DOI： 10.11817/j.issn.1672-7207.2020.05.008

三圆弧谐波齿轮传动齿廓设计及参数优化

时志奇¹,杨勇^{1, 2},贺小飞^{1, 3},黄彦彦¹,周青华¹

（1. 四川大学 空天科学与工程学院，四川 成都，610065；

2. 武汉第二船舶设计研究所，湖北 武汉，430064；

3. 四川航天中天动力装备责任有限公司，四川 成都，610100）

摘要:以三圆弧谐波齿轮为研究对象，结合改进运动学法和数值离散思想方法，求解出谐波齿轮柔轮齿廓方程和谐波齿轮传动的啮合不变矩阵，进而求解柔轮共轭齿廓；在共轭齿廓基础上，采用圆弧拟合和几何计算相结合的方法，设计求解出刚轮齿廓，并分析柔轮齿廓参数对柔轮共轭齿廓的影响。为进一步提高谐波齿轮的传动精度、传动平稳性、啮合刚度和承载能力，以增大谐波齿轮传动双共轭区间为目标，建立优化函数，对柔轮齿廓参数进行单变量和多变量优化分析。研究结果表明:采用合理的齿廓参数，可增加刚轮齿廓所包含的柔轮的理论共轭啮合点，最大化谐波齿轮传动双共轭区间，提高谐波齿轮啮合传动特性。

关键词:谐波传动；三圆弧齿廓；齿廓参数；共轭齿廓；优化设计

中图分类号:TH132.43     文献标志码:A             开放科学(资源服务)标识码(OSID)

文章编号:1672-7207（2020）05-1234-11

Tooth profile design and parameter optimization of triple-circular-arc harmonic drives

SHI　Zhiqi¹, YANG　Yong^{1, 2}, HE　Xiaofei^{1, 3}, HUANG　Yanyan¹, ZHOU　Qinghua¹

(1. School of Aeronautics and Astronautics, Sichuan University, Chengdu 610065, China；

2. Wuhan Second Ship Design and Research Institute, Wuhan 430064, China；

3. Zhong Tian Aerospace Sichuan Power Equipment Co. Ltd., Chengdu 610100, China)

Abstract: The conjugate profile of harmonic gear was solved by establishing the harmonic gear profile equation and the meshing invariant matrix of harmonic gear transmission, based on the improved kinematics method and the numerical discretization method. The ideal rigid gear tooth profile was solved by using the method of circular arc fitting and geometric calculation. With the increase of objective of the double conjugate interval of harmonic gear transmission, the objective function was established and the univariate and multivariate optimization analysis was conducted for the parameters of flexible gear tooth profile. The results show that by using reasonable parameters, the theoretical conjugate meshing points of flexible gear profile contained by rigid tooth profile can be increased, the dual-conjugate interval of harmonic gear transmission can be maximized, and the meshing characteristics of harmonic gear transmission can be improved.

Key words: harmonic drive; triple-circular-arc tooth profile; tooth profile parameters; conjugated tooth profile; optimization design

