随机参数时变齿轮副的动力响应分析

魏永祥¹，陈建军¹，拓耀飞²

(1. 西安电子科技大学 机电工程学院，陕西 西安，710071；

2. 榆林学院 物理与电气工程系，陕西 榆林，719000)

摘要：研究基于概率的齿轮副动力响应问题。考虑齿轮副的时变刚度，从Duhamel积分关系式出发利用随机因子法导出齿轮副的物理参数、几何参数和作用荷载幅值同时具有随机性时齿轮副动力响应的数字特征计算表达式。通过算例考察齿轮副的物理参数、几何参数和作用荷载幅值的随机性对其动力响应的影响，研究结果表明：几何参数的随机性对系统位移响应的随机性影响较大，系统的时变刚度对系统响应有冲击作用。

关键词：随机参数齿轮副；时变啮合刚度；Duhamel积分；动力响应

中图分类号：TU318；O324            文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2011)03-0708-06

Dynamic response of gear with random parameters and time-varying stiffness

WEI Yong-xiang¹, CHEN Jian-jun¹, TUO Yao-fei²

(1. School of Electromechanical Engineering, Xidian University, Xi’an 710071, China;

2. Department of Physics and Electrical Engineering, Yulin College, Yulin 719000, China)

Abstract: The dynamic response of gear based on probability was studied. Considering the randomness of the system physical parameters, the geometric dimensions parameters, the amplitude peak of applied load and the time-varying stiffness of gear pairs, the numerical characteristics of the system dynamic response were formulated from the dynamic expression of Duhamel integral. The influences of the randomness of physical parameters and geometric dimensions parameters on the randomness of the mean square value of system displacement were inspected through the example. The results show that the randomness of geometric parameters has greater effect on displacement response of system and the time-varying stiffness of system has effect on the response of system.

Key words: gear with random parameters; time-varying stiffness; duhamel integral; dynamic response

齿轮系统应用于多种机械动力装备中传递运动或动力。在各种机械特别是精密机械中，都要求降低齿轮传动引起的振动和噪声。由于材料属性、加工精度和负载状况等因素，齿轮系统在工作过程中经常会出现振动加剧或突变，导致磨损、疲劳破坏和大噪声，从而使机器工作的可靠性和性能降低，甚至使系统遭到破坏。因此，有必要研究齿轮啮合的动态位移及其各参数对动态位移的影响等问题。当考虑齿轮时变啮合刚度时，系统的动力学模型将是一个具有周期性时变系数的非线性系统^[1]。对于时变刚度的齿轮系统，很多学者在确定性齿轮系统的响应及稳定域方面做了大量的工作。张永忠等^[2-4]研究了齿轮在啮合过程中有关齿轮刚度、齿根应力的计算方法和具有时变啮合刚度的齿轮系统的动力学问题。唐增宝等^[6-8]分别用不同的方法求解了齿轮系统的时变非线性微分方程，获得了系统的动态响应，分析了不同因素对齿轮振动响应的影响。然而，这些文献都是以确定性的齿轮系统为研究内容。近年来，人们开始关注齿轮的随机动力响应问题，如：Wang等^[9-11]考虑了随机(模糊)误差激励或在随机外激励下，时变刚度齿轮传动系统的动力响应，然而，并未考虑齿轮系统中物理和几何参数的随机性对其动力响应的影响。在实际中，由于材料属性的随机性和在加工、安装过程中的多种随机因素的影响，都会造成齿轮系统动力响应的随机性。Chen等^[12-14]应用随机因子法处理了具有随机参数结构的动力响应问题。在此，本文作者以随机参数时变刚度齿轮副为分析模型，在考虑弹性模量、质量密度、齿宽和模数等系统参数同时具有随机性且作用荷载幅值也具有随机性的情况下，利用Duhamel积分^[15]，分析随机参数时变刚度齿轮副在随机力激励下的动力响应的数字特征。

1  确定性齿轮动力分析模型

对直齿圆柱齿轮副，当支撑轴承和传动轴的刚度比轮齿啮合刚度大许多时(即可认为是刚性的)，单级齿轮副传动系统的动力学简化模型如图1所示。其中：PQ为齿轮理论啮合线；R_i，I_i，θ_i和T­_i(i=1, 2)分别为啮合齿轮的基圆半径、转动惯量、扭转角和所承受的转矩。该模型的动力学方程为^[5]：

   (1)

  (2)

