DOI： 10.11817/j.issn.1672-7207.2020.01.016

基于Hoek-Brown破坏准则的岩溶区圆形基础下伏孔洞冲切破坏上限分析

李亮¹,曾中林¹,王志斌²,李韬宇¹

（1. 中南大学 土木工程学院，湖南 长沙，410075；

2. 湖南科技大学 土木工程学院，湖南 湘潭，411201）

摘要:基于Hoek-Brown (H-B)破坏准则及相关联流动法则，构建圆形刚性基础下伏孔洞的轴对称冲切破坏机制；根据极限分析上限定理，计算冲切破坏机制的内能耗散功率和外力功率；利用变分原理，推导出冲切破坏曲面在x-z平面上投影函数的一阶导数，利用差分原理迭代出满足边界条件的破坏曲线，进一步得到在自由冲切和非自由冲切条件下的圆形基础极限承载力；并分析了岩体单一参数变化时，圆形刚性基础极限承载力的变化趋势和破坏模式。研究结果表明：材料参数B对圆形基础的极限承载力的影响较为显著。随着材料参数B的增大，圆形基础极限承载力不断减小，且趋势趋于平缓。

关键词:岩溶顶板稳定性；冲切极限承载力；变分法；差分原理；极限分析；Hoek-Brown破坏准则

中图分类号:TU473.1          文献标志码:A

文章编号:1672-7207（2020）01-0134-11

Upper bound punching failure analysis of circular foundation overlying a cave in Karst area based on the Hoek-Brown failure criterion

LI　Liang¹, ZENG　Zhonglin¹, WANG　Zhibin², LI　Taoyu¹

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China；

2. School of Civil Engineering, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China)

Abstract: Considering the rigid circular foundation overlying a cave, the punching failure mechanism of overlying surrounding rocks was constructed based on the Hoek-Brown failure criterion and an associated flow rule. In the framework of the upper bound theorem of limit analysis, the work rate of internal energy dissipation and the power of external forces of the punching failure mechanism were calculated, and the first derivative of the failure surface function projected in the x-z plane was deduced through the variation method. The failure surface satisfied boundary conditions was obtained by the difference theorem. Further, the ultimate bearing capacity (UBC) of circular foundations under free punching and non-free punching conditions was calculated. And the UBC and failure mechanism trends of the rigid circular foundation were analyzed with a single parameter changing. The results show that the material parameter B has a great effect on the UBC, which decreases constantly with the increases of B, and the trend becomes gentler.

Key words: stability of cave roof; ultimate punching bearing capacity; variation method; difference theorem; limit analysis; Hoek-Brown failure criterion

