简介概要

金属近快速定向凝固过程的数值模拟

来源期刊：中国有色金属学报2004年第3期

论文作者：冯坚张长瑞龙永珍周尧和

文章页码：329 - 329

关键词：近快速定向凝固； Al柱试样；数值模拟；温度梯度；凝固速度

Key words：near-rapid directional solidification; Al round bar sample; numerical simulation; temperature gradient; growth velocity

摘要：从非稳态传热角度并按照柱坐标系中二维传热方式对Bridgman装置中Al柱状试样近快速定向凝固过程进行了数值模拟，分析了试样在近快速定向凝固过程中液固界面前沿的温度梯度和生长速度随试样抽拉速度的变化规律。计算结果表明：在30～3000μm/s的抽拉速度范围，随着抽拉速度的提高，液固界面前沿的温度梯度在（145±10）K/cm范围变化，生长速度与抽拉速度的差别不超过5%。研究结果为实验研究近快速定向凝固组织形态转变提供了可靠的控制参数依据。

Abstract: An universal method of numerical simulation on near-rapid directional solidification of Al round bar in a vertical Bridgman furnace was developed, in which the transient heat transfer equations were used and the longitudinal heat conduction is taken into account. The influence of pulling velocity on the temperature gradient and growth velocity of liquid-solid interface was analyzed. The results indicate that, in the pulling velocity range of 30～3000μm/s, the change of pulling velocity on the temperature gradient and growth velocity of liquid-solid interface is hardly obvious. With pulling velocity increasing, the temperature gradient is changed from 135 to 155K/cm, and the difference of growth velocity and pulling velocity is within the range of 5%. The numerical simulation of the near-rapid directional solidification of Al sample can provide an available tool for the investigation on the selection of microstructure of binary sing-phase Al-Zn alloy under near-rapid directional solidification condition.

中国有色金属学报 2004,(03),329-334 DOI:10.19476/j.ysxb.1004.0609.2004.03.001

金属近快速定向凝固过程的数值模拟

冯坚张长瑞黄卫东周尧和

国防科技大学航天与材料工程学院新型陶瓷纤维及其复合材料国防科技重点实验室,国防科技大学航天与材料工程学院新型陶瓷纤维及其复合材料国防科技重点实验室,西北工业大学凝固技术国家重点实验室,西北工业大学凝固技术国家重点实验室长沙410073 ,长沙410073 ,西安710072 ,西安710072

摘要：

从非稳态传热角度并按照柱坐标系中二维传热方式对Bridgman装置中Al柱状试样近快速定向凝固过程进行了数值模拟,分析了试样在近快速定向凝固过程中液固界面前沿的温度梯度和生长速度随试样抽拉速度的变化规律。计算结果表明:在30～3000μm/s的抽拉速度范围,随着抽拉速度的提高,液固界面前沿的温度梯度在(145±10)K/cm范围变化,生长速度与抽拉速度的差别不超过5%。研究结果为实验研究近快速定向凝固组织形态转变提供了可靠的控制参数依据。

关键词：

近快速定向凝固;Al柱试样;数值模拟;温度梯度;凝固速度;

中图分类号： TG111.4

作者简介：冯坚(1969),男,副教授,博士.;冯　坚,博士;电话:07314573167;E mail:fengj1277@sohu.com;

收稿日期：2003-05-15

Numerical simulation on near-rapid directional solidification process of Al bar sample

Abstract：

An universal method of numerical simulation on near-rapid directional solidification of Al round bar in a vertical Bridgman furnace was developed, in which the transient heat transfer equations were used and the longitudinal heat conduction is taken into account. The influence of pulling velocity on the temperature gradient and growth velocity of liquid-solid interface was analyzed. The results indicate that, in the pulling velocity range of 30～3 000 (μm/s,) the change of pulling velocity on the temperature gradient and growth velocity of liquid-solid interface is hardly obvious. With pulling velocity increasing, the temperature gradient is changed from 135 to 155 K/cm, and the difference of growth velocity and pulling velocity is within the range of 5%. The numerical simulation of the near-rapid directional solidification of Al sample can provide an available tool for the investigation on the selection of microstructure of binary sing-phase Al-Zn alloy under near-rapid directional solidification condition.

