索拱组合结构的动力建模及其内共振分析
吕建根1, 2，赵跃宇3，王荣辉1
(1. 华南理工大学 土木与交通学院，广东 广州，510641；
2. 仲恺农业工程学院 城市建设学院，广东 广州，510225；
3. 湖南大学 土木工程学院，湖南 长沙，410082)
摘 要：利用索拱组合结构连接处的位移协调条件及边界条件，建立索拱组合结构的简化运动学控制方程，利用Galerkin模态截断，得到索拱组合结构的多模态离散动力学方程；利用多尺度摄动方法，分析索拱组合结构可能出现的内共振模式，并对索拱组合结构的内共振行为进行数值模拟。研究结果表明：当索拱的结构设计参数值都在非共振区域时，索拱的动力耦合作用非常弱，索和拱的动力学性质可不考虑耦合作用进行单独分析；若索拱的结构设计参数值在共振区域时，索拱出现内共振，索和拱之间相互激励，能量不断地在索拱之间交换，振幅此消彼长，其最大振幅远大于非共振时的最大振幅。
关键词：索拱组合结构；动力建模；内共振；数值模拟
中图分类号：U448.22+2 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2010)01-0316-06
Dynamical modeling and internal resonance of cable-stayed arch structure
L? Jian-gen1, 2, ZHAO Yue-yu3, WANG Rong-hui1
(1. School of Civil Engineering and Transportation, South China University of Technology, Guangzhou 510641, China;
2. School of Urban Construction, Zhongkai University of Agriculture and Engineering, Guangzhou 510225, China;
3. School of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)
Abstract: Using the connection condition and boundary condition of the cable-stayed arch structure, the reduced governing equations of the cable-stayed arch structure were established. The Galerkin method was used to obtain the multi-model discrete forms of the equations of motion. Making use of the method of multiple scales, the appearance possible internal resonance of cable-stayed arch structure was analyzed, and the numerical simulation for the internal resonance of this system was carried out. The results show that when the cable-arch design parameters of the structure are in the non-resonance domain, the dynamic characteristics of the arch and cable can be analyzed separately. If the cable-arch designs parameters of the structure are in the resonance domain, the cable and the arch are in internal resonance, the energy exchanges between the cable and the arch, and their maximum amplitude is much larger than that of the non-resonant domain.
Key words: cable-stayed structure; dynamical modeling; internal resonance; numerical simulation
斜拉拱组合结构属斜拉索支承结构体系，在土木工程中有广泛的应用。特别是在最近十几年来，由于索拱组合结构具有施工方便、造价低廉和跨越能力大等特点，因而作为临时结构体系在大跨度拱桥施工过程中得到广泛应用。为了保证施工中的结构安全及对成桥后的线形控制，目前，许多学者针对这一类结构的强度、刚度及稳定性进行了深入和系统的研究[1-8]，但对其动力性能的研究较少。随着拱桥的跨度逐渐增大，若施工的环境恶劣，则在环境荷载的作用下，索拱组合结构的非线性动力学问题将会变得日益突出，并可能在施工过程中起控制作用。通过对在建的斜拉索支承结构进行观测，发现在微风下，个别斜拉索有时发生十分剧烈的大幅度振动[9-11]。因此，研究索拱这种刚柔组合结构体系的动力性能，是保证大跨拱桥施工安全、顺利进行需要解决的一个至关重要的问题。在此，本文作者利用索拱组合结构的变形协调条件及相应的边界条件，将描述索拱面内运动的4个微分方程简化为二维问题，建立可用于索拱组合结构进行动力性质定性分析及定量分析的数学模型；利用多尺度摄动方法，分析索拱组合结构可能出现的内共振模式，并结合工程实例对索拱组合结构的内共振行为进行数值模拟和探讨。
1 索拱组合结构的动力学方程
索拱组合结构模型如图1所示。为了建模方便，将索的运动在坐标系xOy中描述，拱的运动在
中描述。图1中：
和
分别为索和拱的水平倾角；lc和lg分别为索和拱在相应坐标系中的跨度；dc和dg分别为索的初始垂度和拱的矢高。
图1 索拱组合结构相互作用分析模型
Fig.1 Mechanical model of cable-stayed arch
对于如图1所示坐标系，索和拱在右端端点铰接。根据位移协调条件，其连接关系式如下：
(1)
式中：ug和uc分别为拱和索在长度方向的纵向位移；vg和vc分别为拱和索的横向振动位移。
