DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2019.03.023

基于受压裂隙开裂准则的损伤模型

马秋峰，田静，周天白

(中国矿业大学(北京) 资源与安全学院，北京，100083)

摘要：为了反映岩石内部裂隙对岩石本构关系的影响，建立受裂隙分布及裂隙面摩擦因数共同影响的损伤模型。类比弹簧束模型，定义与开裂裂隙长度有关的损伤模型。基于受压裂隙的开裂准则，对不同应力状态下的开裂裂隙长度范围进行求解，通过概率统计的方法计算开裂裂隙长度的数学期望，将其代入建立的损伤模型中得到损伤变量。利用模型对岩石应力-应变曲线进行计算。研究结果表明：建立的损伤模型能够反映裂隙面摩擦因数与裂隙角度对岩石强度的影响。当摩擦因数为0时，裂隙角度45°对应的岩石强度最小，随着裂隙摩擦因数增大，最小峰值强度对应的裂隙倾角逐渐减小；当裂隙角度一定时，摩擦因数越大，峰值强度越大；数值计算结果与实验结果一致。该模型还能够反映裂隙长度分布对岩石强度的影响。当长裂隙数占比较大时，岩石强度较小；反之，岩石强度较大。计算结果能够反映岩石在塑性阶段的变形特征，该损伤模型具有合理性。

关键词：开裂准则；裂隙长度；裂隙角度；概率统计；损伤模型

中图分类号：TU452        文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2019)03-0687-07

Damage model based on fracture cracking criteria

MA Qiufeng, TIAN Jing, ZHOU Tianbai

(College of Resources and Safety Engineer, China University of Mining and Technology, Beijing 100083, China)

Abstract: In order to reflect the influence of rock internal fracture on rock constitutive relation, a damage model affected by fracture distribution and friction coefficient of fracture surface was established. Analogous to the spring beam model, a damage model related to the length of cracked fissure was defined. Based on the cracking criterion of the compression fracture, the length range of crack fracture in different stress states was solved, the mathematical expectation of crack length was calculated by probability statistics, and the damage variable was obtained in the damage model. The stress-strain curve of rock was calculated by this model. The results show that the model can reflect the influence of fracture surface friction coefficient and angle on rock strength. When the friction coefficient is 0, the corresponding angle of minimum strength of rock is 45°. With the increase of the friction coefficient, the crack angle corresponding to the minimum peak strength decreases gradually. When the angle is constant, the greater the friction coefficient is, the larger the peak strength is. The calculated results are in agreement with the experimental results. The model can also reflect the effect of crack length distribution on rock strength. When the long crack occupies a larger proportion of the crack, the strength of rock is smaller. When the long crack occupies a smaller proportion, the strength of rock is larger. The calculated results reflect he deformation characteristics of rock at plastic stage, which shows the reliability of the model.

Key words: crack criterion; crack length; crack angle; probability statistics; damage model

岩石内部存在大量的微裂隙，在加载过程中，微裂隙开裂扩展导致应力-应变曲线呈现出非线性特征。而微裂隙的开裂与自身的分布形态有着密切的关联，因此，建立与裂隙分布有关的本构模型对指导工程实践具有重要的意义。目前，根据统计分布理论建立本构模型的研究取得了很大进展，其中，基于Weibull分布的损伤模型得到了广泛的认可。脆性材料的损伤由材料内部缺陷所致，损伤的演化规律与材料中的微缺陷的尺寸、形状、密度等分布状态有关^[1]。赵怡晴等^[2-4]基于细观和宏观缺陷建立了2种缺陷的耦合本构模型。曹文贵等^[5-7]基于Weibull分布损伤模型，分别引入D-P和M-C破坏准则建立了损伤模型。ZHU等^[8-9]基于Mori–Tanaka法建立了考虑圆盘裂隙的损伤本构方程。KRAJCINOVIC等^[10]在前人的基础上将经典弹簧束模型引入复合材料的损伤研究中，随后，白卫峰等^[11-14]对此类模型进行了发展。从目前研究来看，将岩石微元的强度视为某种随机分布对岩石损伤进行概率性分析能够较好地实现本构关系的描述，然而，岩石材料内结构复杂，传统的损伤统计理论没有综合反映裂隙分布对承载能力的影响^[15]。基于Weibull分布的损伤模型只是在特定情况下实现了对损伤的描述，并没有直接建立损伤与裂隙开裂的关系。本文作者通过分析裂隙开裂对岩石承载能力的影响，定义了与开裂裂隙长度有关的损伤变量；基于目前广泛认可的受压裂隙开裂准则，确定不同应力状态下裂隙的开裂长度范围；结合裂隙分布的概率密度，建立了统计学中的裂隙开裂长度的数学期望公式，最终得到了考虑裂隙开裂的损伤模型；利用数值计算得到了不同围压、摩擦因数、裂隙倾角和裂纹长度的分布形式对峰值应力的影响，与实验结果进行对比，以探究模型的合理性。