Keyword：

near-rapid directional solidification; Al round bar sample; numerical simulation; temperature gradient; growth velocity;

Received： 2003-05-15

在金属的定向凝固过程中, 需要准确地获取凝固过程中液、固相的温度场, 特别是固液界面的温度梯度和凝固速度, 以确定金属凝固特性与外部控制参数之间的定量关系 ^[1,2,3] 。数值模拟法作为一种主要方法已用于金属定向凝固过程的温度场研究。以往的研究工作 ^{[4,5,6,7,8,9,10,11,12,13]} , 或者忽略凝固潜热的释放, 或者假定凝固速度和抽拉速度相等, 大多考察稳态或准稳态凝固行为, 模拟对象主要以低速定向凝固为主。而关于近快速定向凝固范围内(即金属从低速枝晶到快速细胞晶组织之间), 随着凝固速度的提高, 凝固速度是否与外界控制参数抽拉速度一致, 以及随着抽拉速度的提高, 液固界面的温度梯度是否发生变化等问题仍有待深入研究。本文作者将凝固潜热的释放考虑在内, 采用非稳态数值模拟方法考察试样在近快速定向凝固过程中温度梯度和凝固速度随抽拉速度的响应关系, 为实验研究近快速定向凝固的组织形态选择提供可靠控制参数依据。

1 物理模型及假设

金属试样定向凝固的原理与计算模型如图1所示。当试样以一定的抽拉速度由上向下运动时, 其所处的传热区域包括加热区、绝热区和冷却区。试样凝固过程的实际传热现象非常复杂, 因此对上述的物理模型做如下简化处理:

1) 忽略液、固态金属内部的质量传输;

2) 忽略液态金属内的对流;

3) 在抽拉开始前, 试样和坩埚中的温度分布达到稳态, 抽拉开始后, 试样和坩埚热量传输即为非稳态。

图1 定向凝固过程中的物理模型及计算区域

Fig.1 Schematic diagram of model for directional solidification process and computation region

2 数学模型

2.1 传热控制方程

数值模拟的对象是凝固过程中的石墨坩埚和金属试样(长度和径向范围为: 0≤x≤x_L, 0≤r≤ r_L), 将石墨坩埚和金属试样看成具有图1右边所示的轴对称圆柱体。计算采用的坐标系是固定于坩埚底部的坐标系, 其对称轴(x轴)正向指向液固界面的前进方向。于是圆柱体内非稳态导热问题的控制方程为

$ρ c_{p} \frac{\partial Τ}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x} (k \frac{\partial Τ}{\partial x}) + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r k \frac{\partial Τ}{\partial r}) + S (1)$

式中 T为某点的温度; t为时间; r, x为温度场中某点的坐标; k为导热系数; ρ为密度; c_p为恒压比热容(对于试样的液相和固相以及坩埚分别采用其相应的k, ρ和c_p值); S为热源项(由凝固潜热的释放而产生)。

对于稳态过程, $\frac{\partial Τ}{\partial t} = 0$ , 其传热控制方程为

$\begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial x} (k \frac{\partial Τ}{\partial x}) + \frac{1}{r} (r k \frac{\partial Τ}{\partial r}) = 0 (2) \end{array}$

2.2 边界条件

假设试样及坩埚在从低速至高速抽拉过程中, 炉膛和镓铟液态冷却合金在轴向上的温度分布保持不变。通过实测加热区、绝热区和冷却区的温度, 坐标原点取在如图1所示绝热区的几何中心。其拟合公式为

T_{f, z}=50+0.5{1+tanh[25(0.5+

(z-140)/280)]}(950-50) (3)

式中 T_{f, z}为炉膛轴向温度; z为炉子的轴向坐标。

1) 边界Ⅰ(x=x_L, 0≤r≤r_L), T=T_{f, z} 。

2) 边界Ⅱ和Ⅲ(r=r_L, 0≤x≤x_L和x=0, 0≤r≤r_L), 与环境的辐射和对流换热综合处理为下式:

q=α_c(T_{f, z}-T) (4)

