DOI： 10.11817/j.issn.1672-7207.2021.02.009
考虑应变依赖性特征的硬涂层整体叶盘非线性减振分析
高峰1, 2，刘秀婷1, 3
(1. 南京信息工程大学滨江学院 自动化学院，江苏 无锡，214105；
2. 东北大学 航空动力装备振动及控制教育部重点实验室，辽宁 沈阳，110819；
3. 东北大学 材料各向异性与织构教育部重点实验室，辽宁 沈阳，110819)
摘要：为了提升整体叶盘在恶劣工况下的运行可靠性，提出一种对叶片附加非线性硬涂层材料的被动阻尼减振方法，并研究具有应变依赖性的涂层整体叶盘的非线性振动特性。首先，利用实验离散数据和高阶多项式描述具有应变依赖性的硬涂层材料的非线性力学参数；然后，利用改进的Oberst梁理论和基于正交多项式的Rayleigh-Ritz能量法建立涂层整体叶盘的非线性动力学模型；其次，提出基于Newton-Raphson法的非线性迭代求解流程，研究涂层整体叶盘的非线性振动特性；最后，选择叶片附加非线性NiCoCrAlY+YSZ硬涂层的整体叶盘为实例进行数值分析与实验测试。研究结果表明：在使整体叶盘固有频率变化不大的前提下，硬涂层可以有效抑制其振动响应峰值，而应变依赖性则进一步加强了硬涂层材料对整体叶盘的振动控制。
关键词：整体叶盘；硬涂层材料；应变依赖性；Newton-Raphson法；非线性振动特性
中图分类号：TJ650.3；TB535 文献标志码：A OSID：
文章编号：1672-7207（2021）02-0410-11
Nonlinear vibration reduction analysis of hard-coating blisk with strain-dependent manner
GAO Feng1, 2, LIU Xiuting1, 3
(1. School of Automation, Binjiang College, Nanjing University of Information and Technology,Wuxi 214105, China;
2. Key Laboratory of Vibration and Control of Aero-Propulsion System Ministry of Education, Northeastern University, Shenyang 110819, China;
3. Key Laboratory of Anisotropy and Texture of Materials Ministry of Education, Northeastern University, Shenyang 110819, China)
Abstract: In order to improve the operating reliability of integrally bladed disk(blisk) under severe conditions, a novel methodology of passive vibration reduction by damping nonlinear hard-coating materials on blades was proposed, and the nonlinear vibration characteristics of hard-coating blisk were investigated. Firstly, based on the discrete values obtained from the vibration experiment, the nonlinear mechanical parameters of hard-coating material were characterized using high-order polynomials; the nonlinear dynamic model of hard-coating blisk was established using the modified Oberst beam theory and the energy-based Rayleigh-Ritz method considering orthogonal polynomials; next an iterative solution procedure based on the Newton-Raphson method was developed to solve the nonlinear vibration characteristics of hard-coating blisk. Finally, the numerical calculation of an academic blisk deposited nonlinear NiCoCrAlY+YSZ hard coating on both sides of blades was conducted, and the comparasions of numerical and experimental results were carried out for model validation. The results show that the vibration responses of the blisk are suppressed effectively by the hard-coating material without influencing its natural frequencies significantly, and these functions for vibration reduction can be further reduced by the strain-dependent manner.
