协同进化蜜蜂算法结合谱估计的间谐波参数分析

卢泽华¹，罗日成²，黄彪³，李卫国¹

(1. 华北电力大学 电气与电子工程学院，高电压与电磁兼容北京市重点实验室，北京，102206；

2. 长沙理工大学 电气与信息工程学院，湖南 长沙，410014；

3. 国家电网湖南电力公司 岳阳供电分公司，湖南 岳阳，414001)

摘要：针对间谐波不易检测的特点，提出一种新的间谐波参数分析方法。首先利用加权信号子空间投影算法优化的多重信号分类算法(MUSIC，multiple signal classification)对间谐波信号频率进行估计。在分析过程中，利用欧拉公式将信号转化为空域信号，运用改进后的谱函数对谱峰进行搜索，实现信号的频率估计。最后利用蜜蜂算法结合收敛速度较快的自适应最小均方(LMS，least mean square)算法以2种群协同进化的方式，实现间谐波信号的幅值与相角估计。研究结果表明：改进后的MUSIC算法提高了非理想情况下间谐波参数估计的精度；采用协同进化蜜蜂算法减小了算法的迭代次数以及陷入局部极值的概率，同时也提高了工蜂位置向量的准确度。

关键词：间谐波；蜜蜂算法；协同进化；子空间投影

中图分类号：TM 712          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2014)08-2654-07

Analysis of inter-harmonics parameters using co-evolutionary bees algorithm and spectral estimate

LU Zehua¹, LUO Richeng², HUANG Biao³, LI Weiguo¹

(1. Beijing Key Laboratory of High Voltage & Electromagnetic compatibility,

School of Electrical and Electronic Engineering, North China Electric Power University, Beijing 102206, China;

2. School of Electoral and Information Engineering, Changsha Uniersity of Science and Technology, Changsha 410014, China;

3. Yueyang Power Branch Company, State Grid Hunan Electric Power Company, Yueyang 414001, China)

Abstract: Considering that the inter-harmonics can hardly be detected, a new analyzed method of inter-harmonics parameter was proposed. Firstly, by using MUSIC (multiple signal classification) optimized RWSP (random weighted signal-subspace projection) algorithm, the frequency of inter-harmonics signal was estimated. In the process of analysis, the signal to spatial signal was transformed to estimate the singal’s frequency with the Euler formula and the spectral function. Then the bees algorithm was applied combined with adaptive LMS (least mean square) and the approach of the two population co-evolutionaries to estimate the amplitude and phase of the inter-harmonics. The results show that the proposed RWSP-MUSIC can improve the estimation of non-ideal circumstances interharmonic parameter accuracy, the proposed coevolutionary bees algorithm can decrease the number of iterative algorithms and the probability of trapped in the local extremum, and can improve the accuracy of the worker’s position.