我国幅员辽阔，岩溶地质分布十分广泛。工程上在进行地勘资料的获取时可能存在误差，导致在岩溶地区的选址不适，特别是对桥梁桩基的选址尤为关键，造成桩基承载能力不足。在岩溶发育的地区建设重要性工程，要求桩基的承载力很高，若桩基承载力不足，则会发生桩基破坏。目前，国内外学者对岩溶区桩基的破坏进行了很多研究，其中WYLLIE ^[1]在研究上硬下软的双层地基破坏模式时，通过大规模的荷载试验证明，虽然在理论上岩石的最大主应力已超过其抗拉强度，但仍未发生张拉破坏，由此表明岩层很少出现弯曲、皱曲破坏，而是以冲切破坏最为常见；张慧乐等^[2]通过对多组岩溶区嵌岩桩的破坏试验观察发现：当溶洞顶板较薄、桩端岩层完整时，溶洞顶板易发生冲切破坏。赵明华等^[3-4]也认为桩端下伏岩溶顶板破坏时主要以冲切破坏、剪切破坏以及弯拉破坏为主，并引入Griffith岩石非线性强度准则，对桩端下伏岩溶顶板冲切破坏进行了详细研究，提出了冲切破坏模式下岩溶顶板安全厚度计算方法。以上研究表明，当岩溶顶板承受局部荷载时以冲切破坏为主。目前，对岩溶区桩基抗冲切破坏模式的研究大都参照研究较成熟的钢筋混凝土板、屋梁楼盖以及桩基承台等在局部荷载作用下的破坏模式，并假设冲切破坏分离面是简单的圆锥台面，破坏分离面上的剪应力和法向应力均匀分布^[3-4]。由于岩土体材料的非线性特性，材料破坏面上应力分布不均，破坏面并非直线，因此该假设与实际存在较大的误差，不能正确反映桩端岩层在桩端均布荷载作用下的真实的受力状态。理论及试验研究表明，板在局部荷载作用下受冲切破坏时，其破坏面上应力分布规律与破坏面裂缝的宽度和深度有关^[5]，因此，冲切破坏面并非理想的圆锥台面，而是以一抛物线为母线形成的旋转体^[6-9]。近年来，国内外专家学者针对岩溶桩基进行了大量卓有成效的研究。李炳行等^[10]将岩溶顶板按不同地质条件简化为梁板模型进行了详细的分析，并认为岩溶区桩基的突出问题不是桩基承载力，而是桩端岩体的稳定性。JIANG等^[11]以板壳理论为基础，计算了岩溶顶板稳定性力学模型，得出了当顶板边缘为简支时，桩端顶板安全厚度的理论计算公式。贺建清等^[12]基于塑性力学极限分析的上限定理，提出了楔形体的平动破坏机理。在此基础上，得到了喀斯特地区桩端极限承载力上限解和桩端顶板安全厚度的计算公式。黎斌等^[13]基于三维有限单元法采用Griffith强度准则对岩溶区桩端岩层进行应力分析计算，并采用多元线性回归的方法求得了顶板安全厚度的临界值与溶洞大小和单桩设计荷载之间的关系式。GAO等^[14]基于有限元法分析了岩溶桩基在荷载作用下的极限承载力，利用最小二乘法得到了极限承载力与影响因素之间的相关关系，并提出了极限承载力的变化规律。雷勇等^[15]基于极限分析原理提出了2种确定岩溶顶板极限承载力的方法，并对溶洞顶板的极限承载力进行了室内模型试验，得到了破坏模式和相应的极限承载力。针对目前对岩溶区基础下伏孔洞冲切破坏模式研究中存在的不足，本文作者采用极限分析上限法，并基于Hoek-Brown破坏准则，构建圆形基础下伏孔洞顶板冲切破坏机制，根据虚功率原理得到极限承载力的表达式，结合变分原理，得到破坏面曲线函数的一阶导数，分别讨论自由冲切和非自由冲切2种破坏模式，利用差分法结合边界条件得到破坏面，从而得到冲切极限承载力，其研究结果可为岩溶区圆形基础设计提供依据。

1 基本理论

1.1　极限分析上限定理

极限分析上限定理认为：在一个假设的满足速度边界条件和应变与速度相容条件的机动许可速度场中，由如下虚功率方程所确定的荷载大于或等于真实的极限荷载。

(1)

式中：σ_ij^*和ε_ij^*分别为机动许可速度场中的应力和应变率；T_i和X_i分别为作用在研究目标上的面力和体力；v_i为机动许可速度场中的速度矢量；S和V分别为荷载作用表面的面积和研究目标的体积。

在假设的机动许可的速度场所确定的荷载作用下，研究目标已经发生破坏，此时确定的荷载必定大于或等于真实荷载，也就是极限荷载的上限值。

1.2　Hoek-Brown非线性破坏准则

Hoek-Brown破坏准则能够有效全面、具体地描述岩体的非线性破坏特性，能够更好地阐述岩体的破坏规律^[16]。Hoek-Brown破坏准则可以用最大主应力和最小主应力表示为^[17]

(2)

式中：σ₁为最大有效主应力；σ₃为最小有效主应力，σ_ci为岩体单轴抗压强度；m_b，s和a为量纲一的参数。

另外，Hoek-Brown破坏准则也可由法向应力和切向应力表达^[18]：

(3)

