一种基于神经网络算法的非线性PID控制器

李桂梅¹，曾喆昭²

(1. 湖南商学院 计算机与电子工程学院，湖南 长沙，410205；

2. 长沙理工大学 电气与信息工程学院，湖南 长沙，410076)

摘  要：针对非线性、不确定时滞对象，提出一种基于神经网络算法的非线性PID控制器。该控制器将传统PID的比例、积分和微分参数分别构造成关于误差信号的非线性函数，并将非线性比例运算单元、非线性积分运算单元和非线性微分运算单元分别作为隐层神经元的激励函数，从而构造将PID控制与神经网络控制融为一体的智能控制器。研究结果表明：采用此智能控制器有效解决了传统PID难以控制非线性对象的问题以及传统神经网络控制器隐层神经元节点数难以确定的问题，仿真结果验证了该智能控制器的有效性。

关键词：神经网络；PID控制器；非线性控制

中图分类号：TP183         文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2010)05-1865-06

A nonlinear PID controller based on neural network algorithm

LI Gui-mei¹, ZENG Zhe-zhao²

(1. College of Computer and Electronic Engineering, Hunan University of Commerce, Changsha 410205, China;

2. College of Electrical and Information Engineering, Changsha University of Science and Technology,
 Changsha 410076, China)

Abstract: Aiming at nonlinear and uncertain time-delay objects, a nonlinear PID controller based on neural network algorithm was proposed. The controller used nonlinear proportional, nonlinear integral and nonlinear differential functions on error signal as proportional, integral and differential parameters of traditional PID controller, and used nonlinear proportional operation unit, nonlinear integral operation unit and nonlinear differential operation unit as excitation functions of hidden layer neurons, which consists of PID controller and neural network controller. The results show that the intelligent controller effectively solves the control problem of nonlinear object and the problem of number of neurons of hidden layer and it is difficult for the traditional PID controller to solve and determine. Simulation results show the effectiveness of the intelligent controller.

Key words: neural network; PID controller; nonlinear control

随着系统复杂程度的提高和对象不确定性因素的增多，传统的PID控制已经不再适用，而非线性PID控制能真实反映控制量与偏差信号之间的非线性，在一定程度上克服了线性PID控制的缺陷。近10年来，国内外许多研究者将非线性特性引入PID控制器的设计^[1-9]。目前，由多种方式合成的非线性PID控制器主要有模糊系统^[10]、人工神经网络^[11]以及基于经验式的非线性函数设定^{[1-7, 9, 12-13]}等。从原理上说，非线性特性的引入可以为控制过程带来许多益处，如补偿被控对象的非线性、改善控制性能、提高控制系统的鲁棒性等，为控制器的设计提供新的自由度，但在理论与应用研究中较复杂^[9]。在这种情况下，研究一种设计简单、使用方便的非线性PID控制器具有重要的理论意义和应用价值。基于经验式的非线性函数设定方法是使常规PID控制器的比例增益系数K_p、积分增益系数K_i和微分增益系数K_d成为偏差信号e(t)的非线性函数，即K_p(e(t))，K_i(e(t))和K_d(e(t))，然后，以这3个函数来代替常规PID控制器的3个增益系数。尽管以偏差信号作为生成非线性函数K_p(e(t))，K_i(e(t))和K_d(e(t))的依据，但生成过程究竟符合什么样的规律并没有固定的公式可利用，这正是建立非线性PID控制器模型的关键。要得到非线性函数K_p(e(t))，K_i(e(t))和K_d(e(t))的准确解析式很复杂，在此，本文作者通过分析常规PID参数随系统过渡过程误差变化的理想变化关系^[14]，分别给出比例、积分和微分增益参数关于误差的动态非线性函数，从而获得非线性PID的可用  模型。

1  非线性PID控制器模型

K_p，K_i和K_d 3个参数随误差e(t)变化的关系曲线如图1所示^[14]，这些曲线揭示了K_p，K_i和K_d 3个参数在PID控制过程中的作用和物理意义。

(a) K_p; (b) K_i; (c) K_d

图1  PID 3个增益参数随误差的变化曲线

Fig.1  PID gain parameters of three curves with error

(1) K_p的作用是减小超调，增加快速性，因而要求当误差|e(t)|较大时，K_p也较大；当|e(t)|较小时，K_p也较小。可由图1构造K_p关于误差e(t)的动态非线性函数为

             (1)

且时，。其中：系数w₁不是凭经验给定，而是通过神经网络在线实时训练来确定，因而是动态的系数。构造的非线性函数K_p(e(t))也是动态的非线性函数。

(2) K­_i的作用是累积系统误差，以减小系统静态偏差，因而，要求当|e(t)|较大时，K­_i较小；当|e(t)|较小时，K­_i较大，其物理意义明确，可由图1构造K­_i关于误差e(t)的动态非线性函数为：

           (2)

