多频激励下气动隔振系统非线性特性分析
钟艳春，杨庆俊，包钢
(哈尔滨工业大学 机电工程学院，黑龙江 哈尔滨，150001)
摘要：运用非线性动力学的方法研究气动隔振系统在多个频率激励下的非线性动力学特性。通过试验的方法得到空气弹簧在一定初始压力下的相对载荷曲线，以空气弹簧工作高度为自变量，用三次多项式对该曲线进行非线性拟合，得到弹簧非线性恢复力与工作高度的三次多项式表达式。建立气动隔振系统在3个激励频率下的非线性模型，根据弹簧的非线性恢复力，得到系统的非线性动力学方程。运用多尺度法对该非线性动力学方程进行求解，分析3个频率共同作用下的组合共振，讨论各非线性参数对系统的影响。研究结果表明：当组合频率接近系统线性化固有频率时，系统具有很强的组合共振；三次非线性系数直接影响系统的非线性特性；激励幅值越大，非线性现象越明显。
关键词：气动隔振；多频激励；非线性特性；多尺度法
中图分类号：O328 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2011)12-3754-06
Nonlinear characteristic analyses of pneumatic vibration isolation system with a multi-frequency excitation
ZHONG Yan-chun, YANG Qing-jun, BAO Gang
(School of Mechanical and Electrical Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)
Abstract: The nonlinear dynamics characteristic of pneumatic vibration isolation system with a multi-frequency excitation was studied with the method of nonlinear dynamics. First, relative load curve of an air spring under a certain initial pressure was obtained by test, and based on the test data, a cube polynomial equation was obtained by means of nonlinear polynomial curve fitting according to the equilibrium heights of the air spring. Then, the nonlinear model of pneumatic vibration isolation system with a multi-frequency excitation was built and nonlinear dynamics equation was obtained according to nonlinear restoring force of the air spring. Next, the method of multiple scales was used to solve the nonlinear dynamics equation. Finally, combination resonance of pneumatic vibration isolation system with a multi-frequency excitation was analyzed and influences of the nonlinear parameter to the system were discussed. The results show that when combination frequencies are near the linearized natural frequency, combination resonance becomes strong. Cube nonlinear parameter directly influences nonlinear characteristic of the system, the greater the excitation amplitude, the more obvious of the nonlinear characteristic.
Key words：pneumatic vibration isolation; multi-frequency excitation; nonlinear characteristic; multiple scales method