根据索的三维非线性运动控制方程[12]，通过化简整理可得到拉索平面运动学方程：
式中：EcAc为索的抗压刚度；mc为索的单位长度质量；H为索的初始张力；y0为斜拉索的初始线性方程，为x的函数；cc为弹性索的结构阻尼系数。
由于弹性索纵向变形远小于其横向变形，而横向振动频率与纵向振动频率相差很大，因此，纵向惯性力可以忽略。将式(2)中第1式两边同时对xc在[0, lc]之间积分，结合式(1)，可以得到弹性索在考虑纵向位移后的横向运动微分方程：
在大跨度缆索吊装施工过程中，悬臂拱在如图1所示的局部坐标系下，悬臂拱的矢跨比dg/lg通常都小于1/10，可以将吊装过程中的悬臂拱当成浅拱考 虑[13]，得到考虑右端点纵向位移后拱横向运动微分方程[14-15]：
将式(1)中的第1式代入式(4)，得到：
(5)
式中：N为拱的初始轴向力；EgIg为拱的面内抗弯刚度；
为拱在局部坐标系中的初始拱轴线方程；cg为弹性拱的结构阻尼系数；mg为拱的单位长度质量；EgAg为拱的抗压刚度。
联立式(3)和式(5)，即得到索拱组合结构耦合横向运动方程。
2 索拱组合结构的内共振分析
在拱桥施工过程中的索拱组合结构中，扣索的自振频率通常比弹性拱的自振频率低很多，索拱之间相互激励而产生的内共振往往是扣索的高阶与弹性拱的低阶振动，因而，在对索拱组合结构相互作用的内共振分析过程中，必须包括索拱的高阶模态。下面对索拱耦合运动方程(3)和式(5)进行Galerkin高阶模态截断，设
(6)
其中：
和
分别为索和拱的振型函数；qn(t)和
分别为索和拱的振动函数。
将式(6)代入式(3)和式(5)，在式(3)两边乘以
并在[0, lc]内积分，在式(5)式两边乘以
并在[0, lg]内积分，利用振型函数的正交性，得到索拱组合结构多阶离散动力学方程：
(7)
(8)
在实际运算过程中，均取i=n。对式(7)和(8)进行化简，对式(7)两边同除以
，对式(8)两边同除以
，引入任意小的正数
，并定义系数(见文献[16])，代入式(7)和式(8)，可得到：
(9)
(10)
采用多尺度摄动方法寻找
和
的一致渐近解，引入快变时间尺度T0=t和慢变时间尺度
，设解的形式如下：
(11)
其中：
；
；
；
。
将式(10)代入式(9)，可以得到索拱组合结构的一阶近似方程：
(12)
式(11)复数形式的解为：
(13)
将式(12)代入二阶近似方程并整理得：
(14)
(15)
式中：cc为c相应的共轭项。从式(13)可以看出：当
，
和
时，索和拱之间存在相互作用的内共振；同时，由于索和拱的自振频率相差很大，若进行低阶模态截断，则只有索和拱自身模态之间的亚谐波和超谐波内共振产生，索拱之间不会相互作用而产生内共振，但是，若考虑索和拱的高阶模态，则在索的高阶模态和拱的低阶模态之间将产生内共振。因此，对索和拱组合结构体系进行相互作用的非线性动力学分析时，应进行高阶模态截断，而且随着模态的增加，内共振模式将大大增加。
3 索拱组合结构内共振的数值模拟
为了证实所建立的索拱组合结构非线性动力学模型及分析理论的正确性，以某钢管混凝土拱桥缆索吊装施工过程中第1节段结构体系为数值研究对象，忽略扣塔振动的影响，建立索拱组合结构的非线性动力学力学模型(参考图1)，索和拱的结构参数分别见表1和表2。求解方程系数，可知该结构体系为弱非线性动力学问题。
表1 索的结构参数
Table 1 Structural parameters of cable
表2 拱的结构参数
Table 2 Structural parameters of the arch
给定索和拱的初始位移均为0.01 m，绘制索和拱的100 s时间历程曲线，见图2。从图2可以看出：在非共振情形下，索和拱之间的振动相互耦合非常弱，索和拱的振幅都约等于初始位移，因此，若索拱组合结构的结构设计参数都处在结构的非共振区域以内，则索和拱的动力学特性可以单独进行分析，可不考虑振动时索和拱之间的相互影响。
(a) 索；(b) 拱
图2 索拱组合结构非内共振情形下的时间历程
Fig.2 Time history of cable-stayed arch structure under non-resonance state
当索拱的频率比
?
=0.99，索拱处在内共振的中心时，在初始条件下索和拱发生内共振情形时的时间历程曲线如图3所示。从图3可以看出：索和拱之间产生了内共振，它们在振动过程中相互激励，索拱之间在振动过程中不断地进行能量交换，两者之间的振幅呈现此消彼长的特性。因此，当索拱结构的设计参数处在此内共振区域时，索拱之间相互激励的耦合作用不容忽视。
(a) 索；(b) 拱
图3 索拱组合结构内共振情形下的时间历程
Fig.3 Time history of cable-stayed arch under internal resonance state
从数值分析结果可知：在非内共振情况下，索和拱的最大振幅都与初始位移基本相同，分别为9.7 mm和9.8 mm；而在内共振情况下，索的最大振幅达到60.5 mm，拱的最大振幅为9.9 mm。说明在内共振情况下，拱对索的激励效果非常明显，导致拉索产生大幅度振动，而索对拱的激励很小，基本上可以忽略。其主要原因是索拱相互激励的效果与索拱之间的单位质量比、抗压刚度比及抗弯刚度比等有密切关系。
4 结论
(1) 利用索拱组合结构的连接条件及边界条件，建立了索拱组合结构的非线性动力耦合运动学控制方程。
(2) 索拱组合结构可能出现的内共振模式有：，和。
(3) 当索拱组合结构的结构设计参数都在非共振区域时，索和拱的动力学性质均可单独进行分析，并可不考虑耦合作用。
(4) 当结构设计参数在索和拱的内共振区域时，在设计过程中，索与拱之间的相互耦合作用是不容忽视的关键问题。
(5) 在索拱内共振时，一般可以忽略索对拱的激励，但不能忽略拱对索的激励，其激励效果与索拱之间的单位质量比、抗压刚度比及抗弯刚度比等有关。
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收稿日期：2008-11-06；修回日期：2009-03-05
基金项目：国家自然科学基金资助项目(10772065)
通信作者：吕建根(1977-)，男，江西崇仁人，博士，讲师，从事桥梁结构非线性动力学研究；电话：15989004285；E-mail: lvjiangen77@163.com
(编辑 陈灿华)