谐波齿轮传动装置是随着航空航天技术发展而来的一种基于薄壁理论的柔性传动装置，最早由MUSSER^[1]提出，因其具有结构简单紧凑、传动比大、传动精度高、承载能力大和传动效率高等优点被大量应用于卫星天线的驱动装置、雷达的精密伺服机构、火箭导弹的转向机构以及飞机自动驾驶系统等航空航天领域^[2]。近年来谐波减速器作为机器人实现运动功能的核心部件，广泛应用于轻型工业机器人和机械臂关节中，其精度和性能是衡量机器人整机精度和性能的主要指标^[3-4]。自谐波齿轮问世以来，国内外学者针对它的运动学原理^[5-8]、齿形研究^[9-10]、结构参数分析优化^[11-15]以及传动精度、寿命和失效等方面都展开了大量研究^[16]。谐波齿轮的轮齿齿形对于传动系统整体性能有着很大的影响，合理的齿形可以改善谐波齿轮传动性能，提高承载能力和传动精度^[10]。谐波齿轮的齿廓形状经历一系列发展和演变^[11-12]，且随着齿廓形状的优化改进，谐波齿轮传动装置在承载能力、传动精度、加工性能、啮合性能和动力学特性等方面都得到了较大提升^[9-13]。三圆弧齿廓谐波齿轮由陈晓霞等^[17]在2017年提出并申请了发明专利，与双圆弧齿廓谐波齿轮相比，三圆弧谐波齿轮在传动中具有更宽的包络存在区间和共轭啮合齿面，更均匀的啮合侧隙使得谐波齿轮的传动精度和承载能力都有所提高。本文作者以三圆弧齿廓谐波齿轮为研究对象，采用杨勇等^[18]提出的谐波齿轮传动共轭齿廓精确求解方法，求解柔轮齿廓的理论共轭齿廓，并分析柔轮齿廓参数对柔轮共轭齿廓的影响规律。采用圆弧拟合和数值计算相结合的方法，设计求解出刚轮齿廓曲线。为进一步提高谐波齿轮的传动精度、传动平稳性、啮合刚度和承载能力，以扩展双共轭啮合区间为目标建立优化函数，对谐波齿轮柔轮齿廓参数进行优化分析，以便为三圆弧齿廓谐波齿轮的设计及优化提供一定参考。

1 三圆弧谐波齿轮齿形设计

1.1　谐波齿轮传动坐标系

谐波齿轮在实际服役过程中，其柔轮的变形为空间弹性变形，结构变化和受力状况复杂，为便于谐波齿轮运动学问题的相关研究，对传动模型进行简化，将谐波齿轮的刚轮、柔轮和波发生器的空间啮合问题离散化为平面啮合问题进行研究^[19-20]，并忽略传动过程中柔轮和刚轮的轮齿变形，即假设轮齿为刚体。

以椭圆波发生器谐波齿轮为例，建立如图1所示坐标系，以表征传动过程中各部件的位置关系和运动状态，对啮合传动进行量化分析。

图1　谐波齿轮传动坐标系

Fig. 1　Coordinate systems of harmonic drive

图1中，曲线0表示柔轮变形之前的中性线形状，是1个标准的圆；曲线1表示柔轮在波发生器作用下发生变形后的中性线，其中波发生器长轴平行竖直方向；曲线2为波发生器逆时针旋转φ₁后的柔轮中性线；坐标系S₀(X₀,O₀,Y₀)为柔轮轮齿局部坐标系，与轮齿固连；坐标系S₁(X₁,O₁,Y₁)是与刚轮固定连接的坐标系，始终保持位置不变；坐标系S (X,O,Y)则是与波发生器固连的坐标系，Y轴与波发生器的长轴重合，X轴与波发生器的短轴重合。

1.2　柔轮齿廓参数模型

三圆弧谐波齿轮柔轮齿廓的二维模型如图2所示，柔轮齿廓主要由齿顶端凸圆弧、齿根端凹圆弧和中间圆弧这3段圆弧组成，凸圆弧和中间圆弧内相切，切点为B，切线与Y₀轴夹角为δ₁；凹圆弧和中间圆弧外相切，切点为C，切线与Y₀轴夹角为δ₂。3段圆弧的圆心坐标和相关参数的位置关系如图2所示。图2中：h_f为齿根高；h_a为齿顶高；d_s为齿根圆与柔轮中线层距离；y_a为凸圆弧圆心移距量；x_a为凸圆弧圆心偏移量；ρ_a，ρ_m和ρ_f分别为凸圆弧、中间圆弧和凹圆弧的曲率半径；O_a(x_oa,y_oa)，O_m(x_om,y_om)和O_f(x_of，y_of)分别为凸圆弧、中间圆弧和凹圆弧的圆心；δ₁为圆弧和公切线与Y₀轴的夹角；δ₂为圆弧和的公切线与Y₀轴的夹角。