式中 q为表面综合换热强度; T_{f, z}为相应的炉膛温度; α_c为综合换热系数。

以绝热区几何中心为原点, 根据文献 [ 9] 及采用试算法, 拟合出绝热区上部和下部与石墨坩埚之间的换热系数分别为

α_c=4 000.0{1.0+0.5[tanh(z-1.25)+

tanh(-(z+1.25))]} (5)

α′_c=300.0{1.0+0.5[tanh(z-1.25)+

tanh(-(z+1.25))]} (6)

3) 边界Ⅳ(r=0, 0≤x≤x_L)处有

$\frac{\partial Τ}{\partial r} = 0 (7)$

4) 边界Ⅴ(r=r_L₁, x_L₁≤x≤x_L和x=x_L₁, 0≤r≤r_L₁), 按理想接触界面处理。

2.3初始条件和结晶潜热处理

试样和坩埚在抽拉开始前, 其热量传输已达稳态, t=0的温度分布按式(2)的稳态控制方程进行处理计算。

计算过程中按照纯Al的结晶潜热释放处理。从抽拉一开始, 试样和坩埚的热量传输已进入非稳态过程, 以稳态时的温度分布作为0时刻的初始场来计算时间t=Δt时的温度分布(Δt为时间步长), 再由计算出的温度分布确定液固界面的生长速度, 从而求出凝固潜热; 然后根据计算的凝固潜热再重新求该时刻的温度分布, 依次再求出生长速度、凝固潜热, 直到前后2次求出的生长速度满足一定的精度要求 $(ε = | \frac{v_{2} - v_{1}}{v_{2}} | \leq 5 % ‚ v_{1}$ 和v₂分别为前、后2次计算的生长速度)时, 再计算下一时刻的温度分布和生长速度, 直到整个试样凝固结束时为止。凝固潜热的释放由以下方程描述:

$k_{c} \frac{\partial Τ}{\partial x} |_{c} = k_{m} \frac{\partial Τ}{\partial x} |_{m} + ρ_{m} v L_{v} / Δ x (8)$

式中 v为生长速度; Δx为轴向方向上的网格长度; k_c, k_m和ρ_m分别为试样的固相导热系数、液相导热系数和液相密度; L_v为凝固潜热。

3数值计算方法及程序编制

3.1 网格剖分

以试样和石墨坩埚为模拟对象。纯Al和石墨坩埚的物性参数见文献 [ 2] 。选择的坩埚抽拉速度在30～3 000 μm/s之间。试样直径为5 mm, 长度为120 mm; 坩埚外径为7 mm, 内径为5 mm, 长度为125 mm。炉膛的结构尺寸: 绝热区上下宽度为10 mm, 以绝热区几何中心为原点, 炉膛上部的长度为140 mm, 径向直径为10.5 mm、下部的长度为140 mm, 径向直径为16 mm。

采用单区域方法, 即对于计算域内试样的液相和固相以及坩埚用统一网格进行划分。图2所示为对计算区域进行的网格划分示意图, 计算长度x_L=0.125 m, 其网格长度Δx=0.001 m, 计算的径向半径r_L=0.003 5 m, 其网格宽度r=0.000 5 m, 计算的总节点数为N₁×M₁=127×9=1 143。图中的i, j分别表示x方向和r方向的节点序号, 其中x_L₁=0.005 m, 则与其界面相邻的节点单元为(6, j) 和(7, j), j=1, 6; r_L₁=0.002 5 m, 则与其界面相邻的节点单元为(i, 6) 和(i, 7), i=7, N₁。

图2 计算区域的网格划分

Fig.2 Computational grid pision

3.2 离散处理

采用控制容积积分法进行控制方程的差分离散, 即将方程(1)在如图3所示的控制容积上积分处理得到全隐格式的离散方程(具体推导见文献 [ 14] ):

α_PT_P=α_ET_E+α_WT_W+α_NT_N+α_ST_S+b (9)

