DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.04.048
多模式枢纽网络中高铁与航空均衡优化模型
张婧1, 2，陈治亚1，黄帅3，郭啸3，陈维亚2，陈治亚1
(1. 中南大学 商学院，湖南 长沙，410083；
2. 中南大学 交通运输工程学院, 湖南 长沙，410075；
3. 中南大学 数学与统计学院，湖南 长沙，410083)
摘要：在高铁与航空共存的多模式客运枢纽网络中，考虑机场容量限制，通过多项式Logit模型，模拟行者对交通方式、交通方式运营商和出行路线的选择行为，建立竞争情形下运营商各自利润最大化的Nash均衡优化模型。利用约束优化的KKT条件，设计基于非线性互补问题的求解算法，并通过实例验证模型的合理性和算法的有效性。研究结果表明：机场容量的变化对运营商的决策和出行者的出行选择有影响；通过关闭或开启某些航段，可使航空运营商的利润变大，或使得社会效益增加；此外，通过求解模型，得到机场容量扩容时带来的边际社会效益，可以为机场扩容提供一定的决策参考。
关键词:多模式枢纽网络； Logit模型；弹性需求；Nash均衡；非线性互补问题
中图分类号：U115 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2015)04-1544-09
Equilibrium optimization model of high-speed rail and airline in multi-modal hub network
ZHANG Jing1, 2, CHEN Zhiya1, HUANG Shuai3, GUO Xiao3, CHEN Weiya2, CHEN Zhiya1
(1. School of Business, Central South University, Changsha 410083, China;
2. School of Traffic and Transportation Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;
3. School of Mathematic and Statistics, Central South University, Changsha 410083, China)
Abstract: In view of airport capacity constraint in a multi-modal transportation hub network, a multinomial Logit model was used to describe the travelers’ selection about the travel modes, travel operators and the travel routes. A Nash equilibrium optimization model was presented for both high-speed rail (HSR) and airline operators to maximize their individual profits in a competitive environment. Utilizing the KKT condition of constraint optimization, an algorithm was designed based on the nonlinear complementary problem, and an empirical network was used to illustrate the applicability of the model and the rationality of the algorithm. The results show that the change of airport capacity has impact on the operators’ operative strategy and the travelers’ travel selection. Closing or opening certain flight segments can increase the profit of air carriers or make the social welfare rise. Furthermore, the marginal social welfare gain of airport capacity expansion can be calculated by the model, which can potentially serve as a benchmark indicator for airport expansion.
