基于小波变换的一种图像增强去噪算法
袁修贵1,王 军1,黄修建2,张 泊1
(1.中南大学 数学科学与计算技术学院,湖南 长沙,410083;
2.中南民族大学 计算机科学学院,湖北 武汉,430074 )
摘要: 利用小波变换的自适应特征,将小波的多分辨理论应用于图像的去噪、增强处理中,针对传统的阈值去噪和子带增强的缺点,提出了一种改进的自适应图像去噪增强算法。该算法对图像的噪音进行了估计,采用软阈值和硬阈值相结合的处理方法,利用3次B样条插值函数的特性,设计一个平滑的过渡区,有效地避免了单独使用软阈值或硬阈值处理的缺点,保证了图像达到比较好的去噪效果;同时引入的增益因子,可以自适应地补充图像的弱信息。
关键词: 小波变换; 傅里叶变换; 自适应增益; B样条插值函数
中图分类号:TN911.72; TN911.73 文献标识码:A 文章编号: 1672-7207(2005)02-0298-04
An Improved Algorithm of Image De-noise and Enhancement Using Wavelet Transform
YUAN Xiu-gui1, WANG Jun1,HUANG Xiu-jian2,ZHANG Bo1
(1.School of Mathematical Science and Computing Technology, Central South University, Changsha 410083, China;
2.School of Computer Science, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)
Abstract: Based on the adaptive character of wavelet transform, wavelet multiresolution theory is used to the process of image enhancement and de-noise. In order to overcome the shortcomings of threshold de-noise and enhance the band of frequency, an improved algorithm for image self-adaptive enhancement and de-noise was proposed. In this algorithm, the estimating of the image′s noise is accurate; the image′s de-noise effect is great by using tri-B-spline interpolation function to design a smooth transition area, and also it can effectively avoid the disadvantage using soft threshold or hard threshold respectively; at the same time, the image′s weak information is supplemented adaptively by adding the plus factor.
Key words: wavelet transform; Fourier transform; adaptive enhancing; B-spline interpolation function
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小波变换作为一种新颖的数学工具,其应用范围涉及图像增强[1]、数据压缩[2]、图像去噪[3]、边缘检测[3]、纹理分析和分割[4]等不同领域。由于小波变换的固有特性,使它在信号处理,特别是在图像处理中表现出以下优点[5-9]:小波变换的完善重建能力,保证了信号在分解过程中没有任何信息损失,没有任何冗余信息;小波变换把图像分解成逼近图像和细节图像之和,它们分别代表了图像的不同结构,因此,原始图像的结构信息和细节信息很容易被提取;二维小波分解为图像的分析提供了方向选择性。
1 图像的小波多分辨表示及子带增强法
如果窗函数Ψ∈L2(R)满足“容许性”条件[7],那么Ψ称为一个“基小波”。对Ψ(t)通过伸缩与平移,即可得到其一系列的子小波Ψa,b(t)。其中:a为伸缩因子;b为平移因子;a∈R;b∈R;a≠0。a的变化实际上起到一个调节Ψa,b(t)频率的作用。a较大时,时间窗会自动变宽以检测低频信息;而a较小时,时间窗会自动变窄以检测高频信息,具有窗口变化的自适应性[10]。
设张量积空间{V2J}J∈Z构成二维空间L2(R2)的一个多分辨分析, 其中V2J=VjVi,它的尺度函数为Φ(x,y),小波函数为Ψ1(x,y),Ψ2(x,y),Ψ3(x,y)。设存在整数j1和j2,其中j2≥j1+1。对于图像f(x,y)∈V2j1,有如下分解式[4]:
采用多分辨分解塔式算法可以将图像f( x,y)分解成各种不同的频率成分。其中Ajf(x,y)称为f( x,y)在2i分辨率下的连续逼近,Djf(x,y)称为f( x,y)在2j分辨率下的连续成分。Ajf(x,y)可理解为f(x ,y)不超过2j的成分,Djf(x,y)为f(x ,y)的频率介于2-j与2-(j+1)之间的成分。式(1)表明,按Mallat分解算法,将图像f (x ,y)分解成不同的频率通道,这就为图像处理提供了方便。
子带增强算法是在小波分解与精确重构的基础上,对每个分解层的图像进行线性运算处理,即图像被分解为不同频带(子带)的变换系数,根据所需要的子带成分进行增强,然后经过小波反变换重建图像[3]。但该算法是对同一频带采取同一阈值,且对小波系数只单独用软阈值或硬阈值处理,故处理效果不是很理想。而基于小波变换的自适应图像增强及去噪算法,通过构造一个3次B样条阈值处理函数,且引入光滑增益因子,可弥补子带增强算法的不足,同时较好地达到图像去噪与增强效果。
2 基于小波变换的自适应图像增强及去噪
