模型及参数不确定下钢筋锈蚀率动态演进分析

张建仁^{1, 2}，马亚飞^{1, 2}，王磊^{1, 2}

(1. 长沙理工大学 桥梁工程湖南省高校重点实验室，湖南 长沙，410114;

2. 长沙理工大学 土木与建筑学院，湖南 长沙，410114)

摘要：为合理预测钢筋锈蚀状况，综合考虑均匀锈蚀、局部锈蚀及其影响因素的不确定性，提出钢筋锈蚀率动态演进分析方法。该方法以Bayes理论为基础，利用桥梁检测数据，来实现锈蚀率物理模型选择及其参数的更新；结合一座既有实桥，分析锈蚀率的时变规律，并对理论结果进行实验验证。研究结果表明：模型的不确定性对预测结果的影响不容忽视；基于检测数据的信息更新可使预测结果更接近实际，检测数据越多、更新频率越高，对提高预测准确度越有利；在桥梁管理过程中，应注重检测数据积累和养护管理系统的完善。

关键词：混凝土桥梁；钢筋锈蚀；锈蚀形态；不确定性；信息更新

中图分类号：U447          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2014)02-0542-08

Dynamic evolution analysis of reinforcement corrosion loss under model and parameters uncertainty

Zhang Jianren^{1, 2}, MA Yafei^{1, 2}, Wang Lei^{1, 2}

(1. Hunan Province University Key Laboratory of Bridge Engineering,

Changsha University of Science & Technology, Changsha 410114, China;

2. School of Civil & Architecture Engineering, Changsha University of Science & Technology, Changsha 410114, China)

Abstract: Considering uncertainty of general corrosion, pitting corrosion and its influential factors, the dynamic evolution procedure of reinforcement corrosion loss was proposed to predict the steel corrosion conditions. The proposed method was based on the Bayes theory, and model selection and model parameters of corrosion loss were updated by using observed data. The reinforcement corrosion loss analysis of three beams demolished from an old concrete bridge was used to demonstrate and validate the overall procedure. The results show that the effect of model uncertainty on the prediction can not be ignored. Information updating method can efficiently reduce the effect of uncertainty, which makes the predictions close to the actual situation. The more the inspection information, the more frequently updating, the more accurate the outcome is. In practice, the accumulation of inspection information and the improvement of bridge management system should be emphasized.

Key words: concrete bridge; reinforcement corrosion; corrosion type; uncertainty; information updating

钢筋锈蚀会造成截面积减少、性能改变，严重时将导致混凝土顺筋开裂，是导致混凝土桥梁可靠性下降和耐久性退化的主要原因之一^[1]。钢筋锈蚀量预测是既有钢筋混凝土桥梁性能评估的前提，已成为服役混凝土桥梁耐久性研究的关键问题之一。混凝土桥梁中的钢筋锈蚀是一个电化学过程，锈蚀时间与速率决定锈蚀量。目前，引起钢筋锈蚀的自然环境和材料内部等因素尚未完全被认知，一些学者基于半经验、半理论的方法，以锈蚀钢筋的质量或截面积损失率表征其锈蚀程度，提出了钢筋锈蚀率的预测模型^[2-3]。姬永生等^[4-6]对腐蚀速率的时变规律及预测模型进行了相关研究。Val等^[7]提出了考虑氯离子扩散理论模型和临界氯离子浓度等影响因素的钢筋锈蚀初始时间评估方法。这些模型尚未考虑不确定性的影响，各公式也存在局限性。袁迎曙等^[8]提出了钢筋锈胀开裂前、后的钢筋锈蚀量分布模型表达式。宋志刚等^[9]通过锈蚀路径概率模型，研究了不同时刻锈蚀率概率分布函数的时变过程。从概率角度建立锈蚀模型在一定程度上弥补了检测手段难以获得完备信息的缺陷。王磊等^[10]考虑模糊性和随机性因素影响，模拟了钢筋截面积均值和标准差时变特征。上述研究均假设钢筋锈蚀为一特定形态，但实际桥梁结构中影响钢筋锈蚀因素复杂且多变，钢筋锈蚀形态可能发生改变。服役桥梁的实测数据是结构后继服役期锈蚀率预测的最真实信息。但有时数据样本少、不确定性大，若能把有限的实测信息与先验信息结合起来，将有助于减小主观不确定性的影响。信息更新为解决该类问题提供了有效手段，近年来在一些领域得到了应用。Enright等^[11]对结构体系更新前后的累积失效概率进行了分析，讨论了不同先验分布对结果的影响。Zhang等^[12]通过无损检测获得了裂缝宽度的信息，对疲劳可靠度计算模型的选择权重进行了更新。张俊芝等^[13]研究了服役结构抗力影响因子概率特性的Bayes方法。卫军等^[14]采用实测信息对抗力分布参数等进行了更新。刘书奎等^[15]提出了桥梁结构基于贝叶斯更新物理参数的剩余强度估计两步法。目前对钢筋锈蚀量预测尚无普适性很好的模型，结合实测数据对既有模型和参数进行动态更新是一种较好的方法。本文作者针对氯离子腐蚀环境，以一座具有检测信息的拆除的服役钢筋混凝土桥梁为工程背景，考虑钢筋锈蚀形态发生的可能性，采用信息更新的方法，建立了既有RC桥梁中钢筋锈蚀率的演进分析框架，通过与拆除构件中钢筋实测锈蚀率进行对比，验证了该方法的有效性。