Key words: multi-modal hub network; Logit model; elastic demand; Nash equilibrium; nonlinear complementary problem
在高铁与航空的竞争关系中，交通出行者的出行选择行为和运营商的运营条件对交通运营商的决策起着重要作用。目前，描述交通出行者行为对高铁和航空客流分担率的影响，更多是针对单条线路中两者竞争关系的研究[1-5]。在忽略机场容量限制的条件下，研究者详细分析了交通出行者的出行选择行为对高铁和航空客流分担率的影响，但没有考虑枢纽网络中各市场的相互影响关系。随着高铁和航空枢纽网络的发展，对枢纽网络中高铁与航空竞争关系的研究逐渐增多。如Alder等[6]在建立Logit选择模型的基础上，分析了整个欧洲航空与高铁体系的竞争关系；Takebayashi[7]利用SUE模型描述乘客的出行行为，分析连接度对乘客出行选择和运营商决策的影响。但他们都没有考虑机场容量等限制条件对交通运营者决策的影响。Socorro等[8-9]考虑到枢纽机场容量对运营者决策的影响，建立了线性理论模型，全面分析了枢纽网络中高铁和航空的竞争、合作关系，但Socorro等[8] 只讨论了客票价格对需求的影响。在实际情况中，乘客选择何种出行方式更多地依赖于包含票价、旅行时间等因素的广义出行费用。为此，本文作者针对有机场容量约束的多模式枢纽网络对高铁与航空的竞争关系进行研究。在更加详细描述旅行负效用(包含票价、程前程后时间、在途时间、换乘时间、延误时间)的基础上，使用多项式Logit公式模拟出行者对交通方式和运营商的选择，建立考虑交通出行者行为响应的航空和高铁均衡优化模型。为了求解所建立的均衡优化模型，首先利用约束优化的KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件将其转化成互补问题，然后利用Fischer-Burmeiste函数，将互补问题转换成非线性方程组问题，通过计算求解非线性方程组来得到均衡优化模型的解。对于一个有多家航空公司运营的多模式枢纽运输网络实例，利用构造的模型模拟出行者出行的所有实际情况，并计算机场容量变化对运营策略的影响，以验证模型和算法的适用性。
1 问题描述
本文研究的多模式枢纽交通网络G=(N，L) (其中，N为通行城市集合，Z为城市N所对应的机场集合，L为相邻两城市间的运输路段集合)。由于地理或政治的原因，L分为国际、国内路段，其中，国内路段存在高铁和航空2种运输方式，国际路段通常只有航空这种运输方式。设K为运营商k的集合，则
且
(其中，A为网络中航空公司集合，R为高铁集合)。并设W为网络G中所有OD对w的集合；Jw为OD对
的所有路线集合；
和
分别表示OD(Origin-destination)对中运营商k独自运营的路线与其他公司共同运营的路线；下标s表示独自的，m表示共同的。设Ik为运营商运营的路段集合，不失一般性，进行如下假设。
假设1 考虑2类局中人即交通出行者和交通方式运营商。交通出行者对交通方式、交通方式运营商和出行路线做出选择决策，力图使自身旅行负效用最小。
假设2 假设交通出行者拥有关于出行路线和运营商的完美信息，因此, 出行者对路径和运营商的选择满足确定性用户均衡原理[10]。
假设3 假设高铁和航空没有实现联运，即运营商不提供高铁和航空联程服务(一票制)。
假设4 交通出行者可以选择航空、高铁或换乘方式到达目的地。其中换乘方式gv包括3种：航空换乘航空(一票制) g1、航空换乘航空(非一票制) g2、航空换乘高铁(高铁换乘航空)g3。
2 模型建立
首先根据定义的旅行负效用函数建立交通出行者选择的Logit模型，然后考虑航空、高铁在实际运营时的约束，建立航空、高铁均衡优化模型。
