含层间剪切带复合岩体失稳机制的突变理论分析
闫长斌
(黄河勘测规划设计有限公司，河南 郑州，450003)
摘要：层间剪切带作为一种特殊的软弱结构面，常常构成威胁坝基、边坡、围岩稳定性的控制性因素。针对含层间剪切带复合岩体失稳破坏特点，考虑层间剪切带的非均质性，以含层间剪切带复合岩体系统为研究对象，运用突变理论方法，建立含层间剪切带复合岩体失稳的燕尾突变模型。根据建立的突变模型，在分析平衡曲面方程势函数极值点的个数及其表现形式的基础上，给出含层间剪切带复合岩体系统失稳的突跳特征和发展过程，并对层间剪切带发生错动破坏引起围岩系统失稳的演化过程进行分析。研究结果表明：含层间剪切带复合岩体的破坏形式及其演化过程取决于层间剪切带与围岩组成系统的稳定性，而系统的稳定性则与层间剪切带与相邻岩层间的相互作用是密切相关的。
关键词：岩石力学；层间剪切带；失稳破坏；突变理论；演化过程
中图分类号：TU457 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2013)10-4281-06
Analysis of instability mechanism of composite rock mass with interlayer shear zone by catastrophe theory
YAN Changbin
(Yellow River Engineering Consulting Co., Ltd., Zhengzhou 450003, China)
Abstract: As a special soft structural plane, interlayer shear zones are controlling factors threatening the stability of dam foundation, slope and surrounding rock frequently. The swallowtail catastrophe model of composite rock mass with interlayer shear zones was established by the catastrophe theory with the composite rock mass system with interlayer shear zones being the integral study object, considering the instability failure characteristics of the composite rock mass with interlayer shear zones and the heterogeneity of interlayer shear zone. The jump properties and developing process of the instability of the composite rock mass system with interlayer shear zones were presented based on the catastrophe model and the analysis of the number and its behaviour styles of the potential function of equilibrium surface equations. The evolution procedure of the surrounding rock system instability resulted from the failure of interlayer shear zones was analyzed. The results show that the failure form and its evolution procedure of the composite rock mass with interlayer shear zones are dependent on the stability of the system made up of interlayer shear zone and surrounding rock. While the system stability is closely interrelated with the interaction between the interlayer shear zones and the adjacent strata.
Key words: rock mechanics; interlayer shear zone; instability failure; catastrophe theory; evolution procedure
