基于分数阶导数的沥青混合料动态黏弹行为

尹应梅¹，张肖宁²

(1. 广东工业大学 土木与交通工程学院，广东 广州，510006；

2. 华南理工大学 土木与交通学院，广东 广州，510640)

摘要：为了描述沥青混合料的动态黏弹行为，选择3种沥青混合料进行动态力学分析。通过沥青混合料动态蠕变试验和动态频率扫描试验，提出采用分数阶导数Burgers模型和分数阶导数Maxwell模型对沥青混合料的动态黏弹行为进行拟合，并与经典黏弹模型(Burgers模型和广义Maxwell模型)的拟合结果进行比较。研究结果表明：Burgers模型不能很好地拟合动态蠕变曲线，在蠕变始末端偏差尤为明显；广义Maxwell模型在动态模量曲线两端的拟合效果较差，而分数阶导数Burgers模型可较精确地描述沥青混合料的动态蠕变曲线；分数阶导数Maxwell模型的拟合效果较优，且拟合得到的参数具有一定的物理意义。

关键词：沥青混合料；分数阶导数；动态黏弹行为；本构关系；流变模型

中图分类号：U416.217                 文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2013)09-3891-07

Dynamic viscoelastic behavior of asphalt mixtures based on fractional derivative

YIN Yingmei¹, ZHANG Xiaoning²

(1. School of Civil and Transportation Engineering, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510006, China;

2. School of Civil Engineering and Transportation, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China)

Abstract: In order to describe the dynamic viscoelastic behavior of asphalt mixtures, the dynamic mechanical test analysis of three asphalt mixtures was performed. Dynamic creep tests and dynamic frequency sweep tests of asphalt mixtures were carried out with fractional derivative Burgers model and the fractional derivative Maxwell model based on the theory of the fractional derivative constitutive model and the classical viscoelastic model (Burgers model and generalized Maxwell model). The two kinds of constitutive equations were compared based on the fitting results. The results show that the classical viscoelastic model is unsuitable to describe the dynamic performance of the asphalt mixtures. Burgers model can fit the dynamic creep curve of asphalt mixtures except for the beginning and end of deviation in creep, and the generalized Maxwell model can fit the curve on dynamic modulus of asphalt mixtures at different frequencies well except for both ends. However, the fractional derivative Burgers model can more accurately describe the dynamic creep curves of the asphalt mixture than the Burgers model, the fractional derivative Maxwell model fits better than the generalized Maxwell model, and the fitting parameters of fractional derivative Maxwell model have physical significance.

Key words: asphalt mixtures; fractional derivatives; dynamic viscoelastic behavior; constitutive relation; rheological model

为了更好地研究沥青混合料的动态黏弹力学行为，常采用本构关系来研究其变形规律。沥青混合料是典型的黏弹材料，其黏弹力学行为与加载历史和环境因素密切相关，特别受温度和车辆加载速率(频率)等影响很大。目前，描述沥青混合料的黏弹特性的本构模型有Kelvin模型、Maxwell 模型、Kelvin-Voigt模型、Burgers 模型、修正的Burgers模型、广义Kelvin 模型、广义Maxwell 模型等^[1-7]。这些经典黏弹模型理论具有直观易懂、物理概念清晰等优点，其缺点是在描述黏弹性材料流变行为时不能与实验结果很好地吻合^[8-13]，即不能真实地描述黏弹材料实际的动态力学行为。大量的试验及工程实践表明：用分数阶导数理论建立的分数阶导数本构模型保留了经典模型理论的优点，可描述黏弹材料的宽频范围内力学行为，而且模型简单，模型参数比较容易由实验确定，被认为是一种能较准确描述黏弹材料力学行为的模型^[8-15]。但到目前为止，对于采用分数阶导数模型描述沥青混合料动态黏弹行为的报道很少。

1  经典黏弹本构模型

经典黏弹模型是由弹性元件和黏性元件串联或并联所组合而成。最简单的力学模型，即Maxwell 模型和Kelvin模型^[1]由1个弹簧和1个黏壶通过串联或并联构成。为了更好地描述实际材料的黏弹性质，常采用多个基本元件和基本模型组合而成的其他复杂模型，如Burgers模型、广义Maxwell模型，见图1。

1.1  Burgers模型

Burgers模型由经典Maxwell模型和Kelvin模型串联而成，其应变响应分为瞬时弹性部分ε_e、延迟弹性部分ε_de和黏性部分ε_v，可较好地反映沥青混凝土的变形特性^[1]。其本构方程为

    (1)

式中：ε为剪应变；τ₀为恒定剪应力，Pa；G₀为Maxwell模型的弹性模量，Pa；G₁为Kelvin模型的弹性模量，Pa；η₀为Maxwell模型的黏性系数，Pa·s；η₁为Kelvin模型的黏性系数，Pa·s；t为蠕变时间，s。

