直齿圆柱齿轮传动设计的全局优化方法

张少军¹，万中¹，刘光连²

(1. 中南大学 数学与统计学院，湖南 长沙，410083；

2. 中南大学 机电工程学院，湖南 长沙，410083)

摘要：分析现有齿轮传动优化设计方法在全局优化方面的不足。针对一类载荷系数一定的直齿圆柱齿轮传动设计的体积优化问题，建立非线性优化模型。基于模型特点的分析，采用变量组合与取自然对数的变量变换方法，将原非线性问题等价地转化为含混合变量的线性规划模型，并设计一类求解混合变量的线性规划问题的全局优化方法。将这一系列方法应用于研究典型的直齿圆柱齿轮传动优化设计案例，并与已有设计优化方法比较。结果表明：该全局优化方法得到的大小齿轮分度圆柱体积小于其他方法得到的圆整最优值。

关键词：齿轮传动；非线性规划；混合变量；全局优化

中图分类号：TH122；TH132.41；O221.1     文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2013)07-2736-08

Global optimization design of spur gear drive

ZHANG Shaojun¹, WAN Zhong¹, LIU Guanglian²

(1. School of Mathematics and Statistics, Central South University, Changsha 410083, China;

2. School of Mechanical and Electronic Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: The deficiency of global optimization for the current optimal design of gear drive was analyzed. A nonlinear optimization model was constructed to minimize the volume of spur gear drive with a fixed load coefficient. Based on the analysis on the structural characteristics of the model, the original nonlinear optimization problem was converted into a binary linear programming with some continuous and discrete variables by a method of variable transformation. Then，a class of global optimization methods for linear programming with mixed variables were developed. The proposed method was applied into a typical case study on the optimal design of gear drive, and compared with the existent ordinary optimization methods available in the literature. The obtained results show that the optimal total volumes of pinion and wheel by the global optimization method are smaller than the rounded optimal values by the other four local methods.

Key words: gear drive; nonlinear programming; mixed variable; global optimization

齿轮传动是机械传动中最主要的一类传动，形式多样，应用十分广泛。齿轮传动的优化设计旨在节约资源，简化机构，降低成本，改善齿轮工作性能。由于齿轮应用数量巨大，其结构优化无疑能产生较大的经济和社会效益。近年来，已有很多文献对齿轮传动设计优化进行广泛研究。这些文献多以齿轮、变速器总的体积(质量)最小或总的齿轮轴中心距最短作为目标函数^[1-2]。也有以承载能力为目标^[3]。而随着人们环保意识的增强，以减振降噪等动态性能的改善为目标，已成为齿轮优化研究一个新的焦点，例如文献[4]。此外，还有一些文献从模糊与可靠性优化的角度来设计齿轮传动^[5-6]。在齿轮机构优化设计中，应用许多传统优化方法，例如枚举法、复合形法、拟牛顿法、罚函数法等等。枚举法只是一种近似方法，计算效率和精度很低。复合形法、拟牛顿法、罚函数法等属于局部优化算法，虽然其理论与算法都比较成熟，但对于齿轮传动优化这类非凸非线性优化问题往往只能求得局部最优解。近年来，具有一定全局搜索能力的智能启发式算法在齿轮机构优化中的应用越来越多。Faruk等^[1]用遗传算法(GA)对直齿轮传动设计进行优化，其结果略优于与之对比的枚举分析法。Savsani等^[2]分别采用模拟退火法(SA)和粒子群优化(PSO)算法对一单级直齿轮传动的体积进行优化，并与GA法进行比较，结果显示，SA与PSO优化结果基本一致，均优于GA优化结果，PSO法相比SA和GA法收敛速度更快。Lucian等^[7]在一个包含齿轮、轴、轴承、润滑、密封等环节共计24类77个约束的二级斜齿轮减速器的重量优化问题中，设计一种两阶段进化算法来优化该问题。智能启发式算法虽然不依赖梯度信息，具有全局、并行的优化性能，为解决大规模非线性优化问题提供了新的思路和手段^[8]，但该类方法至今还无法从理论上证明所得到的解一定是全局最优解。已有齿轮传动优化设计的方法不能从理论上保证解的全局最优性。而现有的确定性全局优化算法如分支定界法、填充函数法、积分水平集算法等尽管算法理论严谨，但它们都是针对特殊的优化问题展开的^[9]。对一般非凸优化问题，不存在任何一种普遍适用的全局优化算法。齿轮传动应用广泛，其优化模型相对很成熟，研究它的高效确定性全局优化算法，其理论与应用价值都很大。但这需要以深入分析优化模型特点为基础，这恰好是已有研究存在的一个普遍不足。最近，Zhang等^[10-11]就V带传动设计优化问题提出基于问题本身结构特征的一种确定性全局优化算法 —— 最优值线段算法。与文献[10-11]的思想类似，本文针对一类直齿圆柱齿轮传动设计优化问题，根据实际设计环境，首先建立该类问题的非线性优化模型，然后基于模型特点，提出合适的变量变换方法，把原非线性问题等价地转化为线性规划问题求解，并针对设计变量的多属性，设计一种含二元混合变量的线性规划问题的全局优化方法。最后，将建立的模型和求解方法应用于一个典型齿轮传动设计实例，并与4种常规优化方法的结果进行比较，以验证其有效性和实用价值。