气动隔振系统承载力大，有效行程大，隔振效果优异，广泛应用于仪器平台、光学平台、精密加工与检测、舰船动力设备隔振、车辆悬挂等的振动隔离[1-5]。由于非线性微分动力系统的复杂性，空气弹簧的弹性恢复力非线性对隔振系统特性的影响没有同时得到有效研究。为了简化计算过程，在大量的实际操作中，空气弹簧或被近似处理成定刚度弹簧，或忽略空气弹簧变形过程中有效面积以及其他参数改变后，由空气弹簧内气体的状态确定弹簧的状态[6]。近年来，有学者开始气动隔振系统的非线性研究，Heertjes等[7]研究了气体压缩的非线性对传递率和导纳的影响。尹万建 等[8]研究了空气弹簧在单频正弦激励情况下的主共振，并认为激励幅值与非线性刚度是影响空气弹簧悬架非线性特性的主要因素，但是，没有研究系统多频激励下的非线性特性。在非线性方程方面，周一峰等[9]建立了主动隔振体的非线性动力学方程，对求解强非线性自治系统的能量迭代方法加以改进，将其用于求解强非线性非自治系统，得到了主动隔振系统周期运动响应的解析表达式和振幅-频率关系曲线。Nayfeh等[10]研究了平方和立方非线性系统在2个简谐激励共同作用下的组合共振和联合共振情况。在此，本文作者首先从基本的实验数据出发，得到空气弹簧相对载荷随高度的曲线，然后用三次多项式拟合该试验曲线，得到弹簧恢复力与高度之间的关系式。将恢复力代入载荷运动动力学方程得到系统在3个简谐激励共同作用下的非线性平衡方程，利用多尺度法[11-13]对该非线性振动方程进行求解，分析各参数变化对系统幅频特性的影响，以便为指导气动隔振系统的设计提供理论依据。
1 空气弹簧非线性模型
本文选用简单的单腔气弹簧对其进行非线性特性分析。气动隔振系统简化模型如图1所示。图1中：M为弹簧上的质量；K为空气弹簧总刚度，c为考虑空气弹簧自身阻尼在内的总阻尼；xb为基座振动，x为负载振动。
图1 气动隔振系统模型简图
Fig.1 Schematic diagram of pneumatic vibration isolation system
1.1 空气弹簧载荷
选用Firestone 1M1A-1型空气弹簧作为研究对象。空气弹簧在初始充气压力为0.7 MPa时，不同高度下的绝对载荷如图2所示。
图2 Firestone 1M1A-1型空气弹簧绝对载荷随高度变化曲线
Fig.2 Absolute load curve with height of Firestone 1M1A-1 air spring
从图2可以看出：与一般弹簧的特性不同，空气弹簧的绝对弹力总是正值。但相对平衡位置，弹力可以有正有负：在平衡位置以上为负，在平衡位置以下为正。相对于平衡位置75 mm高度时的相对载荷如图3所示。
1.2 空气弹簧恢复力拟合
文献[6]指出仅用三次多项式就能非常精确地拟合试验曲线，采用太高的幂次一方面不会显著提高精度，另一方面会使拟合刚度曲线光滑性变差。因此，本文采用三次多项式对该曲线拟合。空气弹簧相对平衡位置的弹性恢复力F可以表示为：
(1)
式中：F为空气弹簧相对平衡位置的弹性恢复力；x为载荷振动；xb为基座振动；k1为空气弹簧的线性刚度；k2为二次非线性系数，k3为三次非线性系数。
以实验所得的空气弹簧相对弹力为原始数据，根据式(1)对其进行三次多项式拟合，拟合曲线如图3所示。通过曲线拟合得到的三次多项式系数分别为k1=20.5 N/m，k2=3 063 N/m2，k3=212 797 N/m3。从图3可以看出：拟合曲线和实验数据重合性好。
图3 Firestone 1M1A-1型空气弹簧相对载荷多项式拟合曲线
Fig.3 Relative load polynomial fitting curve of Firestone 1M1A-1 air spring
2 多频激励下气动隔振系统非线性模型
考虑对于多频激励进行分析时，3个频率激励具有很好典型性，能很好地反映系统多频激励下的规律性，并且分析也简单明了，因此，本文选用3个激励频率进行分析。假设基座激励为：
(2)
式中：F1，F2和F3依次为3个外部激励的幅值；Ω1，Ω2和Ω3依次为3个外部激励的频率；θ1，θ2和θ3依次为3个外部激励的初相角。
在其激励下，系统的动力学方程为：
(3)
式中：M为载荷质量；c为系统阻尼系数。
设y=x-xb，则方程(3)可以写为：
(4)
构造长度尺度L=F1和时间尺度
得到无量纲变量
，
。对式(4)进行无量纲化，则得到：
(5)
式中：ω1=Ω1T；ω2=Ω2T；ω3=Ω3T；φ1=θ1T；φ2=θ2T；φ3=θ3T；ε=T；
；
；
；
；
；
。
运用多尺度法对式(5)进行分析，设式(5)的近似解为：
(6)
式中：T0=τ，T2=ετ分别为不同的时间尺度变量。
因此，关于τ的导数变成关于T0和T1的偏导数的展开式，即有
(7)
(8)
式中：
。
将式(6)~(8)代入式(5)，并展开比较ε同次幂的系数，得到：
(9)
(10)