1  损伤模型的建立

1.1  与断裂弹簧宽度有关的弹簧束模型的修正

为了更加直观地描述裂隙断裂对材料承载能力的影响，引入弹簧束模型^[10]，提出了与断裂弹簧宽度有关的弹簧束模型。图1所示为弹簧束模型示意图，其中，l为弹簧束高度，w为弹簧束宽度，s为断裂的弹簧宽度。假设岩石承载是由无数条均匀分布的弹簧并联来实现的，弹簧束厚度为单位厚度，每条弹簧的弹性系数相同。每个弹簧的弹性系数为k，弹簧束由m个弹簧组成，则并联后总弹性系数K为

                   (1)

图1  弹簧束模型示意图

Fig. 1  Spring beam model

当弹簧发生断裂后，由于弹簧是均匀分布的，未断裂的弹簧数为

                 (2)

断裂后并联弹簧束的弹性系数为

         (3)

当压缩量为时，弹簧束模型表现出的名义应力与应变的关系为

      (4)

式中：F为弹簧之间的合力。定义损伤变量D为断裂弹簧宽度s与总宽度w的比值：

                     5)

则名义应力与应变的关系为

                 (6)

由于加载过程中 为定值，定义为弹性模量E₀：

                   (7)

此时，式(6)可以写为

                    (8)

将上述模型应用到常规三轴试验中，则

          (9)

式中：为轴向应力；为轴向应变；为泊松比；对于常规三轴实验围压，为名义应力。

不考虑围压时，弹簧束模型中的真实应力与轴向应变的关系为

        (10)

考虑围压时，

           (11)

式中：，为径向真实应力。

1.2  损伤变量的定义

借鉴上述模型中关于损伤的定义，将损伤定义为破断宽度与整体宽度的比值。利用上述思想，给出含有裂隙开裂的岩石损伤变量。取宽度为d的岩石，在垂直于主应力方向取1个截面AB，模型示意图如图2所示。假设从图2中左起第2条裂隙起裂，该裂隙的长度为l_i，裂隙倾角为(裂隙倾角为裂隙面与主应力的夹角)，其他裂隙无开裂。

图2  损伤定义的示意图

Fig. 2  Schematic diagram of definition of damage

借鉴损伤变量的定义，将损伤定义为在任意截面上，不可完全承载宽度与截面宽度的比值。按照此定义，损伤变量应等于支裂纹在AB面上的投影与原始裂隙在AB面上的投影之和与AB截面宽度的比值。但是，文献[16]指出，原始裂隙起裂时刻，支裂纹与原始裂隙的夹角为 70.5°，随后，支裂纹趋于最大主应力方向，支裂纹在AB面上的投影不会超过原始裂隙在AB面的投影范围。因此，在定义损伤变量时，仅需要考虑开裂的原始裂隙在AB面上的投影与AB面宽度的比值，即

               (12)

对于单条裂隙可以按式(12)计算损伤变量，然而，岩石中裂隙数量巨大，无法给出每一条裂隙开裂导致的损伤变量，因此，通过求解统计意义上的裂纹开裂长度来计算损伤变量是较为可行的办法。假设：1) 裂隙长度用表示，概率密度用表示； 2) 裂隙角度表示，概率密度用表示； 3) 裂隙间距用表示，概率密度用表示。

取宽度为d的岩石截面，截面中的裂隙数量用n表示，则

                (13)

式中：为裂隙间距的数学期望。由于裂隙分布与应力状态无关，因此，当岩石材料一定时，裂隙数n为定值。

裂隙的开裂不仅与应力状态有关，同时与裂隙的长度和角度有关。从断裂力学中可知，当角度一定时，裂隙越长越容易开裂；当裂隙长度一定时，裂隙角远离0°和90°的裂隙容易开裂。假设在某一应力状态下，裂隙开裂长度为，裂隙开裂角度为。设裂隙开裂长度的数学期望为，开裂角度的数学期望为，则在某应力状态下的损伤变量为

                    (14)

式中，为开裂裂隙的数量，

               (15)

开裂概率P的表达式为

      (16)

已开裂裂隙长度的数学期望表达式为

        (17)

已开裂裂隙角度的数学期望表达式为

        (18)

