洞室层裂屈曲岩爆的突变模型

 左宇军, 李夕兵, 赵国彦

(中南大学 资源与安全工程学院, 湖南 长沙, 410083)

摘要: 建立了洞室层裂屈曲岩爆的突变模型,得出了洞室层裂屈曲岩爆在准静态破坏条件下的演化规律。引入一个函数表征内层岩体对外层岩体的约束作用,使洞室层裂屈曲岩爆模型更接近实际,更能反映层裂屈曲岩爆的演化规律。此外,还建立了动力扰动下洞室层裂屈曲岩爆的非线性动力学模型。研究结果表明: 洞室层裂屈曲岩爆的演化过程复杂;洞室层裂屈曲岩爆与否,不仅取决于岩体的内因如几何尺寸和岩石的性质等,还取决于外部作用力的大小和方式;动力扰动与粘弹性层状结构岩体的响应存在着非线性关系;该模型对扰动频率非常敏感,扰动频率满足一定条件是动力扰动下洞室发生层裂屈曲岩爆的必要条件;而模型对扰动力幅反应不敏感;在动力扰动下,洞室层裂屈曲岩爆演化过程中,竖向压力起决定性作用。
关键词: 洞室岩爆; 屈曲; 突变模型; 粘弹性; 扰动; 非线性
中图分类号:TU452 文献标识码:A 文章编号: 1672-7207(2005)02-0311-06

A Catastrophe Model for Underground Chamber Rock Burst under Lamination Spallation Bucking

ZUO Yu-jun, LI Xi-bing, ZHAO Guo-yan

(School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: A catastrophe model displaying the rock burst of the underground chamber under laminated buckling was established, the evolvement law on underground chamber rock burst under laminated buckling was found under the condition of quasi-static pressure. A function was introduced to demonstrate the restraint strength between rock mass layers in order that the model agreed with the reality. In addition, a nonlinear dynamics model for underground chamber rock burst under laminated spallation buckling stimulated by dynamic disturbance was established. The results show that whether the rock burst being occurred depends not only on the rock mass feature but also on the size and way of exterior loading. The relationship between dynamic disturbance and the response of viscous elastic rock mass layer is nonlinear. The model is sensitive to disturbance frequency which is an essential factor for rock burst occurrence, and is insensitive to disturbance amplitude. The vertical ground pressure plays a decisive role on the evolvement of underground chamber rock burst under laminated spallation buckling.
Key words: underground chamber rock burst; laminated spallation buckling; catastrophe model; viscous elasticity; disturbance; nonlinear 

   岩爆是地下工程的地质灾害,目前,一些研究者从强度、刚度、稳定、能量、断裂、损伤、分形及突变理论方面对其进行了分析^[1-7]。冯涛等认为岩爆所经历的物理过程是一个由微观断裂到突发的宏观尺度断裂过程^[2],在考虑洞室表面的受力状态和岩体的破裂特征后,提出了洞室岩爆机理的层裂屈曲模型。

对于洞室岩爆的层裂屈曲物理过程,王敏强等提出了板梁-脆性弹簧力学模型^[5]。在此基础上,张晓春等考虑了岩石的流变性,分析了板梁稳定性的时间分叉特性,并对深部矿井延迟性岩爆发生机制进行了分析^[7]。洞室的层裂屈曲岩爆经历了“劈裂成板-剪断成块-块片弹射”渐进破坏全过程的动力现象^[8]。从致因看,岩爆可以分为两大类^[9-11]:一是岩爆源在岩爆岩体本身,即处于一定的高应力状态的岩体,当其能量在一定范围内积贮到一定程度时,会自动发生的岩爆,或是处于该状态的岩体,由于开采等活动改变围岩的应力状态,使其卸压而发生的岩爆^[5,11];二是岩爆源在外部,如爆破震动、地震等,使岩体原岩应力和外部扰动应力叠加而发生的岩爆。前者岩体可视为准静态破坏岩体,研究者对其研究较多,其中黄润秋等用突变理论研究了在准静态下层状岩体的变形特性,解释了洞室壁面的层裂现象^[12];后者岩体由于外部扰动使其产生振动,可视为非线性动力破坏岩体,人们对其研究相对较少。在此,作者应用突变理论分析洞室层裂屈曲岩爆的准静态破坏情况,并对动力扰动下的层裂屈曲岩爆进行分析,探讨该类岩爆的发生机制。