1  直齿圆柱齿轮传动优化设计模型

1.1  确定设计变量和目标函数

由于在给定的传递功率和传动比条件下，齿轮副体积最小具有重量轻，成本低，结构紧凑等优点，因此，选取大小齿轮分度圆柱体积之和最小为目标函数。选择模数m (mm)，主动轮齿数Z₁和齿宽系数Φ_d作为设计变量，记为x = (x₁, x₂, x₃)^T=(m, Z₁, Φ_d)^T，则目标函数为

    (1)

其中：i为传动比。

1.2  建立约束条件

约束条件主要包括几何约束和性能约束。

1.2.1 几何约束

(1) 模数的约束：

             (2)

(2) 主动轮齿数的约束：

            (3)

(3) 齿宽系数的约束：

            (4)

其中：C₁~C₆为约束条件中的常系数。

1.2.2 性能约束

(1) 齿面接触疲劳强度的限制

根据文献[12]，有

    (5)

其中：Z_H为区域系数，对标准直齿圆柱齿轮，Z_H=2.5；Z_i为齿数比系数，；Z_E为弹性影响系数()，对于齿轮常用的锻钢材料，Z_E=189.8；T₁为主动齿轮传递的扭矩(N·mm)；K₁为载荷系数；为许用接触应力(N/mm²)， ，和分别为大、小齿轮的许用接触应力(N/mm²)。

(2) 齿根弯曲疲劳强度的限制

根据文献[12]，有：

       (6)

      (7)

其中：和分别为大、小齿轮的许用弯曲应力(N/mm²)；K₂为载荷系数；和分别为载荷作用于齿顶时大、小齿轮的齿形系数；和分别为载荷作用于齿顶时大、小齿轮的应力修正系数。根据文献[13]，有：