图2　三圆弧谐波齿轮柔轮齿廓

Fig. 2　Triple-circular-arc harmonic drives flexible gear profile

以弧长s为变量，应用数值离散的思想，求解出齿廓曲线上各点在齐次坐标系中的径矢和法向向量。

1) 凸圆弧段。

弧长范围，其中，

(1)

则圆弧圆心坐标为

(2)

结合式(1)和(2)，可求得凸圆弧齿廓AB上的各点在齐次坐标系中的径矢和法线向量，可表示为

(3)

2) 中间圆弧。

弧长范围，其中，

(4)

则圆弧圆心坐标为

(5)

结合式(4)和(5)，求得中间段圆弧上的各点在齐次坐标系的径矢和法线方程表达式为

(6)

3) 凹圆弧段。

弧长范围，其中：

(7)

则圆弧圆心坐标为

(8)

结合式(7)和(8)，求得凹圆弧段上的各点在齐次坐标系的径矢和法线方程表达式为

(9)

1.3　柔轮共轭齿廓求解

对于柔轮共轭齿廓的求解，采用文献[18]中提出的谐波齿轮传动共轭齿廓的精确解法。首先参考图1中的谐波齿轮传动坐标系，求解出柔轮轮齿局部坐标系S₀(X₀,O₀,Y₀)到刚轮坐标系S₁(X₁,O₁,Y₁)的坐标变换矩阵M₁₀和径矢变换矩阵W₁₀，如式(10)和(11)所示。

(10)

(11)

则通过坐标变换可得：

(12)

根据齿轮传动运动学法中的啮合方程^[21-22]，对于齿轮齿廓上参与啮合的点，满足

(13)

结合式(12)和(13)，可得

(14)

将式(10)和(11)代入式(14)，得

   (15)

结合式(3)，(6)和(9)中所求得的3段圆弧齿廓上各点的径矢r和法向量n，可求得与柔轮齿廓上的点在坐标系S₁(X₁,O₁,Y₁)中的理论共轭啮合点，然后，将各共轭点运用圆弧曲线进行拟合，即可得到柔轮齿廓的共轭齿廓。

以椭圆凸轮波发生器的谐波齿轮为例进行实例计算。选取模数m=0.32 mm、全齿高h=1.5 m，齿顶高h_a=0.6 m，齿根高h_f =0.9 m，其他轮齿齿廓参数取值如表1所示。

表1　柔轮齿廓参数

Table 1　Parameters of flexspline tooth profile

根据前面所述方法，采用数值离散的思想，将柔轮齿廓按弧长离散化为一系列坐标点阵，然后，应用MATLAB进行编程计算，求解出柔轮齿廓上的各离散点所对应的理论共轭啮合点，再进行圆弧拟合，得出各段柔轮齿廓的理论共轭齿廓，结果如图3所示。求解出柔轮齿廓上各离散点成为啮合点时柔轮轮齿与波发生器长轴的夹角α_i，α_i的解的范围即为共轭啮合区间，如图4所示。

图3　柔轮理论共轭齿廓

Fig. 3　Theoretical conjugate tooth profile of flexspline

图4　柔轮齿廓共轭区域

Fig.4　Conjugate interval of flexspline tooth profile

由图4可以看出在啮合传动过程中每个弧长s(对应柔轮齿廓上的1个点)有2个角度使之为共轭啮合点，即存在“二次共轭”现象^[14]。由于存在“二次共轭”，每段柔轮齿廓有2条与之对应的理论共轭齿廓，与图3中结果对应。同样，1个共轭啮合角(对应柔轮的1个共轭位置)有2个对应的弧长，即有2个柔轮齿廓上的点同时处于共轭啮合状态，即存在“双共轭”现象^[14]。“双共轭”和“二次共轭”对于谐波齿轮传动的承载力、传动精度、啮合刚度等性能的提高有很大作用^[9-13]，因此，在谐波齿轮设计中，应使得“双共轭”区间最大化，谐波齿轮传动的啮合传动性能达到最优。

