基于Fourier变换的瑞雷面波分离提取及实例分析

张大洲¹，熊章强¹，秦臻²

(1. 中南大学 信息物理工程学院，湖南 长沙，410083；

2. 中国石油勘探开发研究院，北京，100083)

摘  要：应用Fourier变换法分离提取地震记录中不同模态的瑞雷面波，其原理是：利用瑞雷面波各模式传播速度的差异，将时间域中叠加在一起的瑞雷面波信号在频率波数域中分开，以此实现分离提取各阶模态瑞雷面波。研究结果表明：τ-p变换只能提取浅部能量较强的部分瑞雷面波，不能提取瑞雷面波的全部频散成分且不能使不同模态瑞雷面波分离；利用Fourier变换可以准确分离提取不同模态的瑞雷面波，且经分离后计算所得频散曲线的频带宽度扩展，有利于提高瑞雷面波勘探的能力。

关键词：瑞雷面波；Fourier变换；τ-p变换；面波提取

中图分类号：P631          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2010)02-0643-06

Separation and extraction of Rayleigh wave based on
 Fourier transform and case analysis

ZHANG Da-zhou¹, XIONG Zhang-qiang¹, QIN Zhen²

(1. School of Info-physics and Geomatics Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;

2. China Research Institute of Petroleum Exploration and Development, Beijing 100083, China)

Abstract: Fourier transform was adopted to separate and extract different modes of Rayleigh wave from the seismic data. Based on the fact that the different modes of Rayleigh wave have different propagation velocities, the signals of Rayleigh wave which superposes in time domain can be separated in frequency-wave-number domain, different modes of Rayleigh wave are separated and extracted by Fourier transform. The results show that τ-p transform can only extract part of Rayleigh wave with strong energy in shallow surface, while it can’t completely extract all the dispersion component and separate different modes of Rayleigh wave. Fourier transform can exactly separate and extract different modes of Rayleigh wave. Moreover, the bandwidth of dispersion curve calculated with separate data is extended, which is beneficial for improving the capability of the Rayleigh wave exploration.

Key words: Rayleigh wave; Fourier transform; τ-p transform; Rayleigh wave extraction

瑞雷面波频散曲线与地下介质结构密切相关，因此，频散曲线的获取在面波勘探中是非常重要的。目前，频散曲线的计算主要采用多道面波分析法(Multi- channel analysis of surface waves, 简称MASW)^[1]和面波频谱分析法(Spectral analysis of surface waves，简称SASW)^[2]。MASW法是对整个排列采用不同的变换方式计算瑞雷面波的频散曲线，并将计算结果置于该排列中心点处。这种方法的优点是频散曲线精度较高，并且能够得到瑞雷面波的各种高阶模式；缺点是由于多道综合效应，即测线方向整个排列长度内介质的属性加权平均，从而降低了瑞雷面波法探测的横向分辨率，无法探测小规模和局部异常，难以满足高精度探测的要求。SASW法是通过计算不同频率下两道信号的相位差，从而得到该频率下的相速度。利用SASW法削除了频散曲线的多道综合效应，提高了探测的横向分辨率。由于面波勘探采集的数据是各种不同类型、不同模态的波相互耦合在一起，因此，在利用SASW法计算频散曲线时，必须选用1种合适的方法提取瑞雷面波，并且需要分离不同模态的瑞雷面波后才能用SASW法计算频散曲线。对于瑞雷面波的提取，刘江平等^[3-4]用传统的τ-p(τ和p分别为t-x域时间轴截距和水平波速度倒数)变换方式提取面波；宋先海等^[5]将传统的τ-p变换方法进行改进，在τ-p变换前用双曲线速度滤波方法对地震记录进行滤波，然后进行τ-p变换，以此来提高面波提取的精度。众所周知，τ-p变换是Radon变换的线形形式，又被称为倾斜叠加变换^[6]。对于均匀介质，在t-x域中为直线的面波在τ-p域中为1个点，而在t-x域中为抛物线的反射波在τ-p域中成为1个椭圆，据此特性就可以分离得到面波，这是利用τ-p变换提取面波的理论基础。但是，在均匀介质中面波不产生频散，面波速度v_R为1个常数，在这种情况下变换到τ-p域中仅为1个点。而对于层状介质，由于面波所特有的频散特性，其波速v_R不再是常数，这时，按照τ-p变换理论将其变换到τ-p域中就不再是1个点，若仍按上述理论在τ-p域中选取1点或者其周围的1个区域，则所提取的面波在很大程度上是具有线形特征的直达面波，或者仅是面波的部分频散^[7-8]。另外，利用SASW法计算面波的频散曲线时必须将面波的各个模式进行分离后再进行计算，但τ-p变换不能分离出面波的不同模态，若将各个模态混合的面波数据计算频散曲线会产生较大误   差^[9-10]，据此，本文作者采用Fourier变换法(简称FT法)在频率波数域中分离提取不同模态面波，使之保持原有的频散特性，从而可准确利用SASW法来计算频散曲线，提高面波勘探精度。