2.1 旅行负效用函数
旅行者出行的负效用通常包括从起点到终点的程前程后时间(程前时间指从出发地到机场或车站的时间；程后时间指机场或车站到目的地的时间)、车内(舱内)路线旅行时间、调度延误时间、换乘时间、票价，可表示为[11]
(1)
式中：ujw为OD对w间路线j上的旅行负效用；
为出行者的时间价值参数；tjw，wjw，djw和gjw分别为OD对w间路线j的车内(舱内)旅行时间、程前程后时间、调度延误时间和换乘时间；α1，α2和α3分别为将wjw，djw和gjw折算成当量车内(舱内)旅行时间的系数；pjw为OD对w间路线j上的票价。
车内(舱内)路线旅行时间可表示为该路线上所有路段旅行时间之和，即
(2)
式中：
为路段i上运营者k的车内(舱内)旅行时间；
为描述路线和路径关联关系的示性变量，若路段i在路线j上，则
，否则，
。
类似地，调度延误时间可表示为路线上所有路段的调度延误时间之和，即
(3)
式中：
为路段i上运营者k的调度延误时间，当
为航空时，它通常近似为平均车头时距的1/4[12]，即
(4)
式中：T为起始机场平均运营时间，通常取18 h[13-14]；
为路段i上运营者k的运行频率。
由于没有空中管制与天气因素的影响，在实际运营过程中，高铁准时率达到95%以上，因此，在本文中，当k=R为高铁时，取为0。
换乘时间可以表示为路径上所有的换乘方式时间之和，即
(5)
式中：njwv为OD对w中路线j上所需换乘方式v的次数；gv为换乘方式v所需要的时间。gv可以分解为换乘步行时间Tv1、排队等候时间Tv2和换乘候车时间Tv3 3部分，即[15]
(6)
2.2 出行者选择模型
由假设4，出行者的方式选择满足如下Logit公 式[16]：
(7)
式中：qw为OD对w之间的需求；hjw为OD 对w间路线j上的乘客流量；θ为反映出行者对旅行负效用理解差异的参数。因此，OD对w间的期望旅行负效用为[17]
(8)
考虑旅行负效用对出行需求的影响，引入如下的弹性需求函数[18]：
(9)
式中：
为OD对w之间的潜在出行需求；β为反映出行需求对旅行负效用的灵敏度参数。
k公司运营的路段流量
可由路线流量
表示为
(10)
票价pjw为OD对w间路线j中各个子路线
的票价之和，
(11)
式中：
为路线j′与路线j关联关系的示性变量。当j′是j的一部分时，
；否则，
。
2.3 航空和高铁均衡优化模型
交通方式运营商的运营策略影响出行者的选择行为，反过来，出行者对交通方式运营商的选择影响运营者的决策。交通方式运营者k的利润等于总收入减去总运营成本，在实际中，不同交通方式的利润和运营时需要满足的约束有区别。
对于航空公司，令，
和
为航空公司k在路段i上的飞行频率、单位运营成本和飞行距离；
，
，分别为k公司的飞行频率与票价所对应的向量形式；除了航空公司k之外的运营商飞行频率与票价所对应的向量形式为
，
，则航空公司
的利润为
(12)
其中：等式右边前2项为航空公司k在所有路线
上的收入，第1项为路线集合
上所获得的收入，第2项为在路线集合上所得收入；右边第3项为运营成本之和。考虑到实际运营时，运营商的约束，航空公司的利润最优化模型为
(13)
s.t.
(14)
(15)
(16)
(17)
其中：式(14)表示路段i上k公司承运的实际人数不能超过该公司所提供的座位数与上座率的乘积；式(15)为机场
的容量约束；式(16)和(17)分别为票价和运行频率的非负约束；
为航空公司k在航段i上平均每个航班所提供的座位数；lo为上座率；Iz为与机场z连接的所有航段的集合；Qz为机场z的容量。
对于高铁运营商，由于政治或者地理原因，大部分国家的高铁只服务国内市场，且由于运营编排设置，高铁的运行频率在很长一段时间内都是固定的，因此，本文只将票价作为高铁的决策变量。由于服务频率固定，其可变的运营成本为0 元，因此，本文没有考虑高铁的运营成本[7]。
对于高铁公司k=R，它的利润函数为
(18)
其中：等式右边第1项和第2项分别为高铁公司在路线集合
和
上所获得的收入。考虑到高铁实际运营时的约束，高铁的利润优化模型为
(19)
其中：模型只要求票价非负。
由于模型 (19)的决策变量为模型(13)~(17)中的参数；反之，模型(13)~(17)中的决策变量为模型(19)中的参数，所以，航空、高铁优化模型是一个Nash均衡优化模型。该交通网络中的社会效益为[19]
