方钢管钢骨混凝土柱与钢梁端板螺栓连接节点弯矩-转角曲线计算

黄频¹，何益斌²，郭健^{1, 2}，何旷¹，周海兵^{2, 3}，罗诚¹

(1. 湖南大学 设计研究院有限公司，湖南 长沙，410082；

2. 湖南大学 土木工程学院，湖南 长沙，410082；

3. 湖南省建筑工程集团，湖南 长沙，410004)

摘要：将端板螺栓连接钢-混凝土组合节点的转角分解为节点域变形和连接组件变形2部分，后者又可分解为端板的受弯变形和螺栓的伸长变形。通过分别计算弯矩-节点域剪切转角曲线、弯矩-端板转角曲线和弯矩-螺栓伸长转角曲线，基于叠加原理将上述曲线在特征点处的转角进行叠加便可计算得到节点弯矩-转角全过程简化计算曲线。研究结果表明：由该方法计算得到的简化曲线与试验曲线较吻合，尤其是初始阶段具有很高的精度，能够满足结构设计的要求；该方法计算简单，可操作性强，方便于实际工程应用，可为制定相关规范和规程提供参考。

关键词：端板连接；弯矩-转角曲线；叠加原理；初始转动刚度

中图分类号：TU398⁺.9          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2013)10-4273-08

Calculation of moment-rotation curve of steel-reinforced concrete square column and steel beam joint with bolted end-plate

HUANG Pin¹, HE Yibin², GUO Jian^{1, 2}, HE Kuang¹, ZHOU Haibing^{2, 3}, LUO Cheng

(1. Institute of Design and Research, Hunan University, Changsha 410082, China;

2. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China;

3. Hunan Construction Engineering Group, Changsha 410004, China)

Abstract: The rotation of end-plate connections for composite steel and concrete structures was divieded into two parts, one is shear deformation of joint, the other is deformation of the connected component,and the later was decomposed into the bending deformation of end-plate and elongation transformaton of the high strength bolt. By calculating the moment-shear deformation curve, moment-end-plate rotation curve and moment-bolt rotation curve respectively, the total moment-rotation curve was obtained by adding individual responses based on superposition principle. The results show that the theoretical calculation curve is in good agreement with that of the experiment. The method can calculate the moment-rotation precisely in the range of initial stage and completely satisfies the structural design requirements. The calculation procedure is simple and more efficient for engineering applications, and provides reference to related specifications and codes.

Key words: end-plate connection; moment-rotation curve; superposition principle; initial rotational stiffness

综合型钢混凝土和钢管混凝土这2种结构的优点，将钢骨置入圆(方)钢管中，然后浇注素混凝土，形成一种新型的组合柱形式即钢骨-圆(方)钢管混凝土柱^[1-5]。该种组合柱是一种力学性能明显高于型钢混凝土柱和钢管混凝土柱的新型组合柱，将此种组合柱推广应用于高层和超高层建筑结构体系中，能显著减小构件截面尺寸，增大建筑使用空间，从而具有良好的经济效益。何益斌等^[6]进行了5个钢骨-方钢管混凝土柱-钢梁端板螺栓连接节点的抗震性能试验研究，发现此类节点属于半刚性节点范畴，具有良好的延性和耗能能力，可以应用于高层抗震结构中。梁柱节点的受力特性对框架结构的受力状态、内力分布以及变形特性有很大影响。当同时考虑二阶效应时，节点变形可能导致结构产生较大的水平侧移^[7-8]，所以，当需要考虑节点变形对结构的影响时，世界各国设计规范均要求有节点的弯矩-转角(M-φ)曲线作为设计依据^[9]。端板连接由于自身特点，其构造形式种类繁多，可变的几何参数也很多，特别是零部件数量众多，受力状态和性能非常复杂，造成节点变形计算困难，难以分析弯矩-转角全曲线和节点各组件的全过程受力特性。目前，有少量学者对钢结构端板连接的转动刚度及弯矩-转角关系进行了研究^[10]，而关于钢骨-方钢管混凝土柱-钢梁端板螺栓连接节点弯矩-转角曲线的研究还未见文献报道。为了让设计更接近于结构实际工作情况，同时，也为了在对连接性能较敏感的多高层组合结构中应用端板螺栓连接节点，本文作者提出一种计算钢骨-方钢管混凝土柱-钢梁端板螺栓连接节点弯矩-转角全过程曲线的方法，并与文献[6]中的试验结果进行比较。