式中：σ_n为正应力；τ为切应力；A和B均为材料参数；σ_ci为岩石单轴抗压强度；σ_tm为岩石抗拉强度。

2 冲切极限承载力上限分析

2.1　计算假定

为求得岩溶区圆形刚性基础下伏孔洞顶板冲切破坏时的极限承载力，必须先假定一种冲切破坏机制。根据极限分析上限定理，对于任意假定的冲切破坏机制，其速度场必须满足机动容许的要求，即满足如下条件：1) 速度边界条件；2) 几何相容条件；3) 相关联流动法则。研究表明^[6-9]：板在局部荷载作用下，冲切破坏体是以某一曲线为母线的轴对称旋转体。此时，将岩体视为理想的弹塑性体，且忽略其几何变形，根据极限分析上限定理和冲切破坏体自身的特点，构建如图1所示的冲切破坏机制，并作如下假定：

1) 岩体为理想的刚塑性介质，并服从Hoek-Brown破坏准则。

2) 在半无限空间内，圆形刚性基础冲切破坏时呈三维轴对称破坏。

3) 冲切破坏过程中岩体与刚性基础之间无相对滑动。

2.2　冲切极限承载力变分分析

2.2.1　冲切三维破坏机制　

根据以上假定，构造圆形刚性基础极限状态下对应的三维曲线型破坏机制，如图1所示。三维轴对称破坏曲面的母线方程设为f(x)，圆形刚性基础直径为2d，下覆岩层厚度为H，孔洞半宽为L_v，下伏孔洞围压为q，基础承载力为P_u。

图1　圆形刚性基础下伏孔洞顶板冲切破坏机制

Fig. 1　Punching failure mechanism of a rigid circular foundation with an underlying chamber

2.2.2　冲切极限承载力上限计算　

当圆形刚性基础下伏孔洞顶板冲切破坏时，在机动许可的速度场中，可分为内能耗散功率和外力功率，且内能耗散功率只发生在速度间断面上。三维冲切破坏时速度间断面上任意一点的内能耗散功率可以由切向应力和法向应力各自产生的耗散功率迭加得到^[19-21]。

(4)

故冲切破坏时速度间断面上剪切耗散功率为

(5)

外力功率可分为重力功率、围压功率以及承载力功率。其中，冲切破坏时岩体重力的功率为

(6)

假设孔洞密闭存在围压，孔洞顶面为理想平面，且受到均匀压力的作用，破坏时孔洞围压的功率为

(7)

圆形刚性基础极限承载力功率为

(8)

根据虚功率原理建立平衡方程，内能耗散功率等于外力功率。

(9)

将式(5)~(8)代入式(9)可得承载力P_u的表达式为

(10)

令

(11)

显然，极限承载力P_u是Ψ的简单积分型泛函，通过变分运算可以将这一泛函的极值问题转化为求解欧拉方程在满足边界条件下的定解问题。Ψ对应的欧拉方程为

(12)

将式(11)代入式(12)中计算可得：

(13)

其中：

(14)

式中：c为积分常数，可由边界条件确定。

2.2.3　非自由冲切　

当冲切破坏时其破坏宽度大于孔洞半径时，冲切受到孔洞宽度的限制，表现为非自由冲切。可由如下边界条件确定：

(15)

式中：L为岩层破坏宽度，冲切受限时为孔洞半径，即L=L_v。

2.2.4　自由冲切　

当冲切破坏宽度小于孔洞半径时，即L=L_v，冲切不受孔洞宽度的限制，表现为自由冲切。此时L未知，根据式(15)还不能求解未知系数。

由于刚性基础受冲切时呈三维对称破坏，故刚性基础底面切应力为0 kPa，底面切应力又可由破坏曲线上的法向应力和切向应力表达：

(16)

其中：

   (17)

根据应力边界条件可得：

(18)

故有：

(19)

2.3　差分原理

由式(13)可知：只有当(1-B)/B是整数时，才能得到f(x)的精确表达式，进而可以得到圆形基础承载力P_u的表达式；当其不是整数时，无法求得其原函数，但可根据差分原理并结合边界条件分层迭代得到f(x)的函数形状，同理，也可得到在固定参数下极限承载力P_u。

