强非线性主动隔振系统的运动响应及传递率

 周一峰¹, 唐进元², 何旭辉¹

(1.中南大学 土木建筑学院, 湖南 长沙, 410075;
2.中南大学 机电工程学院, 湖南 长沙, 410083)

摘要: 建立了主动隔振体的非线性动力学方程,即有阻尼受迫振动Duffing方程;对求解强非线性自治系统的能量迭代方法加以改进, 将其用于求解强非线性非自治系统, 得到了主动隔振系统周期运动响应的解析表达式和振幅—频率关系曲线, 并按新振动传递率定义研究了振动传递率与频率的关系。 应用这一方法, 获得了精度较高的周期解表达式、 振幅与频率关系曲线以及位移传递率与频率关系曲线; 得到了主动隔振问题的有关结果:对于非线性硬弹簧系统(α>0), 随着非线性项系数增大, 共振的振幅虽然减小, 但传递率增大, 故隔振效果较差; 对于非线性软弹簧系统(α≤0), 随着非线性项系数的绝对值增大, 共振的振幅减小, 同时传递率也减小, 故非线性软弹簧系统(α≤0)具有较好的主动隔振。
关键词: 强非线性自治系统; 主动隔振; 能量迭代法; 传递率
中图分类号: O322; O328 文献标识码: A 文章编号: 1672-7207(2005)03-0496-05

Response and transmissibility of strong nonlinear active isolation system

ZHOU Yi-feng¹, TANG Jin-yuan², HE Xu-hui¹

(1.School of Civil and Architectural Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;
2.School of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: The nonlinear dynamic equation of active vibration isolation body-forced Duffing equation with damp was derived. The energy-iteration method for solving strongly nonlinear autonomous system was modified and adopted to study the strongly nonlinear non-autonomous system, and the periodic response, the relationship between the amplitude and frequency and the relations of transmissibility-frequency according to the new definition of transmissibility were gotten. Through this method the expressions of periodic solutions with more accuracy are gotten and the relations curves between amplitude-frequency and transmissibility-frequency are also obtained. Some useful results about active vibration isolation are obtained as follows. For the hard spring nonlinear system (α>0), as the coefficients of nonlinear items increase the transmissibility of displacement increases, the effect of vibration isolation is quite bad. On the contrary, for the soft spring nonlinear system (α≤0), as the absolute value of coefficients of nonlinear items increases, both amplitude and transmissibility of displacement decrease. So the soft spring nonlinear system (α≤0) can be used suitably in the active vibration isolating system.
Key words: strong nonlinear non-autonomous system; active vibration isolation; energy-iteration method; transmissibility

在工程实际中为了减少发动机、 锻床及压缩机等振源产生的振动, 往往需要在振源与基础之间加入隔振系统。许多隔振材料如空气、 橡胶、 鼓状弹簧以及钢丝绳减振器等, 其力和变形的关系皆是非线性的。 近年来,人们对非线性隔振系统进行了研究^[1-4],在此,作者对主动隔振问题采用变形立方多项式函数表征隔振材料的非线性刚度^[5-11], 建立了非线性动力学方程,即有阻尼强迫振动Duffing方程;将文献[12-14]中的能量迭代方法推广到强非线性非自治系统, 对α〈0及α≥0时的周期运动响应进行求解。

1 系统非线性动力学方程的建立

图1所示为主动隔振系统的动力学模型与受力分析图。 采用变形的立方多项式函数表征隔振材料的非线性,根据质点动力学基本方程, 有:

其中: m为主动隔振体的质量; c为阻力系数;k和β为弹簧刚度参数; F为隔振材料的非线性弹性力;x,[AKx·D]和x[DD(-*1]¨[DD)]分别为主动隔振体的绝对位移及其对时间的一阶与二阶导数; t为时间; Ω₀为激振力的频率; g为重力加速度。 其坐标x的原点取在弹簧未受力时的自然状态处。 引入无量纲参数:

(a) 力学模型; (b) 受力图
图 1   主动隔振系统力学模型及其受力图
Fig. 1   Model of active isolating system and
its free body diagram

得无量纲方程为:

x″+2ζx′+x+αx³=-G+Hcos(Ωτ)。(3)

其中:x′和x″分别为x对τ的一阶、 二阶导数。 式(3)为有阻尼时非线性动力系统受迫振动的Duffing方程。

2 主动隔振系统运动响应的能量迭代解法

2.1 基本方法

式(3)可写为:

x″+g(x)+f(x,x′,Ωτ)=0。(4)