Key words: inter-harmonics; bees algorithm; co-evolutionary; subspace projection

随着大量非线性、冲击性负荷在电力系统中投入使用，尤其是风电机组大量接入电网，给电网带来了严重的谐波污染。在现代电网中不仅含有整数次谐波，而且存在非整数次谐波即间谐波。间谐波不仅会引起各种电气设备过热和损害，而且将导致电网电压的波动和闪变、无源滤波器过载、电压波形过零点偏移、次同步振荡以及通讯干扰等一系列问题。与整数次谐波相比，间谐波对电网安全运行的危害更加严重^[1-2]，因此，对间谐波参数进行快速、准确地检测和分析，是保证电网和电力设备安全经济运行的基础，是研究分析谐波问题的主要依据^[3]。由于间谐波频率不确定且幅值较小，因此，间谐波的检测要比谐波的测量困难得多。基于加窗插值傅里叶变换和小波变换的方法都难以完全消除频谱泄漏，且采样时间长，频率分辨率低^[4]，为此，国内外众多学者将现代谱估计方法和智能方法结合起来进行谐波和间谐波分析，该类方法具有采样时间短、频率分辨率高和抗噪性强等优点。目前，应用于谐波和间谐波分析的现代谱估计方法主要有：自回归(AR，auto recursive)谱估计^[5]、Prony法^[6]、特征空间求根法^[7]、Pisarenko法^[8]、Min-Norm法^[9]、多重信号分类(MUSIC，multiple signal classification)法^[10]、旋转不变子空间类算法(ESPRIT，estimation of signal parameters via rotational invariance techniques)^[11]等。神经网络(ANN，artificial neutral network)是人们研究较多的电力系统谐波和间谐波智能分析方法，Dash等^[12]提出基于Adaline神经元的谐波分析方法。柴旭峥等^[13]将FFT与Adaline神经网络相结合，提出FFT-ANN谐波和间谐波分析方法^[14]，先用FFT求出谐波和间谐波的频率，然后应用Adaline神经网络估计谐波和间谐波的幅值和相位。其缺点是分析精度受FFT算法的限制，需要较长的采样数据。Lin等^[15-16]提出改进的自适应神经网络谐波分析模型，采用三角基函数或傅里叶基函数，其缺点是收敛速度较慢或要求基波频率精确已知。采用神经网络自适应测量方法是一种较好的谐波和间谐波分析方法，其主要缺点是要求事先已知谐波和间谐波的频率，并且网络的学习速度仍有待提高。蜜蜂算法是一种通过初始化的群体在蜜源邻域内的区域进行邻域搜索的最优方法，具有良好的全局搜索能力与鲁棒性，但其收敛速度较慢。本文作者针对蜜蜂算法上述特点，将蜜蜂算法与收敛速度快的自适应算法相结合，以实现间谐波参数的估计；运用改进的MUSIC算法对间谐波信号的频率进行估计，继而利用协同进化的蜜蜂算法估计间谐波信号的幅值与相角，从而有效减少迭代次数，提高工蜂位置向量的准确度，有效实现间谐波各参数的快速分析。

1  基于改进MUSIC算法的频率估计原理

MUSIC算法是通过对阵列接收协方差数据进行数学分解，通过一系列数学运算如特征分解、QR分解、奇异值分解和施密特正交化等，将接收数据划分为信号子空间与噪声子空间2个正交的子空间，之后利用这2个子空间的正交性构造空间谱函数，根据空间谱函数进行谱峰搜索^[17]。但当考虑非理想信号时，采用普通的空间谱估计达不到理想的效果，针对这一问题，本文作者提出基于加权信号子空间投影算法，对MUSIC算法的谱函数进行修正继而进行间谐波频率估计。

设含间谐波的采样信号是由N个复正弦信号s(k)与噪声信号u(k)组成，其表达式为

   (1)

其中：k=0，1，…，N-1；N为采样点数；C_n，w_n和φ_n分别为第n个复正弦信号的幅值、频率和初相角；u(k)表示第k个信息采样点中的噪声。对式(1)进行欧拉变换得

          (2)

当1≤n≤N时，

        (3)

当N+1≤n≤2N时，

        (4)

取第n+1次快拍接收的数据向量为Y，则有

     (5)

式中：0≤k≤q-1；P为阵元数；q为采样快拍数。

根据式(2)，可将式(5)变换为

             (6)

式中：，为导向矢量矩阵；；n=1，2，3，…，2N；。

若噪声为理想的白噪声，且噪声功率为σ²，则根据式(6)可得数据向量Y的自相关矩阵：

   (7)

其中：I为单位矩阵；R_S和R_N分别为信号协方差矩阵和噪声协方差矩阵。

对R进行特征分解：

                 (8)

式中：U为特征矢量矩阵；，且之间满足由大到小的排序。定义

           (9)

          (10)

且两者对应的特征矢量矩阵分别为U_S和U_N，则式(8)可表示为

          (11)

式中：λ_k为特征值；u_k为对应的特征向量。显然，数据向量自相关矩阵可分解为信号子空间与噪声子空间，且彼此相互正交。根据两者的正交性可得空间谱函数。定义向量

      (12)

则空间谱估计函数为^[18-19]

 (13)

采用主特征值倒数加权的信号子空间投影(RWSP)算法。其谱函数的表达式为^[20]