1  弯矩-转角(M-φ)曲线计算方法

端板螺栓连接节点转角主要包括2部分：一部分是由端板和方钢管柱翼缘之间的相对变形引起的缝隙转角φ_ep，包括螺栓受拉变形和端板受弯变形；另一部分是由节点域剪切变形引起的转角φ_s。因此，通过分别计算节点域受剪、螺栓受拉伸长和端板受弯的全过程受力特性，可得到弯矩-节点域剪切转角(M-φ_s)曲线、弯矩-螺栓转角(M-φ_b)曲线、弯矩-端板转角(M-φ_p)曲线，将这3种曲线进行叠加便可得到端板螺栓连接节点的弯矩-转角(M-f)全过程曲线。

1.1  弯矩-剪切转角(M-φ_s)曲线

1.1.1  方钢管剪力-剪切转角曲线

方钢管的受剪全过程曲线可简化为如图1所示的三折线模型。其中，γ_sy和V_sy分别对应于方钢管腹板屈服时的剪切应变和剪力，由下式进行计算：

              (1)

 (2)

式中：f_yc为钢管屈服强度；t_w为方钢管腹板厚度；d_c为方钢管截面高度；t_cf为方钢管壁厚；b_c为方钢管截面宽度；h_b为钢梁截面高度；t_bf为钢梁翼缘厚度；G_s为方钢管剪切模量。

方钢管强化点处的剪切变形γ_sr和剪力V_sr分别为：

                (3)

 (4)

式中：β为钢材应变强化系数；E_s为方钢管弹性模量。

方钢管达到极限状态时的剪切变形γ_su和剪力V_su分别对应方钢管翼缘屈服时所对应的剪切应变和剪力，分别由下2式进行计算：

             (5)

       (6)

图1  剪力-剪切变形三折线模型

Fig. 1  Trilinear model of shear force-shear deformation

1.1.2  钢骨剪力-剪切转角曲线

钢骨的受剪全过程曲线也可简化为图1所示的三折线模型，其中，γ_ssy和V_ssy分别表示钢骨屈服时的剪切变形和剪力。

              (7)

 (8)

式中：f_ys为钢骨屈服强度；t_ss为钢骨腹板厚度；d_ss为钢骨截面高度；t_sf为钢骨翼缘厚度；b_ss为钢骨截面宽度；G_ss为钢骨剪切模量。

钢骨强化点处的剪切变形γ_ssr和剪力V_ssr分别为：

                (9)

  (10)

式中：E_ss为钢骨弹性模量。

方钢管达到极限状态时的剪切变形γ_ssu和力V_ssu分别为：

            (11)

      (12)

1.1.3  混凝土剪力-剪切转角曲线

节点域混凝土不仅受到柱顶传来的轴力，同时还受到高强螺栓预拉力所造成的压力。由于Mohr-Coulomb准则对失效后的混凝土断裂提供了很好的一级近似，本文在推导核心混凝土力学模型的过程中采用Mohr-Coulomb破坏准则求混凝土的剪应力。

假设主应力σ₁＞σ₂＞σ₃，并规定采用拉力为正，压力为负，经整理后可得Mohr-Coulomb破坏准则的修正表达式：

        (13)

式中：c为材料的内聚力；φ为材料的内摩擦角。

由于混凝土材料很少测定c和φ，而常用混凝土的另外2个强度指标即抗拉强度f_t和抗压强度f_c表示，则式(13)可表示为：

            (14)

          (15)

          (16)

现将节点域混凝土所受轴向压应力、侧向螺栓预拉力所造成的东西侧向压应力、南北向侧向压应力以及混凝土极限剪应力分别记为σ_x，σ_y，σ_z和τ_xy，

      (17)