其中:

将式(4)两边同乘以dx, 进行适当变换后同时积分, 并以表示系统势能, 则式(4)可写为:

式(6)表明系统机械能E=x′²/2+V(x)的变化等于非有势力所做的功。 式(6)中,当τ取1个周期T时, 等号两边均应为零。 令1个周期上的平均值x₁为其一次近似解, 有:

x′²₁(τ)/2+V(x₁(τ))=x^′2₁₀/2+V(x₁₀)。(7)

为不失一般性, 取x′₁₀=0, 由式(7)求解得:

其中θ为相位角,是τ的函数。则

x′₁=dx₁/dτ=a′cosθ+b′-asinθ(dθ/dτ)。(10)

根据等能量闭轨线^[5] ,有:

V(-a+b)=V(a+b)=E。(11)

对式(11)两边求导,根据式(6)得a′和b′,将其代入式(9),(10)联解得:

其中:F(x,x′,Ωτ)=-f(x,x′,Ωτ)x′。

令Φ=dθ/dτ,则式(12)可写成富氏级数形式:

Φ=dθ/dτ=ω+Φp。(13)

其中: Φ_p为dθ/dτ中周期为2π/ω的周期项。 对式(13)积分可得:

θ=ωτ+φ(τ)。(14)

其中: ω为系统(3)的响应角频率。 比较式(12)和(13)可知, ω为Φ的非周期项, 令

ω=Φ_np。(15)

将式(8)代入式(6), 有:

以F_np表示F(x,x′,Ωτ)的非周期项, 式(16)即

F_np=0。(17)

式(17)即系统周期解存在的条件, 且当

ω=(n/m)Ω=Φ_np(18)

时, 系统(3)可能存在主振动及各种超谐与次谐振动周期解。其中m和 n为互质的整数。 求出满足式(17)和(18)条件的a^*,φ^*:

a^*=a^*(Ω); φ^*=φ^*(Ω)。(19)

式(19)即为一次近似周期解的振幅与初始角位移。 由式(11)的第1个等式求得

b^*=b^*(a^*)=b^*(Ω)。(20)

将式(19)和(20)代入式(14)后再代入式(9), 求得系统的一次近似解为:

x₁=a^*cos(ωτ+φ^*)+b^*。(21)

当g(x)为奇函数时, V(x)为偶函数, 由式(11)知b^*=0。 为达到一定的精度, 进行如下迭代求高次近似解。

令ψ(x,x′,Ωτ)=g(x)+f(x,x′,Ωτ), 则式(4)可写为:

x″+ψ(x,x′,Ωτ)=0。(22)

设高次近似解为:

x_n+1=x_n+w_n, n=1, 2, …。(23)

其中:w_n为n+1次解相对于n次解的增量。 将ψ在(x_n,x′_n)邻域展开为泰勒级数, 并将式(23)代入式(22)得:

w″_n+ψ′_x′(x_n,x′_n,Ωτ)w′_n+ψ′_x(x_n,x′_n,Ωτ)w_n=
-[x″_n+f(x_n,x′_n,Ωτ)+g(x_n)]。(24)

式(24)即为w_n的周期系数方程。 为求解该方程, 设

将式(25)代入式(24), 按jΩτ(j=1, 2, …)的各次谐波合并系数后得:

根据最小二乘原理, 令

根据三角函数正交性,有:

式(29)改写成矩阵形式为:

[M]{u}={h}。(30)

其中:[M]为系数矩阵; {h}为常数列阵; {u}=(α₀,α₁,β₁,…,α_N,β_N)^T,为所求列阵。 将{u}的解代入式(25), 再代入式(23)即得二次近似解。 在式(25)中, N取3时, 所得二次近似解的准确度已达要求。
2.2 主动隔振体的求解及非线性项对运动响应和传递率的影响

由式(5)知g为奇函数, 故有b^*=0, 根据式(21)有:

x₁=a^*cos(Ωτ+φ^*)。(31)

由式(17)和(18)得到振幅—频率曲线及相频曲线表达式为:

根据式(32)得到振幅—频率曲线的显式表达式为:

给定各参数值后, 由式(32)和(33)可求得满足此二式的a^*和φ^*。 将其代入式(31)可得x₁。 由于响应中包含不同频率的谐波, 在此,作者采用文献[4]中传递率η的定义。