Key words: integrally bladed disk; hard-coating materials; strain-dependent manner; Newton-Raphson method; nonlinear vibration characteristics
随着航空发动机在大推力与轻量化方向的快速发展，无榫结构(通过整体加工或焊接制造)的整体叶盘得到越来越广泛的应用[1]。由于缺少榫头和榫槽的摩擦耗能，整体叶盘的系统阻尼通常较小，振动应力或响应过大，振动的不利影响比较突出。在恶劣工况下，整体叶盘容易发生共振和高周疲劳破坏，从而缩短其有效使用寿命[2]。基于此，有必要对整体叶盘附加外部阻尼器来实现结构件的阻尼减振。对于传统的榫接叶盘结构，大多数研究人员通常应用干摩擦阻尼器(叶冠[3-4]、凸肩[5-6]或缘板[7-8]等)和黏弹性材料[9-10]来消耗振动能量，达到有效减振。但是，整体叶盘的结构特征和工作环境决定了上述传统的阻尼减振措施是无法实施的。因此，迫切需要一种新型的阻尼器来抑制整体叶盘过大的振动响应。
硬涂层主要是由金属基(NiCoCrAlY等)、陶瓷基(YSZ等)或两者混合组成的涂层材料[11-12]。与软涂层不同，硬涂层通常具有抗高温、抗摩擦、抗冲刷和抗腐蚀[13-17]等诸多优点，一般用于结构件的表面强化处理。研究发现，硬涂层材料内部颗粒的摩擦使其具有良好的系统阻尼[18-19]，可以在较大温变范围内实施被动阻尼减振[20-22]，而且可灵活调整附加刚度。此外，硬涂层的力学参数具有典型的非线性特征，其储能模量(弹性模量)与耗能模量(损耗因子)总是随着涂层结构件应变的变化而变化，称为应变依赖性[23-25]。目前，研究人员以板、梁和薄壁圆柱壳[25-27]为对象，对涂层复合结构的非线性振动特性展开了基础研究，但是，在考虑应变依赖性的前提下对涂层整体叶盘非线性振动特性的研究较少。
Rayleigh-Ritz法是通过泛函驻值条件求未知函数的一种近似方法，也是应用于应用数学和机械工程领域的经典数值方法，可以高效率地计算结构的低阶自然频率，被广泛用于求解边界和连续性条件复杂的结构振动问题。针对复杂形状板结构，张俊等[28]对传统的Rayleigh-Ritz法进行改进，并求解了直边和曲边板的振动特性，与有限元结果的对比证明了改进方法具有的较高的准确性和可靠性以及良好的适应性。在建立具有形状记忆合金(SMA)纤维的各向异性层合梁本构方程的基础上，徐晓明等[29]利用Rayleigh-Ritz能量法求板簧的固有频率，并得到固有频率与温度、铺层角和SMA含量的关系曲线，揭示了SMA纤维复合材料变截面板簧的固有频率的调节机理。
本文作者利用硬涂层的阻尼特性来增强整体叶盘的耗能减振，并在考虑硬涂层应变依赖性的前提下求解涂层整体叶盘非线性振动特性。选择叶片两侧附加等厚度的非线性NiCoCrAlY+YSZ硬涂层的整体叶盘为研究实例，首先，根据实验离散数据并利用高阶多项式阐述硬涂层非线性力学参数的连续变化趋势，然后，利用改进的Oberst梁理论、基于正交多项式的Rayleigh-Ritz能量法建立涂层整体叶盘的非线性振动模型，最后，利用提出的基于Newton-Raphson法迭代求解程序求解涂层整体叶盘的非线性振动模型，得到非线性共振频率和共振响应，并通过与实验测试数据的比较校验模型；通过线性与非线性振动特性的比较分析了应变依赖性弹性模量和损耗因子对涂层整体叶盘共振频率和共振响应的影响。
1 硬涂层的应变依赖性
通过研究发现，硬涂层材料的阻尼特性具有以下特点：1) 硬涂层的阻尼性能要优于金属基体的阻尼性能，但是比黏弹性材料的性能差；2) 在高温高压环境下，硬涂层的阻尼性能能够保持稳定，而不会像黏弹性材料那样失效；3) 硬涂层的模量随着涂层复合结构应变的变化而变化。
硬涂层的应变依赖性复模量
为
(1)
式中：
，
和
分别为硬涂层的等效应变、弹性模量和耗能模量；
表示虚数。
根据文献[30]可将和进行多项式展开，分别表示为
(2)
图1 涂层整体叶盘的非线性动力学模型
Fig. 1 Nonlinear dynamic model of blisk deposited hard coating on blades
(3)
式中：
和
分别为多项式项数和最大项；
和
分别为硬涂层的线性弹性模量和耗能模量。
