DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.01.038
基于本构关系计算受弯混凝土梁正截面承载力
张楠，韩乐，李茜铭
(中南大学 建筑与艺术学院，湖南 长沙，410076)
摘要：采用双模量弹性理论研究受弯混凝土梁正截面承载力的计算。基于混凝土受压应力与应变本构关系，由截面静力平衡条件推导直接利用本构关系计算受弯混凝土梁正截面承载力的公式和相应的计算方法，通过算例所得正截面承载力结果与相关规范值进行对比分析。研究结果表明：所推导方法可行且可靠，具有明确的物理意义。
关键词：钢筋混凝土；截面；承载力；双模量；本构关系
中图分类号：TU375 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2015)01-0282-05
Calculation of head-on cross-section bearing capacity of concrete beams based on constitutive relation
ZHANG Nan, HAN Le, LI Qianming
(School of Arts and Architecture, Central South University, Changsha 410076, China)
Abstract: The head-on cross-section of bearing capacity of concrete beams is often calculated by adopting equivalent rectangular graphic method in domestic and foreign criterion; while the characteristic parameters of this method should be determined by a large number of experiments. Bi-modulous theory of elasticity was adopted to calculate the head-on cross-section bearing capacity of concrete beams. On the basis of the concrete stress-strain and constitutive relation, a formula and its calculating method of directly using constitutive relation to calculate the head-on cross-section bearing capacity of concrete beams was deduced by means of static equilibrium conditions of section. The results obtained by examples and relevant standards were compared and analyzed. The results indicate that the method is quite practical and more reliable, and it has a definitely physical meaning.
Key words: steel reinforced concrete; section; bearing capacity; bi-modulous; constitutive relation
对于1个钢筋混凝土矩形截面构件，在极限状态下的截面应力分布为曲线图形。为了简化计算，多将压区混凝土的曲线应力图转换成一矩形应力图，即采用等效矩形应力图法[1]。等效矩形应力图的概念见图1。当2个图形的体(面)积相等且重心重合时，如果这2个图形的总压力的数值和作用位置相同，则两者完全等效。等效矩形应力图共有3个特征参数，其中2个是应力(几何)图形换算参数，与强度无关，其数值主要取决于混凝土的应力与应变曲线形状和极限应变，还因构件的截面形状、配筋率(或压区高度)、纵筋和箍筋的约束作用等而变化。特征参数要通过大量试验结果来确定，而中国规范[2-3]、美国规范[4]、英国规范[5]和欧洲规范[6-7]等给出的特征参数又不完全一致，但各国规范采用的混凝土受压应力与应变曲线基本一致，若采用应力与应变曲线则可不依赖试验确定的特征参数。由于极限设计理论计算钢筋混凝土构件正截面承载力时，忽略了混凝土的抗拉强度而仅考虑混凝土的抗压强度及钢筋的抗拉强度，因此，钢筋混凝土符合双模量材料特性，即拉伸区与压缩区的弹性模量不同[8-13]。本文从混凝土受压应力应变曲线出发，采用双模量弹性理论给出利用本构关系计算受弯混凝土梁正截面承载力的方法。
图1 等效矩形应力图
Fig. 1 Diagram of equivalent rectangular stress
1 计算理论及方法
C50以下混凝土在工程实际中应用最常见，其受压应力与应变曲线[14]见图2。受压应力与应变曲线表达式为
(1)
式中：fc为混凝土抗压强度，
为压应变取值范围，
为相应于峰值应力时的压应变，
为混凝土的极限压变，
为压应变是时混凝土的应力。为了计算方便，可将式(1)化为
(2)
式中：
；
。以矩形截面为例，假设梁截面有弯矩M及轴向压力N共同作用。由弹性理论可知混凝土受压区应变为
(3)
由截面静力平衡条件，可得：
(4)
图2 受压应力-应变曲线
Fig. 2 Compressive stress-strain curves
图3 正截面示意图
Fig. 3 Diagrammatic sketch of head-on cross-section
式中：
和
分别为受压区和受拉区钢筋截面积；
和
分别为受压区和受拉区钢筋应力；
为受压区钢筋合力点至受压区边缘距离。将式(2)和式(3)代入式(4)可得：
(5)
式中：
；
；
。当构件破坏时，由平截面假定有
(6)
将式(6)代入式(5)可得：
(7)
式(7)就是利用混凝土本构关系计算受弯梁正截面承载力的公式。对于受弯构件正截面平衡(界限)破坏情况，受拉钢筋达到钢筋屈服强度fy的同时，受压区边缘混凝土达到极限压应变，混凝土发生受压破坏。此时，