1  FT法提取面波原理

面波勘探时采集的地震记录在t-x域中无法准确分辨面波及其各种模式。由于瑞雷面波各阶模式传播速度的差异，在时间域中叠加在一起的瑞雷面波信号在FK(频率-波数)域中就会彼此分开。因此，通过傅里叶正、反变换，就可得到相应模态的瑞雷面波。

沿层状介质表面传播的瑞雷面波的垂直位移分量可以表示如下^[11]：

   (1)

式中：为与震源相关的函数；=0时为瑞雷面波的频散方程；k为波数；ω为角频率。对进行二维傅里叶变换，得：

  (2)

从式(2)可以看出：对不同偏移距的地震记录进行傅里叶变换，即从时间域(t)变换到频率域(ω)，可以得到下列矩阵：

矩阵中的每一行分别对应于每一道的频谱。然后，对此矩阵的每一列进行傅里叶变换，即从空间域(x)变换到波数域(k)，得：

式(2)的反傅里叶变换可以表示为：

(3)

对比式(1)和(3)可以得出：

         (4)

从式(4)可以看出：在FK域中，所计算的波场W的最大值在分母附近，对于式(1)，正是核函数的极点，它对应的就是瑞雷面波的解。因此，在FK域中，不同的波场W最大值就是由在t-x域中不同模式的瑞雷面波变换得到的，保留这些相应的值，进行反变换就可以得到相应模式的瑞雷面波。

为了能在FK域中清晰分辨各种模态的瑞雷面波，对W(k, ω)按频率进行道均衡(或正则规范化)，有：

，

i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m       (5)

式中：W(k, ω)为谱振幅；为L_p范数，一

般使用第1、第2或无穷范数即可。通过这种处理，在整个剖面上，各频段的能量分布比较均衡，便于准确选取不同阶面波的能量。

2  理论模型算例

为了说明FT法分离提取面波频散曲线的正确性，特设计1个2层介质模型。模型长×宽为80 m×50 m，模型参数如下：第1层厚度为10 m，纵波波速v_p=     800 m/s，横波波速v_s=200 m/s，密度ρ=2.0 g/cm³；第2层v_p=1 200 m/s，v_s=400 m/s，ρ=2.0 g/cm³。使用高精度交错网格有限差分法对该模型进行全波场正演模 拟^[12]，取时间采样间隔为0.1 ms，采样长度为0.5 s，震源采用25 Hz雷克子波。图1所示为模拟所得到的单炮记录。从图1可以看出：除面波外，还有直达波、折射波、反射波等，其中，反射波包括一次反射波和多次反射波。若利用SASW法计算面波频散曲线，则需要从地震记录中分离提取出面波记录。下面分别用τ-p变换法和FT法对模拟得到的单炮记录中面波进行提取和对比分析(其中：τ和p分别为t-x域时间轴截距和水平波速度倒数)。

图1  2层介质模型单炮记录

Fig.1  Single-shot record for two-layer model

将图1所示的单炮记录进行τ-p变换，如图2所示。从图2可见：较强的能量团应是面波变换所得到的，切除此能量团以外的数据，进行τ-p反变换，得到如图3所示的面波记录，从图3可以看出：该面波没有频散，通过计算其视速度为200 m/s。由此可以得出：若严格按照τ-p变换理论，则只能提取浅部能量较强的未发生频散的面波(此面波沿地面最表层传播)，不能提取全部的面波频散成分，更不能分离面波的各种模态。

图4所示为将t-x域中的单炮记录变换到FK域的频率-波数谱。从图4可以看出：瑞雷面波的基阶波能量最强，其余高阶模式波能量渐弱，各种模态的能量团能清晰可辨。在FK域中拾取各模式能量团峰值处的频率和波数，利用公式(其中：v_R为相速度，f为频率，k为波数)，就可求出频散曲    线。为了验证在FK域中对于各模态面波分析的正确性，利用相移法^[13]直接计算单炮面波记录的频散曲线，并与理论值进行对比，如图5所示。从图5可见：利用相移法计算得到的频散曲线与理论频散曲线相吻合；FK域中计算得到的频散曲线与理论值基本一致(在个别频段相速度误差较大)，而面波的各个模式与实际情况完全相符。这充分说明在FK域中可以分离提取面波。

图2  两层模型单炮记录τ-p正变换

Fig.2  τ-p forward transform of single-shot record for
two-layer model

图3  τ-p变换提取的面波记录

Fig.3  Surface wave record extracted by τ-p transform

图4  单炮记录的频率-波数谱

Fig.4  Frequency wave-number spectrum of single-shot record

图5  FK变换法和相移法计算得到的频散曲线与
理论值的对比

Fig.5  Comparison between results obtained by FK transform method and phase shift method and theory values