Y_FY_S = 7.377686 Z^{–0.322 312}×1.094062 Z^{0.116 206}=

8.071646 Z^{–0.206 106}；17≤Z≤25

Y_FY_S=4.333869 Z^{–0.159 188}×1.175585 Z^{0.094 493}=

5.0948314 Z^{–0.064 695}；25≤Z≤60

Y_FY_S=2.859508 Z^{–0.057 395}×1.276 Z ^0.0738=

3.648732 Z^{0.016 405}；60≤Z≤300

其中：Z表示齿数；Y_F和Y_S分别为载荷作用于该齿轮齿顶时的齿形系数和应力修正系数。

在式(5)中，载荷系数。在式(6)和(7)中，载荷系数。其中：K_A为工作情况系数；K_v为动载系数；和分别为计算接触应力和计算弯曲应力时的齿间载荷分配系数；而和分别为计算接触应力和计算弯曲应力时的齿向载荷分布系数。在这些系数中，K_A由齿轮的工作环境状况决定，而K_v，，，和与齿轮的模数、齿数、齿宽以及齿轮转速等参数相关^[14]。但对于经齿向修形或者经过仔细跑合，能使载荷沿齿向均匀分布的情形，可取==1。对经过齿廓修形的齿轮，还可取==1^[15]。对于高精度齿轮，在良好的安装和对中精度以及合适的润滑条件下，K_v的取值变化范围很小，为1.0~1.1^[14]。本文的研究对象即为这类经过齿向和齿廓修形，精度较高的直齿圆柱齿轮传动，其载荷系数K₁和K₂主要由K_A决定，可近似认为K₁=K₂=K，其中K为一常数。

同时，该问题还是一混合变量优化问题，即含连续变量、规则和非规则离散变量的优化问题。设x₁∈Ω，x₂∈Z⁺，x₃∈R⁺(Ω表示区间[C₁, C₂]内的标准模数的集合，Z⁺表示全体正整数集，R⁺表示正实数集)。

综上所述，直齿圆柱齿轮传动设计问题的优化模型为：

s.t. 式(2)~(7)

          (8)

其中：表示三维非负欧几里德空间。

2  变量变换及等价的混合变量线性规划模型

模型(8)是一非线性优化模型，虽然变量不多，但至今并没有一种统一的全局优化方法。典型的高效优化算法，如序列二次规划方法，一般只能保证得到其局部最优解。各种求解实际优化问题的启发式算法，如遗传算法和粒子群算法，虽然有可能得到其全局最优解，但运算量往往较大，且理论上还无法建立其全局收敛性。基于这些考虑，在此提出一种基于问题(8)结构特征的变量变换方法，它能把原来的非线性问题等价地转化为线性问题求解。

首先，令=。记。对目标和各约束函数均取自然对数，则模型(8)等价于如下问题：

min  W(y)=ln+3y₁+3y₂+y₃

s.t.  3y₁+3y₂+y₃≥A₁

3y₁+2.206106y₂+y₃≥A₂；17≤x₂≤25

3y₁+2.064695y₂+y₃≥A₃；25≤x₂≤60

3y₁+2.064695y₂+y₃≥A₄；25≤ix₂≤60

3y₁+1.983595y₂+y₃≥A₅；60≤ix₂≤300

lnC₁≤y₁≤lnC₂               (9)

lnC₃≤y₂≤lnC₄

lnC₅≤y₃≤lnC₆

y_i = lnx_i，i = 1, 2, 3

x = (x₁, x₂, x₃)^T∈Ω×Z⁺×R⁺

其中：

，

，

，

，

。

若不考虑模型(9)中最后2个约束，则所需求解的问题是一个以y为决策变量的线性规划。

注1：任何一种求解线性规划问题的算法都可以用于求解或近似求解问题(8)。典型的简单近似算法如下。

步骤1：选用线性规划问题的求解器求解上述问题(9) (不考虑最后2个约束)，记其最优解为y^*。

步骤2：由y^*计算

步骤3：将圆整，即得近似最优设计方案。

注2：注1中对线性规划问题的连续解圆整的方法是一种粗糙的方法。许多实例表明：该方法所得到的原问题的最优解离实际混合变量全局最优解很远。较理想的方法是设计原混合变量优化问题的全局最优解法。虽然可将连续变量处理成离散变量，进而采用线性整数规划方法来求解该问题^[16]，不过这类整数规划方法一般只能给出一个全局最优解，不能找到所有最优解，而且求解过程相对复杂。如何能得到此类问题所有全局最优设计方案，至今未见相关研究成果。