1 洞室层裂屈曲岩爆的突变理论分析

1.1 力学模型

洞室层裂屈曲岩爆中的“劈裂成板”,可能是由于岩爆段局部岩体属于板裂结构,也可能是岩体中裂纹在多种组合因素作用下进行演化,将本来很完整的岩体“劈裂”成似层状结构。这些层状结构之间存在着粘结力。当洞室还有支护时,洞室壁面的支护作用力使粘结力加强。根据板梁-脆性弹簧力学模型^[6],洞室壁面向临空面的变形越大,内层岩体对外层岩体约束作用越强,所以,可以引入一函数f(ω)来表征内层岩体对外层岩体的约束作用的发展演化过程: σ_N=σ_cf(ω)。 (1)
式中: σ_N为粘结力; σ_c为最大粘结力,可用岩体抗拉强度来代替;ω为层状结构岩体某点的变形(挠度);f(ω)为岩石性质、岩石结构、受力状态和位置的函数,可根据具体情况确定。f(ω)的取值范围为[0,1],反映弹簧特性:ω=0时,f(ω)=0;达到弹簧强度时,f(ω)=1,此时,岩石发生层裂破坏。在重力场和构造应力场作用下,层状结构岩体产生向临空面的变形,同时裂纹沿层裂面继续扩展,当变形到一定程度时,发生岩爆。根据洞室层裂屈曲岩爆的发生机理,可以简化成图1所示的力学模型,即将似层状结构岩体视为宽度为b、高度为a、厚度为h的板梁,板的竖向受力为P、对应的应力为σ_P,横向受力为σ_N,矩形板在x=0和x=a的边为可移简支边,y=0和y=b的边为不可移简支边。为了分析方便,将模型进一步简化,假设板梁变形后挠度ω仅是x的函数,取y方向单位长度板梁进行分析。由于作用力的变化,上述力学模型不断从一个平衡状态变到另一个平衡状态。首先考虑其准静态运动过程。根据文献[12],可假定板梁变形后的挠度曲线形式为:

图 1  板梁力学模型
Fig. 1  Board beam mechanics model

式中: A为x=a/2处的挠度,是板梁在破坏之前的最大变形值;a为板梁弯曲变形所涉及的长度。

假定函数f(ω)可粗略表述为:

由式(1)和式(3)可知,板梁粘结力大小随x方向呈正弦分布,板梁变形变形越大,板梁之间的粘结力越大,当粘结力大于其强度时,岩石发生失稳破坏。所以,式(3)基本上反映了局部岩石发生层裂时其内部粘结力的变化规律。

由弹性理论可知,任一结构体系的总势能V可表示为结构的应变能U和荷载势能的组合:

式中: P_i为结构上的荷载;δ_i为相应位移;n为荷载个数。对于上述模型,水平力在加载过程中做负功,因而,有:
V=U-W_P+W_N。 (5)
式中: W_P为垂直力所做的功;W_N为水平力所做的功。由弹性理论,板内储存的应变能为:

式中: s为挠度曲线的弧长;k为岩板的曲率;D为岩板的弯曲刚度,D=Eh³/[12(1-μ²)];μ为泊松比。

由式(6)得:

式(7)中略去了[SX(]dω[]dx[SX)]的高次项。

将式(7)~(9)代入式(5),同时考虑式(1)和式(3),并对式(5)中的被积函数在A=0处进行泰勒展开,然后积分,略去高于A⁴的项,得:

1.2 系统的突变理论模型

将式(10)中右边的各项分别简化为:

则式(10)可化为尖点突变势函数的标准形式:

式中: z为状态变量,主要与挠度有关;u和v为控制变量。u主要与竖向受力P有关,v主要与水平粘结力σ_N有关。令V′(z)=0,得平衡曲面方程:
z³+uz+v=0。 (15)

平衡曲面的分叉集应满足V″(z)=0,经代换得: 4u³+27v²=0。 (16)