将式(2)~(3)代入式(1)并整理可得硬涂层的复模量和损耗因子
分别为
(4)
(5)
2 涂层整体叶盘的非线性振动特性分析
2.1 非线性振动建模
图1所示为叶片两侧附加非线性硬涂层的整体叶盘。整体叶盘的密度为
，涂层叶片的长度、宽度、厚度和密度分别为
，
，
(其中，叶片厚度为
，涂层厚度为
)和
，矩形横截面积为
，安装角和圆周角分别为
和
(
表示叶片数量)；轮盘外径、内径和厚度分别为
，
和
。由于轮盘刚度与叶片的刚度相近，因此，在两者之间引入弹簧(平动刚度
和转动刚度
)来考虑其耦合振动特性。在数算例中，以涂层叶片中心
为原点建立局部直角坐标系
，以轮盘中心
为原点建立圆柱坐标系
。此外，涂层整体叶盘以恒定角速度
绕
轴旋转。为了计算简洁，引入以下量纲一的量：
(6)
仅考虑轮盘在轴方向的位移
和涂层叶片在
方向上的位移
，分别为：
(7)
(8)
式中，
，
和
为待求解系数，
为轮盘节径数；
和
为Ritz基底维数，
和
为Ritz基的容许函数，是通过Gram-Schmidt方法得到的正交多项式。
2.2 非线性振动模型的建立
2.2.1 涂层叶片等效参数求解
图2所示为涂层叶片和复合Oberst梁的示意图。在复合材料结构的数值计算中，通常可以将多层不同种类材料组成的复杂结构等效成一种同质的特殊材料，从而能够在不影响计算精度的情况下有效提高分析效率[31]，因此，首先基于改进的Oberst梁理论获得涂层叶片的等效参数。
叶片、硬涂层和涂层叶片的复模量
，和
分别为
(9)
(10)
图2 涂层叶片和涂层梁的示意图
Fig. 2 Schematic diagrams of the coated blade and composite beam
(11)
式中：
和
分别为叶片的弹性模量和损耗因子；
和
分别为涂层叶片的非线性弹性模量和非线性损耗因子。
涂层叶片在弯曲状态的平衡方程为
(12)
则涂层叶片结合面到中性面的距离
为
(13)
假设
为横向角速度，则根据文献[32]可知涂层叶片横截面弯矩
满足如下关系：
(14)
则涂层叶片的复弯曲刚度
为
(15)
将式(13)代入式(15)可得
(16)
式中：
，
。
此外，涂层叶片的复弯曲刚度满足关系：
(17)
将式(16)和式(17)联立，并整理可得
(18)
(19)
2.2.2 非线性振动方程的推导
由图1可知，旋转态的涂层整体叶盘包含涂层叶片和轮盘转动动能、势能、应变能以及弹簧的应变能，因此可以利用基于能量的Rayleigh-Ritz法来推导涂层整体叶盘非线性振动方程。
涂层叶片和轮盘的动能
和
分别为
(20)
(21)
涂层叶片和轮盘的应变能
和
分别为
(22)
(23)
弹簧和涂层叶片的势能
和
的分别为
(24)
(25)
轮盘的势能
为[33]
(26)
(27)
(28)
式中：
和
分别为轮盘径向力和圆周力[34]；
为轮盘的面内位移；
和
分别为涂层叶片和轮盘的质量。
将能量式(20)~(28)代入Lagrange公式，得
(29)
根据最小势能原理求解式(29)或
的极小值，可得到涂层整体叶盘的非线性频率方程为
(30)
式中：
和
分别为涂层整体叶盘的非线性复刚度矩阵和线性实质量矩阵；
和
分别为涂层整体叶盘的非线性刚度矩阵和非线性阻尼矩阵；
和
分别为涂层整体叶盘的复特征值和特征向量。
由式(30)可以得到涂层整体叶盘的非线性振动方程为
(31)
式中：
和
分别为涂层整体叶盘的固有频率和受迫振动响应；
为涂层整体叶盘的力向量。
为了充分考虑应变依赖性对涂层整体叶盘振动特性的影响，需要准确计算式(31)的等效应变。根据文献[26]可知，等效应变可以通过如下公式求解：
(32)
式中，
为拾振点到涂层叶片中性面的距离。
2.3 非线性振动特性的求解
令等效应变
，依据上述方法可得到不考虑应变依赖性的涂层整体叶盘的复刚度矩阵
，即
(33)
整体叶盘的振动特性在叶片附加硬涂层后会发生改变，这种变化与整体叶盘发生失谐的变化非常相似，因此，将硬涂层假设成一种具有谐调形式的失谐特征，即由硬涂层构造特殊失谐特征的整体叶盘的扇区物理和几何参数完全相同。此外，由于硬涂层厚度较整体叶盘相对较小，因此，假设涂层叶片厚度近似为叶片的厚度。换句话说，认为对叶片涂敷硬涂层仅仅改变整体叶盘材料参数而不改变其几何参数。基于上述假设，由式(30)和式(33)可得到硬涂层的非线性复刚度矩阵