       (18)

                 (19)

式中：P_c为柱所受轴力；m为节点核心区螺栓的列数；n为节点核心区螺栓的行数；A_t和A_s分别为方钢管截面面积和钢骨截面面积；E_c为混凝土弹性模量；A_c为混凝土截面面积；T₀为螺栓预拉力。

由式(17)~式(19)可得主应力为：

                 (20)

    (21)

    (22)

从上述主应力中选最大主应力σ₁和最小主应力σ₃代入式(14)可得混凝土极限剪应力τ_cu为：

 (23)

               (24)

由材料力学^[11]可知：当一矩形截面承受剪力时，其平均剪应力为最大剪应力的2/3倍。因此，可取屈服剪应力2τ_cu/3，则混凝土屈服后剪力V_cy和极限剪力V_cu分别为：

              (25)

               (26)

对应混凝土屈服时的剪应变为

              (27)

式中：G_c为混凝土剪切模量。混凝土极限剪切变形γ_cu可取钢管屈服时的剪切变形。

在求得方钢管、钢骨和混凝土抗剪三折线模型后，将各特征点处的剪力进行叠加便可得到节点域的抗剪承载力V，由式(28)便可求得此时对应的节点弯矩M。至此，便可计算得到节点的弯矩-剪切转角(M-φ_s)全过程曲线。

  (28)

1.2  螺栓弯矩-伸长转角(M-φ_b)曲线

1.2.1  受拉区单个高强螺栓受力特性

节点受荷前，螺栓预拉力将螺栓周围板件的紧密地压紧在一起。由于板件的刚度远远大于高强螺栓的刚度，螺栓-板件会形成1个栓板单元来抵抗受拉外力^[12]。随着荷载的逐渐增大，板件间的压力逐渐减少。当端板与柱翼缘刚好分离时，栓板单元的刚度退化为单根螺栓的刚度。随着荷载继续增大，高强螺栓受拉屈服后，螺栓材料进入强化阶段，其弹性模量可取螺栓初始弹性模量的0.1倍。下面对这3个阶段螺栓的受力状态进行计算。

(1) 螺栓处端板与柱翼缘未分离，即端板与柱翼缘之间存在压力。

施加螺栓预拉力后，栓板单元的力学模型如图2所示。模型中假设力从螺帽边缘沿45°向垫圈和板件中传递。图2中：d_h为螺帽和垫圈之间的接触面积；t_wh为垫圈的厚度；t_ep为端板厚度；t_p为一半柱宽度；t_n为螺帽厚度。根据高强螺栓尺寸，可以得到以下关系：

   (29)

式中：d_r为螺杆有效直径；d_b为螺栓名义直径。

图2  栓板单元力学模型

Fig. 2  Mechanical model of bolt-plate element

被压紧板件的刚度K_p可由下式得到：

     (30)

式中：A(Z₁)为垫圈和端板厚度所围成的被压紧板件的面积；A(Z₂)为被压紧组合柱所围成的面积。

根据式(30)可得板件刚度K_p：

 (31)

式中：E_sc为组合柱弹性模量。因此，栓板单元的抗拉刚度为：

              (32)

               (33)

式中：K_b为单个螺栓的抗拉刚度；A_b为螺栓的有效截面面积；E_b为螺栓弹性模量；l_b为螺栓的有效长度，等于被连接板件厚度、半个螺栓头厚度、半个螺帽厚度以及2个垫圈厚度之和^[13]。

由式(32)计算的K_bp为栓板单元受荷前的刚度。当栓板单元承受外力时，栓板单元的刚度会发生变化。将栓板单元所受拉力记为，对应的位移记为△，则栓板单元的刚度可表示为

               (34)

假设板件刚度K_p随外荷载线性减小^[12]，从而可以得到外力时栓板单元的刚度的数学表达式为

          (35)

式中：为板件间压力刚好为0 kN时，栓板单元所对应的拉力。

将式(34)代入式(35)后，将微分方程进行积分便可得到时栓板单元的位移△为

        (36)