       (14)

将式(13)与式(14)叠加得空间谱函数：

         (15)

依据该空间谱函数进行谱峰搜索，便可估计间谐波的频率参数。两谱函数相叠加的本质是：扫描方向向量在噪声子空间上投影空间倒谱与在加权信号子空间上的投影空间谱的叠加。实现间谐波频率参数估计的工作流程见图1。

图1  频率参数估计流程图

Fig. 1  Flow graph of inter-harmonics frequency estimation

2  基于协同进化的蜜蜂算法的幅值与相角估计原理

2.1  蜜蜂算法的原理

蜜蜂算法^[21](bees algorithm，BA)是Pham，受工蜂采蜜行为模型通过迭代来寻找最优解的群智能算 法^[22]的启发而提出。算法中工蜂的位置代表待求解问题的解，每只工蜂位置可以通过1个D维向量X=[x₁，x₂，…，x_D]来表示，并在蜜源领域内搜索最优值。

BA算法首先随机生成12个个数为n的蜂群，并评价该群体的适应度，然后进入迭代过程实行蜂群寻优。在迭代过程中，先选取L只适应度较高的工蜂，进而在这L只工蜂中选取m只工蜂。待选取完成后，分别对这些适应度较高的蜜源添加工蜂进行增援。增援的工蜂通过如下公式生成：

  (16)

其中：n_gh为蜜源的半径，表示搜索的区域范围。

然后，从增援的工蜂中选取适应度最高的工蜂V_best，将V_best与之前工蜂比较，选取最优。如此每次迭代后，L只较好的工蜂被保留形成下一代。较差的n-L只工蜂按如下公式进行侦察：

            (17)

式中：V_max和V_min分别为解空间估计的最大、最小值。

2.2  协同进化蜜蜂算法的间谐波幅值与相角估计

设采样信号中f(k)为基波与谐波分量，g(k)为间谐波分量，则采样信号可以表达为

   (18)

式中：C₀为直流分量；A_g为正弦信号的幅值；w₀为正弦信号的基波角频率；α_d为正弦信号的相位角；g为谐波和间谐波次数；H_i为复正弦信号的幅值；w_i^*为复正弦信号的角频率；α_i^*为复正弦信号的相位角。I=N-G；N为复正弦信号的个数。据两角和公式，式(18)可转化为

           (19)

将式(19)中不含角频率的式子用x_g和x_i′取代，可得

    (20)

根据式(19)取向量X′，即

     (21)

式(19)可改写为

             (22)

式中：

取蜜蜂算法的适应度函数为

             (23)

式中：ε(k)为误差函数，即

            (24)

本算法中设X′为蜜蜂算法的工蜂位置向量，该向量包含了所需求解的间谐波幅值与相角。因蜜蜂算法通常采用的种群中个体数量不多，同时为提高算法的收敛速度与粒子位置向量的准确度，减小陷入局部极值的概率，采用蜜蜂算法并结合自适应算法利用协同进化的方式对向量X′进行优化。协同进化的蜜蜂算法对间谐波参数估计的具体步骤如下。

步骤1：随机初始化2个种群，对个体数为n的种群1根据式(23)计算每个工蜂位置的适应度。

步骤2：2个种群进入同一循环，进行领域搜索选取工蜂对应的蜜源位置。

步骤3：单一个体的种群2按LMS算法通过表达式^[23-24]更新向量X′，其中j为迭代次数。

步骤4：种群1通过计算工蜂适宜值，选取适宜值较好的L只工蜂，并从中选取适就值最好的m只工蜂。通过式(16)选取的较优蜜源增援工蜂，其中适应值最好的m只工蜂对应蜜源增援的工蜂最多，计算并评价适应度，选取L只适应值最优的工蜂位置。

步骤5：2种群进行协同进化，其中由步骤4获得的最优工蜂位置向量与种群2的位置向量X′的适应度函数值进行比较，由胜出者替代。

步骤6：其他n-L只工蜂通过式(17)更新与搜索，计算适应度。

步骤7：判断循环结束的条件是否满足，若满足则结束算法，否则转至步骤3继续循环。

通过该算法可获取最佳工蜂位置向量，见式(21)。

则信号基波的幅值和相角为

      (25)

