一种连续箱梁的高精度解析计算方法

周旺保¹，蒋丽忠^{1, 2}，余志武¹

(1. 中南大学 土木工程学院，湖南 长沙，410075；

2. 高速铁路建造技术国家工程实验室，湖南 长沙，410075)

摘要：以能量变分原理为基础，综合考虑箱梁满足轴力自平衡的剪力滞和剪切变形等多重因素的影响，推导连续箱梁的控制微分方程及自然边界条件，获得集中荷载和均布荷载作用下的连续箱梁解析解。通过算例将本文解析计算结果与ANSYS有限元计算结果进行比较。研究结果表明：两者计算结果吻合良好，证明本文计算方法正确，本文构造的位移函数是正确和可靠的。所得公式比以往箱形箱梁剪力滞计算理论有一定发展，由于剪力滞效应的影响, 薄壁连续箱梁截面形心应力不再为0 Pa；箱梁顶板及底板的应变曲线不为直线，而是顶板中心、底板中心及悬臂板边缘滞后的曲线。

关键词：连续箱梁；剪力滞效应；剪切变形；能量变分原理；解析计算方法

中图分类号：TB122          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2014)08-2799-06

A high precision analytical calculation method of continuous box-girder

ZHOU Wangbao¹, JIANG Lizhong^{1, 2}, YU Zhiwu¹

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;

2. National Engineering Laboratory for High Speed Railway Construction, Changsha 410075, China)

Abstract: Based on energy variation principle, the control differential equations and the corresponding boundary conditions of continuous box girder were induced, considering the shear lag effect meeting axial force that is self equilibrated and shear deformation. The analytic solutions of continuous box-girder under multiple concentrated loads and distributed load were obtained. The ANSYS finite element solutions were compared with the analytical solutions by calculation examples and the validity of the proposed approach was verified. The results show that the provided displacement function has reliability and validity. The obtained formulas develop the shear lag theory of continuous box-girder. The stress at the centroid of the cross-section is no longer 0 Pa because of the shear lag effect. The strain curves of the roof, bottom board and cantilever board are no longer straight, but the curves of roof centre, bottom board centre and cantilever board edge are hysteretic.

Key words: continuous box-girder; shear lag effect; shear deformation; energy variation principle; analytical calculation method

箱形截面梁具有良好的结构性能，如截面抗弯抗扭刚度大，设置少量横隔板就能获得满意的荷载横向分布；顶板和底板布置预应力筋有效地抵抗正负弯矩，适应连续梁和刚构桥等桥梁结构，尤其是连续水平曲线桥梁结构；能采用悬臂拼装、悬臂浇注、顶推等施工方法，满足现代化的施工要求。因此，箱形截面梁在国内外桥梁结构中得到广泛地应用和推广。但箱梁腹板间距较大的宽箱梁在对称弯曲时，变形不服从初等梁理论，且有剪力滞效应。这种现象是由于翼板的剪切变形使翼板远离肋板处的纵向位移滞后于肋板处，从而使弯曲应力的横向分别呈曲线形状。这种弯曲应力分布不均匀现象会引起应力集中，严重的则导致箱梁损坏^[1-3]。文献[4-6]对不考虑剪切变形影响的箱梁剪力滞效应进行了研究；文献[7]提出了考虑轴力自平衡的翘曲位移模式，但未考虑到截面剪切变形；文献[8-9]考虑了3个不同的剪滞纵向位移差函数以反映薄壁箱梁不同宽度翼板的剪滞变化幅度,但未能考虑到轴向均匀位移；文献[10-11]对考虑剪切变、剪力滞及轴向均匀位移的简支梁进行了分析。在此，本文作者提出了一个同时考虑剪力滞、剪切变形及轴向均匀位移的高精度连续箱梁分析模型，利用能量变分原理^{[8, 12-15]}推导连续箱梁在任意荷载作用下的出控制微分方程和自然边界条件，求得解析解。通过算例将本文解析计算结果与ANSYS有限元计算结果进行了比较，验证了本文解析解的正确性。

1  基本假定

箱梁截面尺寸及坐标系统如图1所示。连续箱梁结构图如图2所示。

假设(1)  设g_i(x,y)(i=1，2，3)，g₄(x,z)分别为箱梁顶板、悬臂板、底板和腹板纵向翘曲位移函数。根据悬臂板边缘、顶板和底板中心横向剪应变为0可知：

        (1)

翼板与腹板交点处位移协调可知

              (2)

                 (3)

因此，可假设箱梁悬臂板、顶板、底板和腹板纵向翘曲位移为：

图1  箱梁截面尺寸及坐标系统

Fig. 1  Section size and coordinate system of box-girder

图2  连续箱梁结构图

Fig. 2  Structural diagram of continuous box-girder

                  (4)

                (5)

参考文献[5-6]，可近似地取：

           (6)

由翘曲应力自平衡可得：

       (7)

式中：2b₁，b₂和2b₃分别为箱梁顶板、悬臂板和底板的宽度；z₁和z₃为箱梁顶板形心和底板形心的z向坐标；z₀为顶板与腹板交界面坐标；D为箱梁全截面纵向翘曲位移；U(x,t)为箱梁纵向翘曲幅度函数；A₁=2b₁t₁，A₂=2b₂t₂，A₃=2b₃t₃，A₄=2b₄t₄，A=A₁+A₂+A₃+A₄。

假设(2)  箱梁有2种剪切变形：(1) 顶板、悬臂板及底板水平面内的剪切变形，该剪切变形由剪力滞引起；(2) 竖向平面内的剪切变形，该剪切变形由箱梁剪力引起。假设箱梁各点纵向位移由符合平截面假定的纵向位移、剪力滞引起的纵向翘曲位移两者叠加，其表达式为：