故隔振效率为:(1-η)×100%。显然,η越小, 隔振效果越好。 因此,有:

fT(τ)=2ζβ₁sinθ+2ζβ₃sin(3θ)+
(a^*-3αa^*3/4)cosθ-(αa^*3/4)cos(3θ);(39)
PT=2ζ²(β²₁+β²₃)+(a^*-3αa^*3/4)²+α²a^*6/32;(40)
P₀=H²/2;(41)
η=a{4ζ²(1+5αa^*2/8)+α²a^*4/[32(4+3α^*2)]+
1-3αa^*2/2+5α²a^*4/8}^1/2/H。(42)

给定一组参数数据:ζ=0.1,Ω=2, G=1, H=5, α分别为0, 0.10, 1.00, 10.00, 20.00和0,-0.01,-0.05,-0.10, -0.30, 根据式(34)绘制当α>0和α≤0时的振幅—频率曲线,如图2和图3所示。 由式(34)和(42)绘制相应的传递率曲线,如图4和图5所示。 由所给定的一组数据,根据式(32)和(33)求得一次近似解的a^*和φ^*, 代入式(31), 按照式(23)到式(28)的公式进行运算, 解出{w_n}(N=3)后代入式(23),得二次近似解。 采用自编的Matlab程序进行辅助推导与计算, 得出α=1.00和α=10.00时的解析解表达式及与 数值解对照图(见图6和图7)。

其二次近似解析解表达式如下:

当α=1.00时,

x₂=-0.0616+(2.5048)cosθ-
0.2029sinθ-0.0692cos(2θ)+
0.008sin(2θ)+0.1453cos(3θ)-
0.0416sin(3θ); (43)
其中:θ=2τ-0.2164。

当α=10.00时,

x²=-0.0317+(0.9877)cosθ-
0.0366sinθ-0.0569cos(2θ)+0.0071sin(2θ)+
0.1016cos(3θ)-0.0165sin(3θ)。 (44)

其中:θ=2τ-0.0975。

α: 1—0; 2—0.10; 3—1.00; 4—10.00; 5—20.00
图 2   主动隔振系统的振幅—频率曲线(α≥0)
Fig. 2   Curves of amplitude-frequency of
active vibration isolation system(α≥0)

 α: 1—0; 2—-0.01; 3—-0.05; 4—-0.10; 5—-0.30
图 3   主动隔振系统的振幅—频率曲线(α≤0)
Fig. 3   Curves of amplitude—frequency of
active vibration isolation system(α≤0)

α: 1—0; 2—0.10; 3—1.00; 4—10.00; 5—20.00
图 4   主动隔振系统传递率—频率曲线(α≥0)
Fig. 4   Curves of transmissibility-frequency
of active vibration isolation system (α≥0)

α: 1—0; 2—-0.01; 3—-0.10; 4—-0.05; 5—-0.30
图 5   主动隔振系统传递率—频率曲线(α≤ 0)
Fig. 5   Curves of transmissibility-frequency of
active vibration isolating system (α≤0)

(a) 时间—位移图; (b) 相图
图 6   α=1.00时主动隔振系统时间—位移图和相图
Fig. 6   Relationship between time-displacement
and phase of active vibration isolation
(α=1.00)

由图2可见, 对于硬弹簧系统(α>0), 随着非线性项系数从α〈1增大到α>1, 一次近似解的振幅—频率曲线向右偏移, 振幅峰值降低, 即当α=β/k(即α为弹簧刚度的非线性项系数与线性项系数之比)越大, 振幅峰值处的频率越高, 峰值越低; 而当α→∞时, 系统完全失去弹性, 振子与基础趋于刚性联接, 振幅趋于零。由图3可见, 对软弹簧系统(α〈0), 随着非线性项系数α绝对值的增加, 其相应的振幅—频率曲线渐渐左移, 振幅的峰值降低。 由图4可见, 随着非线性系数(α>0)由α〈1增加到α>1, 振动一次近似解传递率曲线向右偏移, α越大, 传递率η峰值越大; 根据隔振效率定义, η越大, 其隔振效率越低。

 (a) 时间-位移图; (b) 相图
图 7   α=10.00时主动隔振系统的时间位移图和相图
Fig. 7   Relationship between time-displacement and
phase of active vibration isolation(α=10.00)