将式(13)和式(16)~(18)代入式(14)得到因裂隙开裂导致的损伤变量的表达式为

      (19)

1.3  受压裂隙开裂判据

文献[16]给出了受压裂隙的开裂判断准则。在远场应力的作用下，存在一条长为2a、与第一主应力夹角为的Griffith裂隙，以裂隙方向建立坐标如图3所示，此时，应力场经过坐标变换得到：

          (20)

          (21)

          (22)

图3  单条裂隙示意图

Fig. 3  Single crack schematic diagram

考虑到裂隙面上作用有摩擦力，所以，裂隙表面受到等效剪应力为

            (23)

假设裂隙面中的摩擦因数是定值，设为，则等效剪应力表达式为

            (24)

裂隙端部的应力强度因子为

             (25)

或

     (26)

设断裂韧度为，假设开裂裂隙的长度范围为，则

  (27)

利用裂隙开裂的判断准则求解得到开裂角与裂隙长度关系式后，将式(27)代入式(19)中，积分后得到损伤变量，将其代入式(9)中便得到考虑裂隙分布的应 力-应变本构方程。

2  算例分析

2.1  裂隙倾角及摩擦因数对峰值强度的影响分析

为了研究模型中裂隙倾角及摩擦因数对峰值强度的影响，利用MATLAB软件将模型进行编程，计算岩石的应力-应变关系。

假设岩石内部裂隙服从泊松分布：

             (28)

岩石内部裂隙间距服从正态分布。假设岩石的倾角均为固定值，摩擦因数分别取0，0.1，0.2，0.3，0.4和0.5，其他参数如表1所示。计算结果如图4所示。

从图4可以看出，随着摩擦因数增大，应力-应变曲线的峰值逐渐增大。同时考虑不同角度和不同摩擦因数对应力峰值的影响，岩石峰值强度与裂隙角度和摩擦因数的关系如图5所示。从图5可以看出：当摩擦因数为0时，裂隙角度在45°时岩石强度最小，随着裂隙摩擦因数增大，最小峰值强度对应的裂隙倾角逐渐减小；同时，摩擦因数越大，峰值强度越大。计算结果与文献[17]中实验结果一致，这说明本文提出的模型能够反映出不同摩擦因数以及裂隙角度对岩石峰值强度的影响。

表1  计算参数

Table 1  Calculation parameter

图4  不同摩擦因数下轴向应力-应变关系

Fig. 4  Axial stress-strain relationship under different friction coefficients

图5  不同角度的裂隙在不同摩擦系数下岩石强度的计算结果

Fig. 5  Calculation results of rock strength under different friction coefficients at different angles of cracks

2.2  不同裂隙长度分布形式对岩石强度的影响

文献[18]指出：由于岩石内部结构具有自相似性，岩石内部裂隙长度的分布规律可以通过宏观节理的分布规律来确定。宏观节理的概率密度往往采用泊松分布，因此本文采用泊松分布来描述岩石裂隙的概率密度。岩石内部裂隙分布的概率密度为

，          (29)

对裂隙长度求数学期望得到

                (30)

图6所示为不同时裂隙长度与概率密度的关系。从图6可以看出，综合反映岩石内部的分布情况；当较大时，短裂隙占比较大，随着减小，短裂隙占比减少，长裂隙占比增大。

取不同情况下模型计算得到的应力-应变曲线，其中，围压为0 MPa，ξ=0.5，其他参数与2.1节中的一致，计算结果如图7所示。从图7可以看出：当较小时，峰值强度较小；增大后，峰值强度增大。结合上文中关于裂隙分布的规律表明：当长裂隙占比较大时，岩石的强度较低；当长裂隙占比较小时，岩石的强度增大。显然，模型反映出的规律与实际相符。

图6  不同λ时裂隙长度的概率密度分布

Fig. 6  Probability density distribution of crack length with different λ

图7  不同λ时的应力-应变曲线

Fig. 7  Stress-strain curves of different λ

2.3  模型对本构关系的描述

为了研究模型对岩石应力-应变关系的描述情况，引入文献[15]中的裂隙分布。其中，裂隙的间距和长度与前面所述一致，裂隙的倾角不再是固定角度，而是均匀分布，此时，倾角的概率密度函数为

，            (31)

本文中的模型重点考虑了裂隙起裂对岩石强度的影响，暂未考虑裂隙间的相互影响，因此，该模型更适用于裂隙面较少且裂隙间距较大的岩石，即本文模型更适用于硬岩。取文献[19]中的实验结果进行拟合，确定花岗岩参数如表2所示。