：
(34)
此外，由式(31)可以得到涂层整体叶盘非线性振动方程的残余向量
为
(35)
将式(2)，(3)和(34)代入式(35)，经整理可得
(36)
需要注意的是，复模量理论的应用使得涂层整体叶盘的受迫振动响应是以复数形式存在，表示为
(37)
为了求解涂层整体叶盘的非线性振动工程，提出一种基于Newton-Raphson法的迭代计算方法。其中，第
次的迭代公式为
(38)
(39)
(40)
假设迭代计算精度为
，则可设定残余向量的二阶范数作为迭代计算的终止条件：
(41)
值得注意的是，硬涂层的等效应变在非线性振动方程迭代计算的初始值为0，涂层整体叶盘的非线性复模量和受迫振动响应会基于前一次的计算结果不断更新，直至满足预设的计算精度为止。
3 实例分析
图3所示为涂层整体叶盘的试验件和实验系统。整体叶盘厚度为3 mm，硬涂层厚度为0.3 mm。轮盘的内、外径分别为80 mm和100 mm，叶片的宽度和长度分别为24 mm和80 mm。弹簧的平动和转动刚度均为10 MN/m。涂层整体叶盘的材料参数见表1。其中，考虑应变依赖性的硬涂层的非线性弹性模量与损耗因子分别为[35]
图3 涂层整体叶盘及其实验设备与测试流程
Fig. 3 Experimental devices and testing process of coating blisk
表1 整体叶盘和硬涂层的材料参数
Table 1 Material parameters of academic blisk and hard coating
(42)
(43)
在振动实验中，首先，对涂层整体叶盘进行模态测试确定大致的固有频率，再对涂层整体叶盘进行扫频测试确定准确的共振频率与响应。需要注意的是，由于NiCoCrAlY+YSZ硬涂层会使整体叶盘的频率降低[2]，因此，在进行扫频实验时，需要由高阶向低阶测试。
3.1 非线性振动模型的校验
为了校验非线性涂层整体叶盘的非线性振动模型的有效性和可靠性，将理论结果和实验结果进行对比。表2所示为基于非线性振动模型和实验测试得到涂层整体叶盘在相同激励下的共振频率和响应。从表2可以发现：涂层整体叶盘共振频率或共振响应的理论结果与实验结果都存在一定的相对误差，但是它们的相对误差不是很大，共振频率的相对误差始终保持在1.04%~1.98%的范围内；共振响应的相对误差大多在20%以内，而且最大值不超过28.21%。这说明在相同的激励水平下，本文创建的涂层整体叶盘的非线性振动模型具有较高的计算精度和较好的可靠性。
表2 涂层整体叶盘在1g激励下的共振频率和响应
Table 2 Resonant frequencies andresponses of coating blisk under 1g excitation level
图4所示为基于非线性振动模型和实验测试得到涂层整体叶盘在不同激励下(在第二阶次)的频域响应曲线。从图4可以看出：涂层整体叶盘在不同激励下的理论响应和实验响应存在一定偏差，但是这些差异并不大，而且理论分析结果与实验测试结果具有非常相似的变化趋势，即随着激励的增大，涂层整体叶盘的理论和实验共振响应均逐渐增大，响应峰值所对应的共振频率均逐渐减小。这说明在不同外部激励水平下，涂层整体叶盘振动特性的理论分析结果与实验测试结果具有较好的一致性。
图4 涂层整体叶盘在不同激励下的频率响应曲线
Fig. 4 Frequency-response curves of coating blisk under various excitation levels
图5 涂层整体叶盘的线性和非线性频率响应曲线
Fig. 5 Linear and nonlinear frequency-response curves of coating blisk
3.2 应变依赖性对振动特性的影响
图5所示为涂层整体叶盘的线性和非线性(第二阶次)频率响应线。图中，A1~A7和B1~B3表示共振响应曲线峰值位置。双因素非线性是指弹性模量和损耗因子均为非线性的情况；单因素非线性是指弹性模量和损耗因子中仅一项为线性，另一项为非线性的情况。从图5(a)可见，在相同的激励水平下，应变依赖性会使得涂层整体叶盘的共振频率f略微减小(即fB1A1，fB2A2，fB3A3)，共振响应峰值q明显降低(即qB1A1,qB2A2，qB3A3)；随着激励的增大，共振响应峰值的变化值变大，即(qA1-qB1)<(qA2-qB2)<(qA3-qB3)。换句话说，应变依赖性有助于硬涂层对整体叶盘的阻尼减振。从图5(b)可见，应变依赖性弹性模量仅影响共振频率f而不影响共振响应q，即fA6A4，qA6=qA4，或fA7A5，qA7=qA5；应变依赖性损耗因子仅影响共振响应q而不影响共振频率f，即qA5A4，fA5=fA4，或qA7A6，fA7=fA6。