1  混凝土桥梁中钢筋锈蚀

1.1  钢筋锈蚀初始条件

氯离子侵蚀环境下的钢筋混凝土桥梁，当钢筋表面氯离子浓度达到临界浓度时钢筋开始锈蚀，对应的时间为锈蚀初始时间。氯离子在混凝土中扩散符合Fick第二扩散定律，锈蚀初始时间T_i可表达为^[7]：

         (1)

式中：D_c为扩散系数；C₀为混凝土表面氯离子质量分数；erf为误差函数；C为保护层厚度(cm)；C_cr为临界氯离子质量分数。

1.2  锈蚀发展

钢筋锈蚀开始后，表面锈层逐渐发展。根据钢筋表面形态，锈蚀可分为均匀锈蚀和局部锈蚀，或两者的叠加。在锈蚀发展时间t-T_i内，钢筋锈蚀率ρ可表达为

              (2)

式中：A_s为钢筋原始截面积；ΔA_s为锈蚀截面损失，需按不同锈蚀形态进行计算。

1.2.1  均匀锈蚀

均匀锈蚀中，钢筋的直径D(t)可用下式计算^[16]：

       (3)

即：

    (4)

于是，均匀锈蚀的钢筋截面积A(t)为

               (5)

1.2.2  局部锈蚀

随锈蚀的发展，其不均匀性和离散性逐渐增大，锈损钢筋的表面凹凸不平，形成很多锈坑。局部锈蚀下锈坑近似呈半球形，钢筋表面锈坑深度p(t)可由下式计算^[17]：

         (6)

式中：R为锈蚀不均匀系数，通常在4~8之间取值。

锈蚀电流密度i_corr(t)^[18]为

    (7)

           (8)

式中：i_corr为锈蚀电流密度，μA/cm²；w/c为水灰比；f_c为混凝土抗压强度。联立上述方程，得

    (9)

在锈坑深度已求得的情况下，钢筋剩余面积计算参见文献[6]。

1.2.3  不同锈蚀形态下钢筋截面积减小

现有研究^{[10, 17-18]}多假设局部锈蚀和均匀锈蚀2种形态分别发生，然而这仅是理想状况。实际工程中，由于材料的不均匀性和环境的不确定性，上述2种锈蚀分别发生的概率较小，多为同时发生，如图1所示。

图1  钢筋锈蚀

Fig. 1  Corrosion loss of reinforcement

2种锈蚀形态发生的可能性或比例决定钢筋锈蚀率预测结果。为合理解决该问题，通过权重综合考虑局部锈蚀与均匀锈蚀发生的可能性，锈蚀率表达式为

           (10)