         (8)

式中：θ为箱梁截面转角。

假设(3)  箱梁竖向压缩、板的横向应变和横向弯曲、板平面外的剪切变形均很小，可以忽略不计。

2  控制微分方程及其求解

2.1  控制微分方程及边界条件

根据上述横截面纵向位移表达式可得箱梁截面各点应变表达式为：

           (9)

          (10)

                 (11)

式中：ε_i(i=1，2，3，4)分别为箱梁顶板、悬臂板、底板和腹板的纵向正应变；γ_i(i=1，2，3，4)分别为第j跨箱梁顶板、悬臂板、和底板的剪应变；w(x)为箱梁竖向挠度。

第j跨箱梁外力势能表示为：

     (12)

式中：q_j(x)为第j跨箱梁线荷载；P_i,j为第j跨箱梁第i个集中荷载；η_i,jL_j为第j跨箱梁第i个集中荷载集中力作用点。L_j为箱梁第j跨跨度。

第j跨箱梁应变能为：

                (13)

式中：G为箱梁剪切模量；E为箱梁弹性模量；α为箱梁剪切变形修正系数。

将式(5)~(8)代入式(9)得：

   (14)

，，       (15)

式中：；；；。

由虚功原理，并经分部积分后可得第j跨箱梁控制微分方程及自然边界条件为：

           (16)

          (17)

           (18)

            (19)

                  (20)

   (21)

    (22)

   (23)

连续梁位移连续条件为：

            (24)

            (25)

2.2  平衡微分方程的求解

令：，式(16)~(18)变为：

         (26)

       (27)

 (28)

则有：

其特征方程为：

          (29)

其对应的特征根为：d_k,i,j，k=1，…，6；i=1，…，m_j+1；j=1，2，…，n，且有。

可解得式(16)~(18)的齐次解为：

     (30)

     (31)

            (32)

式中：为积分常数；；；。

设，则特解为：

；

；

通解为：

               (33)

                 (34)

                  (35)

由式(19)~(25)可知：连续梁梁端共有 个边界条件。将式(33)~(35)代入边界条件后共得到个方程，则可求得个积分常数，进而由式(33)~(35)得到，和的解析式，从而由式(9)~(11)可获得截面各点应变。

2.3  剪力滞系数

参考文献[7]定义翼缘板剪力滞系数，即混凝土顶板和底板的有效翼缘宽度系数分别为：

，  (36)

3  算例

对于某简支两跨连续箱梁，其材料的力学参数和几何参数分别为：E=3.5×10¹⁰ N·m^-2，μ=0.18，b₁=b₃=0.4 m，b₂=b₄=0.3 m，t₁=t₂=25 mm，t₃=25 mm，t₄=0.04 m。为了验证上述理论模型的实用性，采用ANSYS有限元法进行仿真分析，采用壳单元SHELL43单元对箱梁进行模拟，并与理论计算结果进行比较，结果如表1、图3和图4所示。

表1  剪力滞系数计算结果

Table 1  Calculation results of shear lag coefficient

图3  均布荷载作用下连续箱梁跨中截面应变

Fig. 3  Strain of mid-span section of continuous box-girder under distributed load

图4  集中荷载作用下连续箱梁跨中截面应变

Fig. 4  Strain of mid-span section of continuous box-girder under concentrated loads

由图3和4可以看出：

(1)集中荷载作用和均布荷载作用情况下本文解析解和ANSYS有限元数值解吻合良好，论证了本文计算方法的正确性。

(2) 由于剪力滞效应的作用，箱梁顶板及底板的应变曲线不再为直线，而是顶板中心、底板中心及悬臂板边缘滞后于顶板、底板与腹板交点的曲线。集中荷载作用下应变曲线曲率较大，说明不考虑剪力滞效应会引起较大误差。

(3) 同等条件下均布荷载作用下剪力滞系数较小,集中荷载作用下剪力滞系数较大，且跨度越大剪力滞系数越小；本文算例中，剪力滞系数达到1.149 0，说明剪力滞效应的影响很大，不能忽视。

4  结论

(1) 考虑薄壁连续箱梁剪切变形、剪力滞效应及轴向均匀位移后所得解析解与ANSYS有限元数值解吻合良好，证明了本文构造的位移函数是正确和可靠的。

(2) 由于剪力滞效应的影响, 薄壁连续箱梁截面形心应力不再为0 Pa，因此假设截面形心应变为0，即忽略轴向均匀变形的方法不够科学，本文计算方法是合理的。

(3) 箱梁顶板及底板的应变曲线不再为直线，而是顶板中心、底板中心及悬臂板边缘滞后于顶板、底板与腹板交点的曲线；同时因为剪力滞系数较大，不考虑剪力滞效应会引起较大误差。

(4) 在同等条件下，集中荷载作用下比均布荷载作用下的剪力滞系数大，且剪力滞系数随跨度的增大而减小。

(5) 所得的薄壁连续箱梁剪滞效应的理论计算方法比以往箱形箱梁剪力滞计算理论有一定发展，为薄壁连续箱形截面梁桥的剪滞计算提供了重要资料。

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(编辑  赵俊)

收稿日期：2013-07-28；修回日期：2013-10-20

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51078355，50938008)；教育部博士研究生学术新人奖资助项目(094801020)；湖南省博士生科研创新项目(CX2011B093)；国家“十二五”科技支撑计划项目(2011BAJ09B02)；中央高校基本科研业务费专项基金资助项目(20117Q008)；中南大学研究生教育创新工程项目(2011ybjz031)

通信作者：蒋丽忠(1971-)，男，湖南衡山人，教授，从事组合结构稳定及抗震方面研究；电话：0731-82655536；E-mail：lzhjiang@csu.edu.cn