3  混合变量线性规划问题的全局优化方法

为设计求解问题(8)的混合变量全局最优解的有效方法，建立以下3个定理。

定理1 设混合变量线性规划的目标函数为

min F(x) = B₁x₁+B₂x₂+…+B_nx_n

其中：B₁, B₂, …, B_n为常数。设可行域为Ψ，该线性规划在连续变量空间中的全局最优解为P=(xP 1，xP 2，…，xP n)^T，则过点P且与目标函数所代表的超平面簇平行的超平面π可表示为：B₁x₁+B₂x₂+…+B_nx_n-D＝0。其中，D=B₁xP 1+B₂xP 2+…+B_nxP n。设混合变量全局最优解为P*=(xP* 1, xP* 2, …, xP* n)^T，则必有点P*与π的距离最近，即

      (10)

证明：式(10)等价于

。

对于一般混合变量线性优化问题的求解较难，但对于二元混合变量线性优化问题，可以通过下面2个定理来求解。

定理2  如图1所示，假设二元混合变量线性规划问题：

min F(V) = B₁v₁+ B₂v₂

B₁和B₂为常数

s.t. V∈Ψ，Ψ为二元混合变量空间中的可行域 (11)

在连续变量空间中的全局最优解为P点，不失一般性，设v₁为连续变量，v₂为离散变量，记经过点P且与目标函数直线簇平行的直线为π，设靠近直线π一侧的可行域边界线上，分别沿v₂坐标的正方向和负方向距离P点最近的混合变量可行解为V⁽¹⁾=(v₁⁽¹⁾，v₂⁽¹⁾)和V ⁽²⁾=(v₁⁽²⁾，v₂⁽²⁾)，则该优化问题的混合变量全局最优解为

图1  定理2的几何表示

Fig.1  Geometric representation for Theorem 2

证明：由线性规划理论知，点P是组成可行域的凸集的一顶点。不失一般性，设F(V⁽¹⁾)= min{ F(V ⁽¹⁾), F(V⁽²⁾)}。现利用反证法证明。

假设有一混合变量全局最优解V⁽³⁾＝(v₁⁽³⁾，v₂⁽³⁾)≠ V⁽¹⁾，则必有：

(a) v₂⁽³⁾＝v₂⁽¹⁾，v₁⁽³⁾≠v₁⁽¹⁾；

或(b) v₂⁽³⁾＝v₂⁽²⁾，v₁⁽³⁾≠v₁⁽²⁾；

或(c) v₂⁽³⁾＞v₂⁽¹⁾，或者v₂⁽³⁾＜v₂⁽²⁾。

若(a)成立，则由图解知，必有点V ⁽³⁾与π的距离大于点V ⁽¹⁾ 与π的距离，说明F(V ⁽³⁾)＞F(V ⁽¹⁾)，与假设矛盾；

若(b)成立，同理可得F(V ⁽³⁾)＞F(V⁽²⁾)＞F(V⁽¹⁾)，与假设矛盾；

若(c)成立，不失一般性，假设v₂⁽³⁾＞v₂⁽¹⁾，设直线v₂＝v₂⁽³⁾与靠近直线π一侧的可行域边界的交点的横坐标为v₁^(3)*。若v₁⁽³⁾≠v₁^(3)*，则必有

F(v₁⁽³⁾，v₂⁽³⁾)＞F(v₁^(3)*，v₂⁽³⁾)

这与V ⁽³⁾在混合变量空间中的全局最优性假设相矛盾，因此，v₁⁽³⁾＝v₁^(3)*。由于＞，其中表示点P与点V⁽³⁾的距离，所以

Prj_n(PV ⁽³⁾)＞Prj_n(PV ⁽¹⁾)

