确定能耗系数后，能够通过公式计算出最佳的入磨粒度。若只考虑矿石性质，而不考虑破碎机和磨矿机的性能，则入磨粒度理论计算公式为。碎磨能耗最低时的入磨粒度与碎矿给矿粒度、矿石弹性模数、矿石极限应力和单位表面能相关。在选矿厂设计中，在选定碎磨矿设备之前，可以据此计算矿石的最佳入磨粒度。

4) 通过数学推导、实践验证，获得了碎磨能耗的统一模型。

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(编辑  伍锦花)

收稿日期：2017-10-09；修回日期：2017-11-11

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51764037，51704135) (Projects(51764037, 51704135) supported by the National Natural Science Foundation of China)

通信作者：刘建，博士，副教授，从事矿物加工工程理论与工艺研究；E-mail: vacation2008@126.com