图6所示为涂层整体叶盘在不同激励下的线性和非线性(在第二阶次)共振频率与共振响应，其中，qa和qb分别为不考虑应变依赖性和考虑应变依赖性的涂层整体叶盘的共振响应，fa和fb分别为不考虑应变依赖性和考虑应变依赖性的涂层整体叶盘的共振频率。由图6(a)可以看到：随着外部激励的增大，不考虑应变依赖性的涂层整体叶盘的共振频率fa保持恒定不变，考虑应变依赖性的涂层整体叶盘的共振频率fb呈下降趋势。由图6(b)可以看到：随着外部激励的增大，考虑或不考虑应变依赖性的涂层整体叶盘的共振响应qa或qb都会逐渐变大，但是，考虑应变依赖性的共振响应增加量△qb要明显小于考虑应变依赖性的共振响应增加量△qa，且共振响应增加量的差值(△qa-△qb)也逐渐增大，这说明应变依赖性能够增强硬涂层对整体叶盘的振动控制能力。
图6 涂层整体叶盘的线性和非线性共振频率与响应
Fig. 6 Linear and nonlinear resonant frequencies and responses of coating blisk
4 结论
1) 利用改进的Oberst梁理论、基于正交多项式Rayleigh-Ritz能量法和Newton-Raphson法建立的考虑应变依赖性的涂层整体叶盘的非线性振动模型具有较高的计算精度和较好的可靠性。
2) 应变依赖性弹性模量仅对涂层整体叶盘的共振频率产生影响，应变依赖性损耗因子仅对涂层整体叶盘的共振响应产生影响。
3) 应变依赖性对涂层整体叶盘共振频率的影响较弱，但能明显提升硬涂层的振动阻尼能力，有助于硬涂层提高整体叶盘的阻尼减振效果。
参考文献：
[1] CHEN Yugang, ZHAI Jingyu, HAN Qingkai. Vibration and damping analysis of the bladed disk with damping hard coating on blades[J]. Aerospace Science and Technology, 2016, 58: 248-257.
[2] GAO Feng, SUN Wei, JIANG Ling. Application of the hard-coating damper on the mistuned blisk for passive vibration reduction[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, 2019, 233(5): 1562-1574.
[3] MA Hui, XIE Fangtao, NAI Haiqiang, et al. Vibration characteristics analysis of rotating shrouded blades with impacts[J]. Journal of Sound and Vibration, 2016, 378: 92-108.
[4] XIE Fangtao, MA Hui, CUI Can, et al. Vibration response comparison of twisted shrouded blades using different impact models[J]. Journal of Sound and Vibration, 2017, 397: 171-191.
[5] 李红影, 谢里阳, 郭星辉. 壳板凸肩叶片的非线性振动特性[J]. 工程力学, 2013, 30(2): 340-347.
LI Hongying, XIE Liyang, GUO Xinghui. Nonlinear vibration characteristics of shrouded blade for cylindrical panel[J]. Engineering Mechanics, 2013, 30(2): 340-347.