相关研究表明，四参数Burgers模型的精确度较高^{[8, 16-17]}，因此，本研究拟采用四参数Burgers模型。A沥青混合料第50个循环蠕变过程基于式(1)的拟合结果见图2，其他沥青混合料类似，拟合参数见表1。

图1  Burgers模型与广义Maxwell模型

Fig.1  Burger model and generalized Maxwell model

图2  A沥青混合料在60 ℃时的Burgers模型拟合结果

Fig.2  Burgers model fitting results for A asphalt mixture at 60 ℃

表1  60 ℃时Burgers模型参数拟合结果

Table 1  Fitting results of Burgers model parameters at 60 ℃

由表1可知：非线性拟合相关系数R²均在0.985 00以上，只是Burgers模型拟合蠕变曲线开始和结束阶段的偏差较大。文献[9] 基于Burgers模型第1个循环拟合数据预测100个循环的应变响应时发现Burgers模型预测结果大于实测结果，由此表明该模型不能很好地描述沥青混合料的动态蠕变过程。

1.2  广义Maxwell模型

由Maxwell模型的本构关系可得广义Maxwell模型松弛模量和复数模量的表达式：

；；

            (2)

式中：G(t)为松弛模量，Pa；为储存模量，Pa；为损失模量，Pa；t为时间，s；ω为频率，rad/s；，为松弛时间，s；G_i和τ_i分别为广义Maxwell模型中第i组Maxwell元件的松弛模量和松弛时间；N组(G_i，τ_i)构成材料的离散松弛时间谱。以A沥青混合料动态频率扫描试验为例，40 ℃和60 ℃时的动态模量试验拟合结果见图3。

由图3可知：广义Maxwell模型对A沥青混合料动态模量的拟合结果较好，只是在端部处产生较大误差，在低频段(高温)端部产生的误差比高频段(低温)端部的误差大；此外，在60 ℃时，拟合结果比中温40 ℃的稍差；在端部处的拟合曲线已经有较大偏离，这表明离散松弛时间谱不太适合描述沥青混合料的动态黏弹行为。

2  分数阶导数黏弹本构模型

2.1  分数阶导数基本理论

对于黏弹性材料，可假设其应力与应变服从~(0＜r＜1)的本构关系式。分数阶导数本构方程是基于此假设提出的。分数阶导数的本构模型实质就是Abel黏壶取代经典模型中的Newton黏壶^{[11-15, 17-18]}。Abel核I_γ(t)的定义为^[19]

         (3)

式中：；m为实数；为Gamma函数。

图3  A沥青混合料动态模量在40 ℃和60 ℃时的广义Maxwell模型拟合结果

Fig.3  Fitting results of dynamic module for A asphalt mixture based on generalized Maxwell model at 40 ℃ and 60 ℃

分数阶导数实际是Abel核函数的Volterra型积分，它不仅与当前时刻附近的值有紧密联系，还与整个历史有关^[13]。因此，分数阶导数模型能够较好地描述黏弹材料的时间效应，可以描述较宽频率范围内材料的动态黏弹行为^{[3, 9-15]}。将分数导数算子用于应变，则得到Abel黏壶本构关系为^[13]

           (4)

式中：为Abel黏壶的黏性系数，Pa·s；为 Riemann-Liouville分数导数算子，是整数阶微分算子的推广，其表达式为

         (5)

2.2  分数阶导数Maxwell模型

分数阶导数Maxwell模型是由线性弹簧与Abel黏壶串联，其应力-应变本构关系为

         (6)

式中：E为线性弹簧的弹性模量，Pa；为t时刻加载的应力，Pa。对式(6)进行傅里叶(Fourier)变换为

       (7)

由复数模量定义可得分数阶导数Maxwell模型的复数模量为

   (8)

因为，所以，

；

        (9)

式中：为储存模量，Pa；为损失模量，Pa。

分数阶导数Maxwell模型的储存模量为幂函数、三角余弦函数的多项式，其损失模量为幂函数和三角正弦函数的乘积，当r＝1时，分数阶导数Maxwell模型简化为经典Maxwell模型。

2.3  分数阶导数Kelvin模型

分数阶导数Kelvin模型是由线性弹簧和Abel黏壶并联组成^[20]，其应力-应变本构关系为

          (10)

对式(10)进行傅里叶(Fourier)变换，有

        (11)

由复数模量定义可得分数阶导数Kelvin模型的复数模量为

      (12)

，  (13)

分数阶导数Kelvin模型的储存模量为幂函数、三角余弦函数的多项式，其损耗模量为幂函数和三角正弦函数的乘积。而经典Kelvin模型的储存模量为一常数，其损耗模量为的1次幂。

2.4  分数阶导数Burgers模型

分数阶导数Burgers模型可用于描述具有典型黏弹力学行为的固体^{[13, 20]}，它由经典Maxwell模型与分数阶导数Kelvin模型串联而成，其应力-应变本构关系为

 (14)

式中：E ₁为分数阶导数Kelvin模型中线性弹簧的弹性模量，Pa；为分数阶导数Kelvin模型中Abel黏壶的黏性系数，Pa·s；E₀为Maxwell模型中线性弹簧的弹性模量，Pa。