式中：，和(i=1, 2)分别为主动齿轮和被动齿轮的扭转角、角速度和角加速度；I_i(i=1, 2)为主、被动齿轮的转动惯量；R_i(i=1, 2)为主动齿轮和被动齿轮的基圆半径；­k_i和c_i(i=1, 2)分别为主动齿轮和被动轮齿的挠曲刚度和阻尼；e_i(i=1, 2)为主动齿轮和被动轮齿的综合误差；T_i(i=1, 2)为作用在主动齿轮和被动齿轮上的力矩；k_m(t)和c_m分别为齿轮副的啮合刚度和啮合阻尼。其中单齿啮合时的刚度k(t)采用魏氏挠度公式和两圆柱接触变形的赫兹公式^[2]进行计算，即：

            (3)

式中：k_c为轮齿在啮合点的接触刚度。

            (4)

式中：i=1, 2；； ；；下标1和2分别表示主齿轮、被齿轮；b为接触区齿轮的宽度；E为材料的弹性模量；为变位系数；为加载位置系数；r_n为啮合点处圆半径；r_h为齿顶圆半径；m_o为齿轮副的模数；z_i为齿轮齿数。当z_i＞25时，A_i和B_i取正号，反之取负；z_i＞135时，z_i取135。

   (5)

式中：；为材料的泊松比；和分别为主动齿轮和被动齿轮啮合点处的曲率半径；P_n为轮齿单位齿宽法向荷载。

图1  单级齿轮副物理模型

Fig.1  Physical model of one-stage gear

由于k₁，k₂和k_c在不同啮合点处的取值不同，且单齿或多齿交替啮入啮出会导致刚度突变，因此，啮合刚度k_m(t)为时变刚度。将单齿啮入到啮出作为1个研究周期，并把这1个周期n等分后逐步计算不同啮合点的刚度，最后根据重合度判断不同啮合点处是单齿或是多齿啮合来计算总的时变啮合刚度。

对啮合阻尼c_m由下式计算^[5]：

             (6)

其中：ξ_c为轮齿啮合的振型阻尼比。

记啮合线上两齿轮的相对位移为x，即有：

               (7)

从而方程(1)和式(2)可合并为：

          (8)

其中：m_e为等效质量；P为等效载荷。

             (9)

由于齿轮啮合时齿间间隙很小，故将齿轮副等效为2个等厚薄圆柱，且其质量密度相同，它们的转动惯量分别为：

，       (10)

其中基圆半径由下式得：

，    (11)

式中：z₁和z₂分别为主动齿轮和被动齿轮的齿数；为压力角。

2  随机参数时变刚度齿轮副在随机力激励下的响应分析

利用Duhamel积分可求得系统动力学方程(8)的形式解为：

           (12)

其中：τ为时间积分变量；h(t)为系统的脉冲响应函数，即有

       (13)

式中：；为系统无阻尼时的固有频率；为系统的振型阻尼比。

现考虑系统参数具有随机性的情况。设齿轮副的材料相同，其物理参数(弹性模量E和质量密度ρ)和几何参数(齿宽b，模数，s为相邻两轮齿同侧齿廓间的齿距)同时为随机变量。模数虽已标准化，但由于制造、装配等因素都会导致齿距s仍有随机性，从而使模数也有随机性。则由以上推导公式可知，齿轮啮合系统的等效啮合刚度k_m(t)和等效质量m_e亦为随机变量。显然，这将导致系统固有频率的随机性，进而导致系统响应的随机性。下面导出系统位移响应的数字特征计算表达式。

利用求解随机变量函数数字特征的矩法，从式(12)出发，可求得系统位移响应的均值和方差分别为：

  (14)

  (15)

式中：和分别为随机变量的均值和均方差。

以下导出求式(14)和(15)中所需的计算表达式。

首先将式(10)和(11)代入式(9)，经整理并利用随机因子法^[12]得：

             (16)

式中：，和分别为，b和m_o的随机因子，其均值为1，其均方差分别为所对应随机变量的变异系数(下同)；为m_e中的确定性部分。

利用求解随机变量函数的代数综合法，由式(16)可推得随机变量m_e的均值和方差分别为：

            (17)

   (18)

由动力学中的瑞利商公式，系统的固有频率可写成随机因子的形式如下：

       (19)

其中：为E的随机因子；为中的确定性部分。

同样，由式(19)可推得系统固有频率的均值和均方差分别为：

       (20)

(21)