1.4　刚轮齿廓设计

对于谐波齿轮刚轮齿廓的设计，为保证刚轮和柔轮的共轭运动，谐波齿轮的刚轮齿廓是在柔轮理论共轭齿廓的基础上进行设计。为了避免谐波齿轮传动中发生齿廓干涉，用于设计刚轮齿廓的柔轮共轭齿廓，应根据各共轭齿廓在坐标系中的相对位置，选择最外层的柔轮共轭齿廓^[11-13]，以保证谐波齿轮良好的啮合传动特性。

本文采用圆弧拟合和几何计算相结合的方法设计求解刚轮齿廓。先根据各柔轮共轭齿廓在坐标系内的相对位置关系，选择最外层的柔轮共轭齿廓曲线，然后对选出的共轭齿廓进行圆弧拟合，并求解出各柔轮共轭齿廓在坐标系S₁(X₁,O₁,Y₁)中的齿廓方程和几何参数，最后应用三段圆弧的几何关系，对曲线进行修正，从而得到光滑的三圆弧曲线刚轮齿廓曲线。以1.3节中柔轮齿廓为例，求解其刚轮齿廓，具体如下。

首先，根据图3中各柔轮共轭齿廓的在坐标系中的位置关系，选取最外侧的共轭齿廓，和进行刚轮齿廓求解；其次，对选取的共轭齿廓用“最小二乘法”进行圆弧拟合，求得各段圆弧的圆心坐标以及半径，和；然后，为避免传动过程中发生齿廓干涉，需对求得的各圆弧的半径进行单侧调整^[11]，使得所有的柔轮理论共轭啮合点在刚轮齿廓内侧，具体方法为增大r₁和r₂，减小r₃，调整量为各理论共轭点到拟合圆弧的距离的最大值，从而得到新的圆弧半径，和；最后，根据各圆弧之间的几何关系，由下式重新确定中间段圆弧的圆心坐标：

(16)

由此得到的中间段圆弧与圆弧和一定相切，刚轮齿廓曲线为1条光滑的曲线，二阶连续，如图5所示。为检测在传动过程中柔轮和刚轮是否发生齿廓干涉，以波发生器转角为变量，求解出各转角下对应的柔轮齿廓，以此模拟柔轮相对于刚轮的运动轨迹，结果如图6所示。

由图5和图6可以看出：所设计的刚轮齿廓为1条连续的光滑曲线，且刚轮齿廓与柔轮共轭齿廓，和基本重合，保证了刚轮和柔轮的共轭运动特性，而且在传动过程中，柔轮齿廓曲线始终位于刚轮齿廓下方，即在传动过程中不会发生齿廓干涉。

图5　三圆弧谐波齿轮刚轮齿廓

Fig. 5　Triple-circular-arc harmonic drives rigid gear profile

图6　柔轮运动轨迹

Fig. 6　Trajectory of flexible wheel

由上可知，由于各柔轮共轭齿廓的位置关系，在刚轮齿廓设计中，为了保证传动过程中不发生齿廓干涉，设计的刚轮齿廓只包含柔轮理论共轭齿廓的一部分，因而使得参与实际啮合的理论共轭点数目较少^[11]，实际的双共轭区间较小，影响了谐波齿轮的传动性能。因此，对谐波齿轮的齿形和齿廓参数进行设计优化，使有效理论共轭点数目增加，增加双共轭区间，从而提高谐波齿轮的啮合传动特性，具有很大的工程实践价值和意义^[9-13]。