谐波与间谐波的幅值与相角分别为：

     (26)

     (27)

3  仿真与实例分析

因实际电网信号中谐波与间谐波的幅值相对基波幅值较小，故各次谐波和间谐波的幅值都控制在基波的2%以内^[25]。仿真信号的函数表达式为

上述信号由5个频率成分组成，分别为50.1 Hz(基波)、150 Hz(3次谐波)、250 Hz(5次谐波)、79 Hz和205 Hz(间谐波)。

3.1  频率估计仿真

信号中分别加入信噪比为65 dB与25 dB的高斯白噪声，空间谱分析时取阵元数40，采样点数为300，采样频率为3 kHz。表1所示为基于旋转不变子空间算法、多重信号分类算法以及RWSP-MUSIC算法对同一信号的间谐波频率估计结果，图2和图3所示分别为信噪比为25 dB和65 dB时谐波与间谐波的谱估计结果。

表1  间谐波频率参数估计结果

Table 1  Estimation results of Inter-harmonics frequency                         Hz

表2  间谐波幅值与相角参数估计结果

Table 2  Estimation results of Inter-harmonics amplitude and phase                     Hz

从表1及图2和图3可以看出：当信噪比为25 dB时，这3种方法都能取得良好的频率估计结果，信噪比越高，这3种算法的频率估计越准确；当信噪比为25 dB及更小时，这3种方法对频率的估计性能都开始下降，但本文提出的基于RWSP-MUSIC算法在较低信噪比下对频率参数的估计的准确度比TLS-ESPIT算法与MUSIC算法的准确度高，TLS-ESPIT算法总体上略好于MUSIC算法；79 Hz的间谐波的分析性能受噪声影响较严重，说明噪声的干扰会降低这3种方法的频率分辨率。在实际应用中，为了获得更准确的分析结果，可以对采样数据进行滤波处理，尽量减少信号中的噪声。

图2  信噪比为25 dB时频率估计仿真结果

Fig. 2  Estimated results of inter-harmonics frequency base on MUSIC,TLS-ESPRIT and RWSP-MUSIC when ratio of singial and noise is 25 dB

图3  信噪比为65 dB时频率估计仿真结果

Fig. 3  Estimated result of inter-harmonics frequency based on MUSIC, TLS-ESPRIT and RWSP-MUSIC when ratio of singial and noise is 65 dB

3.2  幅值与相角估计仿真

选取蜜蜂算法，基于递归最小二乘(RLS，recursive least squares)算法的Adaline神经网络、自适应LMS算法以及本文提出的协同进化蜜蜂算法分别进行间谐波的幅值与相角估计，得到这四者的收敛曲线，如图4所示。

图4  基于BA，LMS，LMS-BA与Adaline算法的收敛曲线

Fig. 4  Convergence curves based on BA, LMS, LMS-BA and Adaline

表2与图4中，LMS-BA表示协同进化的蜜蜂算法，Adaline表示基于RLS算法的Adaline神经网络。从图4可知：本文提出的协同进化蜜蜂算法的估计准确度明显比Adaline神经网络与自适应LMS算法的高，其收敛速度明显比蜜蜂算法的快；同时，改进的蜜蜂算法其收敛的迭代次数比蜜蜂算法的少，证明了本文提出的算法的可行性。

4  结论

(1) RWSP-MUSIC算法在间谐波参数估计上充分利用了信号子空间与噪声子空间进行谱估计，提高了非理想状态下间谐波参数估计的准确度，同时在信噪比较低的情况下其谱估计结果比MUSIC算法的结果优。

(2) 协同进化的蜜蜂算法具有分辨率高、估计结果准确、收敛速度快等优点，比传统的蜜蜂算法迭代次数少，估计精度高，同时减小了陷入局部极值的概率。协同进化的蜜蜂算法是电力系统间谐波幅值和相位估计的有效方法。

参考文献：

[1] WEN He, TENG Zhaosheng, GUO Siyu. Triangular self-convolution window with desirable sidelobe behaviors for harmonic analysis of Power system[J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2010, 59(3): 543-552.