式中：ρ₁和ρ₂分别为局部锈蚀与均匀锈蚀下的锈蚀率；P(M₁)和P(M₂)分别为局部锈蚀与均匀锈蚀发生的概率，即2种形态下模型权重。

2种锈蚀形态发生概率及模型物理参数需结合实桥检测数据，基于信息更新的方法确定。

2  锈蚀模型选择及参数更新基本原理

锈蚀的不确定性有2层含义：锈蚀自身的随机性和认知不完善导致的不确定性。前者主要为模型参数的不确定性，环境的差异导致参数有时不能直接获得，需根据经验假定，存在一定主观性。后者主要涉及模型的选择，锈蚀问题复杂且锈蚀形态也有不同特点，选择哪一种计算模型难以确定。Bayes方法将实测数据和先验信息融入到统计推断中，进而更新模型参数和模型选择，提高锈蚀预测精度。

对于桥梁中钢筋锈蚀的某一影响因子Θ，无实测值时该因子的先验分布为π(θ)，若该因子有实测值x样本，其似然函数(条件密度函数)为p(x\θ)，则Θ的后验分布密度函数为π(θ\x)为

         (11)

若θ为离散随机变量，则先验分布可用先验分布列π(θ_i)，i=1，2，3，…表示，此时后验分布也是离散形式：

    (12)

上述理论可有效地对模型参数进行更新，而实际中往往存在多种模型可能适用的情况，这同样可以通过Bayes理论得到解决。

对于混凝土桥梁，假设描述锈蚀率ρ的模型为M，模型M有m种选择：{M₁，M₂，M₃，…，M_m}，每种选择模型M_i中参数的随机变量θ_i=[θ_i1，θ_i2，…，θ_in]^T，则锈蚀率的边际分布为^[12]：

  (13)

式中，P(M_i)为锈蚀模型M_i的概率分布，即发生的权重；π(θ_i\x_i)为模型M_i参数的先验分布；P(ρ\θ_i，M_i)为在模型M_i下发生的条件概率。

若P(K_i)为模型与参数(M_i，θ_i)组合的先验概率：

         (14)

某时刻锈蚀率的观测值为x，模型与参数(M_i, θ_i)组合的后验概率：

   (15)

通过对式(8)进行积分，可得到模型M_i的后验概率为：

(16)

通过上述过程中式(11)~(12)可实现对影响参数的更新，而依据式(13)~(16)可得到模型的更新结果。

3  锈蚀率预测方法及流程

本文将桥梁服役期锈蚀率预测分为2个过程：首先，利用Bayes方法将参数检测数据对模型参数进行更新；然后，基于参数更新后的结果，融入锈蚀率实测信息，进一步获得锈蚀模型权重，得到锈蚀率的后验模型，进而对锈蚀率进行预测。具体步骤如下：

(1) 视氯盐环境下影响钢筋锈蚀各随机参数为θ_i，i=1，2，3，…，根据参数的初始资料(如设计图纸等)，确定θ_i的先验分布π(θ_i)，i=1，2，3，…。

(2) 根据钢筋锈蚀形态发生的可能性，选择采用式(3)或式(6)，通过式(1)获得锈蚀初始时间的概率密度函数，同时由式(7)考虑不同时段的锈蚀电流密度，采用Monte Carlo数值模拟方法，结合式(10)建立钢筋锈蚀率先验概率模型。

(3) 结构在某一服役时刻，通过检测获得第i个参数(如混凝土强度、保护层厚度等)θ_i的样本x(x₁，x₂，…，x_n)，根据最大似然函数法对参数样本进行估计，得到样本的均值和样本方差。

(4) 根据锈蚀影响参数θ_i实测值x，结合θ_i的先验分布类型，采用式(11)得到参数的后验分布形式，即，重复步骤(2)，进而可获得参数更新后的钢筋锈蚀率后验模型。

(5) 根据某时刻锈蚀率的实测数据y(y₁，y₂，…，y_n)，通过式(16)对模型选择进行更新，并将其代入由步骤(4)得到的结果，从而建立参数与模型均更新的钢筋锈蚀率预测模型。