方程(9)的通解可以写为：
(11)
式中：
；cc代表前面各项的共轭。
将方程(11)代入方程(10)得到：
(12)
从式(12)可以看出：在3个频率激励下，系统会出现超谐共振2ωn≈1，3ωn≈1，亚谐共振ωn≈2，ωn≈3，组合共振
，
，
，
，
，
，
等。
下面讨论
的情况。引进调谐参数σ，令
(13)
将其代入(ω1+ω2+ω3)T0可以写为：
(ω1+ω2+ω3)T0=T0+εσT0=T0+σT1 (14)
由式(12)式可得，若
(15)
其中：
，
，
。则可以消除μ1中的长期项。
设
(其中，α和β都是实数)，将其代入式(15)分离实部和虚部得到：
(16)
(17)
式中：γ=σT1-β+φ1+φ2+φ3。
令式(14)和(15)
得其稳定解。得到下列方程组：
(18)
由式(18)可得频率响应为：
(19)
联合前面各表达式，并将其代入方程(19)得到频率响应和各初始参数之间的关系为：
(20)
3 系统参数对频率响应曲线的影响
方程(20)即为系统的频率响应关系式，下面分别固定其他参数而变化其中1个参数，得到各主要参数对系统幅频曲线的影响。图4~7所示分别为各主要参数变化对系统幅频特性影响的曲线。
图4 激励幅值变化时的组合共振幅频曲线
Fig.4 Frequency-response curves in different excitation amplitudes
图4中，k1=20.5 N/m，k2= -3 063 N/m2，k3=21 279 N/m3，ω1=0.18，ω2=0.34，ω3=0.49，M=280 kg，c=140 N·s/m。从图4可以看出：激励幅值对非线性响应曲线有明显影响；随着激励幅值的增大，组合共振的响应振幅也增大。并且随着激励幅值的增大，幅频曲线的骨架曲线的弯曲程度变得更大，说明激励幅值越大，系统非线性特性越明显。
图5中，其余各参数取值如下：k1=20.5 N/m，k2= -3 063 N/m2，F1=F2=F3=0.015 m，ω1=0.18，ω2=0.34，ω3=0.49，M=280 kg，c=140 N·s/m。从图5可以看出：三次非线性系数直接影响幅频响应曲线的非线性特性。当k3＞0时，幅频曲线的骨架曲线向右弯曲，当k3＜0时，幅频曲线的骨架曲线向左弯曲；k3的绝对值越大，曲线的弯曲程度越大；组合共振响应曲线的幅值也随k3的绝对值的增大而增大。
图5 三次非线性系数变化时的组合共振幅频曲线
Fig.5 Frequency-response curves in different cube nonlinear parameters
图6中，其余各参数取值如下：k1=20.5 N/m，k2= -3 063 N/m2，k3=21 279 N/m3，F1=F2=F3=0.015 m，从图6可知，当载荷变小时，这种组合共振的幅频曲线弯曲程度变大，非线性现象变得更明显。
图7中，其余各参数取值如下：k1=20.5 N/m，k2= -3 063 N/m2，k3=21 279 N/m3，F1=F2=F3=0.015 m，ω1=0.18，ω2=0.34，ω3=0.49，M=280 kg。从图7可以看出：随着阻尼系数的增大，组合共振响应曲线的幅值变小。而幅频曲线的骨架曲线不受阻尼的影响，系统的共振域也基本不变。
图6 载荷变化时的组合共振幅频曲线
Fig.6 Frequency-response curves in different load masses
图7 阻尼系数变化时的组合共振幅频曲线
Fig.7 Frequency-response curves in different damping coefficients
4 结论
(1) 根据实验得到的空气弹簧动载荷曲线，运用三次非线性多项式对其进行拟合，得到一定初始压力下空气弹簧相对平衡位置的非线性恢复力与高度的关系式，为对系统非线性求解奠定了基础。
(2) 在3个频率激励下系统会出现超谐共振、亚谐共振、组合共振等情况。对ω1+ω2+ω3≈1的组合共振进行分析，得到了频率响应方程。
(3) 激励幅值越大，系统非线性现象越明显；三次非线性系数对系统非线性影响大，当k3＞0时，幅频曲线的骨架曲线向右弯曲；，当k3＜0时，幅频曲线的骨架曲线向左弯曲；载荷变小时，组合共振幅频曲线弯曲程度变大；阻尼变小时，组合共振响应曲线的幅值变大，系统的共振域不受阻尼变化的影响。
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(编辑 赵俊)
收稿日期：2010-12-29；修回日期：2011-03-15
基金项目：国家自然科学基金资助项目(51075081)
通信作者：钟艳春(1982-)，男，湖南邵阳人，博士研究生，从事气动隔振及控制研究；电话：0451-86413446；Email: y.c.zhong@163.com