其中：Prj_n(PV ⁽³⁾)表示线段PV ⁽³⁾相对于直线π的垂足的长度，这说明F(V ⁽³⁾)＞F(V ⁽¹⁾)，与假设相矛盾。因此定理得证。

定理3 如图2所示，假设二元混合变量线性规划问题(11)在连续变量空间中的全局最优解是与目标函数直线簇平行的线段P₁P₂上的所有点，则：

(1) 混合变量全局最优解即为线段P₁P₂上的混合变量可行解，且混合变量全局最优函数值与连续变量全局最优函数值相等；

(2) 若线段P₁P₂上没有混合变量可行解，假设按定理2求得的对应于线段P₁P₂上任意一个连续变量全局最优解P的混合变量全局最优解为V^P，则该规划问题的混合变量全局最优解为

V*＝V^P

图2  定理3的几何表示

Fig.2  Geometric representation for Theorem 3

证明：由于线段P₁P₂上的混合变量可行解在原问题连续全局最优解集之中，因此，它们必为混合变量全局最优解。又假设还有不在线段P₁P₂上的混合变量全局最优解，由图解之，必有F()＞F(V)(其中，V为线段P₁P₂上的任意一个混合变量可行解)，这与假设不符。由于线段P₁P₂上的混合变量可行解与连续变量全局最优解同在直线π上，因而对应目标函数值相等。因此结论(1)成立。

结论2可由定理2直接证得。

对于模型(9)，可又将其转化成二元混合变量线性规划形式，从而可利用定理2和定理3求解。

在模型(9)中，令V=(v₁，v₂)^T=(3y₁+y₃，y₂)，则模型(9)转化为：

min W(V)=ln+v₁+3v₂

s.t. v₁+3v₂≥A₁

v₁+2.206106 v₂≥A₂；17≤x₂≤25

v₁+2.064695 v₂≥A₃；25≤x₂≤60

v₁+2.064695 v₂≥A₄；25≤ix₂≤60

v₁+1.983595 v₂≥A₅；60≤ix₂≤300

3lnC₁+lnC₅≤v₁≤3lnC₂+lnC₆

lnC₃≤v₂≤lnC₄；            (12)

v₁=3y₁+y₃，v₂=y₂；

y_i=lnx_i；i=1, 2, 3；

x=(x₁, x₂, x₃)^T∈Ω×Z⁺×R⁺

如果去掉模型(12)中的后3个约束，则得到仅含2个决策变量的线性规划问题。由定理2和定理3可解得模型(12)的混合变量全局最优解V*＝(v₁*, v₂*)^T。

对如下子问题：

v₁*=3y₁+y₃

lnC₁≤y₁≤lnC₂

lnC₅≤y₃≤lnC₆             (13)

y_i＝lnx_i，i＝1, 3

(x₁, x₃)^T∈Ω×R⁺

可进一步将其分解为以下2个子问题：

min 3y₁+y₃

s.t. 3y₁+y₃-v₁*≥0

lnC₁≤y₁≤lnC₂             (14)

lnC₅≤y₃≤lnC₆

y_i=lnx_i, i=1, 3

(x₁, x₃)^T∈Ω×R⁺

和

min -3y₁-y₃

s.t. 3y₁+y₃-v₁*≤0

lnC₁≤y₁≤lnC₂             (15)

lnC₅≤y₃≤lnC₆

y_i=lnx_i; i=1, 3

(x₁, x₃)^T∈Ω×R⁺

按定理2和定理3求得这2个子问题的解，它们的交集即为子问题(13)的解。

4  实际设计案例研究

利用前面提出的求解含混合变量的线性规划问题的全局寻优方法来优化一类典型的直齿轮传动设计问题，并将它与普通优化设计方法进行比较。

试设计1对闭式直齿圆柱齿轮传动。已知：主动轮的输入扭矩T₁=1×10⁵ N·mm，齿数比i=4，单向传动，轴承对齿轮对称布置。小齿轮采用45钢，调质，齿面硬度为250~280，齿面接触强度的许用应力=680 N/mm²，齿根弯曲强度的许用应力=288 N/mm²。大齿轮采用45钢，调质，齿面硬度220~250 HBS，齿面接触强度的许用应力=550 N/mm²，齿根弯曲强度的许用应力=204 N/mm²。要求结构紧凑。假设该齿轮副为经过齿向修形和齿廓修形的高精度齿轮，其载荷系数K为1.21。