(6) 采用更新得到的后验预测模型对后继服役期钢筋锈蚀率进行预测。第1次利用实测信息对先验分布更新后的模型又成为下次更新前的先验分布，如能多次得到实测样本，则重复上述步骤。如此反复下去，就能够充分利用有效信息，不断的修正原有模型，可对钢筋锈蚀状况进行更好的估计。锈蚀率预测流程如图2所示。

图2  锈蚀率预测流程

Fig. 2  Flow chart of corrosion loss prediction

4  工程实例分析

4.1  工程概况

某桥建于1967年，为装配式RC简支梁桥。主梁为Π型，梁长L=8.0m，宽b=1.05m，高h=0.66m，肋宽b₁=0.15m；主筋配置在梁肋下缘，采用6根三排直径分别为Ф22(中排)和Ф24，箍筋Ф8，混凝土为C30。此桥在服役36 a时，拆除部分梁运回实验室进行研究，如图3所示。

图3  主梁横截面(单位：cm)

Fig. 3  Main beam cross-section

依据设计图纸，并结合该地区临界氯离子浓度、扩散系数和混凝土表面氯离子浓度的统计，以及《公路工程结构可靠度设计统一标准》^[19]对混凝土保护层厚度、混凝土强度、钢筋初始直径等参数的初始统计结果，锈蚀影响参数的先验信息取值如表1所示。

表1  初始计算参数统计

Table 1  Initial calculation parameters

4.2  锈蚀率影响参数选择

该桥在服役30 a和36 a时，分别对其进行了检测，得到了保护层厚度和混凝土强度等检测信息。由于2次检测保护层厚度的结果较接近，本文只给出了30 a时主筋保护层厚度的100个样本值，其频率直方图如图4所示。

图4  保护层样本频率直方图

Fig. 4  Frequency histogram of protective layer samples

服役30 a时混凝土强度10个区域检测样本的f_c={28.7，24.6，25.1，29.3，22.5，23.7，26.8，27.9，32.2，26.5}MPa；36 a时混凝土强度10个区域检测样本的f_c={30.4，25.2，28.7，31.5，23.8，26.7，24.8，33.4，24.4，29.5} MPa。

为研究检测信息数量对最后结果的影响，限于篇幅，这里仅对混凝土强度后验分布的影响进行了分析，以混凝土强度30 a时的检测结果为例，将该年的前5个、10个混凝土强度数据分别作为样本的实测信息，结合前文更新过程中的步骤(3)和步骤(4)，得到了该服役时刻混凝土强度的后验概率密度，如图5所示。

从图5可知：融入实测信息的混凝土强度概率密度曲线更陡，说明更新后的结果离散性逐渐减小，分别用5个样本与10个样本更新的结果也不同，这说明样本数量对更新结果也有影响。在给定先验信息的情况下，决定后验信息符合实际情况程度的关键是实测信息的准确性和实测信息数量，因此，实际中获得较多的准确信息，对有效减少信息的不确定性有利。

图5  混凝土强度样本数量对更新的影响

Fig. 5  Effect of samples number of concrete strength on updating results

当不能确定模型的权重时，可依据现有成果大致假定初值，文献[10]指出局部锈蚀发生的可能性更大，因此，本文分别令式(10)中P(M₁)=0.60，P(M₂)=0.40。将以上2次检测的混凝土强度和保护层厚度数据分别与先验信息相结合，由更新过程中的步骤(3)和(4)，可得到参数更新后的钢筋锈蚀率预测模型。以结构服役36 a时为例，其概率密度如图6所示。

图6  参数更新后锈蚀率概率密度

Fig. 6  Updating parameters of probability density of corrosion loss

由图6可知：分别选用2种模型得到的计算结果不同，更新前后的概率密度曲线也存在一定差异，更新后的结果离散性较小；服役30 a与36 a时更新前后的变化逐渐减小，这说明更新次数越频繁，对减小信息的不确定性效果越显著。

