板桁组合结构分析中的板梁单元

 陈玉骥, 叶梅新

(中南大学 土木建筑学院,湖南 长沙,410075)

摘要: 为了能合理和方便地分析板桁组合结构的受力性能,将纵、横梁视为混凝土板的加劲梁,建立考虑板梁共同作用和相对滑移板梁单元、无共同作用和过渡区的板梁单元。其中,将矩形板视为单元的基本部分,梁视为附属部分,即以矩形板4个结点的结点位移以及每条板梁结合面(有钉区)中线上的3个相对滑移自由度作为板梁单元的基本自由度,以构造板和梁的位移模式,由此得到板梁单元的单元刚度矩阵。

关键词: 板桁组合结构; 板梁单元; 位移模式; 刚度矩阵

中图分类号:U448.38 文献标识码:A 文章编号: 1672-7207(2005)04-0715-06

Plate-beam element in calculating plate-truss composite structure

CHEN Yu-ji, YE Mei-xin

(School of Civil and Architectural Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

Abstract: For analyzing the properties of plate-truss composite structures expediently, the plate-beam elements were set up in which the action and slip between the plates and beams were considered. Composite elements in which plates have no action to beams and excessive elements were also established. In these elements, plates were the basic parts, and beams were the adjunctive part. That is to say, the displacement pattern of plates and beams was constructed with the basic free degrees of the displacement of 4 nodes on rectangular plate and the relative slips of 3 nodes at combining surface between beams and plates. Thereby, stiffness matrixes of plate-beam elements were obtained.

Key words: plate-truss composite structure; plate-beam element; displacement pattern; stiffness matrix

   板桁组合结构是桥面系纵、横梁与混凝土板结合的一种桥梁结构形式,它具有建筑高度较低,行车时燥声和震动较小,刚度较大等优点,是高速铁路桥梁中比较理想的结构形式之一。对于这种结构,可以用工程软件进行有限元分析^[1-8],主要采用桁单元、梁单元、平板壳单元和块体单元。但采用这些单元时,板梁结合面除结点外钢梁与混凝土板的位移很难协调,且难以考虑钢梁与混凝土板在结合面上的相对滑移^[9-14]。可见,采用常规单元离散桥面系不甚理想。为了能较合理和方便地分析板桁组合结构的受力性能,作者将纵、横梁视为混凝土板的加劲梁,建立了包含混凝土板与纵、横梁的组合单元(以下简称为板梁单元)。该单元以矩形板4个结点的结点位移和每条板梁结合面中线上3个相对滑移自由度作为板梁单元的独立自由度来构造板与梁的位移模式。在无钉区,若不考虑钢梁与混凝土板之间的纵向摩擦,则钢梁与混凝土板在结合面不存在[CM(22] 纵向剪力,故板与梁仅竖向位移和法向转角相互协调,而纵向、横向位移则相互独立,由此即可构造这种无钉区单元的位移模式。此外,为了使有钉区单元和无钉区单元能有效过渡,还必须建立过渡区板梁单元的单元刚度矩阵。根据板桁组合结构桥面系纵梁通过剪力连接件与混凝土板完全结合,横梁与混凝土板部分结合的特点,有钉区板梁单元应有2种形式:一种为双梁板梁单元,另一种为单梁板梁单元。在此,作者分别讨论有钉区、无钉区和过渡区板梁单元的位移模式及其单元刚度矩阵。

1.1 考虑板梁共同作用的板梁单元

图1所示为双梁板梁单元,结点1~4分别为板中面的4个角点,s,t,m,n和o分别为板梁结合面的中线的端点和中点。因混凝土桥面板除发生弯曲变形外,还产生面内变形,故该板可用平板壳单元进行模拟,其应力状态由平面应力问题和薄板小挠度弯曲问题迭加而成,而梁的位移模式可根据板与梁的变形协调关系建立。

