时延网络控制系统的输出反馈模型预测控制

谢成祥¹，胡维礼²

(1. 常州工学院 电子信息与电气工程学院, 江苏 常州，213002；

2. 南京理工大学 自动化学院，江苏 南京，210094)

摘要：研究一类具有输入约束的不确定时延网络控制系统的离线输出反馈预测控制问题。考虑传感器时间驱动，控制器和执行器事件驱动以及不大于一个采样周期的不确定时延，建立基于状态观测器的网络控制系统增广模型。根据鲁棒模型预测控制理论，利用矩阵不等式方法推导了满足输入约束且闭环系统渐近稳定的充分条件，基于此，综合离线输出反馈预测控制律。仿真例子说明了本方法的有效性。

关键词：网络控制系统；鲁棒模型预测控制；矩阵不等式；稳定性

中图分类号：TP273          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2011)S1-0370-06

Output feedback model predictive control for networked control systems with time-delay

XIE Cheng-xiang¹, HU Wei-li²

(1. School of Electronic Information and Electric Engineering, Changzhou Institute of Technology,

Changzhou 213002, China;

2. School of Automation, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

Abstract: An off-line output feedback model predictive control scheme for a class of networked control systems (NCS) with input constraints and uncertain time-delay was studied. Considering time-driven sensors, event-driven actuators and the controller, and the uncertain time-delay no more than one sampling period, an augmented mathematic model for the NCS based on state observer was developed. According to robust model predictive control theory, matrix inequalities method was used to derive the sufficient condition of asymptotic stability of closed loop system for NCS and at the same time satisfy the input constraints. Based on this idea, the off-line output feedback model predictive control law was synthesized. The simulation example shows the effectiveness of the proposed technique.

Key words: networked control systems; robust model predictive control; matrix inequalities; stability

由于网络控制系统具有可靠性高、灵活性强、系统中各部分易于实现信息资源的共享等优点，越来越多的控制系统采用了控制网络技术。将通信网络引入到控制系统中，不可避免地导致信息在传感器、执行器和控制器之间传输时产生了不确定时延，从而降低了系统的性能，甚至使系统不稳定。对于不同的时延特性，可采用不同的分析与设计方法^[1-3]。

在实际的网络控制系统中，不仅存在不确定时延，而且控制输入往往存在一定的约束；同时，由于环境或经济条件的制约，有时不能测量到系统的全部状态信息，而只能得到部分信息。对此，邱占芝等研究了短时延情况下动态输出反馈NCS的鲁棒控制器设  计^[4]、保性能控制器设计^[5]以及基于观测器的NCS鲁棒控制器设计^[6]等问题，但存在输入约束的NCS的研究尚不多见。

模型预测控制能较好地处理控制中的约束问题，因此，本文作者首先针对传感器时间驱动，控制器和执行器事件驱动的有输入约束的短时延网络控制系统，研究基于观测器的鲁棒模型预测控制问题，给出了鲁棒预测控制律存在的条件；在此基础上，采用文献[8]的思路，综合了离线输出反馈模型预测控制律，并通过仿真算例验证了本文方法的有效性。

1  输出反馈NCS的数学模型

用u和y分别表示被控对象的控制输入和输出，第k个采样周期传感器到控制器之间的网络诱导时延记为，控制器到执行器之间的网络诱导时延为，系统中各节点设备的数据处理时延可并入以上两种时延中。为分析方便，假设：(1)传感器时钟驱动, 以周期T采样输出；(2)控制器和执行器接收到数据信息或控制信息立即进行相应的操作；(3)数据单包传输, 无时序错乱和包丢失；(4)整个闭环回路的网络诱导时延记为，，不确定, 满足≤T；(5)不考虑过程干扰和测量噪声。

基于以上假设，被控对象可表示为

         (1)

其中：x(t)Rⁿ为被控对象的状态，u(t)R^r为控制输入且满足约束|u_j|≤u_j,max，j=1, 2, …, r，y(t)R^m为被控对象的输出，A，B，C为适维定常矩阵。

考虑到τ_k[0, T]，控制输入u(t)在一个采样周期内分段连续，可以描述为：

        (2)

因此，被控对象的离散化模型可表示为：

(3)

其中：A_d=e^AT,，D，E为常数矩阵，

F(τ_k)随τ_k时变且满足F^T(τ_k)F(τ_k)≤I。D, E的取值参考文献[7]。

与文献[4-6]中所用模型相比，本文模型的标称形式(不含不确定项时)就是网络诱导时延为0时的被控对象模型，物理意义更加明确，且其可控性一般可以得到保证。文献[4-6]中所用标称模型不可控，故不适用于开环不稳定系统。

当仅能得到系统的输出信息时，可构造状态观测器来重构系统的状态，并用重构的状态来实现状态反馈控制。假设[A_d, C]可观测，按标称系统构造状态观测器如下：

       (4)

其中：是观测器的状态，是观测器的输出反馈增益矩阵。

取控制器为

               (5)

则可得输出反馈网络控制系统的闭环方程为

(6)

2  鲁棒预测控制器设计

由于真实状态不能精确可知，故利用观测器状态来构造无穷时域性能指标：

           (7)

其中：表示基于在k+i时刻的观测器预测状态，是k时刻第i步预测控制。

采用观测状态构造反馈控制律：

        (8)

此时，输出反馈模型预测控制问题就转化为求解如下的最小化问题：

         (9)

s.t.