分叉集为一半立方抛物线,在分叉集上的(u,v)点对应于系统的临界状态。
1.3 洞室层裂屈曲岩爆的条件

根据所建立的突变模型,可得出洞室层裂屈曲岩爆的条件^[13]。
1.3.1 岩爆的必要条件

只有当u≤0时,(u,v)点才有跨越分叉集的可能^[14]。故由式(12)得系统状态发生突变的必要条件:

式中: σ_P为临界竖向应力。所以,岩石处于一定高的应力状态是发生岩爆的必要条件,这与实际情况相符。若σ_P已知,则也可以预估岩爆的范围,即

1.3.2 岩爆的充分条件

突变理论认为,对于处于临界状态的系统,微小的外力扰动,便会使系统产生巨大的响应(突变),故分叉集方程便成了突变的充分条件。将式(12)和式(13)代入式(16)得:

从式(19)可以看出,洞室层裂屈曲岩爆与否,不仅取决于岩体的内因如几何尺寸和岩石的性质等,还取决于外部作用力的大小。

从突变模型看,达到临界地应力σ_P的洞室也不一定会发生岩爆,其岩爆与否还取决于外界因素的组合情况。例如,如果对洞室进行支护时,支护的作用等于加大了岩层之间的粘结力σ_N,会抑制岩爆的发生;而开挖卸载时,岩层之间的粘结力σ_N却减小,却可能诱发岩爆的发生。所以,岩爆的演化过程是一个复杂的过程,需要各种因素的有机组合。
1.4 岩爆的能量释放

对于分叉集左支上各点的状态变量z的值,在式(16)成立的条件下,当u=0时,式(15)有三重零根,z₁=z₂=z₃=0;当u〈0时,有三重实根:

跨越分叉集时状态变量发生突跳,突跳值为:

可以用突跳前后系统的能量差来估算在岩爆过程中释放的能量。突跳前后系统的能量差为:

设岩爆区的宽度为b,则可得到岩爆区释放的能量表达式为: ΔE=bΔV。(22)

由式(12),(13)和(20)~(22)得:

可见,岩爆所释放的能量与岩体的内外因素均有关。

2 动力扰动下洞室层裂屈曲岩爆非线性动力学分析

上述突变理论模型仅考虑了洞室岩爆的准静态过程,没有考虑动力扰动对岩爆的非线性影响。为此,在图1所示的力学模型的基础上,在σ_N方向施加一动力扰动来探讨洞室岩爆的动力学过程。
2.1 动力扰动下洞室层裂屈曲岩爆非线性动力学模型

对于应力波作用引起的扰动,当压应力波传播到洞室壁面时被反射成拉应力波,扰动应力与原岩应力叠加有助于原有裂纹的扩展,进一步形成似层状岩块结构,并且使岩块内部损伤加剧。对于图1所示的似层状结构岩块,假设在应力波扰动产生非线性振动之前,承受竖向应力P,已经使岩板弯曲,粘结力σ_N的影响可以忽略,并且岩板可视为粘弹性板。根据各向同性粘弹性动力学理论,Voigt模型粘弹性矩形板非线性动力方程为:

式中:E₀为弹性模量;ρ为密度;ε=η/E₀;η为粘性系数;ε₀为外阻尼系数;φ为应力函数;q(x,y,t)为外扰力。

根据粘弹性板的边界条件,板在y方向单位伸长为0。又设式(23)的解及外扰力为:

式中:

根据上述关系,方程式(25)的解可设为:
φ=H′[KF(][SX(]β[]α[SX)][KF)]cos(Ωτ-φ₁)=Hcos(Ωτ-φ₁)。
式中: H′为板的振幅;φ₁为由于阻尼而产生的响应滞后,为初相。将H视为时间不变量,将上式代入式(25),略去谐波的高次项,并根据sinΩτ和cosΩτ项前的系数在等式两边分别相等,可得:

由式(26)和(27)可得:

对上式作微分同坯变换^[15],消去式(28)中关于H²的2次项得:

式(29)即为标准尖点突变的平衡曲面方程。其中:x为状态变量;u和v称为控制变量。由于状态变量本身又由2个变量组成,故式(29)实际上为2个尖点突变组合而成的双尖点突变。
2.2 动力扰动下洞室层裂屈曲岩爆的突变分析