在对分解后的小波系数进行处理之前,实际上按照一定准则,将小波系数划分成两类:一类是重要的、规则的小波系数;另一类被看作是非重要的或者受噪音干扰较大的小波系数。通常以小波系数的模值作为小波系数的分类单元。小波系数的模值是一个局部测度,每个小波系数被看成是独立变量。小波系数的模值趋向零,意味着小波系数所包含的信息量少并且强烈地受噪音干扰[11]。
2.1 图像噪音的估计
一般情况下,图像噪音的方差是未知的,需从数据中估计。图像经过小波变换后,噪音的能量大多集中在对角子图上,因此,噪音的方差也应取决于对角子图的方差[12-14]。
ti=λi×δi,HH。 (2)
其中:i为小波分解的尺度;δi,HH为第 i层小波变换对角子图的方差[15];λi为加权值,取0.1~0.6。
在对图像进行分割式处理的基础上,对每一块图像进行噪音估计,这样降低了对噪音方差估计的误差,减少了图像有效信息的丢失,避免了单一总体方差估计的不足。
2.2 阈值的选取
传统的阈值处理方法有软阈值化[6,13]和硬阈值化[6]。采用“软阈值化”时,虽然保持连续、无断点,不会发生奇变,但是它对绝对值大于阈值δ的小波系数用δ来缩减,使图像失真;而采用“硬阈值化”时,在跳跃点处产生奇变,在图像上引起高频变化,其优点是对绝对值大于阈值δ的小波系数,保留的小波系数与原始系数相同,使图像保真。
鉴于这2种阈值化的优缺点,在此提出了对小波系数用软阈值和硬阈值相结合的处理方式,同时引入增益因子,即对图像感兴趣的信息进行补充。式(3)为小波系数的处理函数T(wi,k)。
其中:wi,k为第 i层小波变换子图的小波系数;k取1,2和3,分别代表对角高频、垂直高频、水平高频子图;ri为增益因子(根据处理的图像而定);ti由式(2)定义。对于Δti的选取,引入一个风险估计函数,其定义为:
其中:T(wi,k)表示阈值化的小波系数;Vi,k表示无噪声干扰时的小波系数;Mi表示在第i层子带上的小波系数; Ni0表示小波系数被置为零的个数。
式(3)中,f1(·)和f2(·)是3次B样条插值函数,令ti=m,Δti=n, f1(x)=ax3+bx2+cx+d。
a=1/[3n(2m+n)];
b=-(m+n)/n2+(3m+n)/[3n(3m+n)];
c=2(m+n)2/n2-
(9m2+8mn+2n2)/[3n(2m+n)];
d=-m(m+2n)/[n2(m+n)]+
m(5m2+7mn+2n2)/[3n(2m+n)]。
由f1(·)和f2(·)的对称性知,f2 (x)=-f1 (-x)。
利用3次B样条插值函数的特性,设计一个平滑的过渡区,有效地避免了单独使用软阈值或硬阈值处理的缺点,同时较好地保持了原图像的真实性。
2.3 自适应增益函数的选取
自适应增益函数的非线性不是由一般的分段函数组成,而是依据小波分析特性即小波系数的模值确定增益。为了避免噪声的小波系数被放大,使小波系数的增益函数在模值较小的系数增益较小,在模值较大的系数增益较大。非线性自适应增益函数的定义如下:
式(5)中 ,x∈[-1,1],是已归一化的小波系数;sgn(x)为符号函数;sgm(x)定义为:
b∈(0,1),是sgm(x)函数中的临界点;δ1,δ2和δ3为自定义参数,且0≤δ1≤δ2≤δ3≤1;[δ2,δ3]表示滑动的特征选择窗[9],用于增强落在[δ2,δ3]窗内的重要特征;c为常系数,其值决定TAG(x)曲线的形状,控制增强的比例;[AKa-]系数计算公式为:
2.4 算法设计
基于上面的理论分析,建立如下小波变换的自适应图像增强及去噪算法:
step 1 对处理的原始图像采用自适应加权中值滤波方法进行预处理。
step 2 将经过step 1处理的图像进行分块。
step 3 对每一图像块进行多尺度二维小波分解。
step 4 利用式(4)和式(5)对分解的每一层小波系数进行阈值和自适应增益处理。
step 5 对通过处理后的小波系数进行二维反小波变换,得到重建的块图像。
step 6 将重建的块图像进行组合,即可得到对原始图像既增强又去噪的图像。
2.5 实验结果及其分析
取加噪的256×256 Lean图进行仿真实验,将原始图分割成32×32的图像块进行处理,选取具有2阶消失矩的Daubechies小波,分解的尺度为2。
对去噪恢复后的图像质量评判有许多衡量的标准,主要考虑以下比较重要的指标:使处理后的图像均方差EMS最小;较高的信噪比RSN。其定义分别为:
其中:g[DD(-*3/5]^[DD)](j,k)为受噪声污染后图像的离散采样值;J和K分别为数字图像的长和宽。图1(b)和1(c)所示分别为Donoho硬阈值和软阈值去噪处理结果,图1(d)所示为本文算法处理结果,数据比较分析结果见表1。
图 1 实验仿真结果
Fig. 1 Simulation results from experiments
表 1 各种不同降噪处理的EMS和RSN
Table 1 Comparison of EMS and RSN in different de-noise processing
可见:
a.通过比较表1中EMS和RSN这2个指标可以看出,利用自适应的软阈值和硬阈值相结合的方法对实验图像进行操作,比只用软阈值或硬阈值操作所得到的图像的信噪比要高,均方误差要小。
b.图1(d)比其他的图清晰,且帽沿的轮廓保持得较好,达到了较好增强去噪效果。从仿真实验的结果可以看出,仅利用软阈值进行处理,容易使图像失真,而仅用硬阈值进行处理虽然在一定程度上达到了保真效果,但是在一些点发生了畸变。将2种方法相结合能达到较好的处理效果。
3 结 论
a. 改进的算法能对图像的噪音进行较理想的估计。采用软、硬阈值相结合的小波系数处理方法,在保证图像有高的信噪比的同时,能够在一定程度上使图像保真。设置的增益因子可以有效地补充图像的弱信息,或减少图像过度曝光的影响,以便图像的处理。
b. 利用小波变换理论进行图像的增强和去噪,关键技术是对图像噪音的估计和小波系数的处理。利用所提出的改进算法,对噪音的估计合理、有效。
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收稿日期:2004-07-27
作者简介:袁修贵(1964—),男,湖北蕲春人,教授,博士研究生,从事地震数据处理、小波分析应用及数字图像处理工作.
论文联系人: 王 军,男,硕士;电话:13786186426(手机);E-mail:kevinjunwang@21cn.com