为获求任意参数条件下圆形刚性基础冲切极限承载力，以下利用差分法原理进行冲切破裂面曲线函数f(x)数值求解，基本原理如图2所示。

图2　差分法原理图

Fig. 2　Schematic diagram of difference method

根据差分法的基本概念：

(20)

于是可得每点的函数值：

    (21)

同理，采用上述差分定理，给定式中参数d，γ，σ_ci，A和B，可得破坏曲线上任一点的导数和函数。在x方向将P_u的表达式(10)离散化，可得每一微段直线对应的薄层体极限承载力P_u(i)：

(22)

将全部的薄层体极限承载力迭加，可得整个破坏机构的极限承载力P_u为

(23)

因此，利用Matlab软件平台编程求解，可得任意参数条件下圆形刚性基础下伏孔洞冲切极限承载力。

3 参数分析

3.1　自由冲切

3.1.1　极限承载力参数影响分析　

由式(10)可知：影响刚性基础下覆岩层冲切极限承载力(UBC)的因素众多，为分析自由冲切条件下不同岩体力学参数与刚性基础半径等因素对刚性基础冲切极限承载力的影响，各参数取值如表1所示，绘制参数变化下刚性基础冲切极限承载力的变化曲线，如图3所示。

表1　图3极限承载力的参数取值

Table 1　Values of these parameters for UBC in Fig. 3

由图3可知：材料参数B对圆形刚性基础下伏孔洞顶板自由冲切极限承载力的影响较为显著，且随着参数B的增大，极限承载力P_u逐渐减小，且趋势趋于平缓。随着材料参数A、岩层厚度H、刚性基础半径d、岩体单轴抗压强度σ_ci、岩体抗拉强度σ_tm以及孔洞顶部支护力q的增大，极限承载力逐渐增大，如图3(a)~(f)所示；且当岩层厚度增大到一定值时，极限承载力的增量较小，如图3(b)所示；而刚性基础半径对极限承载力影响很小，如图3(c)所示；极限承载力随洞顶支护力的增大线性增加，如图3(f)所示。由式(10)和(19)可知：洞顶支护力不影响冲切破坏宽度，因此，极限承载力与洞顶支护力成线性比例关系。当岩体重度γ增大时，极限承载力P_u反而减小，如图3(g)所示，这是因为自由冲切破坏时，岩体重力功率增大而内能耗散功率略有减小，因此，极限承载力的功率减小，即极限承载力减小。

3.1.2　破坏形状参数影响分析　

岩体参数反映岩体的物理力学性质，不同的岩体参数也会使得冲切破坏范围不同。因此，各参数取值如表2所示，分析不同参数对刚性基础下伏孔洞顶板冲切破坏曲面的影响，并绘制其三维破坏模式，如图4所示。其中，破坏图由内向外参数已从左至右排序。

图3　参数对自由冲切极限承载力的影响

Fig. 3　Effects of parameters on UBC under free punching failure

由图4可知：刚性基础下伏孔洞顶板自由冲切破坏时，其孔洞破坏宽度随材料参数A、岩层厚度H、圆形刚性基础半径d以及岩体单轴抗压强度σ_ci的增大而增大，如图4(a)~(d)所示；随材料参数B、岩体重度γ的增大反而减小，如图4(e)~(f)所示，但重度对自由冲切破坏范围影响较小。由式(19)可知：冲切破坏曲面函数不受岩体抗拉强度σ_tm和洞顶支护力q控制，故岩体抗拉强度和洞顶支护力不影响破坏模式和形态，如图4(g)~(h)所示。

表2　图4破坏机制的参数取值

Table 2　Values of these parameters for failure mechanism in Fig. 4

图4　参数对自由冲切破坏模式的影响

Fig. 4　Effects of parameters on failure mechanism under free punching failure

3.2　非自由冲切

3.2.1　极限承载力参数影响分析　

当下伏孔洞宽度较小时，此时顶板冲切破坏宽度为孔洞的最大宽度，为非自由冲切。参数取值如表3所示，分析各参数对圆形刚性基础下伏孔洞顶板非自由冲切破坏极限承载力，并绘制冲切极限承载力的变化趋势，如图5所示。