        (10)

       (11)

在控制律式(8)作用下，闭环系统方程可以表示为：

   (12)

其中：。

引理1^[9]：设M，N，F为具有适当维数的实矩阵，其中F满足F^TF≤I，那么存在常数ε>0，使得

定理1：设是系统在采样k时刻的观测器状态，系统采用反馈控制律式(8)，使得系统式(12)渐近稳定且使得性能指标式(7)极小的充分条件是存在对称正定矩阵X和Y，标量γ>0和Λ>0，满足矩阵不等式约束的优化问题，即：

                (13)

s. t.

     (14)

         (15)

(16)

(17)

其中：

证明：定义二次型函数

     (18)

其中：

。

由Lyapunov定理可知，闭环系统式(12)渐近稳定的充分条件是

        (19)

将式(12)、(18)代入式(19)，可得

             (20)

由Schur补引理，式(20)等价于

            (21)

由于

于是，式(21)可以写成

(22)

由引理1，要使式(22)成立，只要存在正数ε，使得不等式

(23)

成立。再由Schur补引理1，并令X=γP^-1，Λ=γε，式(23)等价于式(18)，即式(18)成立是闭环系统式(12)渐近稳定的充分条件。

再定义二次型函数

并施加如下的约束：

        (24)

显然，当闭环系统式(12)渐近稳定时，，。因此，将式(24)从i=0到i=∞进行累加，得到。令

      (25)

根据Schur补引理，令，便可得到式(15)。

应用式(10)，约束式(24)等价于

           (26)

其中：。简便起见，在式(26)中省略项(等价于仅在考虑最优性时，作无状态观测误差的假设)^[7]。于是式(26)等价于

          (27)

运用Schur补引理，式(27)等价于

 (28)

式(28)可以写成

再运用Schur补引理，上式等价于

(29)

由于式(29)是非线性矩阵不等式，所以运用变量代换方法，对式(29)左乘、右乘并令便可得到式(21)。

接下来研究输入约束的处理。参照文献[10]中的方法，由于

是系统式(10)的不变集，所以，对于第j个控制分量，应用Cauchy-Schwarz不等式，有

这样，若存在对称矩阵U，满足式(17)

则可以保证。[证毕]

从以上推导可知，矩阵不等式(14)保证了闭环系统渐近稳定，式(15)确定了性能指标的上界，式(16)则保证在无状态观测误差时的单调递减性，式(17)约束使得控制量的大小在规定的范围内。

定理1的优化问题是双线性矩阵不等式(BMIs)约束的优化问题，可以在MATLAB环境下利用PENBMI软件包求解^[11]，但求解时计算量大，不便于在线使用，为此，我们给出网络控制系统的离线输出反馈模型预测控制算法。

算法1：离线输出反馈模型预测控制算法

(1) 离线地，选择状态点，i{1, …, N}用替换式(15)中的(k|k)并求解式(13)，得到相应的矩阵Y_i、控制器增益矩阵K_i和椭球集。注意的选择应该使得；

(2) 在线地，在初始时刻k=0，确定和i=i₀满

足然后首先采用；

(3) 在线地，在每个k>0时刻，计算。如果下面的条件满足，则控制器增益矩阵需要从切换到(i_τ

(30)

对于该算法，有以下结论：

定理2  对于如式(3)～式(5)所描述的系统，采用上述的离线输出反馈模型预测控制算法，闭环系统渐近稳定的充分条件是。

证明：根据定理1，由于能使得闭环系统渐近稳定，所以，存在正整数n₀，使得在应用了n₀次后，式(30)对τ=0和i₁≤N满足，即。此时，将用来取代。类似地，在适当的时候用来取代，以此类推，最后，增广状态

将被驱动到原点。[证毕]

3  仿真算例

考虑一个开环不稳定的被控对象：

假设传感器节点的采样周期T=0.5 s，网络中的信息传输总时延τ_k[0, 0.5 s]，且是时变、不确定的，控制器节点和执行器节点均采用事件驱动，控制输入满足|u|≤12。根据文献[7]提供的方法，取α₁=0.512 7，α₂= 0.398 0与特征值λ₁=0.1，λ₂=-0.95相对应，可得：