(20)
式(20)右边第1项为用户盈余，第2项为所有运营商的利润。
3 模型的求解
3.1 等价的互补问题
为了求解上面的模型，首先将其转换为等价的互补问题。令
(21)
则由模型(13)~(17)易知
和
均小于等于0。
对于航空公司，易得模型(13)~(17)的 Lagrange 函数为
(22)
其中：
，
，
和
为拉格朗日乘子。对于高铁公司k=R，模型(19)的Lagrange 函数为
(23)
其中：
为拉格朗日乘子。令
分别为所有航空公司对应的票价、频率、约束(14)和约束(15)对应的Lagrange乘子、高铁公司对应的票价所构成的向量。记
，则模型(13)~(17)的KKT条件可表示为
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
式(24)和(25)为KKT条件中Lagrange 函数对决策变量的导数为0，式(26)~(29)为KKT条件中约束条件(14)~(17)的互补条件。
类似地，模型(19)的KKT条件为
(30)
(31)
式(30)为KKT条件中Lagrange函数对决策变量的导数为0，式(31)为KKT条件中非负约束的互补条件。令
(32)
则航空、高铁均衡优化模型的解是以下非线性互补问题的解：
(33)
3.2 算法
一般地，为了求解互补问题(33)，需要将其转化成如下非线性方程组求解[20]：
(34)
其中：函数形式
，
为Fischer-Burmeiste函数。则式(34)等价于
(35)
令
(36)
为非线性方程组(35)的效益函数。 将互补问题转化为非线性方程组问题后，采用Matlab自带的fsolve函数解决非线性方程组(35)。 需要注意的是：fsolve求解非线性方程组的效果与初始点的选取有关，为了较准确地得到方程组的解，类似文献[21]中的Minfinder 法，本文构造如下算法。
算法1
step 1 给定迭代次数N和比较小的数ε，令n=1, 
。在给定的区间中随机选取初始点
。
step 2 利用产生的初值, 调用 fsolve 函数，求解非线性方程组(35)，得到一组解
以及效益函数值
。若
且
，则
，否则转step 3。
step 3 ： 若
，转step 1；否则，记X*中的元素个数为I，令i=1，且对
，计算对应的k个运营商的利润
，转step 4。
step 4： 若对X* 中的第i个元素
，存在X*中另外一个元素
，使得对
，有
，则
，i=i+1，转step 5。
step 5： 若
，则转step 4；否则，若X*中还有多组解，则选择使得社会效益最大的解作为模型的解，并且终止算法。
对于算法1，由于约束优化的KKT条件是一阶必要条件，所以，航空、高铁均衡优化模型的解一定是互补问题(33) 的解，从而是非线性方程组(35)的解，但反之不一定成立。由于非线性方程组(35)可能存在多组解，因此，需要根据给定数据，首先确定均衡解可能存在的区间，然后在该区间中随机产生初始点。
利用文献[21]中的Minfinder 法，可以找到给定区间中非线性方程组(35)的所有解。由于模型的目标是运营者最大化各自的利润，因此，计算方程组每个解对应的运营者的利润，并找出使得各个运营商利润不会增加的值作为解。若此时仍然有多组解，则这些值都可能是均衡优化模型的解，此时，选择使得社会效益最大解作为模型的解。
4 实例研究
多模式单枢纽网络如图1所示。考虑吉隆坡(N1)、广州(N2)、长沙(N3) 3个城市组成的多模式单枢纽网络[8-9] 。网络中有2个路段却有3个OD市场：吉隆坡—广州，吉隆坡—长沙，广州—长沙，分别用N1N2，N1N3和N2N3市场表示。N1N2之间仅有航空运营的中国南方航空公司(南航)和马来西亚航空公司(马航)；N2N3之间既有航空又有高铁，如南航、中国深圳航空公司(深航)、中国广州铁路集团(广铁)；N1N3之间没有直达航班，乘客只能经停N2中转到达N3，乘客可以自由选择运输方式和运营商，也可以选择南航提供中转联程服务(一票制)。本文选取2012-12—2013-11的航空与高铁历史数据进行分析，只考虑N2枢纽机场容量限制时的情况。
图1 多模式单枢纽网络
Fig. 1 Multi-modal hub network