层间剪切带，有时也称为软弱夹层、泥化夹层等，目前还没有统一的、规范的定义，通常是指上下方硬岩层之间所夹的软弱岩石，受到构造挤压作用，发生层间剪切错动而使原岩结构遭到破坏，形成的一种岩石破碎、结构疏松、粘粒含量高、性状差、强度低、分布广、危害大的软弱结构面[1-5]。若在地下水、风化卸荷等因素长期作用下，剪切带往往会进一步泥化，形成力学性质更差的泥化带或泥化夹层[6-8]。迄今为止，层间剪切带作为一种特殊的软弱结构面，直接威胁坝基、边坡、洞室围岩的稳定性，对工程建设的危害早已引起人们的广泛关注。特别是在水利水电工程中，因为层间剪切带发育而使工程被迫停工、延长施工周期、变更原设计方案以及后期加固而追加投资等现象时有发生，甚至诱发工程失事的案例也不胜枚举。通常情况下，强度上具有明显差异的不同岩性组成的成层性或互层状二元结构，为层间剪切带的发育提供了前提条件。层间剪切带与上下盘围岩组成的复合岩体，例如隧洞顶板围岩、边坡等，其垮塌与滑动过程往往呈现出由渐变到突变的不连续突跳性。因此，可以借助突变理论分析分析其失稳机理与演化过程。实际上，许多学者[9-14]运用突变理论中的尖点突变模型或折迭突变模型来分析岩体的失稳现象，取得了一些重要成果。为此，本文作者以层间剪切带与上下盘围岩组成的复合岩体为研究对象，借助突变理论深入分析含层间剪切带复合岩体发生错动、失稳破坏机理，对于预防层间剪切带发育的薄弱部位岩体失稳破坏、优化工程设计与支护措施等具有重要意义。
1 含层间剪切带复合岩体失稳的燕尾型突变模型
考虑含层间剪切带岩体的非均质性，假定层状岩体为刚体，层间剪切带的倾角为β，厚度为h，上部岩体的重力为mg，自重作用下沿层间剪切带产生的蠕滑位移为u。根据实际情况，假定层间剪切带由2段不同力学性质的介质组成[15-16]，在某些区段介质具有弹性或应变硬化性质，其变形随剪应力的增大而增大；而在另一些区段，介质具有应变弱化性质，其变形随剪应力增大而减小。
弹性区段介质的本构关系为
(1)
式中：τ1为弹性段介质的剪应力；G1为弹性段介质的剪切模量；u1为失稳点的临界位移；τm为弹性段介质的残余剪切强度。
应变软化区段介质的本构关系为[15-16]：
(2)
式中：τ2为应变软化段介质的剪应力；G2为应变软化段介质的初始剪切模量；u2为峰值强度对应的位移。对式(2)求解d2τ2/du2=0，可以确定应变软化区段曲线拐点的位移，其值为u0=2u2，斜度为k=-(G2e-2)/h。因此，可假定τ0=ku，此时式(2)可以改写为
(3)
在错动面内剪应力τ＜τ0时，岩体不会产生位移，仅当剪应力达到τ0时，岩体才开始错动；此时τ随u的增加而减少，表现出损伤弱化的特点。
假定含层间剪切带岩体错动位移与错动面的夹角为φ，发生错动岩体的长度为l，弹性区段长度为le，应变弱化段的长度为ls，则l=le+ls。则系统的总势能是层间剪切带的应变能和滑块的滑动势能之和，其总势能为
(4)
对式(4)求
，可得含层间剪切带复合岩体系统的平衡曲面方程为
(5)
对式(5)求平衡光滑曲面方程，即
时，可得
(6)
将式(5)在u=3u0/2处进行幂级数的Taylor公式展开，并截取至4次项，可得：
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
式(7)就是燕尾突变模型的标准形式。其中：x为系统状态变量；p，q和r为系统控制变量；ζ为层间剪切带弹性区段介质的刚度与应变弱化区段介质的刚度之比(刚度比)；δ与介质重力、系统几何尺寸、介质参数等有关，称为几何-力学参数。
对式(7)求导，可得：
(14)
将式(7)和(14)联立，消去x可得到分叉集[17]。分叉集在p，q和r空间中的形式如图1(a)所示。从式(9)可知：此系统模型为燕尾型突变模型的特殊形式，控制变量p为负的常数，说明该模型分叉集截面为图1(c)。状态变量x则由q和r控制，系统的突变与q和r密切相关。而实际上q和r又都与具有物理意义的控制参数ζ和δ相关。
通过对燕尾突变模型的平衡曲面方程分析可知，其势函数最多有4个极值点。控制变量p，q和r的不同取值使系统处于不同的分叉集区域，其势函数极值点的个数不同，形式也不同。相应地，系统呈现出不同的性质，见图2。
当q=0时，在p和r截面上，可由式(7)求出平衡曲面方程的解：
(15)
(1) 当r＞4/9时，x无实根，即平衡曲面方程无实根，说明c此时势函数无奇点，此时对应图1(a)中Ⅰ区，势函数见图2(a)，说明此时岩体失稳演化过程中不会发生突跳。
(2) 当0＜r＜4/9时，平衡曲面方程有4个意义解，其中2个为正解，2个为负解，且正解为稳定奇点，负解为不稳定奇点，对应图1(a)中Ⅱ区，势函数如图2(b)中形式2。说明此时系统在失稳过程中会发生1次突跳，突跳值Δx为2个正解之差。
(3) 当r＜0时，平衡曲面方程有2个解：1个为正解，1个为负解。且负解为不稳定奇点，正解为稳定奇点，此时对应图1(a)中Ⅲ区，势函数见图2(c)，此时，系统在失稳过程中不会发生突跳。
图1 燕尾型突变模型的分叉集与特殊截面
Fig. 1 Bifurcation of swallowtail catastrophe model and its special cross-section
图2 燕尾型突变模型势函数的几种形式
Fig. 2 Several styles of swallowtail catastrophe model potentials
(4) 当r=0时，平衡曲面方程有3个解，其中x=0是重根且在分叉集上，其他2个解代入奇点方程，正解稳定，负解不稳定，零点为拐点，此时势函数类似于图2(b)所示的形式2，岩体失稳过程中会产生突跳，突跳值Δx对应于方程正解。