[6] 谢方涛, 崔璨, 马辉, 等. 一种求解干摩擦带冠叶片动力学响应的方法[J]. 振动工程学报, 2018, 31(1): 110-117.
XIE Fangtao, CUI Can, MA Hui, et al. An approach to calculate the dynamic response of shrouded blade with dry friction[J]. Journal of Vibration Engineering, 2018, 31(1): 110-117.
[7] BOTTO D, GASTADI C, GOLA M M, et al. An experimental investigation of the dynamics of a blade with two under-platform dampers[J]. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 2018, 140(3): 032504.
[8] KANEKO Y. Vibration response analysis of mistuned bladed disk with under-platform damper: effect of variation of contact condition on vibration characteristics[C]// Proceedings of ASME Turbo Expo 2017: Turbomachinery Technical Conference and Exposition. Charlotte, North Carolina, USA, 2017: 1-10.
[9] SIEVERS R A, MULLINGS J L. Wind turbine blade with viscoelastic damping: US9541061[P]. 2017-01-10.
[10] 周航, 校金友, 徐超. 考虑频变阻尼的黏弹性阻尼层板结构模态分析方法[J]. 振动与冲击, 2018, 37(14): 208-213, 253.
ZHOU Hang, XIAO Jinyou, XU Chao. Modal analysis method for viscoelastically damped laminated structures with frequency-dependent damping[J]. Journal of Vibration and Shock, 2018, 37(14): 208-213, 253.
[11] SUN Wei, LIU Rong, FAN Yunfei. Analytical modeling and damping optimization for a thin plate partially covered with hard coating[J]. Archive of Applied Mechanics, 2018, 88(6): 897-912.
[12] ZAMANI P, VALEFI Z. Microstructure, phase composition and mechanical properties of plasma sprayed Al2O3, Cr2O3 and Cr2O3-Al2O3 composite coatings[J]. Surface and Coatings Technology, 2017, 316: 138-145.
[13] SHAO Fang, YANG Kai, ZHAO Huayu, et al. Effects of inorganic sealant and brief heat treatments on corrosion behavior of plasma sprayed Cr2O3-Al2O3 composite ceramic coatings[J]. Surface and Coatings Technology, 2015, 276: 8-15.
[14] HAN Bin, ZHANG Mengke, QI Conghua, et al. Characterization and friction-reduction performances of composite coating produced by laser cladding and ion sulfurizing[J]. Materials Letters, 2015, 150: 35-38.
[15] WEI Songbo, PEI Xiaohan, SHI Bairu, et al. Wear resistance and anti-friction of expansion cone with hard coating[J]. Petroleum Exploration and Development, 2016, 43(2): 326-331.
[16] MORITA T, INOUE K, DING Xiaoteng, et al. Effect of hybrid surface treatment composed of nitriding and DLC coating on friction-wear properties and fatigue strength of alloy steel[J]. Materials Science and Engineering: A, 2016, 661: 105-114.
[17] STATHOPOULOS V, SADYKOV V, PAVLOVA S, et al. Design of functionally graded multilayer thermal barrier coatings for gas turbine application[J]. Surface and Coatings Technology, 2016, 295: 20-28.
[18] LIMARGA A M, DUONG T L, GREGORI G, et al. High-temperature vibration damping of thermal barrier coating materials[J]. Surface and Coatings Technology, 2007, 202 (4/5/6/7): 693-697.
[19] DU G Y, BA D C, TAN Z, et al. Vibration damping performance of ZrTiN coating deposited by arc ion plating on TC4 Titanium alloy[J]. Surface and Coatings Technology, 2013, 229: 172-175.
[20] SUN Wei, LIU Xiaozhou, ZHANG Yue. Analytical analysis of vibration characteristics for the hard-coating cantilever laminated plate[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part G: Journal of Aerospace Engineering, 2018, 232(5): 813-824.
[21] SUN Wei, LIU Rong. Damping optimization of hard-coating thin plate by the modified modal strain energy method[J]. Coatings, 2017, 7(2): 32.
[22] SUN Wei, ZHU Mingwei, WANG Zhuo. Free vibration analysis of a hard-coating cantilever cylindrical shell with elastic constraints[J]. Aerospace Science and Technology, 2017, 63: 232-244.