由图5可知：材料参数B对非自由冲切破坏时刚性基础极限承载力的影响显著，随着参数B的增大，极限承载力逐渐减小，且趋势趋于平缓。同时，随材料参数A、刚性基础半径d、岩体单轴抗压强度σ_ci、岩体抗拉强度σ_tm、岩层厚度H以及孔洞顶部支护力q的增大，极限承载力有所提高，如图5(a)~(f)所示；同理，非自由冲切时洞顶支护力不影响破坏宽度，因此，极限承载力随洞顶支护力增大而线性增大。岩体重度γ增大、孔洞宽度L增大时，不利于孔洞稳定性，极限承载力随之减小，如图5(g)和(h)所示；当孔洞宽度逐渐增大时，破坏机制趋于自由冲切破坏，对极限承载力的影响也逐渐减小；当孔洞宽度达到一定值时，表现为自由冲切破坏，此时，孔洞宽度不影响极限承载力。

表3　图5极限承载力的参数取值

Table 3　Values of these parameters for UBC in Fig. 5

图5　参数对非自由冲切极限承载力的影响

Fig. 5　Effects of parameters on UBC under non-free punching failure

3.2.2　破坏形状参数影响分析　

同理，非自由冲切时，岩体参数以及孔洞宽度也必然会影响冲切破坏机制，参数取值如表4所示，绘制各参数变化下圆形刚性基础下伏孔洞顶板非自由冲切破坏时的三维轴对称破坏形状，如图6所示(其中，由于图6(d)~(h)在各影响参数变化范围内对破坏模式的影响非常小，三维破坏模式的显示效果不佳，故以二维剖面示之)。

从图6可以看出：圆形刚性基础下伏孔洞顶板非自由冲切破坏时其破坏模式与自由冲切时明显不同，呈“喇叭”状。其破坏形状随圆形基础半径d、岩层厚度H以及孔洞宽度L的变化有明显变化，随刚性基础半径、岩层厚度以及孔洞宽度增大，其非自由冲切破坏范围增大，如图6(a)~(c)所示；破坏形状在材料参数A、重度γ、岩石单轴抗压强度σ_ci、单轴抗拉强度σ_tm、洞顶支护力q变化下无明显影响。

图6　参数对非自由冲切破坏模式的影响

Fig. 6　Effects of parameters on failure mechanism under non-free punching failure

4 结论

1) 材料参数B对圆形刚性基础下伏孔洞顶板冲切极限承载力的影响较为显著，且随着参数B的增大，极限承载力P_u逐渐减小，且减小趋势趋于平缓。随着材料参数A、岩体单轴抗压强度σ_ci、岩体抗拉强度σ_tm、岩层厚度H以及孔洞顶部支护力q的增大，极限承载力P_u逐渐增大。当岩体重度γ增大时，极限承载力P_u反而减小。

2) 圆形刚性基础下伏孔洞顶板非自由冲切破坏时其破坏模式与自由冲切时明显不同。自由冲切破坏时，其破坏曲面呈外凸型，孔洞破坏宽度随材料参数A、圆形刚性基础半径d、岩体单轴抗压强度σ_ci以及岩层厚度H的增大而增大，随岩体重度γ、材料参数B的增大反而减小，而岩体抗拉强度σ_tm和洞顶支护力q对破坏宽度没有影响。非自由冲切破坏时，其破坏曲面呈内凹型，冲切破坏范围随基础半径d、岩石厚度H以及孔洞半径L_v的增大而增大，冲切破坏面与岩石体质量参数基本无关。

表4　图6破坏机制的参数取值

Table 4　Values of these parameters for failure mechanism in Fig. 6

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（编辑 杨幼平）

收稿日期： 2019 -01 -12; 修回日期： 2019 -03 -28

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51478477)(Project(51478477) supported by the National Natural Science Foundation of China)

通信作者：曾中林，博士，从事道路与铁道工程研究；E-mail：29805379@qq.com