根据该设计条件，由文献[15]可得其优化模型约束条件中的常系数值如表1所示。

表1  实际设计问题中参数的取值

Table 1  Values of parameters in real design problem

将各常系数值代入模型(12)。该实例的全局寻优示意图如图3所示。图3中阴影部分为该优化问题的可行域，而一簇平行虚线表示不同取值时的目标函数。当目标虚线移动到与可行域最左端边界相切时模型(12)的目标函数取得最小值，此时该实例在连续变量空间中的全局最优解即为切线段P₁P₂中的各点，可表示为

 (16)

由于线段P₁P₂表示模型(12)第一个约束的一部分边界线，这说明第一个约束即齿面接触强度的性能约束是该优化问题的有效约束。

图3  全局寻优示意图

Fig.3  Diagram for global optimization method

通过式(16)还可以解得线段P₁P₂上的所有混合变量可行解如表2所示。由定理3知，这些可行解即为本实例的全体混合变量全局最优解，对应的最优值均为3.006 2×10⁶。

以往传动设计优化中，常利用科学与工程计算软件包(如MATLAB)求解所建立的优化模型^[17]，或者应用某些局部优化方法，如罚函数方法和坐标轮换法^[18]，求解相应的优化模型。把这些方法直接应用于求解上述设计案例，计算结果如表3所示。由于这些局部优化方法只能求解连续变量的优化模型，为此，把计算结果采用圆整方法得到实际传动设计方案。表3所示为采用4种常规优化算法求得圆整前后的最优解及对应的最优目标函数值。

表2  全局优化方法的求解结果

Table 2  Results from global optimization method

表3 4种常规优化算法与全局优化方法比较

Table 3  Comparison between four ordinary methods and global optimization method

表3中，Fmincon是指利用MATLAB优化工具箱中的Fmincon指令求解的方法。采用坐标轮换法和Fmincon函数法时，对于不同的初始值，可解得不同的连续变量最优解，但所对应的目标函数最优值均为3.006 2×10⁶，这与本文图解分析该案例时得到连续变量最优解数目为无穷多个的结果相一致。

注意到表3中有2种局部优化算法的连续变量最优值与本文全局优化方法求解混合变量问题时得到的目标函数最优值相同，其重要区别在于：局部优化算法不能保证解的全局最优性。事实上，能够证明，模型(8)的目标函数F(x)在R3 +中其Hessian阵的一阶和三阶主子式恒为正，而二阶主子式恒为负，即F(x)在R3 +中是非凸函数。这意味着任何局部优化算法都无法从理论上保证所得到的结果具有全局最优性。同时，局部优化算法得到的解还必须经过圆整，而由表3所示结果知，其圆整解要劣于本文方法求得的混合变量最优解。但本文提出的全局寻优方法所求得的最优解不需要圆整，能直接用于实际工程设计优化，从而提高设计方案的可靠性；并且能够得到所有全局最优解，这为降低优化设计成本提供了重要依据。

5  结论

(1) 针对一类载荷系数一定的直齿圆柱齿轮传动的体积优化设计问题，建立了数学模型。基于一种变量变换方法，将原非线性优化模型转化成了含混合变量的线性规划模型。

(2) 设计混合变量线性规划问题的全局优化方法。

(3) 将该方法应用于研究典型的直齿圆柱齿轮优化设计案例，在含有连续变量和离散变量的可行域中求得所有全局最优设计方案。与普通优化方法比较，本文提出的全局寻优方法优于已有局部优化方法。

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(编辑  邓履翔)

收稿日期：2012-06-28；修回日期：2012-08-20

基金项目：国家自然科学基金资助项目(71221061, 70921001)

通信作者：万中(1966-)，男，江西都昌人，教授，从事优化方法及应用研究；电话：18684928167；E-mail: wanmath@163.com