表2  花岗岩参数

Table 2  Calculation parameter

计算结果与实验结果对比如图8所示。从图8可知，本文中的模型能够反映应力-应变关系随围压的变化规律，以及岩石由弹性状态进入塑性状态然后逐渐达到应力峰值的过程。通过对比结果可以确定本文提出的损伤模型适用于描述岩石(硬岩)的本构关系。

图8  数值模拟结果与实验结果对比

Fig. 8  Comparison between numerical simulation results and experimental results

尽管模型反映出了岩石的部分规律，但是本研究仍处于探索阶段。

1) 本文仅考虑了裂隙开裂对损伤的影响，裂隙开裂后必然伴随着支裂纹的扩展，支裂纹与原始裂隙会发生贯通，本文没有考虑贯通后裂隙对损伤的影响。此外，由断裂力学可知，当裂隙开裂后，支裂纹往往趋向于主应力方向，支裂纹的扩展必然受到围压的影响。因此，考虑支裂纹扩展现象以及支裂纹与原始裂隙的贯通现象对损伤演化的影响是下一步研究的关键。

2) 岩石断裂后，形成断裂面，通过接触摩擦使得岩石仍具有承载能力。由于裂纹开裂与诸多因素有关，从目前开裂面的放大图像来看，破裂面绝非光滑面，接触面上存在大量的凹凸体，凹凸体之间相互摩擦以及磨损，造成承载能力不断改变。因此，断裂面摩擦问题对岩石强度的影响仍需要进一步研究。

3) 岩石实际内部结果具有各向异性，其受外界荷载作用导致的损伤同样表现出各向异性，因此，初始裂纹的各向异性分布问题以及损伤各向异性演化问题将成为下一步工作的重点。此外，本文以“Griffith裂隙”为建模基础，然而，实际岩石中裂纹的形态各异。对于复杂形态的损伤模型有待于进一步研究。

3  结论

1) 本文模型能够同时反映摩擦因数和裂隙角度对岩石强度的影响，当摩擦因数为0时，裂隙角度在45°时岩石强度最小，随着裂隙摩擦因数增大，最小峰值强度对应的裂隙倾角逐渐减小；当裂隙角度一定时，摩擦因数越大，峰值强度越大。

2) 本文模型能够用于描述岩石(硬岩)的应力-应变关系，不仅能够反映花岗岩由弹性状态进入塑性状态，最终达到峰值的过程，而且可以反映不同围压条件下岩石强度的变化规律。

3) 模型能够反映裂隙长度分布不同情况下岩石强度的变化规律。当长裂隙占比较大时，岩石强度较小；反之，岩石强度较大。

参考文献：

[1] LEMAITRE J. A continuous damage mechanics model for ductile fracture[J]. Transactions of the Asme Journal of Engineering Materials & Technology, 1985, 107(107): 83-89.

[2] 赵怡晴, 刘红岩, 吕淑然, 等. 基于宏观和细观缺陷耦合的节理岩体损伤本构模型[J]. 中南大学学报(自然科学版), 2015, 46(4): 1489-1496.

ZHAO Yiqing, LIU Hongyan, LU Shuran, et al. Damage constitutive model of jointed rock mass based on coupling macroscopic and mesoscopic flaws[J]. Journal of Central South University(Science and Technology), 2015, 46(4): 1489-1496.

[3] 袁小清, 刘红岩, 刘京平, 等. 基于宏细观损伤耦合的非贯通裂隙岩体本构模型[J]. 岩土力学, 2015, 36(10): 2804-2814.

YUAN Xiaoqing, LIU Hongyan, LIU Jingping, et al. Constitutive model of rock mass with non-persistent joints based on coupling macroscopic and mesoscopic damages[J]. Rock and Soil Mechanics，2015, 36(10): 2804-2814.

[4] 刘红岩, 王新生, 张力民, 等. 非贯通节理岩体单轴压缩动态损伤本构模型[J]. 岩土工程学报, 2016, 38(3): 426-436.

LIU Hongyan, WANG Xinsheng, ZHANG Limin, et al. A dynamic damage constitutive model for rock mass with non-persistent joints under uniaxial compression[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2016, 38(3): 426-436.

[5] 曹文贵, 方祖烈, 唐学军. 岩石损伤软化统计本构模型之研究[J]. 岩石力学与工程学报, 1998, 17(6): 628-633.

CAO Wengui, FANG Zulie, TANG Xuejun. A study of statistical constitutive model for softening and damage rocks[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 1998, 17(6): 628-633.