首先根据历史实际数据和式(9)估计出一个需求，然后，将此需求上调25%作为潜在需求[12]，这样得到N1N2，N1N3和N2N3的潜在需求分别为1 048，114和12 114人。对于航空公司，市场N1N2，N1N3和N2N3的舱内运行时间分别为1.25，5.25和4.00 h；程前程后时间均为3.00 h，距离分别为2 603，3 122和519 km。对于高铁，市场N2N3的车内运行时间为2.75 h，程前程后时间为2.00 h，距离为707 km。此外，出行者的时间经济价值约为15.5 $/h，α1=α2=α3=1.3，g1=1.0 h，g2=2.5 h，g3=4.0 h。南航、深航国内航段的机型为170座/次，南航国际航段的机型为200座/次，马航国际航段的机型为260 座/次，平均客座率为80%。运营国内航线的航空成本约为0.042 $/(km·人)[22]，运营国际航线的航空成本约为0.081 $/(km·人)[19]。
4.1 机场容量固定
当N2枢纽机场容量为25架次/d时，可以求出运营商的最优决策，如表1和表2 所示。
表1 枢纽机场容量为25架次/d时运营商最优策略
Table 1 Optimal strategy when hub airport capacity is 25 flights per day
表2 枢纽机场容量为25架次/d时运营商实际承运人数
Table 2 Resultant passengers when hub airport capacity is 25 flights per day
从表1可以看出：市场N2N3的高铁票价低于航空票价，南航和深航有相同的票价和频率。但在市场N1N2，由于马航的机型比南航的大，因此，其最优价格和频率均比南航的低。
当机场容量为25架次/d时，运营商实际承运人数与负效用如表2所示。其中：S表示自由换乘，U表示一票制。从表1可知：价格越高，负效用越高，出行的人数越少；在市场N1N3中，虽然南航提供一票制的中转联程服务，并且高铁与航空没有实现联运，但乘客自行选择高铁和航空组合出行方式的人数还是要大于南航航空一票制承运的人数。而且市场N1N2中，由于马航提供的价格(248.0 $)低于南航提供的价格(265.5 $)，因此，选择高铁与马航组合出行的人数也大于高铁和南航组合出行的人数。
此外，还可得到南航、深航、马航和高铁公司的利润分别为113 628.5，114 042.7，-2 003.1和464 085.9 $，该网络的用户盈余为3 420 266.8 $，社会效益为4 108 881.7 $。在市场N2N3中，马航的利润为负数，这与实际运营结果相同，主要原因是潜在需求比较少。随着经济的发展，潜在需求会增加，假设潜在需求人数是原来的7倍左右即1 700 左右时，马航的利润为正，为2 002 $，并且其利润随着需求人数的增加而增加。
4.2 机场容量变化
随着枢纽机场容量的改变，求解航空、高铁均衡优化模型可得到不同运营商的最优决策。枢纽机场容量限制下不同市场中的票价、频率优化方案如图2所示。市场N1N2中，南航记为cz1，马航记为mh1；市场N1N3中，南航记为cz2；市场N2N3中，南航记为cz3，深航记为zh3，高铁记为hsr3。
从图2(a)可以看出：随着机场容量增加，各市场运营商的票价都逐渐下降，其中市场N1N3和市场N2N3票价的下降速度比市场N1N2的下降速度快；市场N1N2中南航下降速度比马航的下降速度慢，并且由于机型问题，南航的定价比马航的要高。
图2(b)表明：随着机场容量的增加，各市场运营商的运行频率都增加，且在市场N2N3中，南航和深航频率增长的趋势大体一致。而在市场N1N2中，南航的频率增长更快。
从图2(c)可以看出：随着容量的增大，通过航空出行的人数增加，而高铁的人数减少。
从图2(d)可以看出：高铁的利润随着枢纽机场容量的增大而减少；而国内航空运营商的利润随着机场容量的增大先增大后减少。
从图2还可以看出：当枢纽机场容量扩大到45架次/d之后，各运营商的运营策略保持不变。
枢纽机场容量变化带来社会效益的变化如图3所示。从图3可以计算出机场容量增加所带来的边际社会效益：当广州的机场容量为15 架/d时，每增加1架次会带将近30 000 $的社会效益，其主要原因是由交通网络中需求人数增加。但随着容量的增加，边际社会效益逐渐减小，当机场容量增加到45架次/d时，边际效益为0 $；在容量分配时，可以将此边际社会效益作为容量分配最优时边际机场容量的显示价值，也可以作为机场容量扩容时的极限最大值。