其中：为E和的相关系数。

将以上导出的计算式(16)~(21)代入式(14)和(15)，即可获得随机时变齿轮副动力响应的数字特征。

3  算例

依据上述导出的计算公式和Duhamel数值积分方法，编制了计算随机参数时变刚度齿轮副的动力响应分析程序。取标准圆柱齿轮副，材料为钢。齿数z₁=45，z₂=100，压力角=20°，齿轮的额定转速为2 000 r/min，阻尼系数ξ=0.003，泊松比μ=0.2，变位系数χ=0。考虑材料的弹性模量E、密度ρ、齿宽度b、模数m_o和荷载P均为随机变量，它们的均值分别为：μ_E=2.08×10¹¹ Pa，μ_ρ=7.86 t/m³，μ_b=16 mm，μ_mo=4 mm，μ_P= 795.78 N。为比较各随机参数取值的分散性对系统的影响，它们的变异系数均取为0.1。

图2所示为单齿啮合4倍个啮合周期T(单齿从啮入到啮出的时间)内啮合刚度的变化曲线。经计算得齿轮啮合的重合度为1.794 2，即在1个啮合周期T内，0.794 2T的时间处于双齿啮合区，0.205 8T的时间为单齿啮合区。在不同啮合点处刚度不同，且单齿与双齿交替啮入和啮出时导致刚度突变。

图2  齿轮时变刚度

Fig.2  Time-varying stiffness of gear

图3所示为根据计算结果按“3σ”准则绘出的随机时变齿轮副的动态位移响应(此处的位移是指两齿轮轮齿啮合处的相对变形量)的均值μ和上下界μ±3σ的波动曲线。图中的横坐标是以轮齿啮合周期(单齿从啮入到啮出的时间)T的倍数。从图3可看出：在   0.794 2T单双齿交替啮合时由于刚度突变引起的位移冲击响应；位移的均方差也随时间变化，且在单齿啮入时动态位移响应的分散性变大。刚度突变对动态位移响应的均方差与对均值的影响趋势相一致。

图3  随机动态位移响应

Fig.3  Stochastic dynamic displacement response

图4所示为考虑随机时变齿轮副系统参数全部为随机变量时的动态位移均值与参数为确定性时动态位移的对比。从图4可以看出系统参数的随机性对动态位移的均值也有影响。

图4  随机和确定模型的动态位移响应

Fig.4  Random and determine model of dynamic displacement response

为考察各个随机参数的分散性对系统响应的影响，表1列出了不同随机参数组合时系统的最大位移响应的均值和均方差。结果表明：当参数全为随机变量时位移响应均值的分散性最大，与确定模型相差也最大。其中：弹性模量E和密度ρ的随机性对位移响应的均值影响相反，但对方差的影响却基本相一致；齿宽b的随机性对位移响应的影响很小；荷载P的随机性对位移响应的均值基本没有影响，却对方差的影响起主导作用；模数m_o的随机性对位移响应方差的影响也很大，其影响仅次于荷载P的影响；模数m_o的随机性主要反映了齿轮的分度圆半径的随机性对位移响应的影响。

表1  不同随机组合时系统的最大位移位移响应的均值和均方差

Table 1  Mean and variance of effect of different random combinations of maximum displacement response of system

4  结论

(1) 当考虑齿轮副的物理和几何参数具有随机性时将导致系统的刚度、质量和固有频率也有随机性，使动力方程成为随机微分方程，常规的动力分析方法将无法求解，只能用概率的分析方法。当随机性模型中各随机变量的变异系数均为0就变为确定性模型，后者仅是前者的特例。

(2) 齿轮副参数的随机性对系统位移响应的均值有一定的影响，荷载的随机性对系统位移响应的均值没有影响，却对系统位移响应的均方差的影响很大。齿轮的几何参数(特别是模数m_o)的随机性对系统位移响应的影响不可忽略；因此，齿轮副的加工精度对齿轮副的动力响应的随机性具有重要作用。由于单齿双齿甚至多齿交替啮入啮出时将导致啮合刚度突变，在刚度突变时，系统的位移响应有冲击现象发生，系统响应的均方差也会出现突变。

(3) 本文计算所得的系统动力响应的数字特征可为开展随机参数齿轮系统的动力可靠性分析、预测和优化设计提供了必要的数据信息。

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(编辑 陈爱华)

收稿日期：2010-03-19；修回日期：2010-06-22

基金项目：国家高技术研究发展计划(“863”计划)项目(2006AA04Z402)

通信作者：魏永祥(1982-)，男，河南舞阳人，博士研究生，从事机械结构的可靠性研究；电话：15929890334；E-mail: wyx3710@163.com