且时，。同理，系数w₂不是凭经验给定，而是通过神经网络在线实时训练来确定，因而是动态的系数，从而构造的非线性函数K_i(e(t))也是动态的非线性函数。

这里要特别指出的是：当出现积分饱和情况时，通过系数w₂的自适应调整可有效避免积分饱和的情况。

(3) K_d的作用是增加系统阻尼，对系统起到提前校正、达到提高系统稳定性的目的，因而要求超调(e(t)＜0)越多时，K_d越大；欠调(e(t)＜0)越多时，K_d越小；在稳定值附近(e(t)≈0)时，K_d介于超调和欠调时的之间。因此，可由图1构造K_d关于误差e(t)的动态非线性函数为

         (3)

且时，。同理，系数w₃不是凭经验给定，而是通过神经网络在线实时训练来确定，因而是动态的系数，构造的非线性函数K_d(e(t))也是动态的非线性函数。

从形式上看，式(1)~(3)都是关于误差信号e(t)的二次函数，但是，由于系数w₁，w₂和w₃都是动态系数，因此，由式(1)~(3)构造的非线性函数具有高度非线性，最终得出的动态非线性PID模型为：

       (4)

将式(1)~(3)代入式(4)，经整理得：

          (5)

为了便于CPU处理，将式(5)离散为

     (6)

其中：T为采样周期，是1个常数。将T分别隐含到系数w₂和w₃中，并设

则式(6)可简写为

         (7)

且。其中：非线性比例项为u_p(e,w₁)=w₁e³(k)；非线性积分项为；非线性微分项为。

式(7)所示的非线性控制率给出了明确的物理意义：在超调(e(k)＜0且e(k)→ -1)时，非线性PID控制器主要由非线性比例项和非线性微分项起决定作用，而非线性积分项的作用很小；在欠调(e(k)＞0且e(k)→1)时，主要由非线性比例项起决定作用，而非线性微分项和积分项起的作用很小；在稳定值附近(|e(k)|较小)时，主要由非线性积分项、微分项起决定作用，而非线性比例项的作用很小。这在很大程度上保证了系统在过渡过程中PID参数随误差变化的理想变化关系。

2  动态非线性PID神经网络控制器模型算法

2.1  动态非线性PID神经网络控制器模型

由式(7)可知，若以和u(k)分别为神经网络的输入和输出，并以动态系数w₁，w₂和w₃为网络权值，以非线性函数e³(k)，[1-e²(k)]s(k)和[1-e(k)+0.5e²(k)]?e(k)为隐层神经元激励函数，则可得到网络拓扑结构为1×3×1的动态非线性PID神经网络控制器，其模型如图2所示。其中：s₁(k)=e³(k)；s₂(k)= [1-e²(k)]s(k)；s₃(k)= [1-e(k)+0.5e²(k)]?e(k)；s(k)= s(k-1)+e(k)；s(-1)=0；?e(k)=e(k)-e(k-1)，e(-1)=0。

动态非线性PID神经网络控制器模型如图2所示。由图2可知：本文研究的动态非线性PID神经网络控制器不仅保留了常规PID控制器结构简单的特点，而且构造了PID增益参数关于误差信号的动态非线性函数。因为w₁，w₂和w₃是动态权值，因而实现了PID增益参数的高度非线性，并将其分别融入到3

个隐层神经元中，通过神经网络的实时在线训练来获取权值系数，有效避免了常规神经网络控制器隐层神经元节点数难以确定的问题。

2.2  动态非线性PID神经网络控制器算法

由图2可知，系统初始误差函数为：E(k)= r(k)-y(k)，通过比例阈值函数可得归一化误差信号e(k) (非线性PID神经网络智能控制器的输入信号)为

               (8)

定义性能指标为：

                (9)

其中：

         (10)

神经网络训练的目的就是使性能指标J最小，即。为此，将非线性PID神经网络控制器与被控对象：

  (11)

作为一个整体，通过对神经网络输出u(k) (见式(7))表达式中的权值系数的优化，使性能指标J最小。采用最速下降法，网络权值训练算法如下：

; j=1, 2, 3      (12)

由式(7)~(11)可得：

  (13)

因为，， ，，

图2  动态非线性PID神经网络控制器模型

Fig.2  A controller model of dynamic nonlinear PID neural network

，分别代入式(13)，可得：

         (14)

     (15)

 (16)

将式(14)~(16)代入式(12)，可得：

     (17)

 (18)

           (19)

其中：，； ，；为学习率，0＜＜1；。

2.3  非线性PID神经网络算法

由式(17)~(19)可知：和 均与系统的未来输出(未知)有关，因而，神经网络权值训练时会出现计算困难问题。国内外许多研究者采用被控对象的模型辨识方法来解决此问题，但是，计算量也大，实时性差，而且对于时变系统，模型辨识不能实现。

若算法是收敛的，则必有|E(k+1)|＜|E(k)|，且 |e(k)|＜|E(k)|，故只要满足|E(k+1)|＜|e(k)|即可保证算法收敛的。据此，设，且0＜＜1。由于可通过学习率来弥补，因此，可将隐含在学习率中。

此外，用符号函数来替代也是可行的。因为其符号的正负只决定权值变化的方向，其数值只影响权值的变化速度，而权值变化速度也可通过学习率弥补。设

     (20)