由平衡条件可求得在外力作用下，此时螺栓拉力的实际增量为

   (37)

当板件间的压力刚好消失，即端板与柱翼缘刚好分离时，，由式(37)可得：

     (38)

螺栓拉力实际增加值可由下式求得：

              (39)

   

由螺栓实际增量可求得螺栓伸长量为

             (40)

此时，由弯矩引起的螺栓受拉应变为

             (41)

 (2) 当螺栓处端板和柱翼缘之间发生分离，直至螺栓受拉屈服，即ε₀＜ε_i≤ε_by-ε_p时，螺栓的拉力的实际增加值由下式计算：

             (42)

螺栓此时承受的拉力为

     (43)

当荷载继续增大至螺栓受拉屈服时，总应变即为螺栓的屈服应变ε_by=f_by/E_b，由弯矩引起的受拉应变为

     (44)

式中：ε_p为螺栓预拉力引起的应变；f_by为螺栓受拉屈服强度。当螺栓屈服时，螺栓承受的拉力为

               (45)

(3) 螺栓屈服后，直至达到极限抗拉强度，即ε_by-ε_p＜ε_i≤ε_bu-ε_p时，高强螺栓实际拉力增加值由下式计算得到：

     (46)

式中：E_bh为螺栓屈服后的强化模量，取螺栓初始弹性模量的0.1倍，即E_bh=0.1E_b。此时，螺栓承担的拉力为

        (47)

当螺栓达到极限抗拉强度时，所对应的极限受拉应变为

        (48)

由总的极限受拉应变和初始预拉力产生的应变，可求得受拉应变为

                (49)

螺栓达到极限状态时所承受的拉力为

                 (50)

式中：f_bu为高强螺栓极限抗拉强度。

1.2.2  螺栓群受力特性

前面对单个螺栓受力各个阶段的承载力和变形进行了计算分析。端板螺栓连接节点中，螺栓群用来传递弯矩和剪力，其受力较复杂。文献[14]的研究表明：端板连接节点在受弯过程中以及受拉区端板和柱翼缘分离之后，弯矩引起的螺栓受拉应变基本为直线分布，中和轴在全部螺栓的形心处。因此，本文在计算螺栓群受力特性时采用上述研究成果，认为高强螺栓应变呈线性分布，中和轴在全部螺栓的形心处即端板的形心处。要得到螺栓伸长引起的转角，必须先计算受拉区每排螺栓的变形。对于螺栓伸长引起的转角，需要计算螺栓群在受力过程中的几个特征点，然后，将这几个特征点对应的转角用直线相连，得到螺栓伸长所引起转角的全过程曲线。

(1) 第1排螺栓处端板和柱翼缘刚好分离，即两者之间的预压力为0 kN。此时，对应于第1排螺栓传递的拉力、拉力实际增加值、螺栓伸长量以及受拉应变可用式(38)~(41)进行计算。根据螺栓群受力特点可求得受拉区任一螺栓的受拉应变如下：

                (51)

受拉区任一螺栓所传递的拉力可用下式计算：

                (52)

式中：y_i为螺栓至中和轴的距离。

(2) 第2排螺栓处端板和柱翼缘刚好分离，也即两者之间的预压力等于0 kN。

此时对应于第2排螺栓传递的拉力、拉力实际增加值、螺栓伸长量以及受拉应变同样可用式(38)~(41)进行计算。受拉区任一螺栓的受拉应变为

                (53)

(3) 当第1排螺栓在外力作用下受拉屈服时，此时，可用式(44)~(45)计算第1排高强螺栓在弯矩作用下所传递的拉力以及受拉应变。受拉区任一螺栓的受拉应变同样根据式(51)可得。

(4) 当第2排螺栓在外力作用下受拉屈服时，此时，可用式(44)~(45)计算第2排螺栓在弯矩作用下所传递的拉力以及受拉应变，根据式(53)便可计算受拉区任一螺栓的受拉应变。