由图5可见, 随着非线性项绝对值的增大, 传递率曲线左移, 传递率峰值降低, 隔振效果提高。

3 结 论

a. 应用能量原理, 求得强非线性主动隔振系统的一次近似周期解, 定性地分析了系统的振幅—频率关系曲线及传递率—频率关系曲线。 经迭代求得二次近似解后, 解析解的位移—时间曲线和相平面轨迹曲线与相应的数值解吻合较好。 采用此法只需计算至二次近似解, 且在计算二次近似解时, 在式(25)中只需取N=3即可满足计算的精确度要求。

b. 对于非线性硬弹簧系统(α>0), 随着非线性项系数增大, 共振的振幅虽然减小, 但传递率增大, 故隔振效果较差; 对于非线性软弹簧系统(α≤0), 随着非线性项系数的绝对值增大, 共振的振幅减小, 同时传递率也减小, 故非线性软弹簧系统(α≤0)具有较好的主动隔振。

参考文献:

[1]田千里,高赞明,倪一清.用钢丝绳减振器控制结构振动[J]. 机械强度, 1991, 13(4): 7-10.
TIAN Qian-li, GAO Zan-ming, LI Yi-qing. Controlling structure vibration with steer wire[J].Intensity of Mechanics, 1991, 13(4): 7-10.
[2]彭献, 唐驾时. 非线性隔振理论初探[J].振动与冲击, 1996, 15(4): 13-17.
PENG Xian, TANG Jia-shi. Research on theory of strong nonlinear vibration isolation[J]. Shock and Vibration, 1996, 15(4): 13-17.
[3]Ravindra B, Mallik A K. Performance of non-linear vibration isolators under harmonic excitation[J]. Journal of Sound and Vibration, 1994, 170(3): 325-337.
[4]陈泳冰,陈树辉. 非线性隔振系统的运动响应和传递率[J].振动与冲击, 1998, 17(4): 18-22.
CHEN Yong-bing, CHEN Shu-hui. The response and transmissibility of nonlinear isolating systems[J]. Shock and Vibration, 1998, 17(4): 18-22.
[5]李骊. 强非线性振动系统的定性理论与定量方法[M]. 北京: 科学出版社,1997.
LI Li. The qualitative theory and quantitative analysis of nonlinear vibration systems[M]. Beijing: Science Press,1997.
[6]ZHANG Zheng-ping, LI Li, ZU Ru-zheng, et al. A new method for the periodic solutions of strongly nonlinear system[J]. Acta Mechanica Sinica, 1994, 10(1): 82-90.
[7]LI Li. Energy method for computing periodic solutions of strongly nonlinear systems(Ⅰ)——autonomous systems[J]. Nonlinear Dynamics, 1996, 9(3): 223-247.
[8]LI Li. Energy method for approximate periodic solution of strongly nonlinear non-autonomous systems[J]. Nonlinear Dynamics, 1999, 12(3): 237-261.
[9]Nayfeh A H, Mook D K. Nonlinear oscilation[M].New York: John Wiley and Sons,1979.
[10]Natsiavas S, Theodossiades S, Goudas I. Dynamic analysis of piecewise linear oscillators with time periodic coefficients[J]. International Journal of Non-linear Mechanics, 2000, 35(1): 53-68.
[11]Oz H R. Non-linear vibrations and stability analysis of tensioned pipes conveying fluid with variable velocity[J]. International Journal of Non-linear Mechanics, 2001, 36(2): 1031-1039.
[12]周一峰, 李骊. 一类强非线性系统周期解的能量迭代法[J].应用力学学报, 1997, 14(4): 26-30.
ZHOU Yi-feng, LI Li. The energy-iteration method for periodic solution of a class of strongly nonlinear system[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 1997,14(4): 26-30.
[13]周一峰. 强非线性振动系统周期解的能量迭代法[J]. 力学季刊, 2002, 23(4): 514-520.
ZHOU Yi-feng. The energy-iteration method for periodic solution of strongly nonlinear system[J]. Chinese Quarterly of Mechanics, 2002, 24(4): 514-520.
[14]周一峰. 求非线性动力系统周期解的MH法和EMH法[J]. 中南大学学报, 2004, 35(1): 151-156.
ZHOU Yi-feng. MH and EMH method for periodic solutions of strong nonlinear dynamic systems[J].Journal of Central South University(Science and Technology), 2004, 35(1): 151-156.

收稿日期:2004 -10 -08

基金项目:国家自然科学基金资助项目(50475139); 湖南省教育厅科研基金资助项目(湘教财字[1998]1号)

作者简介:周一峰(1946-), 男, 江苏东台人, 副教授, 从事非线性振动及一般力学研究

论文联系人: 周一峰, 男, 副教授; 电话: 0731-2656176(H);E-mail:fyzhou@mail.csu.edu.cn