4.3  锈蚀率预测与验证

为了测定实际锈蚀率结果，36 a时将梁破损取出钢筋，获得45个直径为24 mm钢筋样本(图7)，其频率直方图见图8，测得平均锈蚀率为4.6%，变异系数为0.3。

根据钢筋锈蚀率的实测数据，由更新过程中得步骤(5)可得到模型选择的后验结果，如表2所示。从表2可以看出，更新后的模型发生了较大变化，模型的选择更偏向于局部锈蚀模型，说明该RC桥梁中钢筋锈蚀状况较接近于局部锈蚀。

图7  锈蚀钢筋样本

Fig. 7  Samples of corrosion reinforcements

图8  实测锈蚀率频率直方图

Fig. 8  Frequency histogram of measured corrosion loss

表2  锈蚀模型更新

Table 2  Updating corrosion model

为检验更新后锈蚀率的理论分布类型，以该桥梁服役36 a、直径为24 mm的钢筋为例，采用Monte Carlo法得到了该时刻锈蚀率的500 000个随机样本，通过对其进行K-S检验，说明锈蚀率的对数不拒绝服从正态分布，即锈蚀率可用对数正态分布来描述，这与实测结果较为一致(图9)。

锈蚀率概率分布如图10所示。由图10可知：相对先验均匀锈蚀而言，采用先验局部锈蚀模型得到的预测结果较接近实测值，但其与实测值差异仍较大。从图10还可以看出：本文最终得到的锈蚀率后验预测概率模型在该时刻的预测结果更接近实际，然而理论预测结果与实测值尚存在较小差异。这主要是由于影响锈蚀的因素较多，文中只对少量参数进行了更新，且更新的次数也不多，为此，相关部门应进一步完善桥梁管理系统，对既有桥梁进行长期监测，从而可获得更多不同服役年限的实测信息，在此基础上的实时动态更新将使预测结果更为准确。

图9  理论锈蚀率对数的正态概率图

Fig. 9  Normal probability chart of logarithm of calculation corrosion loss

图10  更新后锈蚀率概率分布图

Fig. 10  Updating cumulative probability of corrosion loss

根据更新后的模型，可获得桥梁后继服役期钢筋锈蚀率均值和标准差的预测结果，如图11和12所示。更新后得到的锈蚀率预测值与先验结果相比明显变小，该研究可为既有RC桥梁的耐久性评估提供依据。

图11  锈蚀率均值

Fig. 11  Mean of corrosion loss

图12  锈蚀率标准差

Fig. 12  Standard deviation of corrosion loss

5  结论

(1) 钢筋锈蚀影响因素复杂，现有统计信息的不完善、试验手段及环境的差异性，导致对钢筋锈蚀的研究存在很大的不确定性，目前尚无普适性很好的预测模型，因此，可有效利用实测信息，用信息更新方法对既有模型进行动态更新。

(2) 模型的不确定性对预测结果的影响不容忽视。未考虑更新的钢筋锈蚀率预测模型与实测结果差异较大，基于检测数据的信息更新可使预测结果更接近实际。

(3) 更新的次数越频繁对后验结果的准确性越有利，实测信息的数量对后验结果的准确程度具有一定影响，后验分布的离散性较小，在实际工程中应注重检测信息积累和桥梁管理系统的完善，将采集的观测信息融入到预测模型中。

(4) 本文给出的更新方法是在现有锈蚀模型基础上进行的，预测结果对模型仍有依赖性，但该更新过程对其他模型同样适用。建立的钢筋锈蚀率预测模型适用于服役多年的既有RC桥梁的耐久性评估及可靠性分析。如何考虑点蚀的空间变异性将有待进一步研究。

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(编辑  赵俊)

收稿日期：2013-06-13；修回日期：2013-09-20

基金项目：教育部新世纪优秀人才资助项目(NCET-12-0724)；湖南省研究生科研创新资助项目(CX2012A015)；全国优秀博士学位论文作者专项基金资助项目(201247)；长沙理工大学桥梁工程湖南省高校重点实验室开放基金资助项目(12KA03)

通信作者：马亚飞(1984-)，男，河北安新人，博士研究生，从事桥梁时变可靠性及耐久性研究；电话：13787245332；E-mail：mayafei@hotmail.com