(5) 当第1排螺栓在外力作用下达到受拉极限强度时，可根据式(48)~(50)计算第1排螺栓的受拉应变和传递的拉力。受拉区任一螺栓的受拉应变仍然根据式(51)可得。

根据上述方法求得受拉区各高强螺栓在各个特征点的受拉应变后高强螺栓在(1)~(5)各特征点，可以计算得到各高强螺栓所传递的拉力，拉力实际增加值以及螺栓伸长量。根据螺栓群的受力特点，可求得各特征点对应的节点弯矩如下：

             (54)

其中：∑表示对受拉区所有螺栓求和。

在求得各高强螺栓的伸长量后，便可得到相应特征点的转角如下：

      (55)

其中：△l₁和△l₂分别为第1和第2排螺栓伸长量；△l为螺栓伸长所引起的梁受拉翼缘中心处的变形；y_l1，y_l2和y_li分别为第1，2和第i排螺栓至梁受压翼缘中心的距离。将式(1)~(5)中各特征点计算得到的节点弯矩和转角用直线相连便可得到的弯矩-螺栓伸长转角(M-φ_b)曲线。

1.3  弯矩-端板转角(M-φ_p)曲线

1.3.1  端板承载力计算

在梁端弯矩作用下，端板会由于钢梁翼缘传递的拉力而发生弯曲变形。由于端板连接节点构造的复杂性，导致端板的受力状态以及边界约束等异常复杂，从而很难准确计算端板的受力特性。当前，屈服线理论是计算端板强度的主要方法。该方法的基本原理是通过试验和理论分析总结出端板的几种屈服线形式，然后推导出端板的计算承载力和端板厚度的计算公式。根据以往的研究结果，端板的屈服线分布与端板的支承边界和高强螺栓的分布有关，在计算模型中，可将梁腹板、梁翼缘、加劲肋以及端板边作为端板的支承边^[15]。根据端板的支撑边可将其划分为4类板段：伸臂类板段；无加劲肋类板段；两边支承类板段；三边支承类板段。根据极限平衡原理，由静力平衡法可求得2边支承类外伸端板极限承载力所对应的单个螺栓的极限承载力N_ut为

        (56)

式中：N_ut为端板达到塑性极限状态时螺栓的极限拉力；b_ep为端板宽度；e_f为螺栓孔中心至构件翼缘(或加劲肋)的距离；e_w为螺栓孔中心至构件腹板的距离；f_ye为端板钢材的屈服强度。

式(56)计算的是端板达到全截面塑性承载力时所对应的螺栓极限拉力。由材料力学可知，板件在弯曲时的全截面塑性承载力约为弹性极限承载力的1.5  倍^[11]，因此，将式(56)所计算的螺栓极限承载力N_ut除以系数1.5便可得到端板弹性极限承载力时螺栓所受拉力N_yt：

        (57)

1.3.2  端板弯曲变形引起的转角

端板作为板件，其受力机理用薄板理论能得到更好解释。计算端板变形时，取受拉区钢梁翼缘内侧螺栓以上的端板部分为研究对象。在加载初期，由于梁端弯矩较小，预拉力将端板与组合柱翼缘紧密地挤压在一起，外力不足以将端板与组合柱翼缘拉开，因此，可认为端板在螺栓中心线处转角近似为0 rad，螺栓线所包围的区域即为端板的有效承载区域。由于端板连接节点关于梁腹板对称，可取一半端板为对象进行研究，如图3所示^[16]。

图3  端板刚度计算模型

Fig. 3  Calculation model of end-plate stiffness

以钢梁翼缘为界，将端板分为区域Ⅰ和区域Ⅱ。对于外伸端板设置加劲肋的节点，区域Ⅰ和区域Ⅱ的边界条件相同，均与1/4的中心受集中荷载的4条边固支矩形板边界条件等价。作用点1或2处的挠度w可由下式求得^[16]：

         (58)

板B1或B2的刚度为：

       (59)

其中：

       (60)

P为矩形板中心集中荷载；D为单位宽度板的弯曲刚度，D=Et³/12(1-v²)，v为材料泊松比；E为材料弹性模量；t为板件厚度；a为板件边长；λ为边长比，λ=b/a；b为板件固定边长度。