2 柔轮齿廓参数优化设计

柔轮的齿廓参数对于柔轮共轭齿廓有很大的影响，当齿廓参数变化时，柔轮的凸圆弧共轭齿廓以及凹圆弧共轭齿廓的距离和相对位置都会发生变化。当两共轭齿廓的相对位置变化后，用于刚轮齿廓设计的柔轮共轭齿廓也随之发生改变，进而影响谐波齿轮传动的双共轭区间和谐波齿轮传动的啮合传动性能^[11-15]。

2.1　柔轮齿廓参数对共轭齿轮影响

为研究谐波齿轮各柔轮齿廓参数对于共轭齿廓的影响，分别以齿形参数δ₁，δ₂，ρ_f和ρ_a为单一变量，分析柔轮共轭齿廓和的相对位置随齿形参数的变化规律，其结果如图7所示。

由图7(a)可以看出：随着柔轮齿廓参数δ₁的增大，共轭齿廓在坐标系中的位置不发生变化，而共轭齿廓的位置则由共轭齿廓的上方变为下方，与共轭齿廓之间的距离先变小再变大；在δ₁=12.5°时，柔轮共轭齿廓和之间的距离最小。根据刚轮齿廓设计的原则，为了避免传动过程中的齿廓干涉，当δ₁<12.5°时，在的上方，此时，用于刚轮齿廓设计的共轭齿廓为；而当δ₁>12.5°时，在的下方，此时，用于刚轮齿廓设计的共轭齿廓为。

齿廓参数δ₂和ρ_f对柔轮共轭齿廓的影响规律如图7(b)和图7(c)所示。从图7(b)和图7(c)可见：随参数的变化，柔轮共轭齿廓和在坐标系中的相对位置和距离误差的变化趋势与齿廓参数δ₁的影响规律类似；在δ₂=11.4°和ρ_f=0.55 mm时，柔轮共轭齿廓和之间距离最小。

图7(d)所示为柔轮齿廓参数ρ_a对共轭齿廓和的影响规律。从图7(d)可以看出：与其他齿廓参数略有不同，随着参数ρ_a变化，柔轮共轭齿廓和在坐标系中的位置都随之发生改变，但和之间的相对位置以及距离的影响规律与其他齿廓参数的相似，当ρ_a=0.65 mm时，共轭齿廓和之间距离最小。

根据图7所示结果，柔轮各齿形参数δ₁，δ₂，ρ_a和ρ_f对共轭齿廓和的相对位置以及相对距离都有影响，在设计过程中，应根据具体的齿廓参数，确定各柔轮共轭齿廓在坐标系中的位置，选择合适的共轭齿廓，以保证谐波齿轮的啮合传动性能。由图7还可看出：通过参数调整，可使得共轭齿廓和之间距离减小甚至使得两共轭齿廓重合，此时，刚轮齿廓所包含的柔轮理论共轭齿廓数目增加，实际共轭啮合点数目增多，双共轭区间增大；同时，参与啮合的啮合点数目增加，谐波齿轮的啮合传动性能提高^[11-15]。

结合图3中柔轮共轭齿廓曲线分布可以得出：当刚轮齿廓和柔轮共轭齿廓，，，和重合时，刚轮齿廓所包含的柔轮理论共轭啮合点最多，双共轭区间最大，谐波齿轮的啮合传动性能最优。本文以减小柔轮共轭齿廓与刚轮齿廓之间的差异，增加有效理论共轭点数为目标，建立目标函数，对三圆弧谐波齿轮齿廓参数进行优化，以增加双共轭区间，提高谐波齿轮的啮合传动性能。

图7　柔轮齿廓参数对共轭齿廓的影响

Fig. 7　Influence of flexspline tooth profile parameters on conjugate profile

2.2　目标函数与变量确定

由1.2节中的方法求解柔轮共轭齿廓，运用数值离散的思想方法，则共轭齿廓方程可表示为

(17)

根据1.4节的刚轮齿廓求解方法，求解出刚轮齿廓方程，则各柔轮共轭齿廓与刚轮齿廓之间的差异可表征为

(18)