(5) 当r=4/9时，平衡曲面方程有2个解，且在分叉集上，势函数有正负2个拐点，没有奇点，此时，势函数类似于图2 (a)所示的形式1，此时，岩体失稳过程中不会发生突跳。
当q=0时，则式(11)化为
(16)
类似地，可固定p和r，分别分析在q-r和q-p平面上势函数的特点。基于此，可对控制参数的特点和势函数的形式有一个清楚的认识。
根据以上分析，可知含层间剪切带岩体发生错动变形后，会逐渐改变复合岩体的平衡条件，一旦达到并超过极限平衡条件时，复合岩体就发生急剧变形乃至失稳破坏。急剧变形的结果将使复合岩体达到新的平衡稳定状态，接着又开始下一循环的错动滑移。从开始错动变形到发生急剧滑移，可能是个漫长的阶段，也可能很快发生。广义上来说，复合岩体始终是处在变形破坏的过程中，即处在变形→错动→变形的循环发展过程中。
2 层间剪切带引起地下工程围岩系统变形破坏的演化过程
含层间剪切带复合岩体破坏形式及其演化过程取决于层间剪切带与围岩组成系统的稳定性，系统的稳定性则与系统中层间剪切带与相邻岩层间的相互作用是密切相关的。工程实践表明：近水平层状岩体地区的许多已建或在建水利水电工程遇到过层间剪切带问题，例如黄河小浪底、古贤水利枢纽等。为此，以近水平层状岩体为例，讨论含层间剪切带复合岩体破坏演化过程。地下工程开挖引起的显著变化特征是，将引起一定范围内围岩的应力释放和转移。掌子面两侧墙中含层间剪切带的围岩系统的动态演化过程经历2个阶段。
(1) 第1阶段：层间剪切带引起侧墙围岩破坏。层间剪切带作为围岩系统的薄弱环节，在切向应力作用下，首先达到峰值强度并进入塑性变形阶段，同时伴随着体积膨胀和顺层变形，从而对相邻岩层形成拉应力作用，使其出现弹性卸载，如图3(a)所示。此时层间剪切带对相邻岩层所产生的最大拉应力为：
(17)
式中：c为内聚力；σmax,剪切带为层间剪切带的峰值强度；f为内摩擦角。
图3 层间剪切带破坏引起围岩失稳的演化过程
Fig. 3 Evolution procedure of surrounding rock instability provoked by interbed shear zone failure
若由式(17)得到的σt大于相邻岩层的抗拉强度，则相邻岩层相当于在单向拉应力的作用下发生破坏；若由式(17)得到的σt小于相邻岩层的抗拉强度，则层间剪切带的破坏将引起相邻岩层应力状态的变化(围压降低)。由岩石室内试验资料可知：随着围压的减小，相邻岩层的强度明显降低[18]。因此，层间剪切带破坏后所进行的应力调整使相邻岩层的强度降低，而当降至系统所承受的应力时，则相邻岩层发生破坏(见图3(b))。此时，相邻岩层与层间剪切带共同破坏，形成“等效剪切带”(见图3(c))。等效剪切带与其相邻的硬岩层又组成与图3(c)类似的模型。等效剪切带对相邻岩层所产生的拉应力为
(18)
式中：c′为围岩层间黏结力，经过第1步围岩动态演化，层理间发生相对错动导致层间黏结力c′=0或大幅度降低；σ′为等效夹层残余强度，其值等于层间剪切带的残余强度。比较式(17)和式(18)发现：演化过程的第3步中等效剪切带对围岩应力状态改变程度较演化过程的第一步弱，但二者演化机理相同。如此演化下去，直到等效剪切带破坏后所进行的应力调整使围岩强度大于系统所承受的应力时，这种由层间剪切带引起的围岩动态演化即终止。
(2) 第2阶段：顶板(悬臂梁或板)的弯折破坏侧墙一定范围(厚度)的围岩发生破坏后，相邻的完整围岩由于失去破坏围岩的约束作用(或作用力降低)而成为悬臂梁(板)，围岩系统的力学模型如图4所示。如果不考虑破坏围岩对悬臂梁(板)的作用力，那么最大弯矩发生在固定端，其大小为
(19)
此时最大轴向拉应力(固定端)为
(20)
洞室开挖前，岩体处于三向应力平衡状态。开挖后，原岩应力重新分布，导致巷道周边附近环向应力有很大增加，即出现应力集中，但轴向应力基本不变，而径向应力则显著降低。应力重新分布后层间剪切带首先发生破坏，并经过层间剪切带与围岩的相互作用，使围岩承载圈出现“缺口”而不能闭合成环，最终导致松动圈的范围增大并向围岩深部扩展，直至在一定深度取得三向应力平衡为止。
图4 完整围岩变形破坏的力学模型
Fig. 4 Mechanical model of integral surrounding rock
3 结论
(1) 针对含层间剪切带复合岩体的失稳破坏特点，考虑层间剪切带的非均质性，以含层间剪切带复合岩体系统为研究对象，运用突变理论方法建立了含层间剪切带复合岩体失稳的燕尾突变模型。
(2) 根据建立的燕尾突变模型，在分析其平衡曲面方程势函数极值点的个数及其表现形式的基础上，给出了含层间剪切带复合岩体系统失稳破坏的突跳特征和发展过程。
(3) 含层间剪切带复合岩体的破坏形式及其演化过程取决于层间剪切带与围岩组成系统的稳定性，而系统的稳定性则与系统中层间剪切带与相邻岩层间的相互作用是密切相关的。
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(编辑 杨幼平)
收稿日期：2012-09-18；修回日期：2012-12-22
基金项目：国家“十一五”科技支撑计划项目(2006BAB04A06)；黄河勘测规划设计有限公司自主研究开发项目(2009-ky34(2))
通信作者：闫长斌(1980-)，男，河南濮阳人，博士，高级工程师，从事水工岩石力学研究；电话：13613804308；E-mail：yanchangbin_2001@163.com