[6] 曹文贵, 张升. 基于Mohr-Coulomb准则的岩石损伤统计分析方法研究[J]. 湖南大学学报(自然科学版), 2005, 32(1): 43-47.

CAO Wengui, ZHANG Sheng. Study on the statistical analysis of rock damage based on Mohr-Coulomb criterion[J]. Journal of Hunan University(Natural Sciences), 2005, 32(1): 43-47.

[7] 曹文贵, 赵明华, 唐学军. 岩石破裂过程的统计损伤模拟研究[J]. 岩土工程学报, 2003, 25(2): 184-187.

CAO Wengui, ZHAO Minghua, TANG Xuejun. Study on simulation of statistical damage in the full process of rock failure[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2003, 25(2): 184-187.

[8] ZHU Q Z, SHAO J F. A refined micromechanical damage- friction model with strength prediction for rock-like materials under compression[J]. International Journal of Solids & Structures, 2015, 60/61: 75-83.

[9] JIN W, ARSON C. Discrete equivalent wing crack based damage model for brittle solids[J]. International Journal of Solids & Structures, 2017, s110/111: 279-293.

[10] KRAJCINOVIC D, FANELLA D. A micromechanical damage model for concrete[J]. Engineering Fracture Mechanics, 1986, 25(5): 585-596.

[11] 白卫峰. 混凝土损伤机理及饱和混凝土力学性能研究[D]. 大连: 大连理工大学土木工程学院, 2008: 23-80.

BAI Weifeng. Study on damage mechanism of concrete and mechanical properties of saturated concrete[D]. Dalian: Dalian University of Technology. School of Civil Engineering, 2008: 23-80.

[12] 李杰, 卢朝辉, 张其云. 混凝土随机损伤本构关系—单轴受压分析[J]. 同济大学学报, 2003, 31(5): 505-509.

LI Jie, LU Zhaohui, ZHANG Qiyun. Random damage constitutive relation of concrete—Uniaxial compression analysis [J]. Journal of Tongji University, 2003, 31(5): 505-509.

[13] LI J, REN X D. Stochastic damage model of concrete based on energy equivalent strain[J]. International Journal of Solids and Structures, 2009, 46(11): 2407-2419.

[14] LI J, REN X D. Hysteretic deteriorating model for quasi-brittle materials based on micromechanical damage approach[J]. International Journal of Non-linear Mechanics, 2010, 46(1): 321-329.

[15] 惠鑫, 马凤山, 徐嘉谟, 等. 考虑节理裂隙尺寸与方位分布的岩石统计损伤本构模型研究[J]. 岩石力学与工程学报, 2017, 36(s1): 3233-3238.

HUI Xin, MA Fengshan, XU Jiamo, et al. Study on statistical damage constitutive model for rocks considering length and occurrence distribution of joint fissures[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2017, 36(s1): 3233-3238.

[16] 李世愚, 和泰名, 尹祥础. 岩石断裂力学[M]. 北京: 科学出版社, 2006: 15-215.

LI Shiyu, HE Taiming, YIN Xiangchu. Rock fracture mechanics[M]. Beijing: Science Press, 2006: 15-215.

[17] 张志强. 非贯通裂隙岩体破坏细观特征及其宏观力学参数确定方法[D]. 西安: 西安理工大学土木建筑工程学院, 2009: 52-65.

ZHANG Zhiqiang. Mesomechanical failure characteristics and macromechanical parameter estimation of fractured rock mass with nonpenetrative fissures[D]. Xi’an: Xi’an University of Technology. School of Civil Engineering and Architechture, 2009: 52-65.

[18] 刘树新, 刘长武, 韩小刚, 等. 基于损伤多重分形特征的岩石强度Weibull参数研究[J]. 岩土工程学报, 2011, 33(11): 1786-1791.

LIU Shuxin, LIU Changwu, HAN Xiaogang, et al. Weibull distribution parameters of rock strength based on multi-fractal characteristics of rock damage[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2011, 33(11): 1786-1791.

[19] 孙闯, 张树光, 贾宝新, 等. 花岗岩峰后力学特性试验与模型研究[J]. 岩土工程学报, 2015, 37(5): 847-852.

SUN Chuang, ZHANG Shuguang, JIA Baoxin, et al. Physical and numerical model tests on post-peak mechanical properties of granite[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2015, 37(5): 847-852.

(编辑  赵俊)

收稿日期：2018-04-23；修回日期：2018-06-04

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(50904071，51274207) (Projects(50904071, 51274207) supported by the National Natural Science Foundation of China)

通信作者：马秋峰，博士研究生，从事煤岩动力研究；E-mail：maqiufeng666@sina.com