求得板初始刚度K_ep1和K_ep2后，由式(61)求得两端固定类端板边缘屈服时对应的螺栓拉力N_yt便可求得端板的变形△_lep1和△_lep2：

            (61)

           (62)

钢梁受拉翼缘中心处的变形可取梁翼缘两侧端板变形的平均值：

         (63)

相应的端板转角为

          (64)

当端板达到弹性极限承载力后，全截面屈服承载力前，根据欧洲规范(EC 3—2002)及其他研究成果，板件刚度可取初始刚度K_ep的1/7K_ep，K_ep=K_ep1+K_ep2；当端板受弯板段发生全截面屈服、达到塑性极限抗弯承载力之后，考虑钢材的强化，其刚度为E_hK_ep/E，E_h=0.04E^[15]。

根据式(1)~(5)计算得到的节点弯矩和螺栓拉力，便可得到相应的端板变形，从而得到端板的转角。将各关键点连接成直线，即可得到节点弯矩-端板转角全过程曲线。计算中，对于试件SC-5A，SC-5D和SC-5E，端板截面发生屈服时计算得到的螺栓拉力小于，说明此时端板并未与柱翼缘分离，需在式(1)中增加1个计算点。此拉力对应端板边缘屈服时的螺栓拉力N_yt，端板变形产生的转角可由式(64)得到，螺栓产生的变形可由式(36)得到。

2  理论计算结果与试验结果对比分析

在求得弯矩-剪切转角曲线、弯矩-螺栓伸长转角曲线以及弯矩-端板转角曲线后，将曲线在每个转折点处的弯矩所对应的剪切转角、螺栓伸长转角和端板转角进行叠加便可得到节点的总转角f，然后，将这些转折点用直线连接起来，便可得到节点弯矩-转角的全过程曲线。图4所示为根据本文方法计算得到的简化曲线与文献[6]中的试验曲线的对比结果。

从图4可以看出：除试件SC-5B外，在初始阶段各曲线与试验曲线较吻合；进入非线性段后，理论曲线与实验曲线存在一定误差，但总体趋势较一致。产生误差的主要原因是：(1) 在计算端板变形时，假定端板在螺栓中心线处转角近似为0 rad，在初始阶段，这一假定由于螺栓预拉力将端板与柱翼缘紧密接触而比较合理，但随着梁端弯矩的增大，端板与柱翼缘之间的压力减小，这一假设会产生一定的误差，从而使理论曲线与试验曲线在后期存在一定的偏差；(2) 试件SC-5B高强螺栓抗弯强度相对端板较弱，从而不能保证板件在螺栓线处不发生转动，此外螺栓的预拉力不足以完全消除端板与柱翼缘之间存在的微小缝隙，从而导致试验中试件的初始转动刚度与理论值相比偏低。这种采用厚端板小螺栓的连接常常会由于螺栓提前拉断而导致延性较低，在实际工程中不建议采用。

图4  弯矩-转角全过程曲线

Fig. 4  Moment-rotation curves

3  结论

(1) 提出的半刚性端板螺栓连接钢-混凝土组合节点转角的计算方法不但能够很好地计算端板连接的整体转动变形特性(包括初始转动刚度和弯矩-转角(M-φ)全过程曲线)，而且能够较好地计算其细部转动变形特性，包括弯矩-剪切转角(M-φ_s)、弯矩-螺栓伸长转角(M-φ_b)以及弯矩-端板转角(M-φ_p)曲线，从而能够很好地分析加载各阶段节点转动变形的来源。

(2) 本文提出的方法计算简单，可操作性强，能够满足工程实际中使用，同时，可为相关规范和规程提供参考。

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(编辑  陈灿华)

收稿日期：2012-10-22；修回日期：2012-12-28

基金项目：长江学者和创新团队发展计划项目(IRT0917)

通信作者：黄频(1982-)，男，湖南湘潭人，博士，从事钢-混凝土组合结构研究；电话：13975181402；E-mail：hp-dd@163.com