[2] Panigrahi T K, Dash P K, Hota P K. A self-tuning optimized unscented Kalman filter for voltage flicker and harmonic estimation[J]. Power and Energy Conversion, 2010, 2(3): 250-278.

[3] Testa A, Akram M F, Burch R, et al. Interharmonics: Theory and modeling[J]. IEEE Transactions on Power Delivery, 2007, 22(4): 2335-2348.

[4] 高培生. 电力系统中的间谐波频谱分析[D]. 浙江: 浙江大学电气工程学院, 2008: 8-11.

GAO Peisheng. Spectrum analysis of interharmonics in electric power system[D]. Zhejiang: Zhejiang University. School of Electrical Engineering, 2008: 8-11.

[5] 马秉伟, 刘会金, 周莉, 等. 一种基于自回归模型的间谐波谱估计的改进算法[J]. 中国电机工程学报, 2005, 25(15): 79-83.

MA Bingwei, LIU Huijin, ZHOU Li, et al. An improved algorithm of interharmonic spectral estimation based on AR Model[J]. Proceedings of the CSEE, 2005, 25(15): 79-83.

[6] 丁屹峰, 程浩忠, 吕干云, 等. 基于Prony算法的谐波和间谐波频谱估计[J]. 电工技术学报, 2005, 20(10): 94-97.

DING Yifeng, CHENG Haozhong, L Ganyun. Spectrum estimation of harmonics and interharmonics based on prony algorithm[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2005, 20(10): 94-97.

[7] 沈睿佼, 杨洪耕. 基于特征空间求根法的非整数次谐波估计方法[J]. 中国电机工程学报, 2006, 26(24): 72-76.

SHEN Ruijiao, YANG Honggeng. A new method for non-integer harmonics measurement based on root-eigenspace method[J]. Proceedings of the CSEE, 2006, 26(24): 72-76.

[8] 王志群, 朱守真, 周双喜. 基于Pisarenko谐波分解的间谐波估算方法[J]. 电网技术, 2004, 28(l5): 72-77, 82.

WANG Zhiqun, ZHU Shouzhen, ZHOU Shuangxi. Inter-harmonics estimation by pisarenko harmonic decomposition method[J]. Power System Technology, 2004, 28(l5): 72-77, 82.

[9] Lobos T, Leonowicz Z, Rezmer J, et al. High resolution spectrum-estimation methods for signal analysis in Power systems[J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2006, 55(l): 219-225.

[10] 高培生, 谷湘文, 吴为麟. 基于空间谱和支持向量回归机的间谐波分析[J]. 电力系统自动化, 2007, 31(24): 67-70.

GAO Peisheng, GU Xiangwen, WU Weilin. Inter-harmonic analysis based on spatial spectrum and support vector regression machine[J]. Automation of Electric Power Systems, 2007, 31(24): 67-70.

[11] 张静, 徐政, 牛卢璐. TLS-ESPRIT在电力系统信号高精度频谱估计中应用[J]. 电力自动化设备, 2009, 29(5): 48-51.

ZHANG Jing, XU Zheng, NIU Lulu. Application of TLS-ESPRIT in high resolution spectrum estimation of power system signal[J]. Electric Power Automation Equipment, 2009, 29(5): 48-51.

[12] Dash P K, Swain D P, Liew A C, et al. An adaptive linear combiner for on-line tracking of Power system harmonics[J]. IEEE Transactions on Power Systems, 1996, 11(4): 1730-1735.

[13] 柴旭峥, 文习山, 关根志, 等. 一种高精度的电力系统谐波分析算法[J]. 中国电机工程学报, 2003, 23(9): 67-70.

CHAI Xuzheng, WEN Xishan, GUAN Genzhi, et al. An algorithm with high accuracy for analysis of power system harmonics[J]. Proceedings of the CSEE, 2003, 23(9): 67-70.