将图4中高阶模式切除，只保留基阶模式，然后对此波场进行傅里叶反变换，得到如图6(a)所示的t-x域中基阶面波的波场。在此波场中可看到面波的频散特性，直达面波波组能量比其余波组能量强。将图6(a)所示的基阶面波利用相移法计算其频散曲线并与理论值进行比较，结果如图6(b)所示。图7(a)所示为提取得到的t-x域中一阶高模式面波波场，据此数据计算其频散曲线并与理论值比较，结果如图7(b)所示。分析图6(b)和图7(b)可见：利用分离后面波数据计算得到的频散曲线与理论值完全一致，这充分说明采用FT法提取面波是可行的。从图7(b)还可看出：一阶高模式面波频散曲线的频率范围由图5中的20~37 Hz扩展为17~43 Hz。这说明将面波各模态分离后再用多道面波分析方法(相移法为其中1种)计算其频散曲线会扩大频带宽度，频带宽度的扩展有利于面波探测能力的提高。

3  实际面波数据的FT法分离

在某试验场地用2.5 Hz面波检波器采集地震记录，道间距为1 m，采样时间间隔为0.25 ms，采样时间长度为500 ms。场地地层情况较简单，深度0~2.5 m地层为第四系覆盖层，2.5~15.0 m地层为砂岩(2.5~8.0 m为全风化砂岩，8.0~15.0 m为强风化砂岩)。图8所示为采集到的单炮原始面波记录，图9所示为利用τ-p变换提取得到的面波记录，图10所示为利用FT法分离提取得到的基阶面波记录。对比图9和图10可以看出：FT法分离出的基阶面波频散比τ-p变换提取得到的频散丰富。利用相移法计算其频散曲线，所得结果如图11和图12所示。从图11可以看出：当频率从70 Hz减小到20 Hz时(相对探测深度从浅到深)，面波相速度从222 m/s增大到282 m/s，相速度差仅为60 m/s，基本没有频散，这显然与实际地层结构不符，由此说明τ-p变换不能完全将面波的各个频散成分提取出来。而图12中FT法分离得到的基阶面波频散曲线频率从70 Hz减小到20 Hz，面波相速度从227 m/s增大到480 m/s，明显产生了频散。按照半波长理论，在此频段内所反应的探测深度为1.6~12.0 m，此深度范围内速度的变化与实际地层结构相符。从2种不同方法分离面波计算得到的频散曲线可以看出：在高频时速度差别较小，低频时差别则很大。这是由于τ-p变换的线性倾斜叠加特性，对于沿地表(对应于高频部分)传播的能量较强的面波能够提取出来，而对于深层(对应于低频部分)、能量较弱的面波在τ-p域中不易分辨，很难提取到这一部分面波。

(a) 面波记录；(b) 频散曲线

图6  FT法提取得到基阶面波记录与频散曲线

Fig.6  Fundamental mode surface wave records extracted by FT method and dispersion curve

(a) 面波记录；(b) 频散曲线

图7  FT法提取得到一阶高模式面波记录与频散曲线

Fig.7  The first higher mode surface waves record extracted by FT method and dispersion curve

图8  实际单炮面波记录

Fig.8  Real single-shot surface wave record

图9  τ-p变换法提取的面波记录

Fig.9  Surface wave record extracted by τ-p transform method

图10  FT法提取的基阶面波记录

Fig.10  Fundamental mode surface wave record extracted by FT method

图11  FT法提取得到的基阶面波频散曲线

Fig.11  Dispersion curve of Fundamental mode surface wave extracted by FT method

图12  τ-p变换法提取得到的面波频散曲线

Fig.12  Dispersion curve of surface wave extracted by τ-p transform method

4  结论

(1) τ-p变换方法只能提取浅部能量较强的部分瑞雷面波，不能提取面波的全部频散成分，并且不能分离不同模态的瑞雷面波。因此，在计算频散曲线时，利用τ-p变换法提取瑞雷面波是不合适的。

(2) 在FK域中瑞雷面波的各模式可清晰分辨，利用Fourier变换将地震数据变换到FK域后提取不同模态的波场值并进行Fourier变换就可以实现波数据的分离。这种方法不但可以准确分离提取瑞雷面波的各阶模式，而且分离后计算所得频散曲线的频带宽度得到扩展，有利于提高面波对浅部介质的探测能力。

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收稿日期：2009-01-10；修回日期：2009-04-11

基金项目：“十一五”国家科技支撑项目(2006BAC07B00)

通信作者：熊章强(1963-)，男，湖南宁乡人，博士，教授，从事地震勘探及工程地球物理教学和科研工作；电话：0731-88830451；E-mail: ycxzq@mail.csu.edu.cn

(编辑 陈灿华)