分数阶导数Burgers模型的蠕变本构方程为

     (15)

式中：。对式(15)进行Laplace变换，反演得蠕变柔量为

 (16)

式中：；。式(16)中含有无穷级数和Gamma函数，形式复杂，应用不方便，计算速度慢，需要进行简化。在式中无穷级数内添加n=-1项，同时在无穷级数外减去此项，并令，0≤a＜1，则式(16)变为

   (17)

因为沥青混合料的黏弹蠕变过程与时间密切相关，为了保留蠕变时间的指数系数，仅对无穷级数内Gamma函数进行简化。令a=0，则式(17)可变为

      (18)

由，式(18)变为

     (19)

即

      (20)

若分数阶导数Burgers流变模型中的a=0，即γ=1，则为经典的Burgers模型。

3  分数阶导数黏弹本构模型的应用分析

3.1  沥青混合料动态蠕变

分析图2可知：Burgers模型不能较好地描述沥青混合料动态蠕变试验黏弹响应。根据式(20)对A，B和C沥青混合料进行分数阶导数Burgers模型拟合，黏弹参数见表2。A和B沥青混合料60 ℃的动态蠕变试验式(1)的Burgers模型和式(20)的分数阶导数Burgers模型拟合对比结果见图4。

由图4可知：采用分数阶导数Burgers模型拟合的相关系数较Burgers模型的高，而且在始末端能精确地描述沥青混合料动态蠕变黏弹行为；分数阶导数Burgers模型能较好地预测沥青混合料的应变。

3.2  沥青混合料动态模量

由图3可知：广义Maxwell模型不太适合描述沥青混合料的动态频率扫描试验。根据式(9)，采用非线性最小二乘法，采用Origin7.5软件并应用分数阶导数Maxwell模型对沥青混合料(以A为例)的动态频率扫描试验的模量进行拟合，拟合结果见图5和表3。

图5和表3的拟合结果表明：分数阶导数Maxwell模型的拟合效果较好。拟合参数E和ξ决定拟合曲线的上、下移动；r为沥青混合料的黏弹比例即相位角，主要与曲线的形状有关，与储存模量和损失模量无关，当r=0时，即相位角δ=0°，表明材料为弹性体，当r=1时，相位角δ=90°，表明材料为黏性体；因此，r越大，表明材料的黏性成分(相位角)越大。由表3可知：A沥青混合料在40 ℃时的r最大，表明沥青混合料在中温时的黏度最大，即相位角最大，这与文献[21]中的结果一致。因此，分数阶导数Maxwell模型中的3个参数(E，ξ和r)均有一定的物理意义，根据参数值可以定量地描述沥青混合料的弹性固体和黏性流体特性。这是经典Maxwell模型没有具有的特性。

表2  分数阶导数Burgers模型参数60 ℃拟合结果

Table 2  Fitting results of fractional derivative Burgers model parameters at 60 ℃

图4  沥青混合料在60 ℃时动态蠕变Burgers模型和分数阶导数Burgers模型拟合结果对比

Fig.4  Comparison between Burgers model fitting results and fractional derivative Burgers model for A and B asphalt mixtures at 60℃

表3  A沥青混合料分数阶导数Maxwell模型参数拟合结果

Table 3  Fitting results of fractional derivative Maxwell model parameters for A asphalt mixture

图5  A沥青混合料在20，40和60 ℃时的分数阶导数模型拟合

Fig.5  Fractional derivative fitting for A asphalt mixture at 20, 40 and 60 ℃

4  结论

(1) 广义Maxwell模型在描述沥青混合料动态频率扫描试验曲线始末端拟合效果较差；广义Maxwell模型的参数物理意义不太明确，不太合适用于评价沥青混合料的动态黏弹行为。

(2) Burgers模型可较好地模拟动态蠕变曲线，但在蠕变始末阶段偏差尤为明显，且由第1次循环拟合的黏弹参数拓展到100次循环后的应变与实测值有较大偏差，因此，经典Burgers模型定量描述沥青混合料动态蠕变行为存在局限性。

(3) 针对广义Maxwell模型和Burgers模型本构关系的缺陷，提出采用分数阶导数本构关系来描述沥青混合料的动态黏弹行为。分数阶导数Maxwell模型需要确定的试验参数少，且参数有较明确的物理意义，其中参数r很好地体现了沥青混合料的黏弹比例，该模型能较好地定量描述不同频率下沥青混合料的黏弹行为；分数阶导数Burgers模型能较精确地描述沥青混合料的动态蠕变过程。由此可见：分数阶导数本构关系可更真实地反映沥青路面的实际力学行为。

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(编辑  陈灿华)

收稿日期：2012-09-03；修回日期：2012-11-21

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51038004)；广东工业大学博士启动项目(113007)

通信作者：尹应梅(1976-)，女，湖南邵东人，博士，讲师，从事道路工程结构及材料研究；电话：13929506065；E-mail: merry025@163.com