[14] 王公宝, 向东阳, 马伟明. 基于FFT和神经网络的非整数次谐波分析改进算法[J]. 中国电机工程学报, 2008, 28(4): 102-105.

WANG Gongbao, XIANG Dongyang, MA Weiming. Improved algorithm for non-integer harmonics analysis based on FFT algorithm and neural network[J]. Proceedings of the CSEE, 2008, 28(4): 102-105.

[15] Lin H C. Intelligent neural network-based fast power system harmonic detection[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2007, 54(1): 43-52.

[16] Mori H, Itou K, Uematsu H, et al. An artificial neural-net based method for predicting power system voltage harmonics[J]. IEEE Transactions on Power Delivery, 1992, 7(1): 402-409.

[17] 冯宝, 樊强, 易浩勇, 等. 基于三线性分解的电力系统谐波与间谐波参数估计算法[J]. 中国电机工程学报, 2013, 33(25): 173-179.

FENG Bao, FAN Qiang, YI Haoyong, et al. A harmonic and inter-harmonic parameter estimation algorithm of electric power systems based on tri-linear decomposition[J]. Proceedings of the CSEE, 2013, 33(25): 173-179.

[18] 林达斌, 江亚群, 黄纯, 等. 一种新的谐波、间谐波参数估计算法[J]. 电网技术, 2012, 36(6): 170-174.

LIN Dabin, JIANG Yaqun, HUANG Chun, et al. A new algorithm to estimate parameters of harmonics and interharmonics[J]. Power System Technology, 2012, 36(6): 170-174.

[19] 石宇. 阵列信号处理中信号参数估计的研究[D]. 吉林: 吉林大学通信工程学院, 2008: 1-25.

SHI Yu. Sources parameters estimation based on array signal processing[D]. Jilin: Jilin University. School of Communication Engineering, 2008: 1-25.

[20] 张君俊, 杨洪耕. 间谐波参数估计的TLS-ESPRIT算法[J]. 电力系统及其自动化学报, 2010, 22(2): 70-75.

ZHANG Junjun, YANG Honggeng. TLS-ESPRIT for inter-harmonic estimation[J]. Proceedings of the CSU-EPSA, 2010, 22(2): 70-75.

[21] 李海生. 蜂群算法及其在垂直Web搜索中的应用[D]. 广州: 广州大学数字与信息科学学院, 2010: 16-21.

LI Haisheng. Bees algorithm and its application to vertical web search[D]. Guangzhou: Guangzhou University. School of Mathematics and Information Science, 2010: 16-21.

[22] Kavousi A, Vahidi B, Salehi R, et al. Application of the bee algorithm for selective harmonic elimination strategy in multilevel inverters[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2012, 27(4): 1689-1696.

[23] 李萍萍, 裴炳南, 胡立军. 改进的自适应LMS算法[J]. 计算机工程与应用, 2011, 47(13): 134-135.

LI Pingping, PEI Bingnan, HU Lijun. Improved adaptive LMS algorithm[J]. Computer Engineering and Applications, 2011, 47(13): 134-135.

[24] Cirrincione M, Pucci M, Vitale G, et al. Current harmonic compensation by a single-phase shunt active power filter controlled by Adaptive neural filtering[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2009, 56(8): 3128-3143.

[25] 陈国志. 电力谐波和间谐波参数估计算法研究[D]. 浙江: 浙江大学电气工程学院, 2010: 95-108.

CHEN Gaozhi. Parameters estimation algorithm for electrical harmonics and inter-harmonics[D]. Zhejiang: Zhejiang University. School of Electrical Engineering, 2010: 95-108.

(编辑  陈灿华)

收稿日期：2014-01-20；修回日期：2014-03-28

基金项目：国家自然科学基金资助项目(50977003)

通信作者：李卫国(1954-)，男，辽宁黑山人，教授，博士生导师，从事电能质量分析与控制、电力设备故障诊断和绝缘技术研究；电话：010-81738575；E-mail：lwglixi@tom.com