由突变理论可知,动力扰动下洞室发生层裂屈曲岩爆的必要条件为:u≤0。

动力扰动下洞室发生层裂屈曲岩爆的充要条件为: 4u³+27v²=0。(30)

从以上结果难以直接看出各种参量变化对岩爆的影响。为了分析纵向受力P和外扰力q对岩爆的影响,取板的参数为: a=3 m, b=5 m, h=1 m, m=n=1, μ=0.4, ρ=2×10³ kg/m³, E₀=3.5×10⁹ N/m², η=7.5×10⁷ N·s/m², ε=η=2.14×10^-2, ε₀=1×10^-2;预压力分2种情况: P=5×10⁶ N; P=1×10⁷ N。将这些参数代入有关式子,经过计算机分析,可得u和4u³+27v²随P₀和ω₀的变化规律。图2所示为u随P₀和ω₀的变化规律;图3所示为4u³+27v²随P₀和ω₀的变化规律。从图3可以看出,要满足发生岩爆的必要条件式(u≤0),外扰力的角频率必须满足一定的范围,在某一区间ω₀₁≤ω₀≤ω₀₂内,u值大于0,不会发生岩爆,随着P值增大,ω₀₁和ω₀₂有增大的趋势;而ω₀₁和ω₀₂随外扰力的幅值变化不明显,这可能是模型简化后造成的。从图3可以看出,在某一预压力P作用下,角频率必须大于ω₀₃时,式(30)才能满足,即发生岩爆;若预压力P过小,则只有外部施加一静压力才能满足发生岩爆的条件,并且随着预压力P的增大,ω₀₃减小。总之,该模型对外扰力的角频率变化敏感,而对扰动力幅值变化不敏感。但是,随着竖向压力P的增大,外扰力更容易满足发生岩爆的条件。

图 2   u与P₀和ω₀的关系
Fig. 2   Relationship between u, P₀ and ω₀

图 3   4u³+27v²与P₀和ω₀的关系
Fig. 3   Relationship between 4u³+27v², P₀ and ω₀

需说明的是,在分析岩爆问题时,进行简化处理,但得出的岩爆判据表达式仍然非常复杂。可见,实际岩爆发生时,其条件相当复杂,用少数指标很难准确预测岩爆是否发生。

3 结 论

a. 引入函数f(ω)来表征内层岩体对外层岩体的约束作用,使洞室层裂屈曲岩爆模型更接近实际,更能反映层裂屈曲岩爆的演化规律。

b. 洞室层裂屈曲岩爆的演化过程是一个复杂的过程,需要各种因素有机组合。洞室层裂屈曲岩爆与否,不仅取决于岩体的内因如几何尺寸和材料的性质等,还取决于外部作用力的大小和方式。