由于共轭齿廓函数主要与柔轮齿形参数凹圆弧半径ρ_f、凸圆弧半径ρ_a、圆弧公切线倾角δ₁和δ₂相关，所以，函数又可表示为

(19)

以T(δ₁,δ₂,ρ_f,ρ_a)为目标函数，柔轮齿形参数δ₁，δ₂，ρ_f和ρ_a为变量，当目标函数T(δ₁,δ₂,ρ_f,ρ_a)达到最小值T_min时，各柔轮共轭齿廓和刚轮齿廓的误差最小，刚轮齿廓所包含的参与实际啮合运动的有效理论共轭啮合点数目最多，双共轭区间最大。

2.3　优化分析

2.3.1　单变量分析　

为确定各柔轮齿廓参数对目标函数的影响，采用单一变量分析方法，分别取柔轮的齿形参数δ₁，δ₂，ρ_f和ρ_a作为单一变量(其余参数按表1取值)，求解单一变量对应的目标函数，分析柔轮共轭齿廓，，，和与刚轮齿廓之间距离均值(分别记为，，，和)以及距离均值之和(记为D_T)随齿廓参数的变化规律，如图8所示。

由图8(a)可得：随着δ₁的增大，变化很小，其值小于0.09 μm。在δ₁小于12.55°时，随δ₁的增大而减小，当δ₁大于12.55°时，趋于不变，且在δ₁等于12.55°处取得最小值=0.183 μm。在δ₁=12.55°处取得最小值0.129 μm，当δ₁<12.55°时，趋于不变，而当δ₁>12.55°时，随δ₁的增大而增大。，和D_T都随着δ₁增大而先减小后增大的变化趋势，均在δ₁=12.55°时取得最小值，D_Tmin=1.54 μm；=5.61 μm；=4.21 μm。且，和D_T在δ₁=12.55°处有突变，结合图7(a)中齿廓参数δ₁对共轭齿廓影响可知：突变是由于柔轮共轭齿廓位置的改变，用于刚轮齿廓设计的共轭齿廓发生改变，当δ₁<12.55°时，柔轮共轭齿廓在的下方，用于刚轮齿廓设计的柔轮齿廓为，而当δ₁大于12.55°时，柔轮共轭齿廓在的上方，用于刚轮齿廓设计的柔轮齿廓为，且根据图7(a)，当δ₁在12.5°附近时，两共轭齿廓和之间差距最小，这一规律也与图8(a)中目标函数在δ₁=12.55°处取得最小值的结果对应一致。

目标函数T(δ₂)，T(ρ_f)和T(ρ_a)的结果分别如图8(b)，8(c)和8(d)所示，变化规律与图8(a)中T(δ₁)的类似，分析结果与图7中齿廓参数对共轭齿廓的影响结果相对应一致。

图7和图8的分析结果相对应，证明目标函数很好地量化表征刚轮齿廓和柔轮共轭齿廓差异。由图8可以得出：通过齿廓参数的调整，可以减小柔轮理论共轭齿廓，，，和与刚轮齿廓之间距离，使得刚轮齿廓包含柔轮理论共轭齿廓增加，参与实际啮合的有效理论共轭啮合点数目增加，双共轭区间增大。但由于目标函数与齿廓参数δ₁，δ₂，ρ_f和ρ_a都相关，为多变量函数，因此，有必要对目标函数T(δ₁，δ₂，ρ_f，ρ_a)进行多参数优化，以获得更符合实际状况的最优齿廓。

图8　单变量优化函数T

Fig. 8　Single independent variable optimization function T

2.3.2　多变量优化　

在多变量优化计算中，随着优化参数增加，计算量将呈指数增加。为减少计算量，提高优化效率，将优化过程分为2个阶次进行：初步优化和二次优化。经初步优化后，根据优化计算结果，缩小优化区间，重新确定离散值，进一步优化。