[23] TORVIK P J. Determination of mechanical properties of non-linear coatings from measurements with coated beams[J]. International Journal of Solids and Structures, 2009, 46(5): 1066-1077.
[24] REED S A, PALAZOTTO A N, BAKER W P. An experimental technique for the evaluation of strain dependent material properties of hard coatings[J]. Shock and Vibration, 2008, 15(6): 697-712.
[25] YANG Z X, HAN Q K, CHEN Y G, et al. Nonlinear harmonic response characteristics and experimental investigation of cantilever hard-coating plate[J]. Nonlinear Dynamics, 2017, 89(1): 27-38.
[26] SUN W, LIU Y. Vibration analysis of hard-coated composite beam considering the strain dependent characteristic of coating material[J]. Acta Mechanica Sinica, 2016, 32(4): 731-742.
[27] ZHANG Yue, SUN Wei, YANG Jian, et al. Analytical analysis of forced vibration of the hard-coating cylindrical shell with material nonlinearity and elastic constraint[J]. Composite Structures, 2018, 187: 281-293.
[28] 张俊, 李天匀, 朱翔, 等. 基于改进Rayleigh-Ritz法的复杂形状平面薄板自振特性分析[J]. 振动与冲击, 2019, 38(19): 45-51.
ZHANG Jun, LI Tianyun, ZHU Xiang, et al. Free vibration characteristics of plates with complicated shapes based on an improved Rayleigh-Ritz method[J]. Journal of Vibration and Shock, 2019, 38(19): 45-51.
[29] 徐晓明, 任勇生, 杜向红. SMA纤维复合材料变截面板簧固有频率特性研究[J]. 振动与冲击, 2012, 31(14): 164-170.
XU Xiaoming, REN Yongsheng, DU Xianghong. Natural frequency of variable cross-section leaf spring made of SMA fiber composite material[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(14): 164-170.
[30] FILIPPI S, TORVIK P J. A methodology for predicting the response of blades with nonlinear coatings[J]. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 2011, 133(4): 042503.
[31] SANLITURK K Y, KORUK H. Development and validation of a composite finite element with damping capability[J]. Composite Structures, 2013, 97: 136-146.
[32] 王娇. 叶片阻尼结构的振动分析方法及其阻尼抑振效果研究[D]. 沈阳: 东北大学机械工程与自动化学院, 2013: 127-131.
WANG Jiao. Research on vibration analysis methods and vibration suppression effect of damping structure of blade [D]. Shenyang: Northeastern University. School of Mechanical Engineering and Automation, 2013: 127-131.
[33] BAGHERI H, KIANI Y, ESLAMI M R. Asymmetric thermo-inertial buckling of annular plates[J]. Acta Mechanica, 2017, 228(4): 1493-1509.
[34] MIGNOLET M P, EICK C D, HARISH M V. Free vibration of flexible rotating disks[J]. Journal of Sound and Vibration, 1996, 196(5): 537-577.
[35] ZHANG Yue, SUN Wei, YANG Jian, et al. Nonlinear vibration analysis of a hard-coating cylindrical shell with elastic constraints by finite element method[J]. Nonlinear Dynamics, 2017, 90(4): 2879-2891.
(编辑 赵俊)
收稿日期： 2020 -04 -20; 修回日期： 2020 -05 -15
基金项目(Foundation item)：南京信息工程大学滨江学院人才启动经费资助项目(2019r007)；江苏省高等学校自然科学研究项目(20KJB460004) (Project(2019r007) supported by the Start-up Funds for Talents of Binjiang College, Nanjing University Information and Technology; Project(20KJB460004) supported by the Natural Science Foundation of the Jiangsu Higher Education Institutions of China)
通信作者：高峰，博士，讲师，从事机械系统动力学及其控制研究；E-mail：1610081@stu.neu.edu.cn
引用格式： 高峰, 刘秀婷. 考虑应变依赖性特征的硬涂层整体叶盘非线性减振分析[J]. 中南大学学报(自然科学版), 2021, 52(2): 410-420.
Citation: GAO Feng, LIU Xiuting. Nonlinear vibration reduction analysis of hard-coating blisk with strain-dependent manner[J]. Journal of Central South University(Science and Technology), 2021, 52(2): 410-420.