图 1   双梁板梁单元

Fig. 1   Plate-beam element with two beams  

1.1.1 板的位移模式及其对单元刚度矩阵的贡献

令 ,将坐标进行无量纲处理。为简化分析,引入如下假定:

a. 板与梁不产生竖向分离;

b. 板与梁在结合面的剪力连接件为连续分布。

如前所述,板采用平板壳单元,而常规4个结点矩形平板壳单元是以结点挠度及其一阶导数(转角)作为单元的自由度,它是一种非协调元,即单元边界上的挠度及其沿边界方向的偏导数是连续的,但在单元交界线之间,挠度沿垂直于边界方向的偏导数是不连续的,即单元边界上的法向导数是不连续的。为了使相邻板梁单元的梁在相连接的点(端点)位移协调,应将矩形平板壳单元位移(挠度)模式修正为:

其中: 为修正项:

而N_x(ζ,η),N_xi(ζ,η)和N_yi(ζ,η)与常规的4结点矩形板弯曲单元形函数相同;k_x和k_y为常数,当单元中含有双梁(纵、横梁)时,k_x=k_y=1;当板中只有与x轴(或y轴)平行的单梁时,k_x=1,k_y=0(或k_y=1,k_x=0)。

板中面的面内位移为:

式中:M_i (ζ,η)为平面应力问题4个结点矩形单元的形函数;[AKu-D]_i(i为s,o,t),[AKv-D]_i(i为m,o,n)为板与梁在结合面中线上结点i的相对滑移;

分别为考虑板与梁之间相对滑移不引起纵向力而引入的系数;E_Lx,E_Ly,A_Lx和A_Ly分别为与x轴平行的梁和与y轴平行的梁的弹性模量和截面积;EP,A_Px和A_Py分别为板的弹性模量和板垂直于x轴和y轴截面的面积;而L_xi(ζ,η)和L_yi(ζ,η)为板与梁在结合面相对滑移对应的形函数,因结合面处的正应变沿梁轴为线性函数,与其相对应的滑移应变亦以采用线性函数为宜,故组合单元中每一个板梁结合面的中线设置3个结点(2个端点和正中点),以这3点的滑移构造滑移对单元位移的影响函数,有:

不难看出,以上形函数 , 在单元边界上的值均为零,故上述位移模式不会改变常规的4个结点矩形板单元在结点处的位移连续条件。

由几何方程可得板的应变为:

式中:B=[B_u B_w B_d],为应变矩阵;δ=[δ_u δ_w δ_d]T,为板梁单元的结点位移阵;δ_u=[u₁ v₁ u₂ v₂ u₃ v₃ u₄ v₄]T,为平面应力问题的结点位移列阵;δ_w=[w₁ θ_x1 θ_y1 w₂ θ_x2 θ_y2 w₃ θ_x3 θ_y3 w₄ θ_x4 θ_y4]T,为薄板小挠度弯曲问题的结点位移列阵; ,为钢与混凝土相对滑移列阵。

根据最小势能原理可得板对单元刚度矩阵的贡献:

1.1.2 梁的位移模式及其对单元刚度矩阵的贡献

首先分析与x轴平行的梁。根据变形协调条件,可将梁的位移用板的结点位移和相对滑移表示为:

式中: ,为与系数f_x对应的系数。

梁的应变为:

故梁对单元刚度矩阵的贡献为:

若梁与y轴平行,推导过程及结果与上类似。

1.1.3 剪力连接件对单元刚度矩阵的贡献

根据板与梁的相对滑移,可写出剪力连接件的变形能为:

式中:k_dx和k_dy分别为剪力连接件单位长度的剪切刚度;

故对剪力连接件对板梁单元的单元刚度矩阵的贡献为:

若板梁单元中只有1条 (平行于x轴或平行于y轴)梁(见图2),其单元刚度矩阵可按以上双梁板梁单元的结果推出。即若单元仅有与x轴平行的梁,则其单元刚度矩阵可将以上单元刚度矩阵中的与滑移δ_dy对应行列的全部元素置零,并令k_x=1,k_y=0即可;若仅有与y轴平行的梁,则其单元刚度矩阵可将以上单元刚度矩阵中与滑移δ_dx对应行列的全部元素置零,并令k_x=0,k_y=1即可。