4.3 航段的关闭与开放
在枢纽网络中，由于枢纽机场的容量管理，航空公司可能会开设或者关闭某些支线航段。该模型同样可以求解不同机场容量下开设或关闭不同航段所取得的效益。称前面讨论的网络为基本网络。此外，本文还要分析另外2种情形：网络1，即南航不运行国际航线；网络2，即南航不运行国内航线。
图2 枢纽机场容量限制下不同市场中的票价、频率优化方案
Fig. 2 Operative optimization strategy of HSR and airline when hub airport is capacity-constrained
图3 枢纽机场容量变化带来社会效益的变化
Fig. 3 Value of airport capacity expansion and its effects on resultant demand
在网络1中，南航不运行国际航线，因此，市场N1N2中，马航处于垄断地位。在网络2中，南航不运行国内航线，因此，市场N2N3中，只有深航和高铁运营。求解模型(13)~(17)和模型(19)可得到社会效益和用户盈余随着机场容量变化的关系，如图4所示。
从图4(a)可以看出：南航的主要利润来自国内航线。在网络2中，南航的利润会比其他2种情况低很多，当枢纽机场容量为31架次/d时，南航的利润保持不变。在基本网络和网络1中，南航的利润随着机场容量的增大先增大后减少，当机场容量为25架次/d时，南航的利润都达到最大值。对于基本网络，当机场容量大于45 架次/d时，机场容量的扩大对利润没有影响。在网络1中，当机场容量大于43架次/d时，机场容量的扩大对利润没有影响，且南航在网络1中的利润大于基本网络中的利润。
从图4(b)可以看出：3种网络中的用户盈余都随着机场容量的增加而增加，最后趋向于不变；当机场容量在29(A点) 到34(B 点)之间时，网络2所带来的用户盈余大于其他2种网络的用户盈余；当机场容量大于34时，基本网络中的用户盈余比其他2种情况的大；当机场容量处于37(C点)附近时，网络1中的用户盈余大于网络2时的用户盈余。
图4 不同网络下的运行效果
Fig. 4 Operative effects under different networks
从图4(c)可以看出：基本网络中的社会效益最大，其次是网络1，再其次是网络2。
5 结论
1) 考虑机场容量限制和交通出行者的出行选择行为，建立高铁与航空均衡优化模型并设计求解算法。该模型适用于分析竞争情形下的高铁与航空枢纽网络运营决策问题。
2) 机场容量的变化对运营商决策会产生影响。为了保持最优利润，当机场容量为紧约束且小于某个值时，所有交通运营者的票价随着机场容量的增大而降低；但当机场容量大于这个值即为松约束时，运营商会保持原有的运营策略。该机场容量可作为机场容量扩建的极限参考值。
3) 当机场容量一定时，航空运营商可以通过开放或者关闭某些航段来实现航空公司的利润最大化，或使得社会效益增加。
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(编辑 陈灿华)
收稿日期：2014-08-10；修回日期：2014-10-12
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(61203162)；中国铁路总公司科技研究开发计划项目(2013X008-A)；湖南省自然科学基金资助项目(13JJ3002)(Project (61203162) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (2013X008-A) supported by Scientific Research and Development Program of China Railway Corporation; Project (13JJ3002) supported by t he National Science Foundation of Hunan Province)
通信作者：陈维亚，博士，副教授，从事交通运输规划与管理研究；E-mail：wychen@csu.edu.cn