，
；受压区高度为
，h0为截面的有效高度，由平截面假定
(8)
当x0＜x0b时，发生受拉破坏，这时；当x0＞x0b时，发生受压破坏，这时＜
；当
时，发生平衡(界限)破坏，这时。
的计算式为
(9)
(10)
满足条件：
。受弯构件的计算以双筋矩形截面受拉破坏为例，此时，，
，代入式(7)得
(11)
2 本文公式与《规范》中公式的比较
下面通过矩形截面梁计算实例来比较本文公式和GB 50010—2010“混凝土结构设计规范”(以下简称“规范”)中的公式所得计算结果。
计算实例1：单筋矩形截面，钢筋为HRB400级，As=1 018 mm2 (4根，直径为18 mm)，环境类别为一类。计算结果如表1所示。
计算实例2：单筋矩形截面，b×h=250 mm×500 mm，钢筋为HRB335级，环境类别为一类。计算结果如表2所示。
计算实例3：单筋矩形截面，b×h=250 mm×500 mm，As=1 018 mm2 (4根，直径为18 mm)，环境类别为一类。计算结果如表3所示。
计算实例4：双筋矩形截面，b×h=250 mm× 450 mm，钢筋为HRB500级，As=1 473 mm2 (3根，直径为25 mm)，
402 mm2 (2根，直径为16 mm)，环境类别为二类。计算结果如表4所示。
从表1~4可以看出：直接利用混凝土应力与应变本构关系的计算公式与《规范》中公式相比，承载力计算结果接近，误差较小，但数值偏低，说明了本文公式的可行性，也说明采用本文公式将使梁设计更加安全、可靠。
表1 使用2个公式比较计算截面不同混凝土的载力(单筋)
Table 1 Comparison of bearing capacity calculated by two formulas(singly reinforced)
表2 使用2个公式比较计算钢筋面积不同混凝圭的承载力 (单筋)
Table 2 Comparison of bearing capacity calculated by two formulas(singly reinforced)
表3 使用2个公式比较计算钢筋等级不同混凝土的承载力(单筋)
Table 3 Comparison of bearing capacity calculated by two formulas(singly reinforced)
表4 本文公式与规范公式承载力计算比较(双筋)
Table 4 Comparison of bearing capacity calculated by two formulas(doubly reinforced)
3 算例
某矩形截面受弯构件，b=250 mm，h0=415 mm，混凝土强度等级为C40，钢筋为HRB335级，fyk= 335 MPa，纵向受拉钢筋面积As=804 mm2。
1) 按本文方法和各国规范计算承载力。
① 采用本文方法按中国规范[2]参数计算：
19.1 GPa；
4 774.0 GPa；
285.3 mm
由式(11)得(其中
)
＜
由式(11)得Mu(受弯极限承载力)，其中
=93.0 kN·m
② 对于中国规范[2]，
＜
94.2 kN·m
③ 对于美国规范[4]，
95.8 kN·m
④ 对于英国规范[5]，
=99.0 kN·m
⑤ 对于水工规范[3]，M为截面所受的弯矩设计值，
97.0 kN·m
80.8 kN·m
2) 此梁为简支梁，承受均布荷载，其中永久荷载标准值为gk，可变荷载标准值为qk，且gk=qk，计算跨度L为4 m，求此梁能承受的荷载。
按本文方法和各国规范计算承受荷载(
2 m2)。
① 对于本文方法[15]，
93.0 kN·m，得
17.9 kN·m
② 对于中国规范[15]，
94.2 kN·m，得18.1 kN·m
③ 对于美国规范[4]，
95.8 kN·m，得17.1 kN·m
④ 对于英国规范[5]，
99.0 kN·m，得16.5 kN·m
⑤ 对于水工规范[3]，
80.8 kN·m，得18.0 kN·m
4 结论
1) 由本文方法与由各国规范计算出的正截面承载力有所不同，但都很接近，相对误差不超过5%，说明钢筋混凝土构件正截面承载力的计算方法比较成熟，也说明本文采用的方法是可行的。由本文方法计算的正截面受弯承载力比由中国规范计算的正截面受弯承载力略低，说明本文方法更保守、可靠。
2) 当截面、材料和配筋相同时，按不同规范计算其可承担的荷载标准值相差较大。由英美两国规范所得荷载标准值计算结果很接近，说明这2个规范的可靠度也比较接近；由本文方法与我国两规范所得计算结果也接近，说明这3种方法可靠度也接近。但从算例可见，对于受弯构件正截面，按我国规范计算可以承担的荷载较英美规范约大10%，说明我国规范的可靠度低于英美规范中的可靠度。
3) 各国计算钢筋混凝土构件正截面承载力均采用等效矩形应力图形法，此方法要确定2个特征参数，计算参数需通过大量试验来确定，而各国给出的特征参数又不完全一致，但各国规范采用的混凝土受压应力与应变曲线基本一致。本文方法直接采用应力与应变曲线而不用等效矩形应力图形法，避免了需由试验来确定特征参数的问题，为梁的正截面设计提供了一种新的方法，且具有明确的物理意义。
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(编辑 陈灿华)
收稿日期：2014-02-12；修回日期：2014-04-22
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51178465)；湖南省教育厅教学改革研究重点项目(湘教通[2012]401号359项) (Project(51178465) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(Hunan Education inform [2012]401 No.359) supported by Hunan Province Office of Education Teaching Reform Research Project)
通信作者：韩乐，博士，从事土建类研究；E-mail: hanle1987@csu.edu.cn