图 2   单梁板梁单元

Fig. 2   Plate-beam elements with one beam

1.2 板梁无共同作用的板梁单元

在无钉区,梁与板无共同作用,但仍假设两者不能分离,即板梁的竖向挠度相同,但梁两端点的面外位移为独立位移。这样,板的位移(挠度)模式与上述考虑板梁共同作用的单梁板梁组合单元的相同,中面面内位移与传统平面应力问题的位移模式相同。下面分析梁对单元刚度矩阵的贡献。

考虑与x轴平行的梁(见图2),其挠度与板η=0处的挠度相同,为:

梁轴线的面外(y方向)位移可根据梁轴线两端点的位移及转角用Hermit插值写出:

梁轴线的轴向位移为:

式中:  ;h₀为板中面至梁轴线的距离。

梁的应变为:

式中:

若梁平行于y轴,同理可按上述相同方法推导。

1.3 过渡区板梁单元

为了使上述有钉区(板梁有共同作用)和无钉区(板梁无共同作用)的板梁单元能有效过渡,还需建立过渡区板梁单元。图2所示也可视为一个过渡区板梁组合单元,其中s端为有钉端,该端纵梁与板存在共同作用; t端为无钉端,该端梁与板仅竖向挠度及腹板面内转角相同,但纵向、横向位移相互独立。故板挠度与前述单梁(平行于x轴)板梁组合单元的w(ζ,η) 表达式相同,而梁t端的水平位移为独立位移,s端的位移可由板的位移按照变形协调条件用板的结点位移和滑移表示。为了使位移模式在单元内不产生突变,设板与梁的共同作用由s端到t端逐渐减弱至无共同作用,故板的位移模式为:

式中: ,为反映板与梁共同作用程度的函数。

梁的挠度与板中线(η=0)处的相同,梁轴线沿y方向的位移和轴向位移为:

梁的应变为:

式中:δ为过渡区板梁单元的结点位移列阵 ,为梁t 端的结点位移列阵。

2 实验验证

取文献[1]中的4个节间简支下承式板桁组合桥实验模型(见图3),用上述公式进行有限元分析。其中,纵梁为I20a工字钢,横梁为I25b工字钢,主桁上、下弦杆和斜杆16,26,59和49为H150×150宽翼H型钢,中间斜杆27,37,38和48为I14工字钢,上、下平联和制动撑为L63×63×5等边角钢;混凝土等级为C50,板厚10 cm;荷载P=100 kN,钢的弹性模量为E_S=2.1×10⁵ MPa,混凝土的弹性模量为E_C=0.355×10⁵ MPa;纵梁上布满剪力钉,横梁除靠主桁两端各0.335 m范围外,其他位置均布满剪力钉。单元划分情况为:主桁各杆采用梁单元,上、下平联和制动撑采用桁元,在桥面系纵横梁处采用作者所提出的板梁单元,其他地方的混凝土板采用常规矩形板壳元。主要计算结果和试验结果见表1 和图4~7。

图 3   下承式钢杵结合梁模型

Fig. 3   Model of through truss composite beam  

图 4   主桁竖向位移

Fig. 4   Vertical displacements of main truss

图 5   横梁2下翼缘内侧端点正应力

Fig. 5   Stress at bottom fringe of traverse beam 2

图 6   纵梁下翼缘内侧端点正应力

Fig. 6   Stress at bottom fringe of longitudinal beam

图 7   节间2-3跨中混凝土板截面正应力

Fig. 7   Stress of concrete slab at middle of space 2-3  

表 1   主桁各杆的轴应力

Table 1   Axial forces in each beam of main truss

3 结 论

a. 根据板桁组合结构中桥面系的变形特征,给出了考虑板梁共同作用(有钉区)、无共同作用(无钉区)和过渡区板梁单元的位移模式。

b. 所提出的板梁单元既可用于计算板桁组合结构,也可用于计算板梁组合结构和带肋加劲板,是一种适用于具有板梁组合性质的结构分析的较好单元。

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论文联系人: 陈玉骥,教授,博士;电话:0731-2655757(H),13874999878(手机);E-mail:Chenyj@mail.csu.edu.cn