取性能指标参数为Q=I，R=1，L=          [0.173 2 0.340 2]，使得A_d-LC的极点为0.7，0.8。选择，a_i=15，14，12，10，8，5，3，2；b_i=5，4.5，4，3.5，3，2.5，2.1，得到反馈控制增益K₁～K₈。然后选择选择初始状态为，并采用算法1，可得闭环系统的观测状态和实际状态如图1所示。图2显示了相应的控制输入信号。

图1  闭环系统的状态轨迹图

Fig.1  State trajectories of closed-loop system

图2  控制输入信号

Fig.2  Control input signal

4  结论

本文针对一类具有输入约束的不确定时延网络控制系统，在仅能获得被控对象输出信息的条件下，通过构造观测器来重构系统的状态信息，利用观测状态构造性能指标函数，综合了输出反馈模型预测控制。以矩阵不等式的形式给出了使得闭环系统渐近稳定，满足输入硬约束且无穷时域性能指标极小的充分条件，通过求解矩阵不等式可得到输出反馈模型预测控制律。本文给出的控制方案解决了具有输入约束的不确定时延网络控制系统的输出反馈预测控制的稳定性综合问题。

参考文献：

[1] Lian F L, Moyne J, Tilbury D. Modeling and optimal controller design of networked control systems with multiple delays[J]. International Journal of Control, 2003, 76(6) : 591-606.

[2] Xie L, Zhang J M, Wang S Q. Stability analysis of networked control system[C]//Proc of the First International on Machine and Cybernetics. Beijing, 2002: 757-759.

[3] 朱张青, 周川, 胡维礼. 短时延网络控制系统的鲁棒H₂/H_∞状态观测器设计[J]. 控制与决策, 2005, 20(3): 280-284.
ZHU Zhang-qing, ZHOU Chuan, HU Wei-li. Design of robust H₂/H_∞ states observer for networked control systems with short time-delay[J]. Control and Decision, 2005, 20(3): 280-284.

[4] 邱占芝, 张庆灵. 动态输出反馈网络控制系统鲁棒控制器设计[J]. 系统工程学报, 2007, 22(2): 176-180.
QIU Zhan-zhi, ZHANG Qing-ling. Robust controller design for dynamic output feedback networked control systems with uncertain time-delay[J]. Journal of System Engineering, 2007, 22(2): 176-180.

[5] 邱占芝, 张庆灵, 刘明. 不确定时延输出反馈网络化系统保性能控制[J]. 控制理论与应用, 2007, 24(2): 274-278.
QIU Zhan-zhi, ZHANG Qing-ling, LIU Ming. Guaranteed performance control for output feedback networked control systems with uncertain time-delay[J]. Control Theory and Application, 2007, 24(2): 274-278.

[6] 邱占芝, 张庆灵. 一类基于观测器的网络控制系统鲁棒控制器设计[J]. 控制与决策, 2007, 22(10): 1165-1169.
QIU Zhan-zhi, ZHANG Qing-ling. Robust controller design for a class of networked control systems based on state observer[J]. Control and Decision, 2007, 22(10): 1165-1169.

[7] 谢成祥, 樊卫华, 胡维礼. 一类短时延网络控制系统的建模和控制方法[J]. 南京理工大学学报, 2009, 33(2): 156-160.
XIE Cheng-xiang, FAN Wei-hua, HU Wei-li. Modeling and control method of a class of networked control systems with short time-delay[J]. Journal of Nanjing University of Science and Technology, 2009, 33(2): 156-160.

[8] 丁宝苍, 邹涛. 约束时变不确定离散系统的输出反馈预测控制综合[J]. 自动化学报, 2007, 33(1): 78-83.
DING Bao-cang, ZOU Tao. Synthesizing output feedback predictive control for constrained uncertain time-varying discrete systems[J]. ACTA Automatica Sinica, 2007, 33(1): 78-83.

[9] 俞立. 鲁棒控制-线性矩阵不等式处理方法[M]. 北京:清华大学出版社, 2002: 87-88.
YU Li. Robust control-linear matrix inequalities method[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2002: 87-88.

[10] Kothare M V, Balakrishnan V, Morari M. Robust constrained model predictive control using linear matrix inequalities[J]. Automatica, 1996, 32(10): 1361-1379.

[11] Henrion D, Lofberg J, Kocvara M, et al. Solving polynomial static output feedback problems with PENBMI[C]//Proceedings of 44th IEEE Conference on CDC-ECC’05. 2005: 7581-7586.

(编辑 杨兵)

收稿日期：2011-04-15；修回日期：2011-06-15

基金项目：国家自然科学基金资助项目(60964004)

通信作者：谢成祥(1970-)，男，江苏丹徒人，博士，教授，从事网络控制系统、预测控制等方面的研究； 电话：13921592720；E-mail: xiechx701008@163.com