1) 初步优化。根据图8中的分析结果，分别对变量δ₁，δ₂，ρ_f和ρ_a在区间δ₁∈[12.2°,13.2°]，δ₁∈[11.0°,12.02°]，ρ_f∈[0.5,0.6]和ρ_a∈[0.55,0.65]内取5组离散值，计算各组参数(共5⁴组)对应的目标函数，求最优解T(δ₁，δ₂，ρ_f，ρ_a)_min。

2) 二次优化。根据初次优化的结果，重新确定优化区间，各参数在新区间内再取5个离散值，再次计算各组参数(共5⁴组)对应的目标函数，求出二次优化的最优解。

二次优化方法较于单次优化方法，计算量大幅减小，计算次数减少2.3×10⁴次，是单次优化计算的。

根据计算结果，当T(ρ_f，ρ_a，δ₁，δ₂)=T(0.536，0.625，12.25°，11.22°)时，柔轮共轭齿廓和刚轮齿廓的总距离D_T取得最小值，D_Tmin=0.996 55 μm；柔轮各共轭齿廓和刚轮齿廓的差异为=0.067 25 μm；=0.150 78 μm；=0.198 23 μm；=0.241 39 μm；=0.338 89 μm。

在二次优化的最优参数下，刚轮齿廓和柔轮共轭齿廓的误差最大值为

误差均值为

根据计算结果，在最优齿廓参数下，各柔轮共轭齿廓，，，和与刚轮齿廓的误差均小于1.0 μm，在实际工程中，在这种精度下，视为柔轮共轭齿廓，，，和与刚轮齿廓基本重合，实现双共轭区间最大化。优化前后的共轭区间对比如图9所示，具体变化量如表2所示。

图9　优化前后共轭区间对比

Fig. 9　Comparison of conjugate intervals before and after optimization

表2　优化前后共轭区间对比

Table 2　Comparison of conjugate intervals before and after optimization

由图9可以得出：优化后的齿廓参数所对应的谐波齿轮，参与实际啮合的柔轮共轭齿廓增加了和，共轭Ⅰ区的共轭区间大幅增加，增大64.128%，共轭Ⅱ区的共轭区间增大8.21%，则总的双共轭区间在原来的基础上增大17.327%，而啮合空白区间减小60.41%，由此可见，此优化方法可有效增大谐波齿轮的双共轭区间增大，减小啮合空白区间，使得谐波齿轮的承载能力、传动精度、传动平稳性等进一步提高。

3 结论

1) 运用数值离散的思想求解出刚轮齿廓方程，结合改进的运动学法，求解了谐波齿轮传动的啮合不变矩阵和柔轮共轭齿廓，并在柔轮共轭齿廓的基础上，结合圆弧拟合和几何计算的思想方法，求解出谐波齿轮的刚轮齿廓，所求得的刚轮齿廓为光滑的曲线，且在传动过程中不会发生齿廓干涉。

2) 以增加双共轭区间为目标，对柔轮齿廓参数进行了单变量和多变量的优化分析，经过参数优化，双共轭区间增大17.327%，且啮合空白区间减小60.41%。实际参与啮合传动的柔轮共轭数目增加，有效共轭啮合点增多，使双共轭区间最大化，谐波齿轮的承载能力、传动精度、传动平稳性等进一步提高。

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（编辑 杨幼平）

收稿日期： 2019 -08 -27; 修回日期： 2019 -09 -10

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51875373)；中国博士后科学基金资助项目(2018M643469，2019T120836)；四川省科技计划项目(2019YJ0093) (Project(51875373) supported by the National Natural Science Foundation of China; Projects(2018M643469, 2019T120836) supported by Postdoctoral Science Foundation of China; Project(2019YJ0093) supported by the Science and Technology Foundation of Sichuan Province)

通信作者：杨勇，博士，工程师，从事机械传动摩擦与可靠性研究；E-mail：y.yang53@foxmail.com