则式(17)~(19)可改写为：

         (21)

    (22)

    (23)

已隐含在学习率中。为了有效避免因权值过大引起神经网络训练过程中出现振荡现象，通常对权值进行归一化处理，即

；j=1, 2, 3   (24)

由式(21)~(23)可知，权值的计算只与当前或历史的系统输入(r(k)和r(k-1))、输出(y(k)和y(k-1))以及历史控制信号(u(k-1)和u(k-2))有关，因而有效解决了权值计算问题。由于本文研究的非线性PID神经网络控制器只涉及乘法和加法运算，便于CPU处理，因此，计算简单，计算量小，便于实际应用。

2.4  算法收敛性

为了保证系统稳定工作，必须对算法的收敛性进行理论研究，以便为确定学习率提供理论依据，避免选择学习率的盲目性。

定理1  当且仅当学习率满足时，本文研究的神经网络算法是收敛的。其中：。

证明  取Lyapunov函数为：

则有

因为，因此，

  (25)

由于，由式(10)和式(7)可得：

，

,

由式(21)~(23)可得：

，，

于是，有：

 (26)

将和式(26)代入式(25)，并整理可得：

 (27)

其中：。

由式(27)知：要使神经网络算法收敛，必须有下式成立：

              (28)

因，且，所以，。可以证明：1.25≤p(k)≤s²(k)，且0＜＜1，因子隐含在学习率中。因此，当学习率时，神经元算法是收敛的，证毕。

在神经网络训练时，通常取学习率。

2.5  算法步骤

(1) 神经网络权值初始化：w_j=0(j=1, 2, 3)，设s(-1)=0，e(-1)=0，u(m)=0，y(m)=0(m=-1, -2, …)；

(2) 计算系统初始误差：E(k)=r(k)-y(k)，由式(8)计算归一化误差e(k)；

(3) 分别计算累积误差和差分：s(k)=s(k-1)+e(k)，?e(k)=e(k)-e(k-1)；

(4) 由式(20)计算符号差商，并计算学习率；

(5) 由式(21)~(23)递推计算神经网络权值系数w₁，w₂和w₃，由式(24)对权值进行归一化处理；

(6) 由式(7)计算非线性PID控制器的控制率u(k)，即

(7) 返回步骤(2)重复上述计算过程，以实现非线性PID神经网络智能控制器的在线实时优化控制   过程。

3  仿真结果

为了验证动态非线性PID神经网络智能控制器的有效性，选择文献[15]中的对象A和B进行仿真实例研究。

例1  对象A是1个一阶惯性大、纯滞后工艺对象，且，其传递函数为^[15]

由文献[15]可知：若利用常规控制算法控制该对象，则很难获得满意的控制效果。在本文算法中，使权值的初始值为0，给定学习率=2×10^-3，采样周期为  0.1 s，通过神经网络实时在线训练，其仿真结果如图3(a)所示，文献[15]中的仿真结果如图3(b)所示。

(a) 本文仿真结果；(b) 文献[15]中仿真结果

图3  实例1仿真结果

Fig.3  Simulation results of example 1

     由图3可知：采用本文方法，调节时间约为   400 s，而采用NOIC方法^[15]则需要650 s。由图3(b)还可知：使用传统PID控制方法无法对该对象实现有效控制。

例2  对象B是1个非线性对象，其离散化方程为^[15]：

其中：u(k)和y(k)分别是被控对象的输入和输出变量。在本文算法中，使权值的初始值为0，给定学习率为=2×10^-4，设采样周期为0.1 s，通过神经网络在线训练，其仿真结果如图4(a)和4(b)所示，且超调量为1.33×10^-13%，稳态误差为0，调节时间为5 s。而文献[15]中的仿真结果如图4(c)所示，超调量为15%，稳态误差为0，调节时间为10 s。

(a) 单位阶跃响应；(b) 权值系数实时优化结果；
(c) 文献[15]中仿真结果

图4  实例2仿真结果

Fig.4  Simulation results of example 2

4  结论

 (1) 通过分析常规PID参数随系统过渡过程误差变化的理想变化关系，分别给出了比例、积分和微分增益参数关于误差信号的二次非线性函数，不仅大大简化了3个增益参数的非线性函数模型，而且通过神经网络在线训练使3个增益参数的非线性函数模型分别随权值w₁，w₂和w₃实时动态变化，从而获得将动态非线性PID控制与神经网络控制融为一体的智能控制模型。

(2) 计算机仿真结果验证了本文基于神经网络算法的非线性PID控制器的有效性。与传统PID控制器相比，采用本文方法不仅计算量大大减小，便于实际应用，而且超调小，调节时间短。

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(编辑 陈灿华)

收稿日期：2010-01-03；修回日期：2010-04-15

基金项目：湖南省科技计划项目(2010GK3035，2009GK3186)；湖南省教育厅重点项目(08A006)；长沙市科技计划项目(K0904040-11)

通信作者：李桂梅(1965-)，女，湖南涟源人，副教授，从事智能信息处理及智能系统设计研究；电话：0731-88689238；E-mail: liggmm@126.com