式中 $α_{E} = \frac{r_{Ρ} Δ r}{(δ x)_{e} / k_{e}}$ ; $α_{W} = \frac{r_{Ρ} Δ r}{(δ x)_{w} / k_{w}}$ ; $α_{Ν} = \frac{r_{n} Δ x}{(δ r)_{n} / k_{n}}$ ; $α_{S} = \frac{r_{s} Δ x}{(δ x)_{s} / k_{s}}$ ; α_P=α_E+α_W+α_N+α_S+α $_{Ρ}^{0}$ -S_PΔV; $α_{Ρ}^{0} = \frac{(ρ c_{p})_{Ρ} Δ V}{Δ t}$ ; b=S_cΔV+α⁰_PT $_{Ρ}^{0}$ ; ΔV=0.5(r_n+r_s)ΔrΔx。 e, w, n, s为控制容积的界面节点, E, W, N, S为节点P的邻点, 它们之间的位置见图4。控制方程离散为一组代数方程组后, 采用交替方向隐式迭代法(ADI)求解。

图3 控制容积

Fig.3 Control volume for derivation of fundamental equation

图4 圆柱轴对称坐标的网格系统

Fig.4 Grid system of clylindrical coordinates

同样, 对图2和图4的网格系统, 根据本文3.2节所述的模型对边界Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ以及Ⅴ进行离散处理, 与方程组(9)一起组成代数方程组, 进一步求解。

3.3 计算程序

本程序采用全隐格式的有限差分方法计算, 用Fortran语言编写程序, 程序的调试和运行在P4微机上进行。程序计算过程关键是固-液界面位置的处理; 另外, 时间步长的选取也对计算的稳定性影响很大。

4 计算结果

4.1模拟计算值与实测值的比较

图5所示为定向凝固过程中试样中心轴线上2点(x=70 mm和x=50 mm处)温度随时间的变化曲线(抽拉速度为300 μm/s)。实测值与计算值之间的差别不超过1%。可见, 实测值与计算值之间吻合较好, 因此采用上述的数学模型和边界条件处理方法能较好地反映试样凝固过程中的传热情况。

4.2试样凝固过程中的温度分布

图6所示为抽拉速度等于2 000 μm/s时试样温度分布的计算结果(炉膛上部控制温度为1 228 K, 下部采用镓铟液态合金冷却, 其外壁采用自来水循环强制冷却)。其中, 图6(a), 6(b)和图6(c)分别为14, 28和44 s 3个不同时刻整个试样的等温线图, 相邻等温线的差值ΔT为50 K, 液固界面的温度等于933 K。可见, 随着试样凝固的进行, 液固界面在x方向上逐渐上移。在每一个时刻, 液固界面附近轴向的温度梯度较大(G_L-S约为140K/cm), 而远离液固界面的液相和固相轴向温度梯度则很小(G_L<5 K/cm, G_S<6 K/cm), 径向的温度梯度(约为3 K/cm)相对于轴向温度梯度很小。液固界面附近的这种温度分布非常有利于试样的定向生长。另外, 又计算了试样抽拉速度分别为300 , 500, 1 000和3 000 μm/s时的温度分布。从计算结果发现, 随着抽拉速度的增大, 液固界面前沿的温度梯度略有减小, 在30～3 000 μm/s的抽拉速度范围内, 温度梯度在(145±10) K/cm范围变化。在每一种抽拉速度下, 从抽拉开始到整个试样全部凝固结束, 随着凝固的进行, 液固界面前沿的温度梯度略有增大, 前后的差别在5 K/cm范围内。可见, 在30～3 000 μm/s的抽拉速度范围内考察近快速定向凝固过程的组织形态, 可以认为液固界面前沿的温度梯度基本保持在145 K/cm不变。

图5 试样中心轴线上2点温度随时间的变化

Fig.5 Temperature distributions of sample center line

4.3抽拉速度与凝固速度的响应关系

图7所示为抽拉速度为1 000 μm/s时凝固速度的计算结果。凝固速度和抽拉速度基本一致, 差别不超过5%。另外, 对300, 500, 2 000和3 000μm/s抽拉速度下的凝固速度进行了计算, 也发现凝固速度与抽拉速度基本一致。因此, 在本文所选择的抽拉速度下进行近快速定向凝固实验, 抽拉速度能够代表液固界面的生长速度。