c. 建立了动力扰动下洞室层裂屈曲岩爆的非线性动力学模型,动力扰动与粘弹性层状结构岩体的响应存在非线性关系。

d. 动力扰动下洞室层裂屈曲岩爆的非线性动力学模型对扰动频率非常敏感,扰动频率满足一定条件是动力扰动下层裂屈曲岩爆的必要条件;而对扰动力幅值变化不敏感。

e. 在动力扰动下洞室层裂屈曲岩爆演化过程中,竖向压力起决定性作用。

参考文献

[1]冯涛,潘长良. 洞室岩爆机理的层裂屈曲模型[J].中国有色金属学报,2000,10(2):287-290.
FENG Tao, PAN Chang-liang. Lamination Spallination Buckling Model for Formation Mechanism of Rock Burst[J].The Chinese Journal of Nonferrous Metals, 2000,10(2):287-290.
[2]冯涛,谢学斌,潘长良,等.岩爆岩石断裂机理的电镜分析[J].中南工业大学学报(自然科学版),1999,30(1):14-17.
FENG Tao, XIE Xue-bin, PAN Chang-liang, et al. Fracture Mechanism Analysis for Rock Burst with Electron Scanning Microscope[J]. Journal of Central South University of Technology(Natural Science), 1999,30(1):14-17.
[3]DYSKIN A V, GERMANOVICH L N. Model of Rock Burst Caused by Cracks Growing Near Free Surface[A]. Rock Bursts and Seismicity in Mines[C]. Rotterdam: Balkema, 1993: 169-174.
[4]李广平.岩爆的损伤断裂模型[J]. 岩土力学,1997,18(Supplement):105-109.
LI Guang-ping. The Damage-fracture Model for Rock Burst[J]. Rock and Soil Mechanics, 1997,18(Supplement):105-109.
[5]王敏强,侯发亮.板状破坏的岩体岩爆判别的一种方法[J].岩土力学,1993,14(3):53-59.
WANG Min-qiang, HOU Fa-liang. A Method to Determine Rock Burst in Rock Mass with Plate-form Damage[J]. Rock and Soil Mechanics, 1993,14(3):53-59.
[6]王桂尧,孙宗颀,卿笃干.隧洞岩爆机理与岩爆预测的断裂力学分析[J].中国有色金属学报,1999,9(4): 841-845.
WAN Gui-yao,SUN Zong-qi,QING Du-gan. Fracture Mechanics Analysis of Rock Burst Mechanism and Prediction[J]. The Chinese Journal of Nonferrous Metals, 1999,9(4): 841-845.
[7]张晓春,胡光伟, 杨挺青. 岩石板梁结构时间相关变形的稳定性分析[J]. 武汉交通科技大学学报,1999,23(2):158-160.
ZHANG Xiao-chun, HU Guang-wei, YANG Ting-qing. A Stability Analysis for Time-dependence of Plate-Beam Structure of Rock[J]. Journal of Wuhan Transportation University,1999,23(2):158-160.
[8]康政虹,高正夏,丁向东,等. 基于扰动响应判据的洞室岩爆分析[J]. 河海大学学报(自然科学版),2003,31(2):188-192.
KANG Zheng-hong, GAO Zheng-xia, DING Xiang-dong, et al. Disturbance Response Criterion Based Rock Burst Analysis[J]. Journal of Hehai University(Natural Science), 2003,31(2):188-192.
[9]郭然,于润沧. 有岩爆危险巷道的支护设[J]. 中国矿业,2002,11(3):23-26.
GUO Ran, YU Run-cang.Design of Support Work in Drift Having Rock Burst Danger[J]. China Mining Magazine,2002,11(3):23-26.
[10]祝方才,宋锦泉. 岩爆的力学模型及物理数值模拟述评[J]. 中国工程科学,2003, 11(3):83-89.
ZHU Fang-cai, SONG Jin-quan. Mechanical Models of Rock Burst and Its Physical & Numerical Modeling Study[J]. Engineering Science, 2003,11(3):83-89.
[11]王贤能,黄润秋. 岩石卸荷破坏特征与岩爆效应[J].山地研究,1998,16(4):281-285.
WANG Xian-neng, HUANG Run-qiu. Analysis of Deformation and Failure Features Characteristics of Rock under Unloading Conditions and Their Effects on Rock Burst[J]. Mountain Research, 1998,16(4):281-285.
[12]黄润秋,许强.工程地质广义系统科学分析原理及应用[M].北京:地质出版社,1997.
HUANG Run-qiu, XU qiang. Science Analysis Theory and Application on Generalized System of Geological Engineering [M]. Beijing: Geology Press, 1997.
[13]吴晓. 屈曲粘弹性矩形板的非线性振动分岔[J]. 力学与实践,2001,23(1):41-43.
WU Xiao. The Nonlinear Thermal Vibration Bifurcation of Bucking Viscoelastic Rectangular Plate[J]. Mechanics and Practice, 2001,23(1):41-43.
[14]SAUNDERS P T. An Introduction to Catastrophe Theory[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1980.

收稿日期:2004-07-20

基金项目:国家自然科学基金资助项目(50490274)

作者简介:左宇军(1965-),男,湖南湘乡人,博士,高级工程师,从事岩石力学、爆破研究

论文联系人: 左宇军,男,博士,高级工程师;电话:0731-8836628(O),13036787601(手机); E-mail: zuo_yujun@163.com